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专题 04 三角函数（新定义）
一、单选题
1．（2023秋·山东临沂·高一统考期末）我们学过度量角有角度制与弧度制，最近，有学者提出用“面度
制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称
这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制.在面度制下，角 的面度
数为 ，则角 的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据面度数的定义，可求得角 的弧度数，继而求得答案.
【详解】设角 所在的扇形的半径为r，则 ，
所以 ，
所以 ，
故选：D．
2．（2023秋·江苏苏州·高一统考期末）定义:正割 ，余割 .已知 为正实数，且
对任意的实数 均成立，则 的最小值为（ ）
A．1 B．4 C．8 D．9
【答案】D
【分析】利用已知条件先化简，分离参数，转化恒成立求最值问题
【详解】由已知可得 ，
即 .
因为 ，所以 ，则
，
当且仅当 时等号成立,故 ，
故选：D.
3．（2022·全国·高一专题练习）密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000份，每一份叫做1密
位的角．在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条
短线，如7密位写成“0-07”，478密位写成“4-78”．若 ，则角 可取的值用密
位制表示错误的是（ ）
A．12-50 B．2-50 C．13-50 D．32-50
【答案】C
【分析】根据同角三角函数的基本关系及二倍角公式求出 ，再根据所给算法一一计算各选项，即可判断；
【详解】解：因为 ，
即 ，
即 ，所以 ，所以 ，或 ，
解得 或
对于A：密位制 对应的角为 ，符合题意；
对于B：密位制 对应的角为 ，符合题意；
对于C：密位制 对应的角为 ，不符合题意；
对于D：密位制 对应的角为 ，符合题意；
故选：C
4．（2022秋·山东青岛·高三山东省青岛第五十八中学校考阶段练习）计算器是如何计算 ， ， ，， 等函数值的呢？计算器使用的是数值计算法，其中一种方法是用容易计算的多项式近似地表示这
些函数，通过计算多项式的值求出原函数的值，如 ， ，
其中 ，英国数学家泰勒发现了这些公式，可以看出，右边的项用得越多，计算得出的 和
的值也就越精确.运用上述思想，可得到 的近似值为（ ）
A．0.50 B．0.52 C．0.54 D．0.56
【答案】C
【分析】将 化为 ，根据新定义，取 代入公式 中，直接计算
取近似值即可．
【详解】由题意可得， ，
故
，
故选： ．
5．（2022春·广东中山·高二统考期末）密位制是度量角与弧的常用制度之一，周角的 称为1密位.用
密位作为角的度量单位来度量角与弧的制度称为密位制.在密位制中，采用四个数字来记角的密位，且在百
位数字与十位数字之间加一条短线，单位名称可以省去，如15密位记为“00—15”，1个平角＝30—00，1
个周角＝60—00，已知函数 ， ，当 取到最大值时对应的x用密位制表
示为（ ）
A．15—00 B．35—00 C．40—00 D．45—00
【答案】C
【分析】利用导数研究 在给定区间上的最大值，结合题设密位制定义确定 取到最大时x用密位制.
【详解】由题设， ，在 时 ，在 时 ，所以 在 上递增，在 上递减，即 ，
故 取到最大值时对应的x用密位制表示为40—00.
故选：C
6．（2022春·云南昆明·高二校考期末）在平面直角坐标系xOy中，P（x，y）（xy≠0）是角α终边上一点，
P与原点O之间距离为r，比值 叫做角α的正割，记作secα；比值 叫做角α的余割，记作cscα；比值
叫做角α的余切，记作cotα．四名同学计算同一个角β的不同三角函数值如下：甲： ；乙：
；丙： ；丁： ．
如果只有一名同学的结果是错误的，则错误的同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【分析】当甲错误时，乙一定正确，从而推导出丙、丁均错误，与题意不符，故甲一定正确；再由丙丁必
有一个错误，得到乙一定正确，由此利用三角函数的定义能求出结果．
【详解】解：当甲： 错误时，乙： 正确，
此时 ，r＝5k，y＝3k，则|x|＝4k，（k＞0），
或 ，
∴丙： 不正确，丁： 不正确，故错误的同学不是甲；
甲： ，从而r＝5k，x＝﹣4k，|y|＝3k，（k＞0），
此时，乙： ；丙： ；丁： 必有两个正确，一个错误，
∵丙和丁应该同号，∴乙正确，丙和丁中必有一个正确，一个错误，
∴y＝3k＞0，x＝﹣4k＜0， ，
故丙正确，丁错误，综上错误的同学是丁．
故选：D．
7．（2023秋·湖南邵阳·高一统考期末）设 ，定义运算 ，则函数
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由定义先得出 ，然后分 ， 两种情况分别求出
的最小值，从而得出答案.
【详解】由题意可得
当 时，即
则 ，即
此时当 时， 有最小值为
当 时，即
则 ，即
此时，
所以 的最小值为
故选：B
8．（2023秋·浙江杭州·高一浙江大学附属中学校考期末）正割 及余割 这两个概念是由伊朗数学家阿布尔 威发首先引入的．定义正割 ，余割 ．已知 为正实数，且
对任意的实数 均成立，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由参变量分离法可得出 ，利用基本不等式可求得 的取值范围，即可
得解.
【详解】由已知可得 ，可得 ，
因为 ，则 ，
因为
，
当且仅当 时，等号成立，故 .
故选：D.
9．（2022春·江西景德镇·高二景德镇一中校考期中）对集合 和常数 ，把
定义为集合 相对于 的“正弦方差"，则集
合 相对于 的“正弦方差”为（ ）
A． B． C． D．与 有关的值
【答案】C【分析】先确定集合 相对于 的“正弦方差”的表达式，再利用半角公式，两角和与差的余
弦公式化简可得结果.
【详解】由题知，集合 相对于 的“正弦方差”为
把 ， ，
，代入上式整理得， .
故选：C.
10．（2022秋·山东·高三山东聊城一中校联考阶段练习）现有如下信息：
（1）黄金分割比（简称：黄金比）是指把一条线段分割为两部分，较短部分与较长部分的长度之比等于
较长部分与整体长度之比，其比值为
（2）黄金三角形被誉为最美三角形，是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形．
（3）有一个内角为 的等腰三角形为黄金三角形，
由上述信息可求得 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】如图作三角形，先求出 ，再求出 的值.【详解】如图，等腰三角形 ， , ，取 中点 连接 .
，
由题意可得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
故选：D
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是构造一个恰当的三角形，再解三角形求解.
11．（2021秋·四川巴中·高一校联考期末）定义运算 ，如果
的图像的一条对称轴为 满足等式 ，则 取
最小值时，函数 的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】根据 ，利用切化弦和同角三角函数关系转化成 的二次方程，可求出 的值，结
合对称轴可求出 ，最后利用周期公式进行求解即可．
【详解】 ，
因为 ，所以 ，
即 ， ，
所以 ，解得 或 （舍去），
而 ，所以 ，
即 ，
而 的图象的一条对称轴为 ，
所以 ，
即 ， ，
解得 ， ，
所以正数 取最小值为 ，此时函数 的最小正周期为 ．
故选： ．
12．（2020·全国·高三校联考阶段练习）对于集合 ，定义：
为集合 相对于 的“余弦方差”，则集合
相对于 的“余弦方差”为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据所给“余弦方差”定义公式，代入集合中的各元素，即可得 的表达式，结合余弦降幂公式
及诱导公式化简，即可求解.
【详解】由题意可知，集合 相对于 的“余弦方差”代入公式可得
因为
所以原式 ，
故选：B.
【点睛】本题考查了新定义应用，降幂公式及诱导公式化简三角函数式的应用，属于中档题.
13．（2020秋·江西宜春·高三奉新县第一中学校考阶段练习）已知函数 的图象与直
线 的相邻交点间的距离为 ，若定义 ，则函数 ， 在区间 内的图象是
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题知 ，利用 求出 ，再根据题给定义，化简求出 的解析式，
结合正弦函数和正切函数图象判断，即可得出答案.
【详解】根据题意， 的图象与直线 的相邻交点间的距离为 ，
所以 的周期为 ， 则 ，
所以 ，
由正弦函数和正切函数图象可知 正确.
故选：A.
【点睛】本题考查三角函数中正切函数的周期和图象，以及正弦函数的图象，解题关键是对新定义的理解.
14．（2022春·陕西延安·高一校考阶段练习）对于函数 ，在使 成立的所有常数 中，我们
把 的最大值称为函数 的“下确界”.若函数 ， 的“下确界”为
，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由下确界定义， ， 的最小值是 ，由余弦函数性质可得．
【详解】由题意 ， 的最小值是 ，
又 ，
由 ，得 ，
， ，
时， ，
所以 ．
故选：A．
【点睛】本题考查新定义，由新定义明确本题中的下确界就是函数的最小值．可通过解不等式确定参数的
范围．
15．（2020·全国·高一假期作业）如果函数 在区间 上是凸函数，那么对于区间 内的任意 ， ，
…， ，都有 ，若 在区间 上是凸函数，那么
在 中， 的最大值是（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【分析】利用“凸函数”的定义得到恒成立的不等式，利用三角形的内角和为 ，即可求出最大值．
【详解】因为 在区间 ， 上是“凸函数”，
所以得
即： 的最大值是
故选：D.
【点睛】本题考查理解题中的新定义，并利用新定义求最值，还运用三角形的内角和．
二、多选题
16．（2022·全国·高一专题练习）定义： 为集合
相对常数 的“余弦方差”.若 ，则集合 相对 的“余弦方差”的取
值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】根据所给定义及三角恒等变换公式将函数化简，再根据 的取值范围，求出 的取值范围，
再根据正弦函数的性质计算可得.
【详解】解：依题意，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ；
故选：ABC
17．（2021秋·全国·高三校联考期中）数学中一般用 表示a，b中的较小值， 表示a，b
中的较大值；关于函数： ；
，有如下四个命题，其中是真命题的是（ ）
A． 与 的最小正周期均为
B． 与 的图象均关于直线 对称
C． 的最大值是 的最小值
D． 与 的图象关于原点中心对称
【答案】BD
【分析】先求出 ， ，结合函数 与 的图象即可求解
【详解】设
则 ，函数 与 的大致图象如下所示：
对A，由图知， 与 的最小正周期均为2π；故A错误；
对B，由图知， 为函数 与 的对称轴，故B正确.
对C， ，由图知∶函数 的值域为 ，函数 的值域为 ，故C错误；
对D，由图知， 与 的图象关于原点中心对称，故D正确；
故选：BD.
18．（2022·江苏·高一专题练习）已知角 和 都是任意角，若满足 ，则称 与 “广
义互余” 若 ，则下列角 中，可能与角 “广义互余”的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】由题可得 ，根据诱导公式化简计算判断每个选项即可.
【详解】若 与 广义互余，则 ，即 ．又由 ，可得 ．
对于A，若 与 广义互余，则 ，由 可得
与 可能广义互余，故A正确；
对于B，若 与 广义互余，则 ，由 可
得 ，故B错误；
对于C，综上可得 ， ，所以 ，由此可得C正确，D错误．
故选：AC．
19．（2022春·辽宁沈阳·高一沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）在数学史上，为了三角计算的简便并且
更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义 为角 的正矢，记作 ，定义
为角 的余矢，记作 ，则下列命题正确的是（ ）
A．
B．
C．若 ，则
D．函数 的最大值为
【答案】BC
【分析】利用诱导公式化简可得A错误，B正确；
化简已知等式得到 ，将所求式子化简为正余弦齐次式，由此可配凑出 求得结果，知C正确；
利用诱导公式化简整理得到 ，由此可知最大值为 ，知D错误.【详解】对于A， ，A错误；
对于B， ，B正确；
对于C， ，
，
C正确；
对于D，
，
当 时， ，D错误.
故选：BC.
【点睛】关键点点睛：本题考查了三角函数的新定义的问题，解题关键是能够充分理解已知所给的定义，
结合三角函数的诱导公式、正余弦齐次式的求解等知识来判断各个选项.
20．（2022秋·河南濮阳·高一濮阳一高校考期末）在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的
精确性，曾经出现过下列两种三角函数: 定义 为角 的正矢，记作 ， 定义 为角
的余矢，记作 ，则下列命题中正确的是（ ）
A．函数 在 上是减函数
B．函数 的最小正周期为
C．
D．【答案】AC
【分析】由余弦函数的单调性可判断A选项；验证得 ，可判断B选项；由定义的诱导公式
可判断C选项；取 ，代入验证可判断D选项.
【详解】因为 ，而 在 上是增函数，所以函数
在 上是减函数，故A正确；
函数 ，所以 ，所以B错误；
，故C正确；
取 ， ，
，
所以 ，
故D错误,
故选：AC.
【点睛】本题考查函数的新定义，三角函数的诱导公式，同角三角函数间的关系，余弦函数的性质，属于
中档题.
三、填空题
21．（2023·高一课时练习）我们规定把 叫做 对 的余弦方差，
那么对任意实数B，B对 的余弦方差是______．
【答案】 ##
【分析】根据余弦方差的定义求得正确答案.【详解】依题意，B对 的余弦方差是：
.
故答案为：
22．（2022·全国·高一专题练习）已知 都是定义在 上的函数，若存在实数 ，使得
，则称 是 ， 在 上生成的函数.
若 ，以下四个函数中：
① ； ② ；
③ ； ④ .
所有是 在 上生成的函数的序号为________.
【答案】①②③
【分析】根据两角差的余弦公式、二倍角公式，结合题中定义逐一判断即可.
【详解】 .
①： ，因此有 ，所以本函数是 在 上生成的函数；
②： ，
因此有 ，本函数是 在 上生成的函数；
③： ，
因此有 ，本函数是 在 上生成的函数；
④： ，
显然不存在实数 ，使得 成立，
因此本函数不是 在 上生成的函数，
故答案为：①②③
23．（2021春·江苏淮安·高一校联考阶段练习）形如 的式子叫做行列式，其运算法则为
，则行列式 的值是___________.
【答案】
【分析】根据新定义计算即可．
【详解】由题意 ．
故答案为 ．
24．（2023·高一课时练习）若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数．给出下列四个函数：① ；② ；③ ；④
．其中“同形”函数有__________．（选填序号）
【答案】①②
【分析】利用三角恒等变换转化函数解析式，对比各函数的最小正周期及振幅即可得解.
【详解】由题意， ， ，
四个函数的最小正周期均相同，但振幅相同的只有①，②，
所以“同形”函数有①②.
故答案为：①②.
25．（2023·高一课时练习）在直角坐标系中，横､纵坐标均为整数的点叫格点.若函数 的图像恰好
经过 个格点，则称函数 为 阶格点函数.在 上，下列函数中，为一阶格点函数的是
___________.(选填序号)① ；② ；③ ；④
【答案】①②③
【分析】根据题目定义以及各函数的图象与性质即可判断．
【详解】当 时，函数 ， 的图象只经过一个格点 ，符合题意；
函数 的图象只经过一个格点 ，符合题意；函数 的图象经过七个格点，
，不符合题意．
故答案为：①②③．
26．（2022春·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校考开学考试）在平面直角坐标系 中，已知任意角
以坐标原点 为顶点， 轴的非负半轴为始边，若终边经过点 ，且 ，定义：
，称“ ”为“正余弦函数”，对于“正余弦函数 ”，有同学得到以下性质：①该函数的值域为 ； ②该函数的图象关于原点对称；
③该函数的图象关于直线 对称； ④该函数为周期函数，且最小正周期为 ；
⑤该函数的递增区间为 .
其中正确的是__________．（填上所有正确性质的序号）
【答案】①④⑤.
【详解】分析：根据“正余弦函数”的定义得到函数 ，然后根据三角函数的图象与
性质分别进行判断即可得到结论．
详解：①中，由三角函数的定义可知 ，
所以 ，所以是正确的；
②中， ，所以 ，所以函数关于原点对称是错误的；
③中，当 时， ，所以图象关于 对称是错误的；
④中， ，所以函数为周期函数，且最小正周期为 ，所以是正确的；
⑤中，因为 ，令 ，
得 ，即函数的单调递增区间为 ，所以是正确的，
综上所述，正确命题的序号为①④⑤．
点睛：本题主要考查了函数的新定义的应用，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中根据函数的
新定义求出函数 的表达式是解答的关键，同时要求熟练掌握三角函数的图象与性质是解答额基础，
着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．
27．（2015秋·广东揭阳·高一统考期中）定义一种运算 ，令 ，且 ，则函数 的最大值是_______________
【答案】
【详解】试题分析：：∵ ，∴0≤sinx≤1
∴
由题意可得，
函数的最大值
考点：三角函数的最值
四、解答题
28．（2023春·云南文山·高一校考阶段练习）人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人
脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，
在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦
距离.若二维空间有两个点 ， ，则曼哈顿距离为： ，余弦相似
度为： ，余弦距离为
(1)若 ， ，求A，B之间的曼哈顿距离 和余弦距离；
(2)已知 ， ， ，若 ， ，求
的值
【答案】(1) ，
(2)【分析】（1）根据公式直接计算即可.
（2）根据公式得到 ， ，计算得到答案.
【详解】（1） ，
，故余弦距离等于 ；
（2）
；
故 ， ，则 .
29．（2023·高一课时练习）知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此
边长与角的大小之间可以相互转化．与之类似，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等
腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对 ．如图，在 中， ．顶角 的正对记作 ，
这时 ．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述对角的正对定义，解下列问题：
(1) 的值为（ ）
A． B． C． D
．
(2)对于 ， 的正对值 的取值范围是______．
(3)已知 ，其中 为锐角，试求 的值．
【答案】(1)B
(2)
(3)
【分析】（1）在等腰 中，取 ， ，利用正对的定义可得出 的值；
（2）在等腰 中， ，取 的中点 ，连接 ，则 ，推导出 ，结合
正弦函数的基本性质可求得 的取值范围；
（3）利用同角三角函数的基本关系求出 ，利用二倍角公式可求得 ，由此可得出 的
值.
【详解】（1）解：在等腰 中， ， ，则 为等边三角形，
所以， ，
故选：B.
（2）解：在等腰 中， ，取 的中点 ，连接 ，则 ，则 ，
因为 ，则 ，故 .
故答案为： .
（3）解： ，则 ，所以， ，
所以， ，因此， .
30．（2020秋·全国·高三校联考阶段练习）若函数 ，平面内一点坐标
，我们称 为函数 的“相伴特征点”， 为 的“相伴函数”．
（1）已知 ，求函数 的“相伴特征点”；
（2）记 的“相伴函数”为 ，将 图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 倍（横坐标不
变），再将所得图象上所有点横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），再将所得的图象上所有点向右平移
个单位长度，得到函数 ，作出 在 上的图象．【答案】（1） ；（2）作图见解析.
【分析】（1）利用二倍角的降幂公式化简得出 ，由此可得出函数 的“相伴
特征点”的坐标；
（2）由题中定义可得出 ，利用三角函数图象变换得出 ，然后通过
列表、描点、连线，可得出函数 在区间 上的图象.
【详解】（1） ，
故函数 的“相伴特征点”为 ；
（2）由题意可得 ，
将函数 图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 倍（横坐标不变），得到函数 的图
象，
再将所得图象上所有点横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），可得到函数 的图象，
再将所得的图象上所有点向右平移 个单位长度，可得到函数的图象，
当 时， ，列表如下：
故函数 在 上的图象如下图所示.
【点睛】本题考查三角函数的新定义、利用三角函数图象变换求解析式，同时也考查了五点作图法，考查
分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
五、双空题
31．（2022秋·内蒙古包头·高一统考期末）对任意闭区间 ， 表示函数 在区间 上的最
大值，则 ______，若 ，则 的值为______．【答案】 1； 或
【分析】由题可得 ，故 1；对t分类讨论，利用正弦函数的性质得出符合条件的t即
可.
【详解】当 时， ，
∴当 时， ，
∴ 1；
当 ，即 时， ， ，
这与 矛盾，
当 且 ，即 时， ，
或 ，
由 可得， 或 ，
所以 或 ，
当 ，即 时， ， ，这与 矛盾；
综上所述， 的值为 或 .
故答案为：1； 或 .
32．（2019秋·北京海淀·高三人大附中校考阶段练习）已知集合 是满足下列性质的函数 的全体，
存在非零常数 ，对任意 ，有 成立．
（1）给出下列两个函数： ， ，其中属于集合 的函数是__________．（2）若函数 ，则实数 的取值集合为__________．
【答案】
【分析】（1）根据集合 的性质判断．
（2）根据集合 的性质求解，由 恒成立成立，只有 ，
【详解】（1）若 ，则存在非零点常数 ，使得 ，则 ，
对 恒成立，这是不可能的， ；
若 ，则存在非零点常数 ，使得 ，则 ，对 恒成立， ，
；
（2）函数 ，则存在非零点常数 ，使得 ，即 ，
时， ，
时，由 知 ， ， ， ，因此要使
成立，只有 ，
若 ，则 ， ，
若 ，则 ，即 ， ， ，
综上实数 的取值范围是 ．
故答案为： .
【点睛】本题考查新定义问题，此类问题的特点是解决问题只能以新定义规则为依据，由新定义规则把问
题转化，转化为熟悉的问题进行解决．
