5.2 导数的运算
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：基本初等函数的导数公式..................................................2
考点二：导数的四则运算法则....................................................... 2
考点三：复合函数的导数............................................................. 2
考点四：导函数的常用结论.......................................................... 3
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：导数公式与运算法则的简单应用.........................................3
题型二：求复合函数的导数.......................................................... 5
题型三：解析式中含f′(x0)的导数问题............................................8
题型四：求某点处的导数值.......................................................... 9
题型五：求切线斜率................................................................. 11
题型六：求切线方程（在型）......................................................13
题型七：求切线方程（过型）......................................................14
题型八：已知切线求参数范围......................................................16
题型九：利用切线求距离最值......................................................17
模块三：综合巩固....................................................................... 21
5.2 导数的运算
模块一：基础知识
考点一：基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
( )
f x
C
(C 为常数)
( )
0
f
x
( )
n
f x
x
1
( )
n
f
x
nx
( )
sin
f x
x
( )
cos
f
x
x
( )
cos
f x
x
( )
sin
f
x
x
( )
x
f x
a
( )
ln
x
f
x
a
a
( )
x
f x
e
( )
x
f
x
e
( )
log x
a
f x
1
( )
ln
f
x
x
a
( )
ln
f x
x
1
( )
f
x
x
( )
f x
x
1
( )
2
f
x
x
1
( )
f x
x
2
1
( )
f
x
x
考点二：导数的四则运算法则
1、两个函数
( )
f x 和
( )
g x 的和（或差）的导数法则：
[ ( )
( )]
( )
( )
f x
g x
f
x
g x
.
2、对于两个函数
( )
f x 和
( )
g x 的乘积（或商）的导数，有如下法则：
[ ( ) ( )]
( ) ( )
( )
( )
f x g x
f
x g x
f x g x
；
2
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ( )
0)
( )
[ ( )]
f x
f
x g x
f x g x
g x
g x
g x
.
3、由函数的乘积的导数法则可以得出[
( )]
( )
( )
( )
cf x
c f x
cf
x
cf
x
，
也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即[
( )]
( )
cf x
cf
x
考点三：复合函数的导数
1、复合函数的概念
一般地，对于两个函数
( )
y
f u
和
( )
u
g x
，如果通过中间变量u ，y 可以表示成x 的函数，
那么称这个函数为
( )
y
f u
和
( )
u
g x
的复合函数，记作
( ( ))
y
f g x
.
2、复合函数的求导法则
一般地，复合函数
( ( ))
y
f g x
的导数和函数
( )
y
f u
，
( )
u
g x
的导数间的关系为
x
u
x
y '
y ' u '
，
即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.
规律：从内到外层层求导，乘法连接。
3、求复合函数的导数的步骤
第一步分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数；
第二步分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数；
第三步相乘：把上述求导的结果相乘；
第四步变量回代：把中间变量代回。
4、求复合函数的导数注意以下几点：
（1）分解的函数通常为基本初等函数；
（2）求导时分清是对哪个变量求导；
（3）计算结果尽量简洁。
考点四：导函数的常用结论
1、奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数．周期函数的导数还是周期函数．
2、函数
( )
y
f x
的导数
( )
f
x
反映了函数
( )
f x 的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，
其大小
( )
f
x
反映了变化的快慢，
( )
f
x
越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
模块二：题型分类
题型一：导数公式与运算法则的简单应用
1.函数
( )
2sin
cos
f x
x
x
的导函数是(
)
A．
( )
2cos
sin
f
x
x
x
B．
( )
2cos
sin
f
x
x
x
C．
( )
2cos
sin
f
x
x
x
D．
( )
2cos
sin
f
x
x
x
【解答】解：
( )
2sin
cos
f x
x
x
，
( )
2cos
sin
f
x
x
x
．
故选：A ．
2.求下列函数的导数．
(1)
3
4
1
1
6
3
2
f x
x
x
；
(2)
5
4 cos
f x
x
x
．
【答案】(1)
2
3
2
f
x
x
x
(2)
5cos
5 sin
4sin
f
x
x
x
x
x
【详解】（1）
'
3
4
2
3
1
1
6
2
3
2
f
x
x
x
x
x
（2）
'
'
'
5
4 cos
5
4 cos
5
4
cos
5cos
5 sin
4sin
f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3.下列求导运算正确的是（
）
A．
2
1
1
( )
x
x
B．
2
cos
2
sin
x
x
x
x
C．
e
e
1
x
x x
D．
1
(ln2)
2
【答案】B
【解析】对于A 中，由
1
2
2
1
1
( )
(
)
x
x
x
x
，所以A 错误；
对于B 中，由
2
2
cos
(
)
(cos )
2
sin
x
x
x
x
x
x
，所以B 正确；
对于C 中，由
e
e 1
e
x
x
，所以C 错误；
对于D 中，由(ln2)
0
，所以D 错误.故选：B.
4.（多选）下列函数求导正确的是（
）
A．
sin
cos
x
x
B．
cos
sin
x
x
C．
1
2
2
x
x
x
D．
2
1
1
x
x
【答案】BD
【解析】
sin
cos
x
x
，故A 错误；
cos
sin
x
x
，故B 正确；
2
2 ln 2
x
x
，故C 错误；
2
1
1
x
x
，故D 正确；故选：BD
5.求下列函数的导数．
（1）
2
3
sin
y
x
x
x
＝
＋
；
（2）
2
3
e
ln
x
y
x
x
＋
＋
；
（3）
ln
1
x x
y
x
.
【答案】（1）
6
sin
cos
y
x
x
x
x
；（2）
2
3
e
2
3
2 ln
x
y
x
x
x x
x
x
；（3）
2
ln
1
1
x
x
y
x
【解析】（1）
2
3
sin
6
sin
sin
6
sin
cos
y
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
＋
＋
＋
＋
（2）
2
2
2
2
3
3
e
ln
3 e
l
1
n
e
ln
3
e
e
2
3
2 l
2
n
+
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x
x
y
x
x
＋＋+
（3）
2
2
2
ln
1
ln
1
ln
1
1
ln
ln
1
1
1
1
x
x
x
x
x x
x
x
x
x
x
x
y
x
x
x
6.下列求导数运算中正确的是（
）
A．
2
2
x
x
B．
2 ln
2 ln
x
x
x
x
x
C．cos
sin
x
x
x
D．
sin
cos
sin
cos
x
x
x
x
【答案】B
【解析】对于A 选项，
2
2 ln 2
x
x
，故A 错误；
对于B 选项，
2
2 1
ln
2 ln
2 ln
x
x
x
x
x
x
x
x
x
，故B 正确；
对于C 选项，
2
cos
sin
cos
x
x
x
x
x
x
，故C 错误；
对于D 选项，
sin
cos
cos
sin
x
x
x
x
，故D 错误；故选：B87418458 马老师原创
7.（多选）下列求导运算正确的是（
）
A．
2
1
1
(
)
1
x
x
x
B．
1
(lg )
x
x
C．(
)
1
kx
b
k
D．
2
1
(tan )
cos
x
x
【答案】AD
【解析】由基本初等函数的求导公式以及导数运算法则可得：
对A，
2
1
1
(
)
1
x
x
x
，A 正确；
对B，
1
(lg )
ln10
x
x
，B 错误；
对C，(
)
kx
b
k
，C 错误；
对D，
2
2
2
2
sin
cos
sin
1
(tan )
(
)
cos
cos
cos
x
x
x
x
x
x
x
，D 正确.故选：AD
题型二：求复合函数的导数
1.写出下列函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则分别求出函数的导数：
(1)
10
1
y
x
；
(2)
3
1
e x
y
；
(3)
sin
2
5
y
x
；
(4)
ln 3
1
y
x
；
(5)
3 2
1
y
x
；
(6)
tan
1
y
x
．
【答案】(1)
1
u
x
，
9
10
1
xy
x
(2)
3
1
u
x
，
3
1
3e
x
xy
(3)
2
5
u
x
，
2cos
2
5
xy
x
(4)
3
1
u
x
，
3
3
1
xy
x
(5)
2
1
u
x
，
2
3
2 2
1
3
xy
x
(6)
1
u
x
，
2
1
cos
1
xy
x
【详解】（1）令
1
u
x
，因为
x
u
x
y
y
u
，
所以
9
10
9
1
10
10
1
xy
u
x
u
x
.87418458 马老师原创
（2）令
3
1
u
x
，因为
x
u
x
y
y
u
，87418458 马老师原创
3
1
e
3
1
3e
3e
u
u
x
xy
x
.
（3）令
2
5
u
x
，因为
x
u
x
y
y
u
，
sin
2
5
2cos
2cos
2
5
xy
u
x
u
x
.
（4）令
3
1
u
x
，因为
x
u
x
y
y
u
，
3
3
ln
3
1
3
1
xy
u
x
u
x
.
（5）令
2
1
u
x
，因为
x
u
x
y
y
u
，
1
2
2
3
3
3
2
2
2
1
2
1
3
3
xy
u
x
u
x
.
（6）令
1
u
x
，因为
x
u
x
y
y
u
，
tan
1
xy
u
x
sin
cos
u
u
2
sin
cos
sin
cos
cos
u
u
u
u
u
2
2
2
cos
sin
cos
u
u
u
2
1
cos
u
2
1
cos
1
x
.
2.求下列函数的导数：
(1)
3
(2
3)
y
x
；
(2)
ln(5
1)
y
x
．
【答案】(1)
2
6(2
3)
xy
x
(2)
5
5
1
xy
x
【详解】（1）
3
(2
3)
y
x
可由
3
y
u
及
2
3
u
x
复合而成，
所以
3
2
2
2
2
2
3
2
6
6(2
3)
x
u
y
y
u
u
u
x
．
（2）
ln(5
1)
y
x
可由
ln
y
u
及
5
1
u
x
复合而成，
所以
1
5
5
(ln )
5
5
5
1
x
u
y
y
u
u
x
．
3.写出下列函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则分别求出函数的导数：
(1)
2
1
2
1
y
x
；
(2)
sin
1
y
x
；
(3)
2
1
e
x
y
；
(4)
cos
3
y
x
．
【答案】(1)中间变量为
2
1
t
x
，
3
4
(2
1)
x
(2)中间变量为
1
t
x
，
cos(
1)
x
(3)中间变量为
2
1
t
x
，
2
1
2e
x
(4)中间变量为
3
t
x
，
sin(
3)
x
【详解】（1）对于
2
1
2
1
y
x
，中间变量为
2
1
t
x
，则
2
2
1
y
t
t
，
所以
2
3
3
3
4
4
(2
1)
2
2
(2
1)
y
t
x
t
t
x
.
（2）对于
sin
1
y
x
，中间变量为
1
t
x
，则
sin
y
t
，
所以
sin
(
1)
cos
cos(
1)
cos(
1)
y
t
x
t
x
x
.
（3）对于
2
1
e
x
y
，中间变量为
2
1
t
x
，则
et
y
，
所以
2
1
e
( 2
1)
2e
2e
t
t
x
y
x
.
（4）对于
cos
3
y
x
，中间变量为
3
t
x
，则
cos
y
t
，
cos
(
3)
sin
sin(
3)
y
t
x
t
x
.
4.已知函数
1
f
x
x
，则
f
x
（
）
A．
1
2 1
x
B．
1
2 1
x
C．2 1
x
D．2 1
x
【答案】A
【解析】由
1
f
x
x
可得
1
1
2
2
1
(1
)
(1
)
( 1)
2
1
2 1
x
f
x
x
x
，故选：A
5.函数
2
1
e x
y
的导函数为
．
【答案】
2
1
2e x
y
【解析】由题意可知：
2
1
e ,
u u
x
y
，
所以
2
1
2
1
2e
eu
x
y
x
.
6.函数
2
1
x
f
x
x
，则
f
x
.
【答案】
2
(
1) 2
1
(2
1)
x
x
x
【解析】因为
2
1
x
f
x
x
，
则
1
2
2
2
1
2
1
(2
1)
(2
1)
(
1) 2
1
2
(2
1)
( 2
1)
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
.
7.（多选）下列结论中正确的是（
）
A．若
1
cos
y
x
，则
2
1
1
sin
y
x
x
B．若
2
sin
y
x
，则
2
cos
y
x
C．若
2ex
y
x
，则
2
(
2 )ex
y
x
x
D．若
ln(2
1)
y
x
，则
1
2
1
y
x
【答案】AC
【解析】对于A ,
2
2
1
1
1
1
sin
sin
y
x
x
x
x
，则A 正确；
对于B ,
2
2
cos
2
2 cos
y
x
x
x
x
，则B 错误；
对于C ,
2
2
2 e
e
2
e
x
x
x
y
x
x
x
x
，则C 正确；
对于D ,
2
2
1
y
x
，则D 错误,故选：AC.
题型三：解析式中含f′(x0)的导数问题
1.若
2
2
1
f x
xf
x
，则
0
f
等于（
）
A．2
B．0
C．-2
D．-4
【答案】D
【详解】因为
2
2
1
f x
xf
x
，所以
2
1
2
f
x
f
x
所以
1
2
1
2
f
f
，得
1
2
f
所以
4
2
f
x
x
，所以
0
4
f
故选：D
2.已知函数
3
2
1
1
4
f
f
x
x
x
x
，
f
x
是
f
x 的导函数，则
1
2
f
f
．
【答案】24
【详解】因为
3
2
1
1
4
f
f
x
x
x
x
，所以
2
1
3
1
2
f
f
x
x
x
，所以
1
1
4
2
f
f
，即
1
8
f
，
1
1
1
1 1
3
4
f
f
，
1
2
12
2 1
21
2
f
f
，
故
1
2
3
21
24
f
f
．
故答案为：24
3.已知函数
3
2
1
2
f x
x
f
x
，则
2
f
（
）
A．2
B．10
3
C．6
D．14
【答案】C
【详解】
2
( )
3
2
(1)
f
x
x
f
x
，则
(1)
3
2
(1)
(1)
1
f
f
f
，
则
3
2
(
2
)
f x
x
x
，
3
2
(2)
2
2
2
6
f
故选：C
4.已知函数
3
2
1
f x
f
x
x
x
，则
1
f
的值为
．
【答案】3
2
【详解】∵
3
2
1
f x
f
x
x
x
，∴
2
3
1
2
1
f
x
f
x
x
，
∴
( 1)
3
( 1)
3
f
f
∴
3
1
2
f
．
故答案为：3
2 .
题型四：求某点处的导数值
1.若函数
2
1
f
x
x
x
，则
1
f
（
）
A．3
B．1
C．3
D．4
【答案】B
【解析】
2
1
( )
2
f
x
x
x
，则
( 1)
2
1
1
f
.故选：B
2.已知函数
2
3
4
5
3
3
3
3
3
f x
x x
x
x
x
x
，则
0
f
（
）
A．
15
3
B．
14
3
C．
14
3
D．
15
3
【答案】D
【解析】设
2
3
4
5
3
3
3
3
3
x
x
x
x
x
x
，
即
( )
( )
f x
x
x
，则
( )
( )
( )
f
x
x
x
x
，
2
3
4
5
1 2 3 4 5
15
(0)
(0)
3 3
3
3
3
3
3
f
，故选：D.
3.函数
( )
f x 的导函数为
( )
f
x
，且满足
2
( )
3
2
(2)
f x
x
xf
，则
(5)
f
的值为（
）
A．5
B．1
C．6
D．-2
【答案】C
【解析】函数
2
( )
3
2
(2)
f x
x
xf
，求导得
( )
6
2
(2)
f
x
x
f
，
当
2
x
时，
(2)
12
2
(2)
f
f
，解得
(2)
12
f
，
因此
( )
6
24
f
x
x
，所以
(5)
6
f
.故选：C
4.已知函数
3
2
0
0 e
0
x
f x
x
f
x
f
x
f
，则
0
2[ (
)
(0)]
lim
x
f
x
f
x
（
）
A．4
B．2
C．-2
D．-4
【答案】A
【解析】当
0
x
时，
0
0
0
f
f
f
，所以
1
0
0
2
f
f
，
又
2
1
3
2
0
0 e
1
2
x
f
x
x
f
x
f
，则
1
0
0
1
2
f
f
，解得
0
2
f
，
由定义可知，
0
2[ (
)
(0)]
lim
2
(0)
4
x
f
x
f
f
x
．故选：A．
5.函数
1
y
x
在
3
x
处的导数是（
）
A．1
4
B．
1
2
C．2
D．4
【答案】A
【解析】由
1
y
x
，得
1
2
1
1
1
1
2
2
1
y
x
x
x
，
所以函数
1
y
x
在
3
x
处的导数是
1
1
4
2 3 1
，故选：A
6.在可导函数
f
x ，
g x 中，已知
1
1
f
，
1
2
f
，
1
2
g
，
1
1
g
，则
f
x
g x 在
1
x 时
的导数值是（
）
A．5
B．4
C．4
D．2
【答案】A
【解析】令
h x
f x
g x
，则
h
x
f
x
g x
g
x
f
x
，
则
1
1
1
1
1
2
2
1
1
5
h
f
g
g
f
.故选：A
7.已知函数
π
cos
2
2
f x
x
xf
，则
π
2
f
（
）
A．－1
B．0
C．1
D．π
2
【答案】C
【解析】由已知可得，
π
sin
2
2
f
x
x
f
，
所以，
π
π
π
π
sin
2
1
2
2
2
2
2
f
f
f
，所以，
π
1
2
f
.故选：C.
8.已知函数
2
1
2
1
ln
2
f x
f
x
x
x
（
f
x
是
f
x 的导函数），则
1
f
（
）
A．3
2
B．1
C．2
D．
1
2
【答案】A
【解析】因为
2
1
2
1
ln
2
f x
f
x
x
x
所以定义域为
0,.
所以
1
2
1
2
f
x
f
x
x
当
1
x 时，
1
2
1
2 1
f
f
，
1
1
f
，则
1
3
1
2 1
2
2
f
故选：A
9.已知函数
2
ln
1
1
2
f
x
x
f
x
f
x
，则
(e)
f
（
）
A．1
2e
1
e
B．
2
2e
5e
1
C．1
4e
1
e
D．
2
2e
e
3
【答案】C
【解析】
1
0
1
1
2,
1
2
f
f
f
f
，
2
ln
2
1
2
f x
x
x
f
x
，
1
4
1
f
x
x
f
x
，
1
1 4
1
2,
1
1
f
f
f
，
所以
1
e
4e 1
e
f
.故选：C
题型五：求切线斜率
1.若直线l 过原点，且与函数
ln x
y
x
的图像相切，则该直线的斜率为（
）
A．1
B．1
2e
C．1
e
D．
2
1
e
【答案】B
【详解】因为
ln x
y
x
，所以
2
1
ln x
y
x
，设切点为
0
0
0
ln
,
x
x
x
，所以
0
0
2
0
1
ln
x x
x
y
x
，
所以切线方程为
0
0
0
2
0
0
ln
1
ln
x
x
y
x
x
x
x
，
又切线过坐标原点，所以
0
0
0
2
0
0
ln
1 ln
x
x
x
x
x
，解得
0
e
x
，
所以切线方程的斜率为
0
2
2
0
1
1
1 ln
1
2
2e
( e)
x
k
x
.
故选：B
2.函数
2
( )
2ln
f x
x
x
bx
a
（b＞0，a∈R）在点( ,
( ))
b f b
处的切线斜率的最小值是（
）
A．2
B．
3
C．2 2
D．1
【答案】C
【详解】
2
( )
2
0
f
x
x
b x
x
，
所以在点( ,
( ))
b f b
处的切线斜率是
2
2
( )
2
f b
b
b
b
b
b
，
因为b＞0，所以
2
( )
2 2
f b
b
b
，当且仅当
2
b
b
即
2
b
时等号成立，
故选：C．
3.已知
ex
f x
x
，过
1 ,0
2
P
作曲线
y
f x
的切线，切点在第一象限，则切线的斜率为（
）
A．3 e
2
B．
2
3e
C．2e
D．e
【答案】C
【详解】解：由
ex
f x
x
，得
1 ex
f
x
x
，
设切点坐标为
0
0
0
,
ex
x x
，则切线方程为
0
0
0
0
0
e
1 e
x
x
y
x
x
x
x
，
把点
1 ,0
2
P
代入并整理，得
0
0
0
1
1
2
x
x
x
，
解得
0
1
x 或
0
1
2
x
（舍去），
故切线斜率为
1
2e
f
．
故选：C．
4.已知
2cos
0 cos
2
f
x
x
f
x
，则曲线
y
f x
在点3
3
,
4
4
f
处的切线的斜率为（
）
A．
2
B．
2
C．2 2
D．2 2
【答案】D
【详解】对
2cos
0 cos
2sin
0 cos
2
x
f
x
x
f
x
f x
，
求导可得，
2cos
0 sin
f
x
x
f
x
，得到
(0)
2
f
，所以，
2
2sin
cos
x
x
f x
，所以，
2cos
2sin
f
x
x
x
，
3
3
2cos
2sin
2 2
4
4
3
4
f
故选D
5.点P 在曲线
3
2
3
y
x
x
上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（
）
A．[0，π
2）
B．π 3π
2
4
（，）
C．3π
π
4
（
，）
D．[0，π
3π
π
2
4
）（
，）
【答案】D
【解析】因为
3
2
3
y
x
x
，所以
2
3
1
y
x
，因为
2
3
1
1
y
x
，所以tan
1
，
又
0, π
，所以
π
3π
0,
,π
2
4
，故选：D.
6.已知函数
ln
f
x
x
x
，过点
0, 1
作该函数曲线的切线，则该切线方程为（
）．
A．2
1
0
x
y
B．
1
0
x
y
C．
2
2
0
x
y
D．
1
0
x
y
【答案】D
【解析】函数
ln
f
x
x
x
，求导得：
( )
1
ln
f
x
x
，设切点坐标为
0
0
0
(
,
ln
)
x
x
x
，
于是
0
0
0
0
ln
1
1 ln
x
x
x
x
，解得
0
1
x ，则
(1)
1
f
，
所以所求切线方程为
1
y
x
，即
1
0
x
y
.故选：D
7.已知函数
ln
f x
x
x
，过原点作曲线
y
f x
的切线l ，则切线l 的斜率为
．
【答案】1
1
e
【解析】由题意得，
1
1
f
x
x
，设切点为
0
0
0
,ln
P x
x
x
，
则切线方程为
0
0
0
0
1
1
ln
y
x
x
x
x
x
，
因为切线过原点，
所以
0
0
0
0
0
1
1
0
1
ln
ln
x
x
x
x
x
，解得
0
e
x
，
所以
0
1
e
1
e
f
x
f
．
8.已知函数
2
1
ln
2
f x
x
x
，则曲线
y
f x
所有的切线中斜率最小的切线方程为
．
【答案】4
2
3
0
x
y
【解析】由
2
1
ln
2
f x
x
x
，
1
0
f
x
x x
x
，
由1
2
x
x
，当且仅当
1
x 时，等号成立，
曲线
y
f x
所有的切线中斜率最小的切线的斜率
2
k
，切点为
1
1, 2
，
所以切线方程为
1
2
1
2
y
x
，整理可得4
2
3
0
x
y
.
题型六：求切线方程（在型）
1.设
R
a
，函数
3
2
2
3
f x
x
ax
a
x
的导函数为
f
x
，若
f
x
是偶函数，则曲线
y
f x
在原点
处的切线方程为（
）
A．
3
y
x
B．
2
y
x
C．
3
y
x
D．
2
y
x
【答案】A
【详解】由题设
2
3
2
3
f
x
x
ax
a
是偶函数，
∴
2
2
3
2
3
3
2
3
x
a
x
a
x
ax
a
，解得
0
a
，
∴
0
3
k
f
，
∴曲线
y
f x
在原点处的切线方程为
3
y
x
.
故选：A
2.曲线
3
1
x
f x
xe
x
在
0,1 点处的切线方程是
【答案】2
1
0
x
y
【详解】由
3
1
x
f x
xe
x
可得
1 e
3
x
f
x
x
，所以
0
2
f
，
所以由点斜式可得切线方程为
1
2
y
x
，即2
1
0
x
y
，
故答案为：2
1
0
x
y
3.已知函数
sin
f x
x
，曲线
y
f x
在点
0,0 处的切线方程是
．
【答案】y
x
【详解】
cos
f
x
x
，
0
0
f
，
0
1
f
，
所以曲线
y
f x
在点
0,0 处的切线方程是
0
0
y
x
，
即y
x
.
故答案为：y
x
4.已知函数
2e
2
1
x
f x
x
x
，则
f
x 的图象在
0
x
处的切线方程为
【答案】2
1
0
x
y
【详解】由题意
2e
2
1
x
f x
x
x
，所以
2
2
e
2
x
f
x
x
x
且
0
1
f
，所以
0
2
f
，
因此
f
x 的图象在
0
x
处的切线斜率为
0
2
f
，所以
f
x 的图象在
0
x
处的切线方程为
1
2
0
y
x
，化简得2
1
0
x
y
.
故答案为：2
1
0
x
y
.
题型七：求切线方程（过型）
1.写出曲线
2
1 ex
y
x
过坐标原点的一条切线方程
.
【答案】
4 e
y
x
或
1
e
y
x
（任写一个即可）
【详解】
= 2
3
e x
y
x
，设切点为
, 2
1 et
t
t
，
故切线方程为
2
1 e = 2
3
e
t
t
y
t
t
x
t
，
由于切线过原点，故
0
2
1 e = 2
3
e 0
t
t
t
t
t
，
整理得
2
2
1=
1 2
1 =0
t
t
t
t
，解得
1
t 或
1
2
t
.
当
1
t 时，切线方程为
1
1
e =e
1
y
x
，即
1
e
y
x
.
当
1
2
t
时，切线方程为
1
1
2
2
1
2e =4 e
2
y
x
，即
4 e
y
x
.
故答案为：
4 e
y
x
或
1
e
y
x
（任写一个即可）
2.已知函数
3
2
2
f
x
x
x
．
(1)若曲线
y
f x
在其上一点Q 处的切线与直线
4
1
y
x
平行，求Q 的坐标；
(2)求曲线
y
f x
的过坐标原点O 的切线的方程．
【答案】(1)
2
32
,
3
27
或（2，0）
(2)
0
y
或
0
x
y
．
【详解】（1）
2
3
4
f
x
x
x
，
设
,
Q a f a
，因为直线
4
1
y
x
的斜率为4，
所以
2
3
4
4
f
a
a
a
，
解得
2
3
a
或2．
2
32
3
27
f
，
2
0
f
．
所以点Q 的坐标为
2
32
,
3
27
或（2，0）．
（2）设切点为
0
0
,
x
y
，则
3
2
0
0
0
2
y
x
x
，
2
0
0
0
3
4
f
x
x
x
，
所以在该点处的切线方程为
3
2
2
0
0
0
0
0
2
3
4
y
x
x
x
x
x
x
．
因为切线过原点，所以
3
2
2
0
0
0
0
0
0
2
3
4
0
x
x
x
x
x
，
解得
0
0
x
或1．
又因为
0
0
f
，
1
1
f
，
所以切线方程为
0
y
或
0
x
y
．
3.过点(0,2) 与曲线
l
(
2
)
n
f x
x
相切的切线方程为
．
【答案】
e
2e
0
x
y
【详解】设切点为
0
0
,ln
2
x
x
，则
0
0
0
ln
2
2
1
x
x
x
，
得
0
e
x
，则切点为
e,3 ，
切线方程为
1
3
(
e)
e
y
x
，即
e
2e
0
x
y
．
故答案为：
e
2e
0
x
y
.
4.已知函数
3
f x
x
．
(1)用导数的定义，求函数
3
f x
x
在
2
x
处的导数；
(2)过点
2 8，作
y
f x
的切线，求切线方程．
【答案】(1)12
(2)3
2
0
x
y
或12
16
0
x
y
【详解】（1）因为
3
2
2
2
2
(
)
6(
)
12
(
)
6
12
f
x
f
y
x
x
x
x
x
x
x
x
，
所以
2
0
0
lim
lim
6
12
12
x
x
y
x
x
x
，
则
2
12
f
．
（2）
2
3
f
x
x
，
设切点
3
0
0
x
x
，
，则切线的斜率为
2
0
3
k
x
，
故切线方程为
3
2
0
0
0
3
y
x
x
x
x
，
将点
2 8，代入得
3
2
0
0
0
8
3
2
x
x
x
，
即
3
2
0
0
3
4
0
x
x
，得
2
0
0
1 (
2)
0
x
x
，解得
0
1
x 或
0
2
x
，
所以切线方程为3
2
0
x
y
或12
16
0
x
y
．
题型八：已知切线求参数范围
1.若直线y
ax
是曲线
ln
1
f
x
x
x
在某点处的切线，则实数
a
．
【答案】2
【解析】设切点为
,
,
0
A m n
m
，由
ln
1
f
x
x
x
，得
1
1
f
x
x
，则
1
1
f
m
a
m
①，
又切点A 既在切线上也在
f
x 的图象上，
代入可得
ln
1
n
am
n
m
m
联立①可得
1
2
2
m
n
a
.
2.若直线
2
y
x
与曲线
3
2
y
x
bx
c b
c
R
，
相切于点
1 3
M
，，则c
．
【答案】3
【解析】直线
2
y
x
与曲线
3
2
y
x
bx
c b
c
R
，
相切于点
1 3
M
，，
则1
3
b
c
，故
2
b
c
．
又
2
'
3
2
y
x
bx
，当
1
x 时，3
2
1
b
，所以
1
b = - ，则
3
c
．
3.已知曲线
3
y
x
与曲线
1
ln 3
3
x
y
x
在
0
x
x
处的切线互相垂直，则
0x
．
【答案】3
13
2
【解析】对于
3
y
x
，
2
=3
y
x
；
对于
1
ln
0
3
3
x
y
x x
，
1
1
1
1
1
=
=
0
3
3
3
3
y
x
x
x
；
由于两条曲线在
0
0
0
x
x
x
处的切线互相垂直，
所以
2
2
0
0
0
0
1
1
3
=3
=
1
3
x
x
x
x
，
2
0
0
3
1=0
x
x
，解得
0
3
= 3
1
2
x
（负根舍去）.
4.已知函数
3
g x
x
ax
，若曲线
g x 在
0
x
处的切线也与曲线
ln
h x
x
相切，则
a
．
【答案】
1
e
【解析】由已知
2
( )
3
g x
x
a
，
(0)
g
a
，又(0)
0
g
，所以切线方程为y
ax
，
又
1
( )
h x
x
，设( )
h x 上切点坐标为
0
0
(
,
)
x
y
，
则
0
1
a
x
，
0
1
x
a
，由
0
0
y
ax
得
0
ln
1
x ，
0
e
x
，
所以
0
1
1
e
a
x
.
5.若直线y
kx
b
是曲线
e
1
x
y
和
1
ex
y
的公切线，则实数k 的值是（
）
A．
1
e
B．e
C．0
D．1
【答案】D
【解析】设直线y
kx
b
与曲线
e
1
x
y
、
1
ex
y
分别相切于点
1
1
( ,e
1)
x
A x
、
2 1
2
(
,
)
x
B x e
，
对函数
e
1
x
y
求导得
ex
y
，则
1
ex
k
，
曲线
e
1
x
y
在点A 处的切线方程为
1
1
1
e
1
e (
)
x
x
y
x
x
，即
1
1
1
e
(1
)e
1
x
x
y
x
x
，
对函数
1
ex
y
求导得
1
ex
y
，则
2 1
ex
k
，
曲线
1
ex
y
在点B 处的切线方程为
2
2
1
1
2
e
e
(
)
x
x
y
x
x
，即
2
2
1
1
2
e
(1
)e
x
x
y
x
x
，
所以，
1
2
1
2
1
1
1
2
e
e
(1
)e
1
(1
)e
x
x
x
x
k
b
x
x
，化简可得
1
2
0
1
1
0
x
x
k
b
．故选：D.
题型九：利用切线求距离最值
1.已知点P 为函数
2e x
f x
的图象上一点，则点P 到直线:
2
l y
x
的距离的最小值为（
）
A．
5
5
B．1
5
C．
1
2
D．1
4
【答案】A
【解析】设直线m 平行于直线l ，则直线m 的斜率为2，87418458 马老师原创
当直线m 与函数
f
x 的图象相切，点P 为切点时，点P 到直线:
2
l y
x
的距离的最小，
设切点坐标为
0
0
,
x
y
，
因为
2
2e x
f
x
，则
0
0
2
2
2e
x
f
x
，解得
0
0
x
，87418458 马老师原创
又
0
0
,
x
y
在函数
2e x
f x
的图象上，则
0
2
0
1
e x
y
，
则切点坐标为
0,1 ，到直线: 2
0
l
x
y
的距离为
2
2
2 0 1
5
5
2
1
d
，
则点P 到直线:
2
l y
x
的距离的最小值为
5
5 .故选：A.87418458 马老师原创
2.设点A 在直线
3
1
0
x
y
上，点B 在函数
ln
f x
x
的图象上，则AB 的最小值为
.
【答案】
1
1
ln3
4
【解析】设函数
ln
f
x
x
与直线
3
1
0
x
y
平行的切线为l ，则l 的斜率为
3 ，
由
1
3
f
x
x
，得
3
3
x
，所以切点为
3
1
,
ln3
3
2
P
，
则点P 到直线l 的距离就是AB 的最小值，即
1
1
ln3 1
1
2
1
ln3
2
4
.
3.曲线
( )
ln(
1)
1
f x
x
x
上的点到直线
2
4
y
x
的距离的最小值为
【答案】
5
【解析】
( )
f x 的定义域为(1,
)
，求导得
1
1
1
f
x
x
，
令
2
f
x
，解得
2
x
，则
2
3
f
，故切点坐标为
2,3 ，
故曲线
f
x 上的点到直线
2
4
y
x
的距离的最小值即为切点
2,3 到直线
2
4
y
x
的距离，
即为
2
2 2 1 3
4
5
2
1
.
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 137
4.已知点A 在函数
e
2
x
f x
x
的图象上，点B 在直线:
3
0
l x
y
上，则A，B 两点之间距离的最小值
是
．
【答案】2 2
【解析】要使得A，B 两点之间距离最小，即直线l 与曲线
( )
y
f x
的切线平行时，
两平行线间的距离即为A，B 两点之间最小的距离，
由题意可得
e
2
x
f
x
，令
e
2
1
x
f
x
，解得
0
x
．
由
0
1
f
，所以曲线的切线方程为
1
y
x
，即
1
0
x
y
则两直线间的距离
3
1
2 2
2
d
，
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 137
则A，B 两点之间的最短距离是2 2 ．
5.已知函数
e
3
x
f
x
x
，直线: 2
4
0
l
x
y
．若A，B 分别是曲线
y
f x
和直线l 上的动点，则AB
的最小值是
【答案】
5
【解析】
e
3
x
f
x
，设
e
3
x
f
x
x
在点
0
0
0,e
3
x
x
x
处的切线与: 2
4
0
l
x
y
平行，即斜率为-2，
所以
0
e
3
2
x
，解得
0
0
x
，
则
e
3
x
f
x
x
在点
0,1 处的切线方程为
1
2
y
x
，即2
1
0
c
y
则: 2
4
0
l
x
y
与2
1
0
x
y
的距离即为AB 的最小值，
即
2
2
4
1
5
2
1
，故AB 的最小值为
5 .
6.已知点P 在函数
e
1
x
f
x
x
的图象上，点Q 在函数
ln x
g x
x
的图象上，则PQ 的最小值为
.
【答案】
2
【详解】
由函数
e
1
x
f
x
x
，求导可得：
1
e x
f
x
x
，则
0
1
f
，
在
0,1
A
处的切线方程为
1
1
0
y
x
，整理可得：
1
y
x
；
由函数
ln x
g x
x
，求导可得：
2
1 ln x
g
x
x
，则
1
1
g
，
在
10
B
,
处的切线方程为
0
1
1
y
x
，整理可得
1
y
x
；
由直线AB 的斜率
1 0
1
0 1
AB
k
，易知：直线AB 分别与两条切线垂直..
故答案为：
2 .
7.若点P 是曲线
2
ln
y
x
x
上任意一点，点Q 是直线
3
0
x
y
上任意一点，则PQ 的最小距离
为
.
【答案】3 2
2
/ 3
2
2
【详解】
2
1
ln
0 ,
2
y
x
x x
y
x
x
令
1
y，则
1
x ，即曲线
2
ln
y
x
x
在
1,1 处的切线方程为：
(
)
1
1
1
y
x
- = ´
-
，
即y
x
,
如下图所示，当
1,1
P
时PQ的最小值为点P 到直线
3
0
x
y
的距离（Q 为垂足）.
故
min
2
2
1 1 3
3 2
2
1
1
PQ
.
故答案为：3 2
2
8.设点A 在直线
3
1
0
x
y
上，点B 在函数
ln
f x
x
的图象上，则AB 的最小值为
.
【答案】
1
1
ln3
4
【详解】设函数
ln
f x
x
与直线
3
1
0
x
y
平行的切线为l ，则l 的斜率为
3 ，
由
1
3
f
x
x
，得
3
3
x
，所以切点为
3
1
,
ln3
3
2
P
，
则点P 到直线l 的距离就是AB 的最小值，即
1
1
ln3 1
1
2
1
ln3
2
4
.
故答案为：
1
1
ln3
4
.
9.在函数
2
4
y
x
的图象上求一点P，使P 到直线
4
5
y
x
的距离最短，并求这个最短的距离．
【答案】4 17
17
/ 4
17
17
【详解】设
2
,4
P m
m
，
又
8
y
x
，则过点P 的切线斜率
|
8
x m
k
y
m
，
当过点P 的切线平行于直线
4
5
y
x
时，点P 到直线
4
5
y
x
的距离最短，
即8
4
m
，解得：
1
2
m
，此时
1 ,1
2
P
，
它到直线
4
5
y
x
的距离
2
1
4 1 5
4 17
2
17
4
1
d
，
故答案为：4 17
17
.
10.若点P 是曲线
2
ln
y
x
x
上任意一点，则点P 到直线:
4
0
l x
y
距离的最小值为（
）
A．
2
2
B．
2
C．2
D．2 2
【答案】D
【解析】过点P 作曲线
2
ln
y
x
x
的切线，
当切线与直线:
4
0
l x
y
平行时，点P 到直线:
4
0
l x
y
距离最小.
设切点为
0
0
0
1
,
0 ,
2
P x
y
x
y
x
x
，
所以切线斜率为
0
0
1
2
k
x
x
，由题知
0
0
1
2
1
x
x
，解得
0
1
x 或
0
1
2
x
（舍），
1, 1
P
，此时点P 到直线:
4
0
l x
y
距离
1 1 4
2 2
2
d
.故选：D
11.若动点P 在曲线
ex
y
x
上，则动点P 到直线
2
4
y
x
的距离的最小值为（
）
A．
5
B．e
1
C．2 5
D．2e
【答案】A
【解析】设
0
0
0
,ex
P x
x
，由题意知
e
1
x
y
，
则在点
0
0
0
,ex
P x
x
处的切线斜率为
0
0
|
e
1
x
x x
k
y
，
当在点
0
0
0
,ex
P x
x
处的切线与直线
2
4
y
x
平行时，点P 到直线
2
4
y
x
的距离最小，
由
0
e
1
2
x
，得
0
0
x
，则
(0,1)
P
，
所以点
(0,1)
P
到直线的距离
| 1 4|
5
4 1
d
.
所以动点P 到直线
2
4
y
x
的距离的最小值为
5 .故选：A
模块三：综合巩固
1.下列求导正确的是（
）
A．
π
π
sin
sin
cos
sin
6
6
x
x
B．
2
2
1
2 2
1
x
x
C．
2
1
log
ln 2
x
x
D．
2
2
2
2
x
x
x
x
【答案】C
【详解】对于A，
π
π
sin
sin
sin
sin
cos
6
6
x
x
x
，故A 错误；
对于B，根据复合函数的求导法则，
2
2
1
2 2
1
2
1
4 2
1
x
x
x
x
，故B 错误；
对于C，
2
1
log
ln 2
x
x
，故C 正确；
对于D，
2
2
2
2
2 ln 2
2
x
x
x
x
x
x
，故D 错误.
故选：C.
2.下列求导正确的是（
）
A．(cos )
sin
x
x
B．
2
2
2
2
x
x
x
x
C．
π
1
π
sin
cos
cos
sin
3
3
3
x
x
D．
2
2
log e
log x
x
【答案】D
【详解】(cos )
sin
x
x
，故A 错误；
2
2
2 ln2
2
x
x
x
x
，故B 错误；
sin
cos
cos
3
x
x
，故C 错误；
2
2
1
log e
log
ln2
x
x
x
，故D 正确．故选：D．
3.曲线
2x
1
y
x
2
在点
1, 3
处的切线方程为（
）
A．
5
2
y
x
B．
5
2
y
x
C．
5
2
y
x
D．
5
2
y
x
【答案】A
【详解】
2
2
2
2
2
1
5
2
2
x
x
y
x
x
，所求切线斜率
2
5
5
1 2
k
，
所求切线方程为：
3
5
1
y
x
，即
5
2
y
x
.
故选：A.
4.若曲线
2e ax
y
在点
0,1 处的切线与直线
2
1
0
x
y
垂直，则
a
（
）
A．2
B．1
C．1
D．2
【答案】C
【详解】直线
2
1
0
x
y
的斜率为
1
2
k
，
由题设知：
2e ax
y
在
0,1 处的切线的斜率为2 ，而
2
2
e ax
y
a
，
∴
0
|
2
2
x
y
a
，可得
1
a .故选：C.
5.函数
2
log
2
ln2
x
x
f x
x
的图象在
1
x 处切线的斜率为（
）
A．ln2
B．2ln2
C．2
D．
1
2
ln2
【答案】B
【详解】因为
2
log
2
ln2
x
x
f x
x
，
1
2
ln 2
ln2
1
ln 2
x
f
x
x
，
所以
1
1
1
1
2 ln 2
2ln 2
ln 2
ln2
k
f
，
故选：B.
6.已知函数
π
cos
2
2
f x
x
xf
，则
π
2
f
（
）
A．－1
B．0
C．1
D．π
2
【答案】C
【详解】由已知可得，
π
sin
2
2
f
x
x
f
，
所以，
π
π
π
π
sin
2
1
2
2
2
2
2
f
f
f
，
所以，
π
1
2
f
.故选：C.
7.已知曲线
3
2
2
y
x
ax
x
b
在点
1,0 处的切线的倾斜角为3π
4 ，则a
b
（
）
A．
3
4
B．
5
4
C．-2
D．
11
4
【答案】A
【详解】
2
3
4
1
f
x
x
ax
，由题意可知，切线的斜率
3π
tan
1
4
k
，则
1
2
2
0
1
3
4
1
1
f
a
b
f
a
，解得：
5
4
a
，
1
2
b
，
所以
3
4
a
b
.故选：A
8.若曲线
ln
f x
ax
x
与直线
2
2
2ln2
0
x
y
相切，则实数
a
（
）
A．1
B．1
C．2
D．e
【答案】B
【详解】直线
2
2
2ln2
0
x
y
，即
1
1 ln2
2
y
x
，
对于
ln
f x
ax
x
，则
1
f
x
a
x
，
设切点坐标为
0
0
0
,
ln
x ax
x
，切线斜率
0
0
1
k
f
x
a
x ，
则切线方程为
0
0
0
0
1
ln
y
ax
x
a
x
x
x
，即
0
0
1
1 ln
y
a
x
x
x
，
由题意可得
0
0
1
1
2
1 ln
1 ln 2
a
x
x
，解得
0
2
1
x
a
.故选：B.
9.（多选）下列导数的运算中正确的是（
）
A．
3
3 ln 3
x
x
B．
2ln
2 ln
x
x
x x
x
＝
＋
C．cos x
x
＝
2
sin
cos
x
x
x
x
D．
sin
cos
cos 2
x
x
x
【答案】ABD
【详解】
3
3 ln 3
x
x
,正确；
2
2
2
ln
ln
ln
2 ln
x
x
x
x
x
x
x x
x
＝
＋，正确；
2
2
sin cos
sin
cos
sin
cos
cos
sin
cos2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
，正确；
因为
2
cos
sin
cos
x
x
x
x
x
x
，所以C 项错误，其余都正确.
故选：ABD
10.已知函数
3
3
1
f x
x
x
，则过点(
)
1, 1
-
且与曲线
y
f x
相切的直线方程可以为（
）
A．2
1
0
x
y
B．
1
y
C．9
4
5
0
x
y
D．3
2
1
0
x
y
【答案】BC
【详解】由
3
( )
3
1
f x
x
x
，得
2
( )
3
3
f
x
x
，
设切点坐标为
3
,
3
1
t t
t
，则
2
( )
3
3
f
t
t
，
则过切点的切线方程为
2
3
3
3 (
)
3
1
y
t
x
t
t
t
，
把点(1, 1)
代入，可得
2
3
1
3
3 (1
)
3
1
t
t
t
t
，
整理得：
2
(
1) (2
1)
0
t
t
，即
1
t 或
1
2
t
.
当
1
2
t
时，切线方程为9
4
5
0
x
y
;
当
1
t 时，切线方程为
1
y .
故选：BC.
11.若动点P 在直线
1
y
x
上，动点Q 在曲线
2
2
x
y
上，则|PQ|的最小值为（
）
A．1
4
B．
2
4
C．
2
2
D．1
8
【答案】B
【解析】设与直线
1
y
x
平行的直线l 的方程为y
x
m
，
∴当直线l 与曲线
2
2
x
y
相切，且点Q 为切点时，P ，Q 两点间的距离最小，
设切点
0
0
,
Q x
y
，
2
2
x
y
，所以
2
1
2
y
x
，
y
x
，
0
0
1
1
x
x
，
0
1
2
y
，
点
1
1,
2
Q
，直线l 的方程为
1
2
y
x
，
,
P Q
两点间距离的最小值为平行线
1
2
y
x
和
1
y
x
间的距离，
,
P Q
两点间距离的最小值为
1
1
2
2
4
2
.故选：B .
12.若点
,
A a a ，
,eb
B b
,
R
a b
，则A 、B 两点间距离AB 的最小值为（
）
A．1
B．
2
2
C．
2
D．2
【答案】B
【解析】点
,
A a a 在直线y
x
，点
,eb
B b
在
ex
y
上，
e ,
e
x
x
y
y
，
设
ex
y
的切线的切点为
0
0
,
x
y
，
0
0
1
e
1
0
x
y
x
，所以
ex
y
在点
0,1 处的切线为
1
y
x
，
此时切线
1
y
x
与直线y
x
平行，
直线y
x
与
1
y
x
之间的距离
1
2
2
1 1
为AB 的最小值，故选：B
13.已知函数
2
1
ln
f
x
xf
x
x
，则
1
f
.
【答案】1
【详解】函数
2
1
ln
f
x
xf
x
x
，求导得
( )
2
(1)
1
ln
f
x
f
x
，
当
1
x 时，
(1)
2
(1)
1
f
f
，所以
(1)
1
f
.
故答案为：1
14.已知曲线
f
x
x
与曲线
ln
g x
a
x
（a
R
）相交，且在交点处有相同的切线，则
a
.
【答案】2
e
【详解】易知：必有
0
a
.
设两曲线的交点为
0
0
,
P x
y
，
1
2
f
x
x
，
a
g
x
x
0
x
，由题意：
0
0
0
0
ln
1
2
x
a
x
a
x
x
，
两式相除得：
0
0
0
2
ln
x
x
x
，∵
0
0
x
，∴
2
0
0
ln
2
x
x
e
.
代入
0
0
ln
x
a
x
得：
2
e
a
解得
2
e
a
.
故答案为：2
e
15.已知函数
3
f x
x
a
，点
0,0
A
在曲线
( )
y
f x
上.
(1)求曲线
( )
y
f x
在点( 1, 1)
处的切线方程；
(2)求曲线
( )
y
f x
过点
(2,0)
E
的切线方程.
【答案】(1)3
2
0
x
y
；
(2)
0
y
或27
54
0
x
y
.
【详解】（1）由题意
(0)
0
0
0
f
a
a
，故
3
( )
f x
x
，
所以
2
( )
3
( 1)
3
f
x
x
f
，而
( 1)
1
f
，
所以曲线
( )
y
f x
在点( 1, 1)
处的切线方程为
1
3(
1)
3
2
0
y
x
x
y
.
（2）令所求切线在曲线
( )
y
f x
上的切点为
3
( ,
)
m m
，则
2
( )
3
f m
m
，
所以切线方程为
3
2
2
3
3
(
)
3
2
0
y
m
m
x
m
m x
y
m
，
又
(2,0)
E
在切线上，故
2
3
6
2
0
0
m
m
m
或
3
m
，
所以切线方程为
0
y
或27
54
0
x
y
.
16.已知函数
3
f x
x
.
(1)若曲线
y
f x
在点
1,
1
A
f
处的切线与x 轴，y 轴分别交于点M ，N ，求
MON
△
的面积（O为坐
标原点）；
(2)求与曲线
y
f x
相切，并过点
0,2 的直线方程.
【答案】(1)6
(2)
3
6
0
x
y
.
【详解】（1）∵
2
3
f
x
x
，∴
1
3
f
，又
1
3
f
，
∴
f
x 在
1,
1
f
处的切线方程为：
3
3
1
y
x
，即3
6
0
x
y
，
∴可得
2,0
M
，
0, 6
N
，
∴
1
1
6 2
6
2
2
MON
S
OM
ON
△
；
（2）设过点
0,2 的直线与
f
x 相切于点
3
,t
t
，
由
2
3
f
x
x
，∴
2
3
f
t
t
，∴切线方程为：
2
3
3
y
x
t
t
t
又切线过点
0,2 ，
∴
3
3
2
t
t
，解得：
3
t ，
∴所求切线方程为：
1
1
3
3
y
x
，即
3
6
0
x
y
.
17.已知
2
1
ln
8
f x
x
x
.
(1)求曲线
f
x 在
1
x 处的切线方程；
(2)设P 为曲线
f
x 上的点，求曲线C 在点P 处切线的斜率的最小值及倾斜角的取值范围.
【答案】(1)10
8
9
0
x
y
(2)1，π π
,
4 2
【详解】（1）∵
2
1
ln
8
f x
x
x
，∴
1
1
4
f
x
x
x
，
当
1
x 时，
5
1
4
f
，
1
1
8
f
，
∴曲线
f
x 在
1
x 处的切线方程为
1
5
1
8
4
y
x
，即10
8
9
0
x
y
；
（2）由题意
0
x
，
2
1
ln
8
f x
x
x
，
∴
1
1
1
1
2
1
4
4
f
x
x
x
x
x
，当且仅当1
1
4 x
x
即
2
x
时，等号成立，
∴曲线C 在点P 处切线的斜率的最小值为1，
∴tan
1
，又0
π
，
∴π
π
4
2
，即倾斜角的取值范围为π π
,
4 2
.
18.已知函数
3
2
3
7
f x
x
ax
x
．
(1)若曲线
y
f x
的切线斜率不小于6
，求a 的取值范围；
(2)当
5
a 时，求曲线
y
f x
过点
1,0 的切线方程．
【答案】(1)
3,3
(2)
10
10
y
x
或
11
11
y
x
．
【详解】（1）由题意可得
2
3
2
3
f
x
x
ax
．
因为曲线
y
f x
的切线斜率不小于6
，所以
2
3
2
3
6
x
ax
恒成立，
即
2
3
2
3
0
x
ax
恒成立，则
2
2
4 3 3
0
a
，
解得3
3
a
，即a 的取值范围是
3,3
．
（2）当
5
a 时，
3
2
5
3
7
f x
x
x
x
，则
2
3
10
3
f
x
x
x
．
当
1,0 是切点时，所求切线斜率
1
10
k
f
，
则所求切线方程为
10
1
10
10
y
x
x
．
当
1,0 不是切点时，设所求切线与曲线
y
f x
的切点为
0
0
,
x
y
，
由导数的几何意义可得
3
2
2
0
0
0
0
0
0
5
3
7
3
10
3
1
x
x
x
x
x
x
，
整理得
3
2
0
0
0
4
5
2
0
x
x
x
，即
2
0
0
1
2
0
x
x
，
解得
0
2
x
或
0
1
x (舍去)，
则切点
2, 11
，所求切线斜率
2
11
k
f
，.
故所求切线方程为
11
11
y
x
．
综上，所求切线方程为
10
10
y
x
或
11
11
y
x
．
19.已知
0,
0
a
b
，直线
2
y
x
a
与曲线
1
e
1
x
y
b
相切，则2
1
a
b
的最小值为
.
【答案】9
【详解】设切点为
0
0
,
x
y
，由
1
e
1
x
y
b
得
1
ex
y
，由题意
0
0
1
0
0
1
0
e
1
2
e
1
x
x
y
x
a
y
b
，
解得
0
1
x ，所以1
2
2
a
b
，即2
1
a
b
，
故2
1
2
1 (2
)
a
b
a
b
a
b
2
2
5
5
2 4
9
b
a
a
b
，当且仅当
1
3
a
b
时，等号成立，
故答案为：9
