文档文本内容
5.1任意角和弧度制
1. 任意角；2. 终边相同的角；3. 终边在某条直线上的角的集合；4. 区域角的表示；5. 分角、倍角所
在角限的判断；6. 有关“角度”与“弧度”概念的理解；7. 角度制与弧度制的转化； 8. 用弧度制表示
区域角；9. 求扇形面积最值的函数思想.
一、单选题
1．（2021·伊美区第二中学高一月考） 化为弧度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
2．（2021·广东高一期末）下列各角中，与2021°终边相同的角为（ ）
A．41° B．129° C．219° D．﹣231°
【答案】C
【解析】
因为 ，
所以 与2021°终边相同.
故选：C.
3．（2021·永昌县第四中学高一期末）若α是第四象限角，则180°＋α一定是( )
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】B
【解析】
∵α是第四象限角，∴k·360°－90°<α<k·360°.
∴k·360°＋90°<180°＋α<k·360°＋180°. ∴180°＋α在第二象限，故选B.
4．（2021·江西省铜鼓中学高一期末）一个扇形的圆心角为150°，面积为 ，则该扇形半径为
（ ）
A．4 B．1 C． D．2
【答案】D
【解析】
圆心角为 ，设扇形的半径为 ，
，
解得 .
故选：D
5．（2021·永州市第四中学高一月考）在 的范围内，与 终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
因为 ,
则在 的范围内，与 终边相同的角是 ,
故选：B.
6．（2021·山西平城·大同一中高一月考）已知扇形的周长为12cm，圆心角为 ，则此扇形的面积为
（ ）．
A．8cm2 B．10cm2 C．12cm2 D．14cm2
【答案】A
【解析】
设扇形的半径为 cm，
∵扇形的周长为12cm，圆心角为 ，∴ ，得 ，
∴此扇形的面积 （cm2），
故选：A．
7．（2021·河南林州一中高一月考）已知集合A＝{α|α小于90°}，B＝{α|α为第一象限角}，则
A∩B＝( )
A．{α|α为锐角} B．{α|α小于90°}
C．{α|α为第一象限角} D．以上都不对
【答案】D
【解析】∵A＝{α|α小于90°}，B＝{α|α为第一象限角}，
∴A∩B＝{小于90°且在第一象限的角}，
对于A：小于90°的角不一定是第一象限的，不正确，比如﹣30°；
对于B：小于90°的角且在第一象限的角不一定是0°～90°的角，不正确，例如﹣300°；
对于C：第一象限的角不一定是小于90°的角且在第一象限的角，不正确，例如380°，
故选D．
8．（2021·科尔沁左翼后旗甘旗卡第二高级中学高一期末）已知半径为1的扇形面积为 ，则扇形的圆
心角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 得 ，所以 ，
故选：C.
9.（2021·山东潍坊·高一期末）已知某扇形的半径为 ，圆心角为 ，则此扇形的面积为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，某扇形的半径为 ，圆心角为 ，根据扇形的面积公式，可得
所以此扇形的面积为 .
故选：B.
10．（2021·四川德阳·高三其他（理））将一条闭合曲线放在两条平行线之间，无论这条闭合曲线如何
运动，只要它与两平行线中的一条直线只有一个交点，就必与另一条直线也只有一个交点，则称此闭合曲
线为等宽曲线，这两条平行直线间的距离叫等宽曲线的宽比．如圆所示就是等宽曲线．其宽就是圆的直径．
如图所示是分别以 、 、 为圆心画的三段圆弧组成的闭合曲线 （又称莱洛三角形），下列关于曲
线 的描述中，正确的有（ ）
（1）曲线 不是等宽曲线；
（2）曲线 是等宽曲线且宽为线段 的长；
（3）曲线 是等宽曲线且宽为弧 的长；
（4）在曲线 和圆的宽相等，则它们的周长相等；
（5）若曲线 和圆的宽相等，则它们的面积相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】
若曲线 和圆的宽相等，设曲线 的宽为 ，则圆的半径为 ，
（1）根据定义，可以得曲线 是等宽曲线，错误；
（2）曲线 是等宽曲线且宽为线段 的长，正确；
（3）根据（2）得（3）错误；
（4）曲线 的周长为 ，圆的周长为 ，故它们的周长相等，正确；
（5）正三角形的边长为1，则三角形对应的扇形面积为 ，正三角形的面积 ，
则一个弓形面积 ，
则整个区域的面积为 ，
而圆的面积为 ，不相等，故错误；
综上，正确的有2个，
故选：B.
二、多选题
11.（2021·涟水县第一中学高一月考）下列四个选项正确的有（ ）
A． 角是第四象限角 B． 角是第三象限角
C． 角是第二象限角 D． 是第一象限角
【答案】ABCD
【解析】
对于 如图1所示， 角是第四象限角；
对于 如图2所示， 角是第三象限角；
对于 如图3所示， 角是第二象限角；
对于 如图4所示， 角是第一象限角.
故选： .
12．（2021·全国高一课时练习）下列与 角的终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】因为 ，
所以与 角的终边相同角为 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
综上，选项A、C、D正确.
故选：ACD.
13．（2021·全国高一课时练习）下列条件中，能使 和 的终边关于 轴对称的是（ ）
A． B．
C． D．
E.
【答案】BE
【解析】假设 、 为 内的角，
如图所示，因为 、 的终边关于 轴对称，所以 ，所以B满足条件；
结合终边相同的角的概念，可得 ，所以E满足条件，ACD都
不满足条件．
故选：BE.14．（2021·重庆高一月考）设 是第三象限角，则 所在象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】BD
【解析】 是第三象限角，
， ，
则 ， ，
令 ，
有 ， ；在二象限；
， ，
有 ， ；在四象限；
故选：B ．
三、填空题
15．（2021·宁县第二中学高一期中）已知角 的终边在图中阴影所表示的范围内（不包括边界），那么
________.【答案】 .
【解析】
在 范围内，终边落在阴影内的角 满足： 或
满足题意的角 为：
， ，
本题正确结果：
16．（2018·福建高一期中）已知扇形的面积为4，圆心角为2弧度，则该扇形的弧长为 ．
【答案】4
【解析】
设扇形半径为 ，弧长为 ，则 ，解得 ．
17．（2021·上海杨浦·复旦附中高一月考）一个面积为1的扇形，所对弧长也为1，则该扇形的圆心角
是________弧度
【答案】
【解析】
设扇形的所在圆的半径为 ，圆心角为 ，
因为扇形的面积为1，弧长也为1，
可得 ，即 ，解得 .故答案为：
四、双空题
18．（2021·上海高一课时练习） _________弧度； 弧度=________.
【答案】 80°
【解析】
根据角度制与弧度制的互化公式 ，
可得 ， .
故答案为： ， .
19．（2021·全国高一课时练习）（1）给出下列说法：
①锐角都是第一象限角；
②第一象限角一定不是负角；
③小于180°的角是钝角或直角或锐角.
其中正确说法的序号为________.(把正确说法的序号都写上)
（2）将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是________.
【答案】②
【解析】
（1）①锐角的范围为 是第一象限的角，命题①正确；
②第一象限角的范围为 ，故第一象限角可以为负角，故②错误；
③根据任意角的概念，可知小于180°的角，可以为负角，故③错误；
故答案为：②
（2）将时针拨快20分钟，则分针顺时针转过 ，即转过的度数为
故答案为：
20．（2021·浙江柯城·衢州二中高三一模）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧AB和其所对弦AB围成的图形，若弧田的弧AB长为
4π，弧所在的圆的半径为6，则弧田的弦AB长是__________，弧田的面积是__________．
【答案】6 12π﹣9
【解析】
∵如图，弧田的弧AB长为4π，弧所在的圆的半径为6，过 作 ，交 于 ，根据圆的几何
性质可知， 垂直平分 .
∴α＝∠AOB＝ ＝ ，可得∠AOD＝ ，OA＝6，
∴AB＝2AD＝2OAsin ＝2× ＝6 ，
∴弧田的面积S＝S ﹣S ＝ 4π×6﹣ ＝12π﹣9 ．
扇形OAB △OAB
故答案为：6 ，12π﹣9 ．
21．（2021·宁波市北仑中学高一期中）已知扇形的周长为40，当它的圆心角为____时，扇形的面积最大，
最大面积为____.
【答案】2 100
【解析】
设扇形半径为 ，则其弧长为 ， ，∴ ．∴ ，
∴ 时， ．此时圆心角为 ．
故答案为：2；100．
五、解答题
22．（2021·全国高一课时练习）写出与α＝－1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－
720°≤β＜360°的元素β写出来．
【答案】{β|β＝k·360°－1 910°，k∈Z}；元素β见解析
【解析】
与α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－1910°，k∈Z}．
∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k·360°－1 910°＜360°(k∈Z)，∴ (k∈Z)，故
取k＝4,5,6.
k＝4时，β＝4×360°－1910°＝－470°；
k＝5时，β＝5×360°－1910°＝－110°；
k＝6时，β＝6×360°－1910°＝250°.
23.（2021·全国高一课时练习）写出终边在直线 上的角的集合.
【答案】
【解析】
直线 的倾斜角为 ，
所以终边在直线 上的角为 或 ，
，综合得终边在直线 上的角为 ，
所以终边在直线 上的角的集合为 .
24.（2021·全国高一课时练习）已知 为第二象限角，则 是第几象限角？
【答案】第一或第三象限角
【解析】
∵ 是第二象限角，∴ ，
∴
.当 为偶数时， 是第一象限角；当 为奇数时， 是第三象限角．
所以 第一或第三象限角.
点睛:
确定 终边位置的方法步骤：(1)用终边相同角的形式表示出角 的范围；
(2)写出 的范围；(3)根据 的可能取值讨论确定 的终边所在位置
25．（2021·全国高一课时练习）已知如图．（1）写出终边落在射线 、 上的角的集合；
（2）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合．
【答案】（1）终边落在射线 上的角的集合为 ，终边落在射线 上的
角的集合为 ；
（2） .
【解析】
（1）终边落在射线 上的角的集合是 ，
终边落在射线 上的角的集合 ；
（2）终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是 .
26．（2021·全国高一课时练习）已知扇形AOB的圆心角α为 ，半径长R为6，求：
（1）弧AB的长；
（2）扇形所含弓形的面积.
【答案】（1）4π；（2）12π－9 .
【解析】
（1）l＝α·R＝ π×6＝4π，
所以弧AB的长为4π.
（2）S ＝ lR＝ ×4π×6＝12π.
扇形OAB
如图所示，过点O作OD⊥AB，交AB于点D， π＝120°，所以∠AOD＝60°，∠DAO＝30°，
于是有S ＝ ×AB×OD
△OAB
＝ ×2×6cos 30°×3＝9 .
所以弓形的面积为S －S ＝12π－9 .
扇形OAB △OAB
所以弓形的面积是12π－9 .
27．（2021·浙江高一课时练习）已知一扇形的圆心角为 ，所在圆的半径为R.
（1）若 ， ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
（2）若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角 等于多少弧度时，这个扇形的面积最大?
【答案】（1） ， ；（2） .
【解析】
（1）设扇形的弧长为l，弓形面积为S，则
， ， ，
.
（2）设扇形弧长为l，则 ，即 ，
∴扇形面积 ，
∴当 时，S有最大值 ，此时 ， .
因此当 时，这个扇形面积最大.
点睛:当周长C为定值时可得面积
当面积 为定值时可得周长 .
