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北大附中 2023 届高三适应性练习
数学
一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求
的一项.
1. 已知集合 ，若 ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2. 抛物线 的焦点到准线的距离是
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
3. 如图，点 为角 的终边与单位圆 的交点， （ ）
A. B. C. D.
4. 在 的展开式中，常数项为（ ）
A. 1 B. 3 C. 6 D. 12
5. 现从3名男同学和2名女同学中选取两人加入“数学兴趣小组”，用A表示事件“抽到两名同学性别相
同”， 表示事件“抽到两名女同学”，则在已知A事件发生的情况下 事件发生的概率即 （
）
A. B. C. D.6. 已知圆 ，直线 上动点 ，过点 作圆 的一条切线，切点为 ，则
的最小值为（ ）
A. 1 B. C. D. 2
7. 将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到的图象恰好关于直线 对称，则 的
最小值是（ ）
A. B. C. D.
8. 设 均为非零向量，则“ ”是“对于任意的实数 ，都有 ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不允分也不必要条件
9. 已知函数 ，若存在 ，使得 成立，则实数 取值范
的
围是（ ）
.
A B. C. D.
10. 分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它研究的几何对象具有自相似的层次结构，
适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变，具有很多美妙的性质.其中科赫（Koch）曲线是几何中最简单
的形.科赫曲线的产生方式如下：如图，将一条线段三等分后，以中间一段为边作正三角形并去掉原线段生
成1级科赫曲线“ ”，将1级科赫曲线上每一线段重复上述步骤得到2级科赫曲线，同理
可得3级科赫曲线，……在分形几何中，若一个图形由 个与它的上一级图形相似，且相似比为 的部分
组成，则称 为该图形分形维数.那么科赫曲线的分形维数是（ ）A. B. C. 1 D.
二､填空题共5题，每题5分，共25分.
11. 若 ，则 的虚部是_________.
12. 双曲线 的顶点坐标为_________.
13. 已知等比数列 ，记其前 项乘积 .若 ，则 _________； 的
前4项和为_________.
14. 已知函数 在 上不是单调函数，且其图象完全位于直线 与
之间（不含边界），则 的一个取值为_________.
15. 如图所示，在 的长方形区域（含边界）中有 两点，对于该区域中的点 ，若其到 的距离
不超过到 距离的一半，则称 处于 的控制下，例如原点 满足 ，即有 点处
于 的控制下.同理可定义 处于 的控制下.
给出下列四个结论：①点 处于 的控制下；
②若点 不处于 的控制下，则其必处于 的控制下；
③若 处于 的控制下，则 ；
④图中所有处于 的控制下的点构成的区域面积为 .
其中所有正确结论的序号是_________.
三､解答题共6题，共85分.解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程.
16. 在 中， .
（1）求 的值；
（2）若 ，求 的面积.
17. 人工智能正在逐渐改变着我们的日常生活，不过，它所涉及的数学知识并非都是遥不可及的高深理论.
为了解“拼音输入法”的背后原理，随机选取甲类题材“新闻稿”中1200字作为样本语料库 ，其中
“一”出现了30次，统计“一”与其后面一个字（或标点）的搭配情况，数据如下：
“一”与其后面一个字（或标点）的搭配情况 频数
“一个” 6
“一些” 4
“一穷” 2
“一条” 2
其他
假设用频率估计概率.
（1）求 的值，并估计甲类题材中“一”出现的概率；
的
（2）在甲类题材“新闻稿”中随机抽取2个“一”，其中搭配“一个”出现 次数为 ，求 的分布列和
期望；
（3）另外随机选取甲类题材“新闻稿”中800字作为样本语料库 进行统计，“一”出现了24次，“一格”出现
了2次，若在甲类题材“新闻稿”的撰写中，输入拼音“yige”时，“一个”和“一格”谁在前面更合适？（结论不
要求证明）18. 如图在几何体 中，底面 为菱形，
.
是
（1）判断 否平行于平面 ，并证明；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求：
（i）平面 与平面 所成角的大小；
（ii）求点 到平面 的距离.
条件①：面 面
条件②：
条件③：
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.
19. 已知椭圆 过点 ，长轴长为 .
（1）求椭圆 的方程及其焦距；
（2）直线 与椭圆 交于不同的两点 ，直线 分别与直线 交于点 ，
为坐标原点且 ，求证：直线 过定点，并求出定点坐标.
20. 已知函数 .
在
（1）若 ，求 处切线方程；（2）求 的极大值与极小值；
（3）证明：存在实数 ，当 时，函数 有三个零点.
21. 已知A为有限个实数构成的非空集合，设 ， ，
记集合 和 其元素个数分别为 ， .设 .例如当 时，
， ， ，所以 .
（1）若 ，求 的值；
（2）设A是由3个正实数组成的集合且 ， ；，证明： 为定
值；
（3）若 是一个各项互不相同的无穷递增正整数列，对任意 ，设 ，
.已知 ， ，且对任意 ， ，求数列 的通项公式.
