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北京市第十中学 2023 高三三模试卷
数学
2023.5
一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合
题目要求的一项.
1. 已知集合A= ,B={−2,0,1,2},则 ( )
A. {0,1} B. {−1,0,1}
C. {−2,0,1,2} D. {−1,0,1,2}
【答案】A
【解析】
【详解】分析：先解含绝对值不等式得集合A，再根据数轴求集合交集.
详解：
因此A B= ，选A.
点睛：认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合
是正确求解的两个先决条件.
2. 复数 ．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析： ，故选A.
【考点】复数运算
【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并
同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化.
3. 下列函数中，在区间 上为减函数的是A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析： 在区间 上为增函数； 在区间 上先增后减；
在区间 上为增函数； 在区间 上为减函数，选D.
考点：函数增减性
4. 直线 被圆 所截得的线段的长为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：求圆的弦长常在以圆心、弦的中点及弦的一个端点所构成的三角形内先计算弦长的一
半，然后再求解．圆心（1，0）到直线 的距离为 ，由圆的半径1及勾股定理得弦长
的一半为 ，所以弦长为 ．故选C．
考点：求圆的弦长方法．
5. 在 的展开式中， 的系数为（ ）．
A. B. 5 C. D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定 的系数即可.【详解】 展开式的通项公式为： ，
令 可得： ，则 的系数为： .
故选：C.
【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定
项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整
数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．
6. 若 ，且 ，则向量 与 的夹角为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【 详 解 】 试 题 分 析 ： 根 据 题 意 ， 由 于 ， 且
， 结 合 向 量 的 数 量 积 公 式 可 知
，解得其向量 的夹角为1200，故选C.
考点：向量的数量积
点评：主要是考查了向量的数量积的垂直的充要条件的运用，属于基础题．
7. 设 是公比为 的等比数列，则“ ”是“ 为递增数列”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：当 时， 不是递增数列；当 且 时，
是递增数列，但是 不成立，所以选D.
考点：等比数列8. 某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．
加油时间 加油量（升） 加油时的累计里程（千米）
年 月 日
年 月 日
注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程
在这段时间内，该车每 千米平均耗油量为（ ）
A. 升 B. 升 C. 升 D. 升
【答案】B
【解析】
【详解】因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量 升. 而这
段时间内行驶的里程数 千米. 所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为
升，故选B.
考点：平均变化率.
9. 在标准温度和压力下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位： ，记作 ）和氢氧根离
子的物质的量的浓度（单位： ，记作 ）的乘积等于常数 .已知 值的定义为
，健康人体血液 值保持在7.35～7.45之间，则健康人体血液中的 可以为
（参考数据： ， ）
A. 5 B. 7 C. 9 D. 10【答案】B
【解析】
【分析】首先根据题意，求出所求式子的常用对数，结合题中所给的条件，将其转化为与 相关的量，
借助于题中所给的范围以及两个对数值，求得结果.
【详解】由题意可知， ，且 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
，
分析比较可知 ，所以 可以为7，
故选B.
【点睛】该题考查的是有关健康人体血液中的 的求值问题，该题属于现学现用型，在解题的过程
中，需要认真审题，明确题意，借助于题中所给的两个对数值，寻求解题思路，属于较难题目.
10. 设集合 则
A. 对任意实数a，
B. 对任意实数a，（2,1）
C. 当且仅当a<0时,（2,1）
D. 当且仅当 时,（2,1）
【答案】D
【解析】
【详解】分析：求出 及 所对应的集合，利用集合之间的包含关系进行求解.详解：若 ，则 且 ，即若 ，则 ，
此命题的逆否命题为：若 ，则有 ，故选D.
点睛：此题主要结合充分与必要条件考查线性规划的应用，集合法是判断充分条件与必要条件的一种
非常有效的方法，根据 成立时对应的集合之间的包含关系进行判断. 设
，若 ，则 ；若 ，则 ，当一个问题从正面思
考很难入手时，可以考虑其逆否命题形式.
二､填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.在每小题列出的四个选项中，选出符合
题目要求的一项.
11. 函数 的定义域为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用二次根式被开方数非负和分式分母不为零，列不等式组可求得答案
【详解】由题意得 ，解得 且 ，
所以函数的定义域为 ，
故答案为：
12. 若双曲线 的离心率为 ，则实数 __________．
【答案】2
【解析】
【详解】 ， .渐近线方程是 .13. 在 中， ， ， ，则 _________．
【答案】
【解析】
【详解】由正弦定理，得 ，即 ，所以 ，所以 .
考点：正弦定理.
14. 设函数 .
①若 存在最大值，则实数 的一个取值为___________.
②若 无最大值，则实数 的取值范围是___________.
【答案】 ①. （答案不唯一，满足 即可） ②.
【解析】
【分析】利用导数可求得 的单调性和极值，由此可得 与 的图象，结合图象
分析即可得到结果.
【详解】令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减，
极大值为 ，极小值为 ；
令 ，即 ，解得： 或 ；
由此可作出 与 图象如下图所示，对于①，结合图象可知：若 存在最大值，则 ， 的一个取值为 ；
对于②，若 无最大值，只需 ，解得： ，即 ；
故答案为： （答案不唯一，满足 即可）； .
15. 已知在数列 中， ， ，其前n项和为 ．给出下列四个结论：
① 时， ；
② ；
③当 时，数列 是递增数列；
④对任意 ，存在 ，使得数列 成等比数列．
其中所有正确结论的序号是___________．
【答案】①②④
【解析】
【分析】①依题意可得 ，即可求出 ，②表示出 ，根据二次函数的性质即可判断；利用特殊
值判断③，④利用构造法构造数列 成等比数列，即可得到结论；
【详解】解：①当 时， ，则 ，即 ，则 ，
则 ， ，
则 ；故①正确．
②因为 ， ，所以 ， ，
即 ，故②正确；
③当 时，不妨设 ，
则由 ， ，
得 ，
则 ，
则 ，故数列 是递增数列错误；故③错误．
④设 ，
则 ，
，
，即
存在 ，数列 成等比数列，此时公比 ；故④正确；
故答案为：①②④
三､解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.
16. 如图，平面 平面 ， ， ， 、 分别为 、 的中点， ，
．（1）设平面 平面 ，判断直线l与 的位置关系，并证明；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】（1）l∥PC，证明见解析；
（2） ．
【解析】
【分析】(1)根据线面平行的判断定理和性质定理即可判断；
(2)以O为原点，OB、OC、OP分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，求出各点坐标，利用向量法即可
求出直线 与平面 所成角的余弦值和正弦值．
【小问1详解】
∵ 、 分别为 、 的中点，∴在△APC中，DO∥PC，
∵DO 平面BOD，PC 平面BOD，∴PC∥平面BOD，
∵PC 平面PBC，平面PBC∩平面BOD=l，∴根据线面平行的性质定理可知PC∥l；
【小问2详解】
∵AB=BC，O是AC中点，∴BO⊥AC，
∵平面 平面 ，平面 平面 =AC，BO 平面ABC，
∴BO⊥平面APC，同理∵AP=PC，∴PO⊥AC，PO垂直平面ABC，
故OB、OC、OP三线两两垂直，故可以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系．由题可知AC=8，AB=BC= ，OA=OC=OB=4，OP=3，
则 ， ， ， ，
则 ， ， ，
设平面BOD的法向量为 ，
则 ，取 ，则 ，则 ，
，
∴直线 与平面 所成角的正弦值 ．
17. 已知函数 ，且 的最小正周期为 ，再从条件①、条件
②、条件③中选择两个作为一组已知条件.
（1）求 的解析式；
（2）设 ，若 在区间 上的最大值为 ，求 的最小值．
条件①： 的最小值为 ；
条件②： 的图象经过点 ；
条件③；直线 是函数 的图象的一条对称轴.
注：如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】（1）由最小正周期可得 ，再根据所选条件，结合正弦函数的性质求 ，即可得解析式；
（2）由（1）及和差角正弦公式可得 ，根据区间最值及正弦函数性质求参数m的范
围，即可得结果.
【小问1详解】
由题意 ，可得 ，
选①②：由 的最小值为 ，则 ，故 .
又 ，即 且 ，所以 .
所以 .
选①③：由 的最小值为 ，则 ，故 .
因为 是 的一条对称轴，则 ， ，
所以 ， 且 ，则 .
所以 .
选②③：因为 是 的一条对称轴，则 ， ，所以 ， 且 ，则 .
所以 .
又 ，则 .
所以 .
【小问2详解】
，
上 ， 的最大值为 ，则 ，可得 ，
所以 的最小值为 .
18. 电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类
电影部数 140 50 300 200 800 510
好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
假设所有电影是否获得好评相互独立．
（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；
（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“ ”表示第k类电影
得到人们喜欢，“ ”表示第k类电影没有得到人们喜欢（k=1，2，3，4，5，6）．写出方差 ，
， ， ， ， 的大小关系．为
【答案】(1) 概率 0.025
(2) 概率估计为0.35
(3) > > = > >
【解析】
【详解】分析：(1)先根据频数计算是第四类电影的频率，再乘以第四类电影好评率得所求概率，(2) 恰有
1部获得好评为第四类电影获得好评第五类电影没获得好评和第四类电影没获得好评第五类电影获得好评
这两个互斥事件，先利用独立事件概率乘法公式分别求两个互斥事件的概率，再相加得结果，(3) 服从
0-1分布，因此 ，即得 > > = > > ．
详解：解：（Ⅰ）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000，
第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50．
故所求概率为 ．
（Ⅱ）设事件A为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”，
事件B为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”．
故所求概率为P（ ）=P（ ）+P（ ）
=P（A）（1–P（B））+（1–P（A））P（B）．
由题意知：P（A）估计为0.25，P（B）估计为0.2．
故所求概率估计为0.25×0.8+0.75×0.2=0.35．
（Ⅲ） > > = > > ．
点睛：互斥事件概率加法公式：若A,B互斥，则P(A+B)=P(A)+P(B)，独立事件概率乘法公式:若A,B相互
独立，则P(AB)=P(A)P(B).
19. 已知椭圆 的长轴长为 ， 为坐标原点.
（1）求椭圆 的方程和离心率.
（2）设点 ，动点 在 轴上，动点 在椭圆 上，且点 在 轴的右侧.若 ，求四边形
面积的最小值.,
【答案】（1） ；
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知，将椭圆方程转化为标准形式，确定其长轴、短轴，并求出参数 的值，从而
求出椭圆方程及其离心率；
（2）根据题意，易知 ，通过动点 的坐标求出点 的坐标，将四边形 分割成三角形
和三角形 进行运算即可.
【小问1详解】
由题意知椭圆 ，
所以 ， ，
故 ，
解得 ，
所以椭圆 的方程为 .
因为 ，
所以离心率 .
【小问2详解】
设线段 的中点为 .
为
因 ，所以 .由题意知直线 的斜率存在，
设点 的坐标为 ，
则点 的坐标为 ，直线 的斜率 ，
所以直线 的斜率 ，
故直线 的方程为 .
令 ，得 ，故 .
由 ，得 ，化简得 .
因此，
．
当且仅当 时，即 时等号成立．
故四边形 面积的最小值为 ．20. 已知函数 ．
（1） 时，求函数 在 处的切线方程；
（2）讨论函数 的单调性；
（3）证明不等式 恒成立．
【答案】（1）
（2）当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）求出切点坐标，用导数的几何意义求出切线斜率即可求解；
（2）求出导函数后对 的值进行分情况讨论即可求；
（3）用切线不等式可证得结果.
【小问1详解】
时， ，依题意切点坐标为 ，
，所以函数 在 处的切线的斜率为 ，
故函数 在 处的切线方程为 ，即 .
【小问2详解】
的定义域为 ， ，
当 时， 恒成立，所以 在 上单调递增；
当 时，令 ，得 ，时， ， 单调递增，
时， ， 单调递减.
综上所述，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
【小问3详解】
要证 恒成立，即证 恒成立，
令 ， ，由（2）可知，
在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 恒成立，
即有 时 恒成立，当且仅当 时取“=”号，
亦有 即 恒成立，当且仅当 ，即 时取“=”号.
所以一方面 ，当且仅当 ，即 时取“=”号，
另一方面 恒成立，当且仅当 时取“=”号，
所以 恒成立，原不等式得证.
21. 若数列 和 的项数均为 ，则将数列 和 的距离定义为 .
（1）求数列 ， ， ， 和数列 ， ， ， 的距离.
（2）记 为满足递推关系 的所有数列 的集合，数列 和 为 中的两个元素，且
项数均为 .若 ， ，数列 和 的距离小于 ，求 的最大值.（3）记 是所有 项数列 （其中 ， 或 ）的集合， ，且 中的任何两个元素的
距离大于或等于 .求证： 中的元素个数小于或等于 .
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，将两数列对应代入计算，问题即可得解；（2）由题意，根据递推关系，不难发
现数列 是以4为周期的数列，由此可确定数列 亦为周期数列，由其首项即可知对应数列各
项，依据定义当项数 越大时，其距离也呈周期性且越大，从而问题可得解；（3）根据题意，这里可以
考虑采用反证法来证明，首先假设问题不成立，再通过特殊赋值法，依据定义进行运算，发现与条件相矛
盾，从而问题可得证.
【小问1详解】
解：由题意可知，数列 ， ， ， 和数列 ， ， ， 的距离为
；
【小问2详解】
解：设 ，其中 且 .
由 ，
得 ， ， ， ，….
所以 ， ，….
因此集合 中的所有数列都具有周期性，且周期为 .
所以数列 中， ， ， ， ，数列 中， ， ， ， .
因为 ，
所以项数 越大，数列 和 的距离越大.
因为 ，
而 ，
因此，当 时， .
故 的最大值为 .
【小问3详解】
假设 中的元素个数大于或等于17.
因为数列 中， 或1，
所以仅由数列前三项组成的数组（ ， ， ）有且只有8个：（0，0，0），（1，0，0），（0，1，
0），（0，0，1），（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1），（1，1，1）.
那么这17个元素之中必有3个具有相同的 ， ， .
设这3个元素分别为 ： ， ， ， ， ， ， ； ： ， ， ， ， ， ， ；
： ， ， ， ， ， ， ，其中 ， ， .
因为这3个元素中每两个元素的距离大于或等于3，
所以在 与 中， 至少有3个成立.
不妨设 ， ， .由题意得 ， 中一个等于0，另一个等于1.
又因为 或1，所以 和 中必有一个成立.
同理得： 和 中必有一个成立， 和 中必有一个成立，
所以“ 中至少有两个成立”和“ 中至少有两个成立”中必有一个
成立.
故 和 中必有一个成立，这与题意矛盾.
所以 中的元素个数小于或等于16.
