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3.1 函数的概念及其表示方法
1. 函数概念的理解；2. 求函数的定义域；3. 求函数值（值域）；4. 函数的三种表示方法；5. 求函数
解析式；6. 分段函数的概念；7.分段函数的求值；8.函数的图象及应用；9. 分段函数与方程、不等式综
合问题
一、单选题
1．（2021·全国高一课时练习）设 ，则 等于（ ）
A．1 B．0 C．2 D．-1
【答案】C
【解析】
,
.
故选: C.
2．（2021·浙江南湖 嘉兴一中高一月考）下列函数中，与函数 有相同定义域的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
函数 的定义域为 ；函数 的定义域为 ；
函数 的定义域为 ；
函数 的定义域为R；
函数 定义域为 .所以与函数 有相同定义域的是 .故选：A.
3．（2021·浙江高一期中）函数 的定义域是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由题意可得： ，且 ，得到 ，且 ，
故选：D
4．（2021·全国高一课时练习）已知函数f(x－1)＝x2－3，则f(2)的值为( )
A．－2 B．6
C．1 D．0
【答案】B
【解析】
令 ，则 ,
,
,故选B.
5．（2021·全国高一课时练习）如果 ＝ ，则当x≠0，1时，f(x)等于（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
令 ＝t，则x＝ ，代入 ＝ ，
则有f(t)＝ ＝ .即 .
故选：B.
6．（2021·全国高一课时练习）已知函数y＝ ，则使函数值为 的 的值是（ ）
A． 或 B． 或
C． D． 或 或
【答案】C
【解析】
当 时，令 ，得 ，解得 ；
当 时，令 ，得 ，解得 ，不合乎题意，舍去.
综上所述， .
故选：C.
7．（2021·全国高一课时练习）设函数 若f（a）＝4，则实数a＝（ ）
A．－4或－2 B．－4或2
C．－2或4 D．－2或2
【答案】B【解析】
当 时， ，解得 ；当 时， ，解得 ，
因为 ，所以 ，综上， 或 ，故答案选
8．（2021·全国高一）函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
令 ，且 ，
则 ，函数转化为
由 ，则 ，即值域为
故选：A.
9．（2021·浙江高一课时练习）下列函数中，不满足： 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
A中 ，B中 ，C中 ，D中
10．（2021·浙江高一课时练习）设函数 的定义域是 ，则函数
的定义域为（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【解析】
由
得
故选：A
二、多选题
11．（2021·广东禅城 佛山一中高一月考）下列四个图形中可能是函数y＝f（x）图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】
在A，D中，对于定义域内每一个 都有唯一的 与之相对应，满足函数关系，
在B，C中，存在一个 有两个 与 对应，不满足函数对应的唯一性，
故选AD.
12．（2021·历下 山东师范大学附中高一学业考试）已知 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】由 ，令 ，可得 ，
可得： ，即： ，故C不正确，B正确；
可得： ，故A 正确； 故D不正确；
故选：AB.
13．（2021·江苏姑苏 苏州中学高一期中）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
【答案】AC
【解析】
对A, ,故A正确.
对B, 定义域为 , 定义域为 ,故B错误.
对C, ,故C正确.
对D, 定义域为 ,解得 或 . 定义域为
即 .故D错误.
故选：AC
14．（2021·全国高一课时练习）已知函数 ，关于函数 的结论正确的是（
）A． 的定义域为 B． 的值域为
C． D．若 ，则x的值是
E. 的解集为
【答案】BD
【解析】
由题意知函数 的定义域为 ，故A错误；
当 时， 的取值范围是 ，当 时， 的取值范围是 ，因此 的值
域为 ，故B正确；
当 时， ，故C错误；
当 时， ，解得 （舍去），当 时， ，解得
或 （舍去），故D正确；
当 时， ，解得 ，当 时， ，解得 ，因此 的解集为
；故E错误.
故选：BD.
三、填空题
15．（2021·全国高一课时练习）下列对应或关系式中是A到B的函数的序号为________.
① ， ；
②A＝{1，2，3，4}，B＝{0，1}，对应关系如图：③ ， ；
④ ， .
【答案】②
【解析】
① ， ，存在 对应两个 的情况，所以不是A到B的函数；
②符合函数的定义，是A到B的函数；
③ ， ，对于集合A中的 没有对应 ，所以不是A到B的函数；
④ ， ，对于集合A中的 没有对应 ，所以不是A到B
的函数.
故答案为：②
16．（2021·浙江南湖 嘉兴一中高一月考）已知，若 ，则 ______________.
【答案】
【解析】
时， ，∴由 知 ，∴ ， ，
而 ，因此由 知 ，即 ， ．故答案为： ．
17．（2021·全国高一课时练习）已知 则不等式 的解集是________.
【答案】
【解析】
当 时， ，代入 ，解得 ，∴ ；
当 时， ，代入 ，解得 ，∴ ；
综上可知 .
故答案为： .
四、双空题
18．（2021·全国高一课时练习）已知f(x)＝ (x≠－1)，g(x)＝x2＋2，则f（2）＝________，f(g
（2）)＝________.
【答案】
【解析】
因为 ，故可得 ；
又 ，故可得 ；
故 .
故答案为： ； .19．（2021·安达市第七中学高一月考）设 表示不超过 的最大整数，已知函数 ，则
________ ；其值域为_________.
【答案】
【解析】
作出函数 的图像，如图所示，由图可知 ，其值域为 ，
故答案为(1). (2).
20．（2021·浙江高一期中）设函数 ，则 ____，使得 的实
数 的取值范围是_____．
【答案】4
【解析】
因为 ，所以 ，因此 ；
当 时， 可化为 ，即 显然恒成立，所以 ；
当 时， ，解得 ；综上， .
故答案为4；
21．（2021·首都师范大学附属中学高一期中）已知函数 .（1）当 1时，函
数 的值域是___________；（2）若函数 的图像与直线 只有一个公共点，则实数 的取值范
围是_______________.
【答案】
【解析】
（1）当 1时，
当 时，
当 时，
所以函数 的值域是
（2）因为当 时， ，所以只需函数 的图像与直线 只有一个公
共点，
当 ，即 时，所以当 时，函数 的图像与直线 只有
一个公共点，
当 ，即 或 时，所以当 或 ，即 ，从而函数
的图像与直线 无公共点，
因此实数 的取值范围是
故答案为：(1). (2).
五、解答题22．（2021·全国高一课时练习）求下列函数的定义域.
（1）y＝3－ ；
（2）y＝ － ；
（3）y＝ ；
（4）y＝ － ＋ .
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） .
【解析】
（1）因为函数y＝3－ 为一次函数，
所以该函数的定义域为全体实数 ；
（2）由题意可得 ，解得 ，
所以该函数的定义域为 ；
（3）由题意得 ，解得 且 ，
所以该函数的定义域为 ；
（4）由题意得 ，解得 且 ，
所以该函数的定义域为 .23．（2021·全国高一课时练习）已知
（1）画出f(x)的图象；
（2）若 ，求x的值；
（3）若 ，求x的取值范围.
【答案】（1）作图见解析；（2） ；（3）
【解析】
（1）函数 的对称轴 ，当 时， ；当 时， ；当 时， ，则
f(x)的图象如图所示.
（2） 等价于 ①或 ②或 ③
解①得 ，②③的解集都为
∴当 时， .
（3）由于 ，结合此函数图象可知,使 的x的取值范围是
24．（2021·全国高一课时练习）根据下列条件，求f(x)的解析式.
（1）f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9；（2）f(x＋1)＝x2＋4x＋1；
（3） .
【答案】（1）f(x)＝x＋3；（2）f(x)＝x2＋2x－2；（3）
【解析】
（1）解由题意，设f(x)＝ax＋b(a≠0)
∵3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9
∴3a(x＋1)＋3b－ax－b＝2x＋9，
即2ax＋3a＋2b＝2x＋9，
由恒等式性质，得
∴a＝1，b＝3
∴所求函数解析式为f(x)＝x＋3.
（2）设x＋1＝t，则x＝t－1
f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1
即f(t)＝t2＋2t－2.
∴所求函数解析式为f(x)＝x2＋2x－2.
（3）解 ，将原式中的x与 互换，得 .
于是得关于f(x)的方程组
解得 .
25．（2021·全国高一课时练习）已知函数（1）若 ，求 的值；
（2）解不等式 .
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
（1）当 时，由 ，得 ，不符合题意；
当 时，由 ，得 或 (舍去)，故
（2） 等价于 ——①或 ——②
解①得 ，解②得 ，
综合①②知 的解集为 .
26．（2021·全国高一）已知 的定义域为 ，
（1）求 的定义域；
（2）求 的定义域
【答案】（1）（3，5）；（2） .
【解析】
（1） 的定义域为 ，
，则 ，
即 的定义域为 ；
（2） 的定义域为 ；由 得 ，
即 的定义域为 ．
27．（2021·全国高一）若函数 的定义域为R，则m的取值范围为多少？
【答案】 .
【解析】
函数 的定义域为 ，
，
若 ，则 ，不满足条件．，
若 ，则判别式 ，
解得 ，即
