文档内容
1.2 集合的基本关系
1. 集合间关系的判定；2. 有限集合的子集确定问题；3. 有限集合的子集个数的确定；4.由集合间的关
系求参数的值和范围
一、单选题
1．（2021·浙江高一月考）已知集合 ，则集合A的子集的个数为（ ）
A．16 B．15 C．8 D．7
【答案】C
【解析】
集合 中包含3个元素 ∴集合 的子集个数为： 个
故选：C
2．（2021·浙江高一课时练习）已知集合 ，则正确的是（ ）
A．0⊆A B． C． D．
【答案】D
【解析】
对A， ,故A错误；
对B， ，故B错误；
对C，空集 是任何集合的子集，即 ，故C错误；
对D，由于集合 是集合A的子集，故D正确.
故选：D
3．（2021·山东济宁高一月考）已知集合 ， ，若 ，则 等于（ ）
A． 或3 B．0或 C．3 D．
【答案】C
【解析】由于 ，故 ，解得 或 .当 时， ，与集合元素互异性矛盾，故
不正确.经检验可知 符合.
故选C.
4．（2021·浙江高一课时练习）已知集合 是平行四边形 ， 是矩形 ， 是
正方形 ， 是菱形 ，则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
因为菱形是平行四边形的特殊情形，所以D⊂A，矩形与正方形是平行四边形的特殊情形，所以B⊂A，
C⊂A，正方形是矩形，所以C⊆B．
故选B．
5．（2021·浙江高一单元测试）若 且 ，则 （ ）．
A． B． 或0 C． 或1或0 D． 或 或0
【答案】B
【解析】
因为 ，所以 或 ，所以 、1或0．
根据集合中元素的互异性得 或0.
故选：B
6．（2021·浙江高一课时练习）设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝ ，则b－a等于( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
【答案】C
【解析】
根据题意，集合 ，且 ，所以 ，即 ，
所以 ，且 ，
所以 ，则 ，故选C.
7．（2021·沙坪坝重庆一中高三月考（理））已知集合 ，则 的真子集共有（
）个
A．3 B．4 C．6 D．7
【答案】D
【解析】
因为 ，
所以其真子集个数为 .
故选：D.
8．（2021·河南林州一中高二月考（理））已知集合 ， ，且 ，则实数
的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由 ，知 且 ，
经检验 符合题意，所以 .
故选：B
9．（2021·浙江高一单元测试）满足条件 的集合 的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】
由题意可知：M应在{1,2,3,4}的基础上不增加元素或增加5,6中的一个，所以M的个数就是集合{5,6}的真子集个数，即集合 的个数是 .
本题选择B选项.
10．（2021·浙江高一课时练习）若集合 ，集合 ，若
，则实数a的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
集合 ，
若集合B为空集，则 ，即 时满足题意；
若集合B不为空集，可得 ，即 ，由 得 解得 ，
综合两种情况可知 .
故选：B.
二、多选题
11．（2021·广东南沙高一期中）以下四个选项表述正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】
， 错误； ， 正确； ，故 ， 正确；
， 错误.
故选： .
12．（2021·全国高一课时练习）下列关系中正确的是（ ）
A． B． C．D． E.
【答案】ACD
【解析】
A项中集合 中有1这个元素，所以A正确；因为集合 是集合 的真子集，不能用“ ”来表
示，所以B错误；因为任何集合都是它本身的子集，所以C正确；因为集合中的元素具有无序性，所以D
正确；因为集合 表示数集，它有两个元素，而集合 表示点集，它有一个元素，所以E错误.
综上可得ACD正确.
故选：ACD.
13．（2021·江苏宿迁高一期末）已知集合 ， .若 ，则实数 的值可能是(
)
A． B．1 C．2 D．5
【答案】AB
【解析】
∵ ，∴ ，
∴ 可能取 ；
故选：AB.
14．（2021·全国高一课时练习）已知集合 ， ，下列命题正
确的是（ ）
A．不存在实数a使得 B．存在实数a使得
C．当 时， D．当 时，
E.存在实数a使得
【答案】AE
【解析】
A选项由相等集合的概念可得 解得 且 ，得此方程组无解，故不存在实数 使得集合A=B，因此A正确；
B选项由 ，得 即 ，此不等式组无解，因此B错误；
C选项当 时，得 为空集，不满足 ，因此C错误；
D选项当 ，即 时， ，符合 ；当 时，要使 ，需满足
解得 ，不满足 ，故这样的实数 不存在，则当 时 不正确，因
此D错误；
E选项由D选项分析可得存在实数 使得 ，因此E正确.
综上AE选项正确.
故选：AE.
三、填空题
15．（2021·安徽蚌山蚌埠二中高二期中（文））已知集合A={1,3},B={1,2,m}，若 A B，则实数 m＝
______．
【答案】3
【解析】
，
16．（2021·西夏宁夏大学附属中学高二月考（文））设集合 ，且 ，则实
数 的值是________．
【答案】0
【解析】
由集合A＝{3，m}＝B＝{3m,3}，
得3m＝m，
则m＝0．
故答案为0．17．（2021·上海市进才中学高二期末）已知集合 ，则实数 的取值范围
是________．
【答案】
【解析】
， ，解得 .
因此，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
18．（2021·滨州市博兴县第一中学）用“ ”“ ”“ ”“ ”填空： _____Q， ______
.
【答案】
【解析】
Q是有理数集， 不是有理数，所以 ，
易知 是 的子集，所以 .
故答案为(1). (2).
19．（2017·上海市淞浦中学）确定整数 使 ，则 =_____， =_______
【答案】
【解析】
由 得： 或 ，解得： 或
都是整数 ，
故答案为： ；20．（2021·上海高三专题练习）设 ，且 M，则 _______，
________．
【答案】
【解析】
M，则 ，解得 ， .
故答案为： ； .
21.（2021·山东省淄博第七中学高一月考）若集合 , ， 用列举法
表示集合B=_____，C=______.
【答案】 {∅，{1}，{2}，{1，2}}
【解析】
由题意得，A＝{1，2}，B＝{x|x A} ，
则集合C中的元素是集合A的子集：∅，{1}，{2}，{1，2}，
所以集合C＝{∅，{1}，{2}，{1，2}}，
故答案为： {∅，{1}，{2}，{1，2}}．
四、解答题
22．（2021·全国高一）已知集合M满足：{1，2}⫋M⊆{1，2，3，4，5}，写出集合M所有的可能情况.
【答案】{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，
3，4，5}
【解析】
由题意可以确定集合M必含有元素1，2，
且至少含有元素3，4，5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：
含有3个元素：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}；
含有4个元素：{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}；含有5个元素：{1，2，3，4，5}.
故满足条件的集合M为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，
{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}.
23．（2021·全国高一）已知 ，则求：
（1）集合A的子集的个数，并判断与集合A的关系
（2）请写出集合A的所有非空真子集
【答案】（1）8， （2） ， ， ， ， ，
【解析】
（1） 的子集有， ， ， ， ， ， ， 共8个，
其中 .
（2）集合A的所有非空真子集有 ， ， ， ， ， .
24．（2021·上海高一课时练习）已知 ， ，且 ，
求所有 的值所构成的集合 .
【答案】
【解析】
由已知得： .∵ ，当 时， ；当 时， ；当 时，
.∴ .
25．（2021·浙江高一课时练习）已知集合 ，
， .是否存在a，使 ？若存在，求出a的取值范围；
若不存在，说明理由.
【答案】存在， .【解析】
存在,假设存在这样的a值,由于 且 ,即 , .
而 且 ,
∴当 时, ；当 时, ；当 时, .
若 ,要使 ,则 ,即 ,矛盾.
同理当 时,也不存在a的值.而 时,要使 ,则有 ,即 , .
故存在 ,使得 .
26．（2021·全国高一）已知集合A={x|ax2+2x+1=0，a∈R}，
（1）若A只有一个元素，试求a的值，并求出这个元素；
（2）若A是空集，求a的取值范围；
（3）若A中至多有一个元素，求a的取值范围．
【答案】（1）详见解析；（2） ；（3） 或
【解析】
（1）若A中只有一个元素，则方程ax2+2x+1=0有且只有一个实根，
当a=0时，方程为一元一次方程，满足条件，此时x=- ，
当a≠0，此时△=4-4a=0，解得：a=1，此时x=-1，
（2）若A是空集，
则方程ax2+2x+1=0无解，
此时△=4-4a＜0，解得：a＞1.
（3）若A中至多只有一个元素，
则A为空集，或有且只有一个元素，
由（1），（2）得满足条件的a的取值范围是：a=0或a≥1.
27．（2021·全国高一）已知集合 ， ，求满足 的实数 的取值
范围.
【答案】【解析】
①当 时， ，满足 .
② 当 时， ，
∵ ，∴ 解得 .
③ 当 时， ，
∵ ，∴ 解得 .
综上所述，所求实数 的取值范围为 .
