文档内容
1.1 集合及其表示方法
1.集合的基本概念；2. 元素和集合的关系；3. 用列举法表示集合；4. 用描述法表示集合；
5. 集合中元素的互异性；6.集合中元素的个数；7. 集合的新定义问题
一、单选题
1．（2021·浙江高一课时练习）下列四组对象中能构成集合的是（ ）.
A．本校学习好的学生 B．在数轴上与原点非常近的点
C．很小的实数 D．倒数等于本身的数
【答案】D
【解析】
集合中的元素具有确定性，对于 ，学习好、非常近、很小都是模糊的概念，没有明确的标准，不
符合确定性；
对于 ，符合集合的定义， 正确.
故选： .
2.（2021·朝阳吉林省实验高二期末（文））集合 用列举法表示是
A．{1，2，3，4} B．{1，2，3，4，5}
C．{0，1，2，3，4，5} D．{0，1，2，3，4}
【答案】D
【解析】
分析：解出不等式得 ，小于5的自然数有5个．
详解：由题意 ，又 ，∴集合为 ．
3.（2021·浙江高二学业考试）已知集合 ，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
因为集合 ，所以 ， ， ，故选：D
4．（2021·宁夏兴庆银川一中高二期末（文））已知集合 ，则集合 中元素的
个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】
，所以集合 中元素的个数为3.
故选：D.
5．（2021·全国高三专题练习（文））设集合 ， ，则集合B中元
素的个数为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】A
【解析】
因为x∈B，－x∈A，故x只可能是0，－1，－2，－3，又1－x∉A，则
当0∈B时，1－0＝1∈A，不符合题意；
当－1∈B时，1－(－1)＝2∈A，不符合题意；
当－2∈B时，1－(－2)＝3∈A，不符合题意；
当－3∈B时，1－(－3)＝4∉A，符合题意.
所以 ，故集合B中元素的个数为1.
故选：A
6．（2021·浙江高一课时练习）已知集合 ，则 与集合 的关系是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
，∴ ，故有 ，∴ .故选：B.
7．（2021·浙江高一课时练习）下面四个命题正确的个数是（ ）.
①集合 中最小的数是1；
②若 ，则 ；
③若 ，则 的最小值是2；
④ 的解集是 .
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】
是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；
当 时， ，但 ，故②错误；
若 ，则a的最小值为1.又 ，则b的最小值为1，当a和b都取最小值时， 取最小值2，
故③正确；
由集合中元素的互异性知④错误.
故选：C
8．（2021·全国高一）有下列四个命题：
① 是空集；
②若 ，则 ；
③集合 有两个元素；
④集合 是有限集.
其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】①{0}中有一个元素0，不是空集，不正确；
②中当 时不成立，不正确；
③中 有两个相等的实数根，因此集合只有一个元素，不正确；
④中集合 是有限集，正确，
故选：B
9.（2021·朝阳吉林省实验高二期末（文））已知非零实数 ， ， ，则代数式 表示的
所有的值的集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
当 都为正数时， ；
当 都为负数时， .
因此，若 都为正数，则 ；
若 两正一负，则 ；
若 一正两负，则 ；
若 都为负数，则 .
所以代数式 表示的所有的值的集合是 .故选：D.
10．（2021·吴起高级中学高二月考（文））若 ，则a =（ ）
A．2 B．1或－1 C．1 D．－1
【答案】D
【解析】
当 时， ，当 时，集合为 不满足互异性，舍去，当 时，集合为 ，
满足；
当 时， ，不满足互异性，舍去.
故选： .
二、多选题
11．（2021·全国高一课时练习）下列表示正确的是（ ）
A． B． C． D． E.
【答案】ADE
【解析】
对于A,0是自然数,则 ,故A正确；对于B, 不是整数,则 ,故B错误；
对于C, 是整数,则 ,故C错误；对于D, 是无理数,则 ,故D正确；
对于E, 是有理数,则 ,故E正确
故选：ADE
12．（2021·全国高一课时练习）（多选）下面四个说法中错误的是（ ）
A．10以内的质数组成的集合是
B．由1，2，3组成的集合可表示为 或
C．方程 的所有解组成的集合是D．0与 表示同一个集合
【答案】CD
【解析】
10以内的质数组成的集合是 ，故A正确；由集合中元素的无序性知 和 表示同一
集合，故B正确；方程 的所有解组成的集合是 ，故C错误；由集合的表示方法知0不是
集合，故D错误.故选CD.
13．（2021·全国高一课时练习）下列是集合 中元素的有（ ）
A． B． C． D． E.
【答案】ABC
【解析】
∵ ,
∴ 或 或 ,
∴
故选：ABC
14.（2021·全国高一课时练习）实数1是下面哪一个集合中的元素（ ）
A．整数集Z B． C．
D． E.
【答案】ABD
【解析】
1是整数，因此实数1是整数集Z中的元素，故A选项正确；由 得 或 ，因此实数1是集
合 中的元素，故B选项正确；1不满足 ，因此实数1不是集合 中的元素，故C选项不正确；当 时， ，因此实数1是集合 中的元素，故D
选项正确；当 时， 无意义，因此实数1不是集合 中的元素，故E选项不正
确.
故选：ABD.
三、填空题
15．（2021·浙江高一课时练习）已知集合 ，用列举法表示为____________.
【答案】
【解析】
由 ，得 ，
.
故答案为: .
16．（2021·全国高一）已知集合 ，若 ，则 ______.
【答案】2
【解析】
依题意 或 ，
解得 或 ；
由集合中元素的互异性可知当 时，集合的两个元素相等，不合题意；
所以 .
故答案为：2.
17．（2021·全国高一课时练习）用符号“ ”或“ ”填空：（1）2_____N；（2） ______Q；（3）______Z；（4）3.14______R；（5） ______N；（6） _____Q.
【答案】
【解析】
【分析】
N为自然数集，Q为有理数，Z为整数集，R为实数集，判断元素与集合之间的关系用相应的符号填写即可.
【详解】
(1)N为自然数集，2是自然数，所以 ；(2)Q表示有理数， 为无理数，所以 ；(3)Z为整
数集， 是分数，所以 ；(4)R表示实数集，所以 ；(5) N为自然数集，-3不是自然数，所
以 ；(6) Q表示有理数， 是有理数，所以 .
18．（2021·全国高一课时练习）用符号“ ”或“ ”填空：
（1）0______ ；（2） _______ ；
（3） _______ ；（4）2017_______ .
【答案】
【解析】
(1) 为不含有任何元素的集合，所以 ；
(2) ， ；
(3)
(4)因为2017不能被表示为 的形式，所以 ；
19.（2021·海口市第四中学高一月考）用列举法表示集合 是
_____________________；用描述法表示“所有被4除余1的整数组成的集合”是_____________________．【答案】
【解析】
分析：由 ，且 ，则 取值只能为 ，求出对应的 可得集合 中的各元素，被4
除余1的整数可表示为 （ ）形式．
详解：
由题意 ，所有被4除余1的整数组成的集合为 ．
故答案为： ；
20．（2021·全国高一课时练习）由实数 ， ， ， ， 所组成的集合中最多含______个元
素，最少含______个元素.
【答案】2 1
【解析】
∵ ， ，且当 时， ，当 时，集合中
有元素： ， ，∴由实数 ， ， ， ， 所组成的集合中最多含有2个元素，最少含有1
个元素.
21．（2021·全国高一课时练习）（1）若 ，则实数 _____；（2）若
，则实数a的取值范围是______.
【答案】4或
【解析】
（1）由 ，得 ，此时 ， ，符合题意.
由 ，得 ，此时 ，故舍去.
由 ，得 ，当 时， ， ，符合题意；
当 时， ， ，符合题意，
综上所述， 4或 .
（2）因为 ，所以2不满足不等式 ，
即2满足不等式 ，所以 ，即 .
所以实数a的取值范围是 .
故答案为：4或 ；
四、解答题
22．（2021·全国高一）用列举法表示下列集合:
(1) ;
(2) ;
(3) .
【答案】(1) (2) (3)
【解析】
(1)由 得 ,因此 .
(2)由 ,且 ,得 ,因此 .
(3)由 得 .因此 .
23．（2021·浙江高一课时练习）试说明下列集合各表示什么？
； ；
； ； .
【答案】答案见解析【解析】
表示 的取值集合，由 知： ， ；
表示 的取值集合，由 知： 或 ， 或 ；
的代表元素为 ，表示反比例函数 上的点构成的点集；
的代表元素为 ，由 知： ，
表示直线 上除了 以外的点构成的点集；
表示以方程“ ”和“ ”为元素的一个二元集.
表示以方程“ ”和“ ”为元素的一个二元集.
24．（2021·全国高一）用合适的方法表示下列集合，并说明是有限集还是无限集.
（1）到A、B两点距离相等的点的集合
（2）满足不等式 的 的集合
（3）全体偶数
（4）被5除余1的数
（5）20以内的质数
（6）
（7）方程 的解集
【答案】（1）集合 点 ，无限集；
（2）集合 ，无限集；
（3）集合 ，无限集；
（4）集合 ，无限集；（5）集合 ，有限集；
（6）集合 ，有限集；
（7）集合 ，有限集.
【解析】
（1）因为到A、B两点距离相等的点 满足 ，所以集合 点 ，无限集.
（2）由题意可知，集合 ，无限集.
（3）因为偶数 能被 整除，所以集合 ，无限集.
（4）由题意可知，集合 ，无限集.
（5）因为20以内的质数有 ， ， ， ， ， ， ， .
所以集合 ，有限集.
（6）因为 ，所以方程的解为 ， ， ， ， ，所
以集合 ，有限集.
（7）由题意可知，集合 ，有限集.
25．（2021·全国高一）已知 , ,求实数 的值.
【答案】
【解析】
因为 ，所以有 或 ，显然 ，
当 时， ，此时 不符合集合元素的互异性，故舍去；当 时，解得 ， 由上可知不符合集合元素的互异性，舍去，故 .
26．（2021·上海高一课时练习）当实数 、 满足什么条件时，集合 是有限集、无限
集、空集？
【答案】当 ， 时，集合 为有限集；当 ， 时，集合 为无限集；当 ，
时，集合 为空集
【解析】
当 时，方程 有唯一解 ，此时集合 ，集合 为有限集；
当 ， 时， 有无穷多个解，集合 为无限集；
当 ， 时， 无解，集合 为空集.
27．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}.
(1)若A是单元素集合，求集合A；
(2)若A中至少有一个元素，求a的取值范围．
【答案】(1)当a＝0时，A＝{}，当a＝时，A＝{}．(2)a≤.
【解析】 (1)因为集合A是方程ax2－3x＋2＝0的解集，则当a＝0时，A＝{}，符合题意；
当a≠0时，方程ax2－3x＋2＝0应有两个相等的实数根，
则Δ＝9－8a＝0，解得a＝，此时A＝{}，符合题意．
综上所述，当a＝0时，A＝{}，当a＝时，A＝{}．
(2)由(1)可知，当a＝0时，A＝{}符合题意；
当a≠0时，要使方程ax2－3x＋2＝0有实数根，
则Δ＝9－8a≥0，解得a≤且a≠0.
综上所述，若集合A中至少有一个元素，则a≤.
