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海淀区 2022-2023 学年第二学期期末练习
高三数学
本试卷共6页，150分．考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答
无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项。
1．已知集合 ，则（ ）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系 中，角 以 为始边，其终边经过点 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．
3．若 的展开式中常数项为32，则 （ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．下列函数中，既是奇函数又在区间 上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知等差数列 的前n项和为 ， ，则 的最大值为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
6．已知抛物线 ，经过点P的任意一条直线与C均有公共点，则点P的坐标可以为（ ）
A． B． C． D．
7．芯片是科技产品中的重要元件，其形状通常为正方形．生产芯片的原材料中可能会存在坏点，而芯片中出
现坏点即报废，通过技术革新可以减小单个芯片的面积，这样在同样的原材料中可以切割出更多的芯片，同
时可以提高芯片生产的产品良率．在芯片迭代升级过程中，每一代芯片的面积为上一代的 ．图1是一块形状为正方形的芯片原材料，上面有
4个坏点，若将其按照图2的方式切割成4个大小相同的正万形，得到4块第3代芯片，其中只有一块无坏点，
则由这块原材料切割得到第3代芯片的产品良率为 ．若将这块原材料切割成16个大小相同的正方形，
得到16块第5代芯片，则由这块原材料切割得到第5代芯片的产品良率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知正方形ABCD所在平面与正方形CDEF所在平面互相垂直，且 ，P是对角线CE的中点，Q
是对角线BD上一个动点，则P，Q两点之间距离的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
9．已知 是平面内两个非零向量，那么“ ”是“存在 ，使得 ”的（
）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
10．已知动直线l与圆 交于A，B两点，且 ．若l与圆 相交
所得的弦长为t，则t的最大值与最小值之差为（ ）
A． B．1 C． D．2
第二部分 （非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．在复平面内，复数z所对应的点为 ，则 ___________．
12．已知双曲线C经过点 ，渐近线方程为 ，则C的标准方程为___________．
13．如图，在 中，D 是边 BC 上一点， ，则__________； 的面积为___________．
14．设函数 ．
①若 ，则不等式 的解集为___________；
②若 ，且不等式 的解集中恰有一个正整数，则m的取值范围是___________．
15．在数列 中， ．设向量 ，已知 ，
给出下列四个结论：
① ；② ；③ ；④ ．其中所有正确结论的序号是
___________．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
16．（本小题13分）
已知函数 ，且 ．
（I）求a的值和 的最小正周期；
（Ⅱ）求 在 上的单调递增区间．
17．（本小题14分）
某大学A学院共有学生1000人，其中男生640人，女生360人．该学院体育社团为了解学生参与跑步运动的
情况，按性别分层抽样，从该学院所有学生中抽取若干人作为样本，对样本中的每位学生在 5月份的累计跑
步里程进行统计，得到下表．
跑步里程s（ ）
男生 a 12 10 5
女生 6 6 4 2
（I）求a的值，并估计A学院学生5月份累计跑步里程s（ ）在 中的男生人数；（Ⅱ）从A学院样本中5月份累计跑步里程不少于 的学生中随机抽取3人，其中男生人数记为X，求
X的分布列及数学期望；
（Ⅲ）该大学B学院男生与女生人数之比为 ，B学院体育社团为了解学生参与跑步运动的情况，也按性别
进行分层抽样．已知A学院和B学院的样本数据整理如下表．
5月份累计跑步里程平均值（单位： ）
学院
A B
性别
男生 50 59
女生 40 45
设A学院样本中学生5月份累计跑步里程平均值为 ，B学院样本中学生5月份累计跑步里程平均值为 ，
是否存在 ，使得 ?如果存在，求 的最大值；如果不存在，说明理由．
18．（本小题13分）
如图，在四棱锥 中， 平面ABCD，底面ABCD为菱形，E，F分别为AB，PD的中点．
（I）求证：EF∥平面PBC；
（Ⅱ）若 ，二面角 的大小为 ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为
已知．求PD的长．
条件①： ；条件②： ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
19．（本小题15分）
已知椭圆 的左顶点为 A，上、下顶点分别为 ，直线 的方程为
.
（I）求椭圆E的方程及离心率；（Ⅱ）P是椭圆上一点，且在第一象限内，M是点P关于x轴的对称点．过P作垂直于y轴的直线交直线
于点Q，再过Q作垂直于x轴的直线交直线 于点N．求 的大小．
20．（本小题15分）
已知函数
（I）求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）求证： ；
（Ⅲ）若函数 在区间 上无零点，求a的取值范围．
21．（本小题15分）
设 为整数．有穷数列 的各项均为正整数，其项数为m（ ）．若 满足如下两个性质，则称
为 数列：
① ，且 ；
②
（I）若 为 数列，且 ，求m；
（Ⅱ）若 为 数列，求 的所有可能值；
（Ⅲ）若对任意的 数列 ，均有 ，求d的最小值．
