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2024CEE-01
数学
重 庆 缙 云 教 育 联 盟
2024 年高考第一次诊断性检测
数学参考答案
一、选择题
1．A 2．D 3．C 4．C
5．A 6．C 7．A
二、多项选择题
8．BCD 9．ACDE 10．ACE
三、填空题
11． 12．
13． 14．
四、解答题
15．解：
（1）由余弦定理形式 和 ，
因此 ．
又 ，即 ，
由正弦定理 得： ，
整理得： ，
．
， ， ， ．
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学科网（北京）股份有限公司（2）由 ，得 ，得 ．
在△ACD中，由余弦定理得 ，
为 的中点， ，
即 ， （其中 ）， ．
由正弦定理得 ， ，
，
即 ． ，
由 ，可得 ； ， ．
16．解：
（1）因为 ， ，所以 即 ，①
当 时， ②
② ①得： 即 ，当 时， ，所以 ，
所以 是以2为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，又因为 ，
所以当 时， ；
当 时， ， 综上所
述： .
（2）因为 ， ，由题意知： ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，假设在数列 中是否存在3项 ，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列，
则 ，即
化简得： ，
又因为m，k，p成等差数列，所以 ，
所以 即 ，又 ，所以
即 ，所以 ，这与题设矛盾.
所以在数列 中不存在3项 ，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列.
17．解：
（1）由 ，得函数的定义域为 ，
又 ，
当 时， 恒成立，所以 在 上单调递增；
当 时，令 ，得 ；令 ，得 ；
所以， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
（2）由 ，得 ，
故欲证 ，只需证： ，即证 ，
又 ， ， ，不妨设 ， ，等价于 ，令 （
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学科网（北京）股份有限公司），等价于 （ ），
，所以 在 单调递增，而 ，
所以，当 时， 恒成立.
所以 ，所以 .
（3）函数 有两个零点 ， ，所以 ， ，
不妨设 ， ，
即 ，要证： ，
需证：
只需证： ，只需证： ，
只需证： ，只需证： ，
令 ，只需证： ，
令 ， ，
所以 在 上单调递减，所以 ，即 ，
故 .
也可由对数均值不等式 （ ），即 ，
令 （ ），则 ，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 .
18．解：
（1）由题意得 ，易知 ，
由椭圆定义可知，动点 在以 ， 为焦点，且长轴长为 的椭圆上，
又 不能在直线 上，∴ 的方程为： ．
（2）（2）(i) （法一）设 ， ， ，
易知直线 的方程为 ，
联立 ，得 ， ∴ ，
∴ ， ，即 ，
同理可得， ，∴ ，
欲使 ，则 ，即 ，∴ ，
∴存在唯一常数 ，使得当 时， ．
（法二）设 ， ， ，
易知 的斜率 不为零，否则 与 重合，
欲使 ，则 将在 轴上，又 为 的中点，则 轴，这与 过 矛盾，
故 ，同理有 ，则 ，可得 ，
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学科网（北京）股份有限公司易知 ， ，且 ， ，
∴ ，即 ，同理可得， ，
欲使 ，则 ， ∴ ，∴ ，
∴存在唯一常数 ，使得当 时， ．
(ii) 由(i)易知 ，且 ，
∴ ，
即 ，同理可得， ，
∵ ，∴ ，记 ，
∴ ，
当且仅当 ，即 时取等，由椭圆的对称性，不妨设此时 ， ，
且直线 和 的夹角为 ，则 ，不难求得 ，
此时，易知 ，且 ，
∴四边形 的面积为 ．
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学科网（北京）股份有限公司19．解：
（1） ， ， ， ，
， ，
所以 与 的线性回归方程为 ；
（2） ， ， ， ，
， ，
， ，
，
设备M的性能等级为丙级.
（3）样本中直径小于等于 的共有2件，直径大于 的零件共有4件，
所以样本中次品共6件，可估计设备M生产零件的次品率为0.06.由题意可知从设备M的生产流水线上随
意抽取2件零件，
其中次品数设为Y1，则 ，于是 ；
从样本中随意抽取2件零件其次品数设为Y2，由题意可知Y2的分布列为：
Y2 0 1 2
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学科网（北京）股份有限公司P
故 .
则次品总数Y的数学期望 .
20.
Ⅰ. 解：
（1）由题设，长轴长 ，短轴长 ，则 ，
所以 分别是 中点，而柱体中 为矩形，连接 ，
由 ，故四边形 为平行四边形，则 ，
当 为 的中点时，则 ，故 ，
面 ， 面 ，故 平面 .
（2）由题设，令 ，则 ，又 ，
所以 ， ，则 ，
所以 ，根据椭圆性质知 ，故 .
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由 ，要使三棱锥 的体积最大，
只需 面积和 到面 距离之和都最大，
，令 且 ，则 ，
所以 ，
显然 时，有最大 ；
构建如上图直角坐标系且 ，椭圆方程为 ，
设 ，联立椭圆得 ，且 ，
所以 ， ，而 ，
所以 ，令 ，则 ，
由对勾函数性质知 在 上递增，故 ；
综上， .
Ⅱ. 解：
（1） 和 绕 轴旋转半周所围成的几何体可以得到两个底面半径为1，高为2的圆锥，体积
之和为 ；
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学科网（北京）股份有限公司正方形 绕 轴旋转半周所围成的几何体为一个底面半径为1，高为2的圆柱，体积为
.
所以，总的体积 .
（2）如图3，取 中点为 ，连接 ，则 .
因为 ， 中点为 ，所以 .
又平面 平面 ，平面 平面 ，
所以， 平面 ，即 平面 .
以点 为坐标原点，如图3建立空间直角坐标系，
由已知可得 ， ， ， ，
所以， ， ， ， ， ，
所以， ， ，
所以， ，
所以，异面直线 与 所成的角 的余弦值为 ，
所以， .
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由已知可得，圆心为 点，则半径 .
六边形 绕 轴旋转半周所围成的几何体的体积，等于直角梯形 绕直角边 所在的直线旋
转一周得到的几何体体积的2倍.
直角梯形 绕直角边 所在的直线旋转一周得到的几何体，为一个上、下底面半径分别为1、3，高
为1的圆台，体积 ；
剩下的两部分为全等的弓形，
先研究弓形 绕 轴旋转半周，得到的几何体为球缺.
现在用祖暅原理来求解该球缺的体积，
如图5，半球的半径和圆柱的底面半径均为 ，且圆柱的高 ，且 ，
在半球中，高度为 ，且平行于底面的截面圆的半径 ，面积为
.
在圆柱中，连接 ，设 交高度为 ，且平行于底面的截面于点 ，
显然△UVN∽△UW N ，所以有 ，即 ，
1
所以 .
所以，当高度为 时，圆环的面积等于大圆的面积减去小圆的面积，
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学科网（北京）股份有限公司即圆环的面积 ，
所以，当高度为 时，半球的截面与圆柱中的截面圆环的面积相等.
根据祖暅原理可知，半球某高度截面以上的体积（即球缺的体积），即等于圆柱该截面以上（挖去一个圆
台）的体积.
所以，球缺的体积 （其
中 为半球被截面截去球缺后剩余部分的高）.
由已知可得，弓形 绕 轴旋转半周，得到的几何体为球缺中， ， ，
所以，该球缺的体积 .
所以，总的体积 .
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