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2024CEE-01
数学
重 庆 缙 云 教 育 联 盟
2024 年高考第一次诊断性检测
数学试卷
考生须知：
1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回；
4.全卷共6页，满分150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2． ，则 的共轭复数 等于（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数 满足： ， ， 成立，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
4．已知 是两条不同直线， 是三个不同平面，则下列说法正确的是（ ）
A． 则 B． 则
C． 则 D． 则
5．已知 ， ，则（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
6．已知函数 ，则方程 在区间 上的所有实根之和为
（ ）
A．0 B．3 C．6 D．12
7．已知 ， ， ， ， ，则 的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求的。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的，少选择1个正确选项
得3分，少选择2个正确选项得1分，否则得0分。
8．已知 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
E．a =16
5
9．已知 为坐标原点，抛物线 的焦点为F，A，B是抛物线上两个不同的点， 为线段AB的中点，
则（ ）
A．若 ，则 到准线距离的最小值为3
B．若 ，且 ，则 到准线的距离为
7
C．若 ，且 ，则 到准线的距离为
2
D．若AB过焦点 ， ， 为直线AB左侧抛物线上一点，则△ABC面积的最大值为
E． 若 ，则 到直线AB距离的最大值为4
10．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数 被称为狄利克雷
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学科网（北京）股份有限公司函数，其中 为实数集， 为有理数集，则以下关于狄利克雷函数 的结论中，正确的是（ ）
A．函数 为偶函数
B．函数 的值域是
C．对于任意的 ，都有
D．在 图象上不存在不同的三个点 ，使得 △ABC为等边三角形
E．在 图象存在不同的三个点 ，使得 △ABC为等边三角形
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11．已知 为圆 ： 上一点，则 的取值范围是 .
12．已知二项式 的展开式中第二、三项的二项式系数的和等于45，则展开式的常数项为
．
13．椭圆 上的点P到直线 的最大距离是 ；距离最大时点P坐标为 .
14．我国古代数学著作《九章算术》中研究过一种叫“鳖（biē）臑（nào）”的几何体，它指的是由四个
直角三角形围成的四面体，那么在一个长方体的八个顶点中任取四个，所组成的四面体中“鳖臑”的个数
是 .
四、解答题：本题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（10分）
记△ABC的内角 的对边分别为 .已知 ．
(1)求 ；
(2)若 为 的中点，且 ，求 ．
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学科网（北京）股份有限公司16．（10分）
已知正项数列 的前n项和为 ，且 ．
(1)求证：
(2)在 与 间插入n个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，在数列 中是否存在3项
，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列?若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由．
17．（15分）
已知函数 （a为常数）.
(1)求函数 的单调区间；
(2)若存在两个不相等的正数 ， 满足 ，求证： .
(3)若 有两个零点 ， ，证明： .
18．（15分）
在平面直角坐标系 中，点 ， 的坐标分别为 和 ，设 的面积为 ，内切圆半径为 ，
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学科网（北京）股份有限公司当 时，记顶点 的轨迹为曲线 ．
(1)求 的方程；
(2)已知点 ， ， ， 在 上，且直线 与 相交于点 ，记 ， 的斜率分别为 ， ．
(i) 设 的中点为 ， 的中点为 ，证明：存在唯一常数 ，使得当 时， ；
(ii) 若 ，当 最大时，求四边形 的面积．
19．（15分）
某工厂引进新的生产设备 ，为对其进行评估，从设备 生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为
样本，测量其直径后，整理得到下表：
6
直径/mm 58 59 61 62 63 64 66 67 68 69 70 71 73 合计
5
3
件数 1 1 3 5 6 19 18 4 4 2 1 2 1 100
3
经计算，样本的平均值 ，标准差 ，以频率值作为概率的估计值.
(1)为评估设备 对原材料的利用情况，需要研究零件中某材料含量 和原料中的该材料含量 之间的相
关关系，现取了8对观测值，求 与 的线性回归方程.
(2)为评判设备 生产零件的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为 ，并根据以下不
等式进行评判（ 表示相应事件的概率）；
① ；② ；③ .
评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其
中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备 的性能等级.
(3)将直径小于等于 或直径大于 的零件认为是次品．从样本中随意抽取2件零件，再从设备
的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品总数 的数学期望 .
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学科网（北京）股份有限公司附：①对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘法
估计公式分别为 ， ；
②参考数据： ， ， ， .
20．（15分）本题分为Ⅰ、Ⅱ两部分，考生选其中一部分作答.若多选，则按照第Ⅰ部分积分.
Ⅰ.把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”．如图，椭圆柱
中底面长轴 ，短轴长 为下底面椭圆的左右焦点，
为上底面椭圆的右焦点， 为 上的动点， 为 上的动点，
为过点 的下底面的一条动弦（不与 重合）．
(1)求证：当 为 的中点时， 平面
(2)若点 是下底面椭圆上的动点， 是点 在上底面的投影，且 与下底面所成的角分别为 ，
试求出 的取值范围．
(3)求三棱锥 的体积的最大值．
Ⅱ.如图1，已知 ， ， ， ， ， .
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学科网（北京）股份有限公司(1)求将六边形 绕 轴旋转半周（等同于四边形 绕 轴旋转一周）所围成的几何体的体积；
(2)将平面 绕 旋转到平面 ，使得平面 平面 ，求异面直线 与 所成的角；
(3)某“ ”可以近似看成，将图1中的线段 、 改成同一圆周上的一段圆弧，如图2，将其绕
轴旋转半周所得的几何体，试求所得几何体的体积.
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