文档内容
2023~2024 学年度第一学期高三年级期末调研测试
数学试卷
2024.1
总分：150分 时间：120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．已知z(1＋i)＝i，则复数z的虚部为
A． B．－ C．i D．－i
2．已知集合S＝{x|x＝k－，k∈Z}，T＝{x|x＝2k＋，k∈Z}，则S∩T＝
A．S B．T C．7 D．0
3．随机变量X~N(2，σ2)，若P(X≤1.5)＝m，P(2≤X≤2.5)＝1－3m，则P(X≤2.5)＝
A．0.25 B．0.5 C．0.75 D．0.85
4．图1是蜂房正对着蜜蜂巢穴开口的截面图，它是由许多个正六边形互相紧挨在一起构成．
可以看出蜂房的底部是由三个大小相同的菱形组成，且这三个菱形不在一个平面上．研究
表明蜂房底部的菱形相似于菱形十二面体的表面菱形，图 2是一个菱形十二面体，它是由
十二个相同的菱形围成的几何体，也可以看作正方体的各个正方形面上扣上一个正四棱锥
(如图3)，且平面ABCD与平面ATBS的夹角为45°，则cos∠ASB＝
A． B． C． D．
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学科网（北京）股份有限公司5．某学校广播站有6个节目准备分2天播出，每天播出3个，其中学习经验介绍和新闻报
道两个节目必须在第一天播出，谈话节目必须在第二天播出，则不同的播出方案共有
A．108种 B．90种 C．72种 D．36种
6．已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的左顶点为M，左、右焦点分别为F ，F ，过F 作x轴的
1 2 2
垂线交C于A，B两点，若∠AMB为锐角，则C的离心率的取值范围是
A．(1，) B．(1，2) C．(，＋) D．(2，＋∞)
7．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝4，A＝，且BE为边AC上
的高，AD为边BC上的中线，则·的值为
A．2 B．－2 C．6 D．－6
8．已知a＝ln3，b＝log e，c＝，则a，b，c的大小关系是
2
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知正四面体骰子的四个面分别标有数字1，2，3，4，正六面体骰子的六个面分别标
有数字1，2，3，4，5，6，抛掷一枚正四面体骰子，记向下的数字为 X，抛掷一枚正六面
体骰子，记向上的数字为Y，则
A．P(X＝2)＝ B．P(Y＜3)＝ C．E(X)＞E(Y) D．D(X)＜D(Y)
10．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(0＜ω＜3，－＜φ＜0)，且f(0)＝－，f()＝－1，则
A．φ＝－ B．f(x)的最小正周期为π
C．f(x)在(，)上单调递减 D．f(x－)为奇函数
11．已知数列{a}的前n项和为，且S＝n2＋λn＋μ，则下列结论正确的有
n n
A．若μ＝0，则{a}为等差数列
n
B．若μ＝3，则{a}为递增数列
n
C．若λ＝－，则当且仅当n＝3时S 取得最小值
n
D．“λ＞－3”是“数列{S}为递增数列”的充要条件
n
12．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，⊙F的半径为1，过F的直线1与抛物线C和⊙F
交于四个点，自下而上分别是A，C，D，B，O为坐标原点，则
A．·＝1 B．AC＞1
C．△OAB面积的最小值是8 D．3|AD|＋|BD|的最小值是10＋4
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知△ABC的顶点是A(5，1)，B(7，－3)，C(1，－1)，则△ABC的外接圆的方程是
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14．若角的终边经过点P(－3，4)，则cos2α＝ ．
15．已知函数f(2x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，且当x∈(0，1]时，f(x)＝log x，则f()＝
2
．
16．某兴趣小组准备将一棱长为 a的正方体木块打磨成圆锥，则圆锥的最大体积为
．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．(10分)
已知等比数列{a}为递增数列，其前n项和为S，a＝4，S＝14．
n n 2 3
(1)求数列{a}的通项公式；
n
(2)求和：1×a＋3×a ＋5×a ＋…＋(2n－1)×a．
n n－1 n－2 1
18．(12分)
如图，在直四棱柱ABCD－ABC D 中，BC⊥CD，AB∥DC，DC＝2BC＝2CC ＝4AB
1 1 1 1 1
＝4．
(1)证明：AC ⊥BD；
1 1 1
(2)求二面角D－BC－D 的平面角的余弦值．
1 1
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学科网（北京）股份有限公司19．(12分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝3．
(1)若b＝2，cosC＝，求sinA；
(2)点D在边AB上，AD＝2DB，若CD＝，tanC＝2tanB，求a．
20．(12分)
某数学兴趣小组准备了若干个除颜色外都相同的红球和白球，先在罐子中放入 2个红
球和1个白球，活动参与者每次从罐子中随机抽取1个球，观察其颜色后放回罐中，并再
取1个相同颜色的球
放入罐中，如此反复操作．
(1)求活动参与者第2次操作时取到白球的概率；
(2)记3次操作后罐子中红球的个数为X，求随机变量X的概率分布与数学期望．
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学科网（北京）股份有限公司21．(12分)
已知椭圆E：(a＞b＞0)的离心率为，且过点A(2，1)，点B与点A关于原点对称，过点
P(1，－2)作直线l与E交于M，N两点(异于A点)，设直线AM与BN的斜率分别为k ，
1
k．
2
(1)若直线l的斜率为－，求△AMN的面积；
(2)求kk－2k 的值．
1 2 2
22．(12分)
已知函数f(x)＝|aex－x|＋x2＋(1－a)x．
(1)当a＝1时，求f(x)的最小值；
(2)若f(x)在x＝0处取得极小值，求实数a的取值范围．
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