文档内容
1.5 全称量词与存在量词
1.5.1全称量词与存在量词
1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定
一、选择题
1．（2018·全国高二课时练习）已知命题p:∀x∈R,x≥1,则命题¬p为( )
A．∀x∈R,x≤1 B．∃x
0
∈R,x
0
<1
C．∀x∈R,x≤-1 D．∃x
0
∈R,x
0
<-1
【答案】B
【解析】全称量词命题的否定形式为
∃x
0
∈ R, x
0
<1
所以选B
2．（2019·乐陵市第一中学高三课时练习（理））在下列给出的四个命题中，为真命题的是( )
A．∀a∈R，∃b∈Q，a2+b2=0 B．∀n∈Z，∃m∈Z，nm=m
C．∀n∈Z，∃m∈Z，n>m2 D．∀a∈R，∃b∈Q，a2+b2=1
【答案】B
【解析】A，若a=2，则a2+b2=0不成立，故A错误，
B，当m=0时，nm=m恒成立，故B正确，
C，当n=-1时，n>m2不成立，故C错误，
D，若a=2，则a2+b2=0不成立，故D错误，
故选B
3．（2016·全国高一课时练习（文））命题“存在 ”的否定是（ ）
A．不存在 B．存在
C．对任意的 D．对任意的
【答案】D
【解析】∵“ ”的否定为“ ”，∴“存在 ”的否定为“对
任意的 ”，故选D.4．（2017·全国高一课时练习（文））下列全称量词命题中真命题的个数是（ ）
①末位是 或 的整数，可以被 整除；②钝角都相等；③三棱锥的底面是三角形.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】①正确；②错误，钝角不一定都相等，如 ， 是钝角，但不相等；③正确，三棱锥四个
面都是三角形.
5．（2013·全国高二课时练习）下列存在量词命题中真命题的个数是（）
①
②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数
③
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】
试题分析：①∃x∈R，x≤0为真命题
②至少有一个整数例如1，它既不是合数，也不是素数，故②为真命题
③例如x= 是无理数，x2仍然是无理数，从而可得∃x{x|x是无理数}，x2是无理数为真命题，从而可知真
命题的个数为3个，故选D
6．（2017·新疆乌鲁木齐市第70中高三月考（理））命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是(
)
A．全等三角形的面积不一定都相等
B．不全等三角形的面积不一定都相等
C．存在两个不全等三角形的面积相等
D．存在两个全等三角形的面积不相等
【答案】D
【解析】
全称量词命题的否定为存在量词命题，因为命题“全等三角形的面积一定都相等”为全称量词命题，
所以否定为：存在两个全等三角形的面积不相等故选D.
二、填空题
7．（2017·全国高一课时练习（文））下列命题：
① ；② ；③ ；④ ；
⑤ ；⑥ ．
其中所有真命题的序号是 ．
【答案】①③
【解析】① ；② ；③ ；
④ ；⑤当 时， ；⑥ ．所以①③为真命题.
8．（2017·全国高一课时练习（文））用符号“ ”或“ ”表示命题：实数的平方大于或等于 为
_____________.
【答案】
【解析】确定命题的形式为全称量词命题，然后翻译成符号语言.
9．（2017·全国高二课时练习）命题“存在实数 ，使 ”的否定是 ．
【答案】对任意的 ，都有
【解析】存在量词命题的否定为全称量词命题，并将结论加以否定，因此命题的否定为：对任意的 ，都
有
10．（2014·全国高一课时练习）下列存在性命题中，是真命题的是 ．
①∃x∈R，x≤0；
②至少有一个整数，它既不是合数，也不是质数；
③∃x∈{x|x是无理数}，x2是无理数．
【答案】①②③
【解析】①真命题，如当x=﹣1时，x≤0成立；
②真命题，1既不是合数，也不是质数；③真命题，如x= ，x2= 为无理数．
故答案为：①②③．
三、解答题
11．（2016·全国高一课时练习（文））写出下列命题的否定，并判断其真假：
（1） ： ；（2）至少有一个实数 ，使得 .
【答案】见解析
【解析】（1）否定是 ，因为 ，所以否定后的命题
是一个真命题.
（2）否定是 ，是假命题，如： 时， .
12．（2016·全国高一课时练习（理））已知p:∀x∈R,mx2+1>0，q:∃x∈R,x2+mx+1≤0.
（Ⅰ）写出命题p的否定¬p；命题q的否定¬q；
（Ⅱ）若¬p或¬q为真命题，求实数m的取值范围.
【答案】（1）¬p:∃x∈R,mx2+1≤0；¬q:∀x∈R,x2+mx+1>0；（2）m<2.
【解析】（1）¬p：∃x∈R,mx2+1≤0；¬q：∀x∈R,x2+mx+1>0.
（2）由题意知，¬p真或¬q真，当¬p真时，m<0，当¬q真时，Δ=m2-4<0，解得-2
