文档内容
1.4充分条件、必要条件
1. 充分条件；2.必要条件；3. 充分条件与必要条件的应用；4. 充要条件的判断；5. 充要条件的证明；
6. 利用充分条件和必要条件确定参数的取值范围；7. 充要条件的探求
一、单选题
1．（2021·全国高一课时练习）“ ”是“ ”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
时 或 ，所以“ ”是“ ”的必要而不充分条件，选B.
2．（2021·天津市蓟州区擂鼓台中学高二期末） 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
若 ，则 ，故“ ”是“ ”的充分条件.
若 ，则 ，推不出 ，故“ ”是“ ”的不必要条件.
故“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
3．（2021·三亚华侨学校高一月考）命题 ，命题 ；则 是 的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，所以 是 的充分条件；
因为当 时， 可能为1， 也可能为1，不一定有 ，
所以 不是 的必要条件，
所以 是 的充分不必要条件，
故选：C
4．（2021·山东济宁高一月考）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
由 解得 ，所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选B.
5．（2021·安徽省六安中学高二期中（文））设p：x<3，q：-14的一个必要不充分条件是（ ）
A．a>1 B．a<1 C．a>5 D．a<5
【答案】A
【解析】
由题意，当a>4时，a>1是成立，当a>1成立时，a>4不一定成立，所以a>4是a>1的必要不充分条件，
故选A.
9．（2021·辽宁沈阳高一期末）“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
因 但 ．
10．（2021·全国高一课时练习）“ ”是“一元二次方程 ”有实数解的
A．充分非必要条件 B．充分必要条件
C．必要非充分条件 D．非充分必要条件
【答案】A
【解析】方程 有解，则 ． 是 的充分不必要条件．故A正确．
二、多选题
11．（2021·全国高一课时练习）下列说法中正确的是（ ）
A．“ ”是“ ”的必要不充分条件
B．“ ”的必要不充分条件是“ ”
C．“ 是实数”的充分不必要条件是“ 是有理数”
D．“ ”是“ ”的充分条件
【答案】ABC
【解析】
由 得 ，所以“ ”可推出“ ”，反之不成立，A选项正确；
解方程 ，得 或 ，所以，“ ”的必要不充分条件是“ ”，
B选项正确；
“ 是有理数”可以推出“ 是实数”，反之不一定成立，C选项正确；
解方程 ，得 ，则“ ”是“ ”必要条件，D选项错误.
故选：ABC．
12．（2021·浙江高一单元测试）下列不等式中可以作为 的一个充分不必要条件的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】
解不等式 ，可得 ，
， ， ，
因此，使得 的成立一个充分不必要条件的有： ， .
故选：BC.13．（2021·山东中区济南外国语学校高一期中）对任意实数 ， ， ，给出下列命题，其中真命题是
（ ）
A．“ ”是“ ”的充要条件 B．“ ”是“ ”的充分条件
C．“ ”是“ ”的必要条件 D．“ 是无理数”是“ 是无理数”的充要条件
【答案】CD
【解析】
对于A，因为“ ”时 成立， ， 时， 不一定成立，所以“ ”是“
”的充分不必要条件，故A错，对于B， ， ， 时， ； ， ，
时， ，所以“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件，故B错，对于C，因为“
”时一定有“ ”成立，所以“ ”是“ ”的必要条件，C正确；对于D“ 是无理
数”是“ 是无理数”的充要条件，D正确.
故选：CD
14．（2021·山东省淄博第七中学高一月考）设全集 ，则下面四个命题中是“ ”的充要条件的命
题是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【解析】
由 A∩B＝A，可得A⊆B．由 A⊆B 可得A∩B＝A，故A∩B＝A是命题A⊆B的充要条件，故A满足条件．
由 可得A⊆B，由A⊆B 可得 ，故 是命题A⊆B的充要条件，故 B满
足条件．
由 ，可得A⊆B，由A⊆B 可得 ，故 是命题A⊆B的充要条件，故
C满足条件．
由 ，可得B⊆A，不能推出A⊆B，故④ 不是命题A⊆B的充要条件，故D不满足
条件．
故选：ABC．三、填空题
15．（2021·全国高一）“ ”是“ ”成立的________条件（在“充分不必要”、“必要不充
分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选出一种）
【答案】必要不充分.
【解析】
由 ，一定有 ；反之，当 时，不一定有 ；
所以，“ ”是“ ”成立的必要不充分条件.
故答案为：必要不充分.
16．（2021·全国高一）设r是q的充分条件，s是q的充要条件，t是s的必要条件，t是r的充分条件，
那么r是t的_____．
【答案】充要
【解析】
由题意知， ， ， ， ，所以 ．
故答案为：充要
17．（2021·全国高一）已知集合 ， ，若 是 成立的
一个充分不必要条件，则实数m的取值范围是______.
【答案】
【解析】
由 是 成立的一个充分不必要条件,
得： ,
即 ,即 ,
故答案为： .
18．（2021·上海）“ ”的一个充分非必要条件可以为________；一个必要非充分条件可以为
________.
【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一）
【解析】
“ ”的充分非必要条件可以为 ；一个必要非充分条件可以为 ；故答案为： （答案不唯一）； （答案不唯一）
19．（2021·全国）（1）“ ”的______条件是“ ”；
（2）“ ”的______条件是“ ”．
【答案】充分非必要 必要非充分
【解析】
（1）当“ ”时， 或 ，故不能推出“ ”；当“ ”时，“
”.故“ ”的充分非必要条件是“ ”.
（2）当“ ”时，“ ”；当“ ”时，可能 ，故不能推出“ ”.故“
”的必要不充分条件是“ ”.
故填：（1）充分非必要；（2）必要非充分.
20．（2021·全国）从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”
中选一个合适的填空.
（1）“ ”是“ ”的______；（2）“ ”是“ ”的_______.
【答案】充要条件 必要不充分条件
【解析】
（1）设 ， ，所以 ，即“ ”是“
”的充要条件.
（2）因为由“ ”不能推出“ ”；由“ ”能推出“ ”；
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故答案为：(1)充要条件;(2)必要不充分条件.
21．（2018·浙江镇海中学高二期末）设条件 ， ，若p是q的充分条件，
则m的最大值为____，若p是q的必要条件，则m的最小值为____.
【答案】
【解析】由 得：
是 的充分条件
的最大值为
是 的必要条件
的最小值为
四、解答题
22．（2021·上海高一课时练习）试判断“ ”是“ ”的什么条件.
【答案】必要非充分条件
【解析】
当 时，有 ，可知 ；
当 时，一定有 ，故 ，
即“ ”是“ ”的必要条件.
又当 时，取 ，可得 .所以 .
因此，“ ”是“ ”的必要非充分条件.
23．（2021·上海高一课时练习）设 是 的充分非必要条件， 是 的充要条件， 是 的必要非充
分条件，则 是 的什么条件？
【答案】必要非充分条件
【解析】
因为 是 的必要非充分条件，所以 ， .又因为 是 的充要条件即 ，∴
， .所以 是 的必要非充分条件.
又因为 是 的充分非必要条件即 ， ，∴ .假设 ，则 ，与 矛盾，∴ .所以 是 的必要非充分条件.
24．（2021·全国高一课时练习）设 为全集， 是集合，判断“存在集合 ，使得
”是“ ”的什么条件？
【答案】充要条件.
【解析】
作图如下:
令 ：存在集合 ，使 ， .
由图可知， ，反之亦成立，
所以“存在集合 ，使 ”是“ ”的充要条件.
25．（2021·全国高一）设集合 ， ，若“ ”是“ ”的
充分不必要条件，试求满足条件的实数 组成的集合.
【答案】
【解析】
∵ ，
由于“ ”是“ ”的充分不必要条件.∴ .
当 时，得 ；
当 时，由题意得 或 .当 时，得 ；当 时，得 .
综上所述，实数 组成的集合是 .
26．（2021·全国高一单元测试）已知集合 ， 或 ．
（1）当 时，求 ；
（2）若 ，且“ ”是“ ”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】（1） 或 ；（2）
【解析】
（1）∵当 时， ， 或 ，
∴ 或 ；
（2）∵ 或 ，∴ ，
由“ ”是“ ”的充分不必要条件得A是 的真子集，且 ，
又 ，∴ ，∴ ．
27．（2021·全国高一）已知 ，求证： 的充要条件是 ．
【答案】见解析
【解析】
（1）证明必要性：
因为 ，
所以 ．
所以．
（2）证明充分性：
因为 ，
即 ，
又 ，
所以 且 ．
因为 ，
所以 ，
即 ．
综上可得当 时， 的充要条件是 ．
