5.6 正切函数的图象与性质
模块一：基础知识 .........................................................................2
考点一：正切函数的性质与图象 .....................................................2
考点二：三点两线法作正切曲线的简图 .............................................2
模块二：题型分类 .........................................................................3
题型一：正切函数的定义域 ...........................................................3
题型二：正切函数的值域 ..............................................................4
题型三：求正切函数的单调区间 .....................................................6
题型四：正切函数单调性的应用 .....................................................7
题型五：正切函数图象的对称性 .....................................................9
题型六：正切函数的周期性与奇偶性 ..............................................11
题型七：与正切（型）函数有关的值域（最值）问题 .........................12
题型八：正切函数图象与性质的综合应用 ........................................14
模块三：综合巩固 .......................................................................17
5.6 正切函数的图象与性质
模块一：基础知识
考点一：正切函数的性质与图象
定义域
周期性
由诱导公式
可知，正切函数是周期
函数，周期是π.
奇偶性
由诱导公式
可知，正切函数是奇
函数.
图象
单调性
正切函数在每一个区间
上都单调递增
值域
正切函数的值域是实数集R
对称中心
考点二：三点两线法作正切曲线的简图
类比于正、余弦函数图象的五点法，我们可以采用三点两线法作正切函数的简图.“三点”是指点
(-
,-1),(0,0),(
,1);“两线”是指直线x=-
和x=
.在三点、两线确定的情况下,可以大致画出正切函数在区
间(-
,
)上的简图.
模块二：题型分类
题型一：正切函数的定义域
1.函数
( )
3tan(4
)
2
π
1
f x
x
的定义域为
.
【答案】
5π
π ,
48
4
k
x x
k
Z
∣
【详解】令4
π,
12
2
π
π
x
k
k
Z ，所以
5π
π ,
48
4
k
x
k
Z ，
即函数
f x 的定义域为
5π
π ,
48
4
k
x x
k
Z
∣
.
故答案为：
5π
π ,
48
4
k
x x
k
Z
∣
.
2.函数
π
1
tan
4
y
x
的定义域为
．
【答案】
3π
π
π,
4
x
k
x
k
k
Z
【详解】 由
π
1
tan
0
4
x
，得
π
tan
1
4
x
，且
π
π
π
4
2
x
k
k
Z ．
由图可得
π
π
π
π
π
2
4
4
k
x
k
k
Z ，即
3π
π
π
4
k
x
k
k
Z ．
所以函数
π
1
tan
4
y
x
的定义域为
3π
π
π,
4
x
k
x
k
k
Z ．
故答案为：
3π
π
π,
4
x
k
x
k
k
Z .
3.函数
sin
cos
tan
x
x
y
x
的定义域为
．
【答案】
π ,
2
k
x x
k
Z
【详解】因为函数
sin
y
x
与
cos
y
x
的定义域为R ，
若要使函数
sin
cos
tan
x
x
y
x
有意义，必须使tan x 有意义，且tan
0
x
，
所以有
π
π
,
2
π,
x
k
k
x
k
k
Z
Z
，解得
π ,
2
k
x
k
Z，
所以函数
sin
cos
tan
x
x
y
x
的定义域为
π ,
2
k
x x
k
Z ．
4.函数
π
π
tan 6
3
y
x
的定义域是
．
【答案】{ |
1
6 ,
Z}
x x
k k
【详解】由于正切函数
tan
y
x
的定义域为
π
{ |
π,
Z}
2
x x
k
k
，
故令π
π
π
π,
Z
6
3
2
x
k
k
，
解得
1
6 ,
Z
x
k k
，
即函数
π
π
tan 6
3
y
x
的定义域是{ |
1
6 ,
Z}
x x
k k
，
故答案为：{ |
1
6 ,
Z}
x x
k k
题型二：正切函数的值域
1.函数
tan
,
,
6 3
6
y
x
x
的值域为
.
【答案】
0,
【详解】设
6
z
x
，因为
,
6 3
x
，可得
(0,
)
2
z
，
因为正切函数
tan
y
z
在0, 2
上的值域为
0,
，
即函数
tan
6
y
x
在
,
6 3
的值域为
0,
.
故答案为：
0,
.
2.函数
2
tan
4tan
1
y
x
x
的值域为
【答案】
5,
【详解】解：因为
2
tan
4tan
1
y
x
x
令
tan
t
x
，则t
R
所以
2
2
4
1
2
5
f t
t
t
t
，所以
5,
f t
，故函数的值域为
5,
故答案为：
5,
3.函数
π
tan
6
y
x
，
π 5π
,
6 12
x
的值域为（ ）
A．
3,1
B．
3
1, 3
C．
1, 3
D．
3 ,1
3
【答案】A
【详解】设
π
6
z
x
，因为
π 5π
,
6 12
x
，所以
π π
,
3 4
z
．
因为正切函数
tan
y
z
在
π π
,
2 2
上单调递增，且
π
tan
3
3
，
π
tan
1
4 ，
所以
tan
3,1
z
．
故选：A．
4.函数
2
2tan
5tan
2
f x
x
x
，
,
4 4
x
的值域为
．
【答案】
9,1
【详解】解：因为
,
4 4
x
，所以
tan
1,1
x
，
2
5
9
2 tan
4
8
f x
x
，
则当tan
1
x 时，
max
1
f x
，
当tan
1
x 时，
min
9
f x
，
所以函数
f x 的值域为
9,1
.
故答案为：
9,1
.
5.函数
2
tan
tan
2,
,
4 4
y
x
x
x
的值域为
.
【答案】7 4
4
，
【详解】由
,
4 4
x
得
tan
1,1
x
，
2
2
1
7
tan
tan
2
tan
2
4
y
x
x
x
，
故当
1
tan
2
x
时，有最小值7
4 ，当tan
1
x 时，有最大值4 .
故答案为：7 4
4
，.
6.函数
π
π
1
3 tan
4
3
y
x
x
的值域为
．
【答案】
2,1
3
【详解】当π
π
4
3
x
时，1
tan
3
x
，
2
1
3 tan
1
3
x
，
即
π
π
1
3 tan
4
3
y
x
x
的值域为
2,1
3
.
故答案为：
2,1
3
.
题型三：求正切函数的单调区间
1.函数
tan
3
6
y
x
的单调区间是（ ）
A．
π
π
π
, π
(
)
3
3
k
k
k
Z
B．
2
,
(
)
9
9
k
k
k
Z
C．
2
,
(
)
3
9
3
9
k
k
k
Z
D．
2
,
(
)
3
9
3
9
k
k
k
Z
【答案】D
【详解】因为
tan
3
tan 3
6
6
y
x
x
，
令
3
2
6
2
k
x
k
，k Z ，解得
2
3
9
3
9
k
k
x
，k Z ，
所以函数
tan
3
6
y
x
的单调递减区间为
2
,
(
)
3
9
3
9
k
k
k
Z .
故选：D.
2.
π
3tan 6
4
x
y
的单调递减区间为
.
【答案】
4
8
4 π
π, 4 π
π
3
3
k
k
k
Z
【详解】函数
π
π
6
4
4
6
3tan
3tan
x
x
y
，
由正切函数的性质知
π
4
6
π
π
π
π
2
2
k
x
k
k
Z
，
解得
4
8
4 π
π
4 π
π
3
3
k
x
k
k
Z
所以函数的单调递减区间为
4
8
4 π
π, 4 π
π
3
3
k
k
k
Z
故答案为：
4
8
4 π
π, 4 π
π
3
3
k
k
k
Z
3.若函数
tan(
)
y
x
在
,
4 4
上为严格减函数，则实数的取值范围是
．
【答案】( 2,0)
【详解】因为函数
2tan
y
x
的单调递增区间为
π
π
π,
π
2
2
k
k
，
Z
k
，
且函数
2tan
y
x
在
,
4 4
上为严格减函数，
所以
4
2
4
2
0
，解得2
0
，即
( 2,0)
.
故答案为：( 2,0)
.
4.函数
π
tan
3
4
y
x
的单调递减区间为
．
【答案】
π
π π
π
,
(
)
12
3
4
3
k
k
k
Z
【详解】
π
π
tan
3
tan 3
4
4
y
x
x
．
由
π
π
π
π
3
π
Z
Z
2
4
2
π
π
π
π
12
3
4
3
k
k
k
k
k
x
x
k
，
故函数
π
tan
3
4
y
x
的单调递减区间为
π
π π
π
,
(
)
12
3
4
3
k
k
k
Z
故答案为：
π
π π
π
,
(
)
12
3
4
3
k
k
k
Z
题型四：正切函数单调性的应用
1.已知函数
tan
y
x
在
,
2 2
内是减函数，则的取值范围为（ ）
A．
2,0
B．
1,0
C．
0,1
D．
1,2
【答案】B
【详解】由函数
tan
y
x
在
,
2 2
内是减函数，可得
0
，
由
,
2 2
x
，可得
,
2
2
x
，
则
2
2
2
2
，所以1
0
.
故选：B.
2.已知函数
π
( )
tan(
)(
0)
3
f x
A
x
，若f x
（）在区间π
π
2
，
内单调递减，则的取值范围是（ ）
A．
1
0 6
，
B．1 7
( , )
3 6
C．
1
1 7
(0, ]
[ , ]
6
3 6
D．
1
1 7
(0, )
( , )
6
3 6
【答案】C
【详解】因为f x
（）在区间π
π
2
，
内单调递减，所以
0
A，
π
tan(
)(
0)
3
y
x
在区间π
π
2
，
内单调递
增，
由
π
π
π
π
π
2
3
2
k
x
k
，
Z
k
，得π
5π
π
π
6
6
k
k
x
，
Z
k
，
所以
π
tan(
)(
0)
3
y
x
的单调递增区间为
π
5π
π
π
,
6
6
k
k
，
Z
k
，
依题意得π
π
2
，
π
5π
π
π
,
6
6
k
k
，
Z
k
，
所以
π
5π
π
6
2
π
π
π
6
k
k
，
Z
k
，
所以
5
1
2
3
6
k
k
，
Z
k
，
由
5
1
2
3
6
k
k
得
11
6
k
，由
1
0
6
k
得
1
6
k
，
所以
1
11
6
6
k
且
Z
k
，
所以
0
k
或
1
k ，
当
0
k
时，
6
5
1
3
，又
0
，所以
1
0
6
，
当
1
k 时，1
7
3
6
.
综上所述：
1
1 7
(0, ]
[ , ]
6
3 6
.
故选：C.
3.已知函数
tan
y
x
在
,
2 2
上是严格减函数，则实数的取值范围是
．
【答案】
1,0
【详解】因为函数
tan
y
x
在
,
2 2
上是严格减函数，
所以
0
，2
2
x
，
,
,
2
2
2 2
，
2
2
1
0
2
2
.
故答案为：
1,0
4.若函数
tan
f x
x
在区间
π
π
,
3
2
a
a
上是增函数，则实数a 的取值范围是
．
【答案】
0,1
【详解】解：因为π
π
2
3
a
a
，所以
0
a
，
所以
0
π
π
3
2
π
π
2
2
a
a
a
，解得0
1
a
，即
0,1
a
．
故答案为：
0,1
题型五：正切函数图象的对称性
1.函数
1
π
( )
3tan 2
3
f x
x
的图象的对称中心为
.
【答案】
2π
π
,0 ,
3
k
k
Z
【详解】∵
tan
y
x
的对称中心为
π ,0 ,
2
k
k
Z ，
∴令1
π
π ,
2
3
2
k
x
k
Z ，则
2π
π
,
3
x
k
k
Z，
即
f x 的对称中心为
2π
π
,0 ,
3
k
k
Z.
故答案为：
2π
π
,0 ,
3
k
k
Z.
2.函数
π
tan 2
7
f x
x
图象的对称中心可能是( )
A．π ,0
7
B．
π ,0
7
C．
π ,0
14
D．
π ,0
14
【答案】C
【详解】由
π
π
2
,
7
2
k
x
k
Z，得
π
π ,
14
4
k
x
k
Z ，
当
0
k
时，
π
14
x
．
故选：C．
3.以点
π ,0 (
)
2
k
k
Z 为对称中心的函数是（ ）．
A．
sin
y
x
B．
cos
y
x
C．
tan
y
x
D．
| tan
|
y
x
【答案】C
【详解】对于A 选项，对称中心为
π,0 (
)
k
k Z ，故不选A；
对于B 选项，对称中心为π
π,0 (
)
2
k
k
Z ，故不选B;
对于C 选项，对称中心为
π ,0 (
)
2
k
k
Z ，故C 选项正确；
对于D 选项，不是中心对称图形，故不选D.
故选：C.
4.已知函数
sin
0,0
π
f x
x
的最小正周期为2 π
3
，其图像的一个对称中心的坐标为
π ,0
4
，则曲线
tan
g x
x
的对称中心坐标为（ ）
A．
π
π ,0
3
12
k
，k Z
B．
π
π ,0
6
12
k
，k Z
C．
π
π ,0
3
12
k
，k Z
D．
π
π ,0
6
12
k
，k Z
【答案】B
【详解】函数
sin
0,0
π
f x
x
的最小正周期为2 π
3
，则有2
2π
π
3
，
3
，则
sin 3
f x
x
，
函数图像的一个对称中心的坐标为π ,0
4
，则
π
3π
sin
0
4
4
f
，
由0
π
，
π
4
，
则
π
tan 3
4
g x
x
，由
π
π
3
Z
4
2
k
x
k
，解得
π
π
Z
6
12
k
x
k
，
所以曲线
tan
g x
x
的对称中心坐标为
π
π ,0
6
12
k
，k Z .
故选：B
5.（多选）下列坐标所表示的点是函数
π
tan 2
6
y
x
的图像的对称中心的是（ ）
A．
π ,0
12
B．π ,0
6
C．
5π ,0
12
D．π ,0
3
【答案】ACD
【详解】对于函数
π
tan 2
6
y
x
，令
π
π
2
,
Z
6
2
k
x
k
，
解得
π
π ,
Z
12
4
k
x
k
，所以函数的对称中心为
π
π ,0 ,
Z
12
4
k
k
，
当
0
k
时为
π ,0
12
，当
2
k 时为
5π ,0
12
，当
1
k 时为π ,0
3
.
故选：ACD
6.（多选）已知函数
π
tan
4
f x
x
，则下列叙述中，正确的是（ ）
A．函数
f x 的图象关于点
0
π
4 ,
对称
B．函数
f x 在
π π
,
4 4
上单调递增
C．函数
f x 的图象关于直线
π
2
x
对称
D．函数
y
f x
是偶函数
【答案】AB
【详解】
0
0
π
tan
4
f
，A 正确；
当
π π
,
4 4
x
时，
π
π
0,
4
2
x
，因此此时
f x 单调递增，B 正确；
函数
tan
y
x
的图象不是轴对称图形，函数
f x 的图象是由
tan
y
x
的图象向左平移π
4 个单位得到的，所
以其图象也不是轴对称图形，C 错误；
因为
0
4
π
f
，但
π
4
f
不存在，D 错误，
故选：AB．
题型六：正切函数的周期性与奇偶性
1.函数
π
tan 5
3
x
y
的最小正周期为
．
【答案】3π
【详解】由题意函数
π
tan 5
3
x
y
的最小正周期为
π
3π
1
|
|
3
，
故答案为：3π
2.函数
π
2tan 3
4
y
x
的最小正周期是（ ）
A．π
6
B．π
3
C．π
2
D．π
【答案】B
【详解】函数
π
2tan 3
4
y
x
的最小正周期是π
3 .
故选：B.
3.已知
( )
tan
sin
4
2
x
f x
a
b
x
（其中a
b
、为常数且
0
ab
），如果
3
5
f
，则
2010
(
)
3
f
的值为
（ ）
A．3
B．3
C．5
D．5
【答案】B
【详解】设( )
( )
4
tan
sin
2
x
g x
f x
a
b
x
，
2 π
π,
Z
x
k
k
则(
)
tan
sin(
)
tan tan
sin
( )
2
2
x
x
g
x
a
b
x
a
b
x
g x
，
则函数( )
g x 是奇函数；
2π
(
2π)
tan
sin(
2π)
tan
sin
( )
2
2
x
x
g x
a
b
x
a
b
x
g x
，
则函数( )
g x 是周期为2π的周期函数；
由
(3)
5
f
，可得(3)
(3)
4
1
g
f
，则( 3)
1
g
，
所以(2010π
3)
(2010π
3)
4
( 3)
1
g
f
g
，
则
(2010π
3)
4 1
3
f
故选：B .
4.已知函数
5
tan
3
f x
x
x
，且
2
f
m
，则
f m （ ）
A．4
B．1
C．1
D．4
【答案】A
【详解】设
5
3
tan
g x
f x
x
x
，定义域为R ，
则
5
5
tan
tan
g
x
x
x
x
x
g x
，故
g x 是奇函数，
从而
g m
g
m
，即
3
3
f m
f
m
，
即
6
4
f m
f
m
.
故选：A
5.已知
2023sin
2024tan
1
f x
x
x
，
2
1
0
1
2
f
f
f
f
f
.
【答案】5
【详解】令
2023sin
2024tan
g x
x
x
，
由
sin
y
x
与
tan
y
x
为奇函数，则
g
x
g x
，
则
2
1
0
1
2
f
f
f
f
f
2
1
1
1
0
1
1
1
2
1
g
g
g
g
g
2
2
1
1
0
5
g
g
g
g
g
=
5
.
故答案为：5
.
题型七：与正切（型）函数有关的值域（最值）问题
1.函数
2
tan
2tan ,
,
6 4
y
x
x x
的值域为
．
【答案】1
2 3 ,3
3
【详解】∵
,
6 4
x
，∴
3
tan
[
,1]
3
x
，
2
2
tan
2tan
(tan
1)
1
y
x
x
x
，
∴
3
tan
3
x
时，
min
1
2 3
3
y
，tan
1
x 时，
max
3
y
，∴所求值域为1
2 3 ,3
3
．
故答案为：1
2 3 ,3
3
．
2.若函数
π
tan 2
3
y
x
k
，
π
0, 6
x
的图象都在x 轴上方，则实数k 的取值范围为
.
【答案】
3,
【详解】因为函数
π
tan 2
3
y
x
k
，
π
0, 6
x
的图象都在x 轴上方，
所以
π
tan 2
0
3
y
x
k
对于
π
0, 6
x
恒成立，
所以
π
tan 2
3
k
x
对于
π
0, 6
x
恒成立，
因为
π
0, 6
x
，所以
π
π
2
,0
3
3
x
，
π
tan 2
3,0
3
x
，
所以
π
tan 2
0, 3
3
x
，
所以
3
k
，
所以实数k 的取值范围为
3,
，
故答案为：
3,
.
3.函数
2
( )
tan
tan
2,
,
4 4
f x
x
x
x
的值域是
【答案】
9 ,0
4
【详解】
,
4 4
x
，
tan
[ 1,1]
x
2
2
1
( )
tan
tan
2
tan
9
4
2
f x
x
x
x
9
( )
0
4
f x
故答案为：
9 ,0
4
4.若函数
tan
4
y
x
在
,
3 3
上单调递减，且在
,
3 3
上的最大值为3 ，则
.
【答案】
1
4
/-0.25
【详解】因为函数
tan
4
y
x
在
,
3 3
上单调递减，
所以
0
，
2
3
，则
3
0
2
，
又因为函数在
,
3 3
上的最大值为3 ，
所以
,
3
4
3
k
k
Z
，即
1
3 ,
4
k k
Z
，
所以
1
4
.
故答案为：
1
4
题型八：正切函数图象与性质的综合应用
1.画出函数
| tan
|
y
x
的图象．
(1)根据图象判断其定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性；
(2)求不等式| tan
| 1
x 的解集．
【答案】(1)答案见解析；
(2)
π
π
π
π
}
,
4
4
|
Z
{
k
x
k
k
x
.
【详解】（1）函数
| tan
|
y
x
，化为
π
tan ,
π
π
2
,
Z
π
tan , π
π
2
x
k
x
k
y
k
x k
x
k
，
函数
| tan
|
y
x
的图象如下：
观察图象知，函数
| tan
|
y
x
的定义域为
π
{
R |
π,
Z}
2
x
x
k
k
；值域为[0,
)
；
函数
| tan
|
y
x
的递减区间是
π
(
π, π](
Z)
2
k
k
k
，递增区间为
π
[ π,
π)(
Z)
2
k
k
k
；
函数
| tan
|
y
x
是偶函数；周期是π .
（2）由| tan
| 1
x ，得1
tan
1
x
，而函数
tan
y
x
在
π π
(
,
)
2 2
上单调递增，且是周期为π 的周期函数，
于是
π
π
π
π,
Z
4
4
k
x
k
k
，
所以不等式| tan
| 1
x 的解集是
π
π
{ | π
π
,
Z}
4
4
x k
x
k
k
.
2.已知函数
π
tan
3
f x
x
，其中
0
.
(1)若
2
，求函数
f x 的最小正周期以及函数图象的对称中心；
(2)若
f x 在闭区间
0,π 上是严格增函数，求正实数的取值范围.
【答案】(1) π
2 ,
π
π ,0
4
6
k
, k Z;
(2)
1
0, 6
【详解】（1）∵
2
，∴函数
f x 的最小正周期为
π
π
2
T
,
令
π
π
2
3
2
k
x
, k Z,解得
π
π
4
6
k
x
，k Z,
∴函数图象的对称中心为
π
π ,0
4
6
k
, k Z.
（2）∵
f x 在闭区间
0,π 上是严格增函数，
∴
π
π
π
π
,
π
0,
3
3
3
2
x
，
∴
π
π
π
3
2
，且ω 为正实数，解得
1
0, 6
3.设函数
π
tan 2
3
x
f x
(1)求函数
( )
f x 的定义域、最小正周期．
(2)求不等式1
( )
3
f x
的解集．
【答案】(1)定义域
5π
|
2 π,
Z
3
x x
k
k
；最小正周期
2π
T
；
(2)
π
4π
|
2 π
2 π,
Z
6
3
x
k
x
k
k
【详解】（1）函数
π
tan 2
3
x
f x
的定义域满足函数
π
π
π,
Z
2
3
2
x
k
k
，所以
5π
2 π,
Z
3
x
k
k
所以函数的定义域为
5π
|
2 π,
Z
3
x x
k
k
；
最小正周期
π
2π
1
2
T
；
（2）由不等式1
( )
3
f x
，则
π
π
π
π
π,
Z
4
2
3
3
x
k
k k
，解得π
4π
2 π
2 π,
Z
6
3
k
x
k
k
，
所以不等式的解集为
π
4π
|
2 π
2 π,
Z
6
3
x
k
x
k
k
.
4.已知函数
π
( )
tan
3
f x
x
，
0
．
(1)若
2
，求
f x 的最小正周期与函数图像的对称中心；
(2)若
f x 在
0,π 上是严格增函数，求的取值范围；
(3)若方程
3
f x
在
,a b 上至少存在2022 个根，且b－a 的最小值不小于2022，求的取值范围．
【答案】(1) π
2 ，
π
π ,0
Z
4
6
k
k
；
(2)
1
0, 6
；
(3)
2021
0,
π
2022
．
【详解】（1）由题可得
π
( )
tan 2
3
f x
x
，
所以函数的最小正周期为π
2 ，
由
π
π
2
,
Z
3
2
k
x
k
，可得
π
π ,
Z
4
6
k
x
k
，
所以函数
f x 的图像的对称中心
π
π ,0
Z
4
6
k
k
；
（2）因为
f x 在
0,π 上是严格增函数，
所以
π
π
π
π
0,π
,
π
0,
3
3
3
2
x
x
，
所以
π
π
π
3
2
，又
0
，
所以
1
0, 6
；
（3）因为
π
π
π
( )
3
tan
3
π,
Z
3
3
3
f x
x
x
k
k
，
所以
π
k
x
，
Z
k
，至少存在2022 个根，
所以可得b－a 至少包含2021 个周期，即
π
2021
2021
b
a
T
，
所以b－a 的最小值为
π
2021
，又b－a 的最小值不小于2022，
所以
π
2021
2022
，
所以
2021
0,
π
2022
．
5.已知函数
3 tan
0
x
f x
．
（1）当
4
ω=
时，求
f x 的最小正周期及单调区间；
（2）若
3
f x 在
,
3 4
x
上恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）4，
4
2,4
2
k
k
，k Z ；（2）
.
【详解】（1）当
4
ω=
时，
f x 的最小正周期
4
4
T
,故最小正周期为4；
要求
f x 的单调区间，只需
2
4
2
x
k
k
，解得：4
2
4
2
k
x
k
，
故
f x 的增区间为
4
2,4
2
k
k
，k Z ，无单减区间.
（2）∵
0
，∴函数
f x 的周期T
．∵
3
f x 在
,
3 4
x
上恒成立，∴
f x 在
,
3 4
x
上为严格增函数，∴
1
3
2
2
T
，∴
2
3
．
∵
3
4
f
f
，∴
3
3
f
，即
3 tan
3
3
3
f
，即tan
3
3
，∴
3
3
，∴
．
模块三：综合巩固
1.函数
π
tan 2
3
y
x
的定义域是（ ）
A．
5π
π ,
Z
12
2
k
x x
k
B．
5π
π,
Z
12
x x
k
k
C．
π
π ,
Z
3
2
k
x x
k
D．
π
π,
Z
3
x x
k
k
【答案】A
【详解】由题意可得：
π
π
2
π
Z
3
2
x
k
k
，解得
5π
π
Z
12
2
k
x
k
，
函数
π
tan 2
3
y
x
的定义域为
5π
π ,
Z
12
2
k
x x
k
.
故选：A.
2.函数
π
tan 2
x
f x
的最小正周期是（ ）
A．2π
B．4π
C．2
D．4
【答案】C
【详解】
f x 的最小正周期为
π
2
π
2
.
故选：C.
3.函数
π
π
( )
tan 2
3
f x
x
的单调区间是（ ）
A．
5
1
2 ,
2
(
Z)
3
3
k
k
k
B．
5
1
2 ,
2
(
Z)
3
3
k
k
k
C．
5
1
4 ,
4
(
Z)
3
3
k
k
k
D．
5
1
4 ,
4
(
Z)
3
3
k
k
k
【答案】A
【详解】由
π
π
π
π
π
π,
Z
2
2
3
2
k
x
k
k
，解得
5
1
2 ,
2
,
Z
3
3
k
k
k
k
，
所以函数
π
π
( )
tan 2
3
f x
x
的单调区间是
5
1
2 ,
2
(
Z)
3
3
k
k
k
.
故选：A.
4.下列各式中正确的是（ ）
A．tan1
tan 2
B．tan 735
tan800
C．
5π
4π
tan
tan
7
7
D．
9π
π
tan
tan
8
7
【答案】C
【详解】对于A 中，由
π
0
1
3
，且π
2π
2
3
3
，由正切函数
tan
y
x
性质，
可得
π
0
tan1
tan
3
3
，tan2
0
且
2π
tan 2
tan
3
3
，
所以
tan 2
3
，所以tan1
tan 2
，所以A 不正确；
对于B 中，由tan 735
tan15 ,tan800
tan80
，
由正切函数
tan
y
x
单调性可得tan15
tan80
，即tan 735
tan800
，所以B 错误；
对于C 中，由正切函数
tan
y
x
在π
(
,π)
2
上为单调递增函数，
因为4π
5π
7
7
，所以
5π
4π
tan
tan
7
7
，所以C 正确；
对于D 中，由
9π
π
π
tan
tan(π
)
tan
8
8
8
，由正切函数的单调性，可得
π
π
tan
tan
8
7
，
即
9π
π
tan
tan
8
7
，所以D 错误.
故选：C.
5.函数
tan
sin
tan
sin
f x
x
x
x
x
|在区间（π
2 ，3π
2 ）内的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】当
π ,π
2
x
时，tan
0
sin
x
x
，
∴
tan
sin
tan
sin
2tan
f x
x
x
x
x
x
，
当
3π
π, 2
x
时，tan
0
sin
x
x
，
∴
tan
sin
tan
sin
2sin
f x
x
x
x
x
x
，
由选项可判定B 选项图象正确.
故选：B
6.已知函数
f x 对任意xR 都有
2
f
x
f
x
，且函数
1
f x
的图象关于
1,0
对称，当
1,1
x
时，
tan
f x
x .则下列结论正确的是（ ）
A．函数
y
f x
的图象关于点
,0
k
k Z 对称
B．函数
y
f x
的图象关于直线
2
x
k k
Z 对称
C．函数
y
f x
的最小正周期为2
D．当
2,3
x
时，
tan
2
f x
x
【答案】C
【详解】因为函数
f x 对任意xR 都有
2
f
x
f
x
，即
2
4
4
f x
f x
f x
f x
-
=- -
=
恒
成立，所以
f x 的周期为4.
因为函数
1
f x
的图象关于
1,0
对称，所以将
1
y
f x
的图象向右平移一个单位，得到
y
f x
的
图象，所以
y
f x
的图象关于
0,0 对称，
故
2
f x
f x
f
x
=-
，因此
f x 的图象关于
1
x 对称，
设
1,3
x
，则
2
1,1
x
，
因为函数
f x 对任意xR 都有
2
f
x
f
x
所以
2
tan
2
f x
f x
x
，
所以
tan , 1
1,
tan
2 ,1
3,
x
x
f x
x
x
所以选项D 错误.
作出
y
f x
的图象如图所示：
由图象可知，函数
y
f x
的图象关于点
2 ,0
k
k Z 中心对称，关于直线
2
1
x
k
k
Z 对称，故A，B
错误；
对于C：函数
y
f x
的图象可以看成
y
f x
的图象x 轴上方的图象保留，把x 轴下方的图象翻折到x
轴上方，所以函数
y
f x
的最小正周期为2.故C 正确.
故选：C
7.函数
π
tan
0,
2
f x
x
的图像如图所示，图中阴影部分的面积为6π ，则
2023π
3
f
（ ）
A．
3
3
B．
3
C．
3
3
D．
3
【答案】A
【详解】如图，①和②面积相等，故阴影部分的面积即为矩形ABCD 的面积，可得
3
AB ，
设函数
f x 的最小正周期为T ，则AD
T
，
由题意得3
6π
T
，解得
2π
T
，故
2
，得
1
2
，即
1
tan 2
f x
x
，
f x 的图象过点π , 1
6
，即
1
π
π
tan
tan
1
2
6
12
，
∵
π π
,
2 2
，则π
5π 7π
,
12
12 12
，
∴π
π
12
4
，解得
π
3
．
∴
1
π
tan 2
3
f x
x
∴
2023π
2023π
π
2021π
5π
3
tan
tan
tan
3
6
3
6
6
3
f
.
故选：A
8.函数
π
3 tan 2
6
f x
x
m
在
π ,
12 n
上的最大值为3 ，最小值为1
，则mn （ ）
A．π
6
B．π
3
C．
π
6
D．
π
3
【答案】D
【详解】因为
π ,
12
x
n
，所以
π
12
n
，
所以
π
π
π
2
,2
6
3
6
x
n
，
因为函数
π
3 tan 2
6
f x
x
m
在
π ,
12 n
上的最大值为3 ，最小值为1
，
所以
π
π
2
6
2
n
，即
π
3
n
，所以
π
π
12
3
n
令
π
2
6
t
x
，
tan
y
t
，因为
tan
y
t
在
π π
,
2 2
上单调递增，
π
2
6
t
x
在定义域内单调递增，由“复合函数”的单调性知，
函数
π
3 tan 2
6
f x
x
m
在
π ,
12 n
上单调递增，
所以
π
π
3 tan
1
12
3
f
m
，解得：
2
m ，
π
π
3 tan 2
3 tan 2
2
3
6
6
f n
n
m
n
，
解得：
π
3
tan 2
6
3
n
，因为
π
π
12
3
n
，则
π
π
π
2
3
6
2
n
，
所以
π
π
2
6
6
n
，解得：
π
6
n
.
故mn
π
π
2
6
3
.
故选：D.
9.（多选）已知函数
π
tan 2
6
f x
x
，则（ ）
A．
π
3
2
3
f
B．
f x 的最小正周期为π
C．把
f x 向左平移π
6 可以得到函数
tan 2
g x
x
D．
f x 在
π ,0
6
上单调递增
【答案】AD
【详解】A：因为
π
π
π
π
π
3
tan 2
tan π
tan
2
2
6
6
6
3
f
，所以本选项正确；
B：由正切型函数的最小正周期公式可得
π
2
T
，所以本选项不正确；
C：把
f x 向左平移π
6 可以得到函数
π
π
π
π
tan 2
tan 2
6
6
6
6
g x
f
x
x
x
，所以本选项不正
确；
D：当
π ,0
6
x
时，2
,
π
6
2
6
π
π
x
，显然是
π π
,
2 2
的子集，因此本选项正确，
故选：AD
10.（多选）已知函数
π
π
tan 2
3
f x
x
，则下列描述中正确的是（ ）．
A．函数
f x 的图象关于点
1 ,0
3
成中心对称
B．函数
f x 的最小正周期为2
C．函数
f x 的单调增区间为
5
1
4 ,
4
3
3
k
k
，k Z
D．函数
f x 的图象没有对称轴
【答案】BD
【详解】对于A：令
π
π
π
2
Z ,
Z
2
3
2
3
k
x
k
x
k
k
，令
1
3
2
3
k
得
1
3
k
，不是整数，故A 不正确；
对于B：函数f（x）的最小正周期为T＝
π =2
π
2
，故B 正确；
对于C：令
π
π
π
π
π
π+
Z
2
2
3
2
k
x
k
k
，解不等式可得函数的单调递增区间为
5
1
2 ,
2
Z
3
3
k
k
k
，
故C 错误；
对于D：正切函数不是轴对称图形，故D 正确．
故选：BD．
11.已知
π
tan
3
4
，请写出一个满足条件的角
．
【答案】π
12 （答案不唯一）
【详解】
π
π
tan
tan
4
3
，所以
π
π
π,
Z
4
3
k
k
，
则
π
π,
Z
12
k
k
，
故满足条件的一个角为π
12 .
故答案为：π
12 （答案不唯一）.
12.
tan
sin
1
f x
x
x
，若
2
2
f
，则
2
f
．
【答案】0
【详解】因为
(2)
tan 2
sin 2 1
2
f
，
所以tan 2
sin 2
1
，
所以
( 2)
tan( 2)
sin( 2) 1
(tan 2
sin 2) 1
0
f
.
故答案为：0.
13．画出函数
1
π
2tan 2
4
y
x
在
[0,2π]
x
上的简图．
【答案】答案见解析
【详解】令1
π
π
π
2
4
2
x
k
，k Z ，可得
3π
2 π
2
x
k
，k Z ，
又
[0,2π]
x
，所以直线
3
2
x
是该函数图象的一条渐近线．
当
0
x
时，
π
2tan
2
4
y
；
当
π
2
x
时，
2tan 0
0
y
；
当
π
x
时，
π
2tan
2
4
y
；
当
2π
x
时，
3π
2tan
2
4
y
．
描点(0, 2)
，π ,0
2
，(π,2) ，(2π, 2)
，画虚线
3
2
x
，根据正切曲线的趋势，画出简图，如图所示．
14．已知函数
π
2tan
0
8
f x
x
的最小正周期为π
2 ，
(1)求
f x 图象的对称中心；
(2)求不等式
2
f x 在
5π 3π
,
16 16
上的解集．
【答案】(1)
π
π ,0
Z
16
4
k
k
；
(2)
3π 3π
,
16 16
.
【详解】（1）由π
π
2
，得
2
．由
π
π
2
Z
8
2
k
x
k
，得
π
π
Z
16
4
k
x
k
，
所以
f x 图象的对称中心为
π
π ,0
Z
16
4
k
k
．
（2）由
5π 3π
,
16 16
x
，得
π
π π
2
,
8
2 2
x
,
由
π
2tan 2
2
8
f x
x
，得
π
tan 2
1
8
x
，
所以
π
π
π
2
4
8
2
x
，得
3π
3π
16
16
x
，
故不等式
2
f x 在
5π 3π
,
16 16
上的解集为
3π 3π
,
16 16
．
15．已知
( )
tan 2
3
f x
x
.
（1）求
( )
f x 的最小正周期；
（2）若
(
)
f x
是奇函数，则应满足什么条件？并求出满足|
|
2
的值.
【答案】（1）2
；（2）
(
)
4
6
k
k
Z
，
5
,
,
,
12
6 12 3
.
【详解】（1）因为函数
( )
tan 2
3
f x
x
，
所以函数
( )
f x 的最小正周期为
2
T
；
（2）
(
)
tan 2(
)
tan 2
2
3
3
f x
x
x
若
(
)
f x
是奇函数，则
2
(
)
3
2
k
k
Z
，
解得
(
)
4
6
k
k
Z
，
令|
|
4
6
2
k
，解得
4
8
3
3
k
，且
Z
k
，
所以
1
k ，0，1，2.
故
5
,
,
,
12
6 12 3
.
