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北京市八一学校 2024 届高三年级保温热身练习
高三数学
2024.05
本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无
效．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
1. 已知全集 ，集合 ，则 =（ ）
A. 或 B. 或
C. D.
2. 已知复数 满足 ，则复数 的模 为（ ）
A. B. 2 C. D.
3. 已知圆 关于直线 对称，则 （ ）
.
A 0 B. 1 C. 2 D. 4
4. 已知向量 满足 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
5. 已知抛物线 上一点 的纵坐标为 ， 为焦点，则 （ ）
A. B. C. D.
6. 若 ， ，则（ ）
A. B. C. D.7. 已知棱长为1的正方体 ， 是 的中点，动点 在正方体内部或表面上，且
平面 ，则动点 的轨迹所形成区域的面积是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数 若对任意的 都有 恒成立，则实数 的取值范围是（
）
A. B. C. D.
的
9. 中国茶文化博大精深，茶水 口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某种绿茶用90℃的水泡
制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生极佳口感；在20℃室温下，茶水温度从90℃开始，经过
tmin后的温度为 ，可选择函数 来近似地刻画茶水温度随时间变化的规律，则
在上述条件下，该种绿茶茶水达到最佳饮用口感时，需要放置的时间最接近的是（ ）
（参考数据： ）
A. B. C. 6min D.
10. 已知数列 满足 ，该数列的前 项和为 ，则下列论断中错误的是（
）
A. B.
C. 非零常数 ，使得 D. ，都有
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 函数 的定义域是__________．12. 已知双曲线 ， 的一条渐近线方程为 ，则 ______．
13. 已知 ：设函数 在区间 上的图象是一条连续不断的曲线，若 ，则
在区间 内无零点．能说明 为假命题的一个函数的解析式是______．
14. 已知函数 ．若 ，则 ___________；若 的定义域
为 ，则 零点的个数为_________．
15. 已知曲线 为坐标原点．给出下列四个结论：
①曲线 关于直线 成轴对称图形；
②经过坐标原点 的直线 与曲线 有且仅有一个公共点；
的
③直线 与曲线 所围成 图形的面积为 ；
④设直线 ，当 时，直线 与曲线 恰有三个公共点．其中所有正确结论的序号是
______．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．
（1）求B；
（2）若 ， 的面积为 ，求 的周长．
17. 如图，在四棱锥 中，底面 是边长为2的菱形， ， ， 为
中点， ．（1）设平面 平面 ，求证： ；
（2）从条件①，条件②，条件③中选择两个作为已知，使四棱锥 存在且唯一确定．
（ⅰ）求平面 与平面 所成角的余弦值；
（ⅱ）平面 交直线 于点 ，求线段 的长度．
条件①：平面 平面 ；
条件②： ；
条件③：四棱锥 的体积为 ．
18. 某项游戏的规则如下：游戏可进行多轮，每轮进行两次分别计分，每次分数均为不超过10的正整数，
选手甲参加十轮游戏，分数如下表：
轮次 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十
第一次分数 7 6 8 9 8 5 9 7 10 7
第二次分数 8 7 9 10 8 9 8 7 7 9
若选手在某轮中，两次分数的平均值不低于7分，且二者之差的绝对值不超过1分，则称其在该轮“稳定发
挥”.
（1）若从以上十轮游戏中任选两轮，求这两轮均“稳定发挥”的概率；
（2）假设甲再参加三轮游戏，每轮得分情况相互独立，并对是否稳定发挥以频率估计概率.记 为甲在三
轮游戏中“稳定发挥”的轮数，求 的分布列和数学期望；
（3）假设选手乙参加 轮游戏，每轮的两次分数均不相同.记 为各轮较高分的算数平均值， 为各轮
较低分的算数平均值， 为各轮两次的平均分的算数平均值.试比较 与 的大小（结论不要求证
明）.19. 已知函数 .
的
（1）求 图象在点 处的切线方程；
（2）讨论 的单调区间；
（3）若对任意 ，都有 ，求 的最大值.（参考数据： ）
20. 已知椭圆 的离心率为 ，且经过点 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）设过点 且不与坐标轴垂直的直线 与椭圆 交于 两点，过 分别作 轴的垂线，垂足
为点 ，求证：直线 与 的交点在某条定直线上，并求该定直线的方程.
21. 已知集合 ，其中 都是 的子集且互不相同，记 的元素
个数， 的元素个数 .
（1）若 ，直接写出所有满足条件的集合 ；
（2）若 ，且对任意 ，都有 ，求 的最大值；
（3）若 且对任意 ，都有 ，求 的最大值.
