5.9 简单的三角恒等变换
模块一：基础知识 .........................................................................2
考点一：半角公式 .......................................................................2
考点二：辅助角公式 ....................................................................2
考点三：万能公式 .......................................................................2
模块二：题型分类 .........................................................................3
题型一：二倍角的降幂扩角公式 .....................................................3
题型二：利用半角公式、万能公式求值 .............................................4
题型三：辅助角公式的应用 ...........................................................6
题型四：简单的三角恒等变换 ........................................................9
题型五：三角函数的实际应用 .......................................................12
模块三：综合巩固 .......................................................................15
5.9 简单的三角恒等变换
模块一：基础知识
考点一：半角公式
（1）半角公式
①
1 cos
sin 2
2
②
1 cos
cos 2
2
③
1 cos
1 cos
sin
tan 2
1 cos
sin
1 cos
（2）二倍角公式的降幂扩角公式：
①
2
1
si nα = （1 - cos2α）
2
②cos
+
2
1
α = （1 cos2α）
2
考点二：辅助角公式
2
2
sin
cos
sin(
)
a
x
b
x
a
b
x
(其中tan
b
a
)
通过应用公式
[或
将形如
(a,b 都不为零)的三角函数式收缩为一个三角函数
[或
].这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩为一个
三角函数，这种恒等变换称为收缩变换，上述公式也称为辅助角公式.
考点三：万能公式
①
2
2tan 2
sin
1
tan 2
②
2
2
1
tan 2
cos
1
tan 2
③
2
2tan 2
tan
1
tan 2
模块二：题型分类
题型一：二倍角的降幂扩角公式
1.已知
0,
，
3
cos
5
，则
2
cos
2
4
．
【答案】1
10 /0.1
【详解】解：由
0,
，
3
cos
5
，得
2
co
9
4
sin
5
s
1
1
25
，
所以
2
4
1 cos
1
1 sin
1
2
5
cos
2
4
2
2
2
10
．
故答案为：1
10
2.函数
2
1 cos2
sin
f x
x
x
的最小正周期是
．
【答案】2
/ 1
2
【详解】因为
2
2
1 cos2
1 cos2
1 cos 2
sin 2
1 cos4
2
2
2
4
x
x
x
x
x
f x
，
所以，函数
f x 的最小正周期为
2π
π
4
2
T
.
故答案为：π
2 .
3.已知
2
π
4
cos
4
5
，则sin 2（ ）
A．3
5
B．
3
5
-
C．1
5
D．
1
5
【答案】B
【详解】
2
π
1 cos
2
π
1 sin 2
4
2
cos
4
2
2
5
，解得：
3
sin 2
5
.
故选：B
4.已知
2
8
2sin
sin
2
5
，则sin 2的值是
.
【答案】16
25 /0.64
【详解】由题得
8
1 cos
sin
5
，则
3
sin
cos
5
，
两边同时平方可得
9
1 sin 2
25
，故
16
sin 2
25
.
故答案为：16
25 .
题型二：利用半角公式、万能公式求值
1.已知
1
cos
3
，α 为第四象限角，求sin 2
，cos 2
，tan 2
.
【答案】答案见解析
【详解】
1
1
1 cos
3
3
sin 2
2
2
3
，
1
1
1 cos
6
3
cos 2
2
2
3
，
1
1
1 cos
2
3
tan
1
2
1 cos
2
1
3
.
∵为第四象限角，∴2
为第二、四象限角．
当2
为第二象限角时，
3
6
2
sin
,cos
,tan
2
3
2
3
2
2
；
当2
为第四象限角时，
3
6
2
sin
,cos
,tan
2
3
2
3
2
2
.
2.已知为锐角，
1
5
cos
4
，则sin 2
（ ）．
A．3
5
8
B．1
5
8
C．3
5
4
D．1
5
4
【答案】D
【详解】因为
2
1
5
cos
1 2sin 2
4
，而为锐角，
解得：sin 2
2
5
1
3
5
5
1
8
16
4
3.已知
4
sin
5
，则tan 2
．
【答案】
1
2
或2
【详解】方法一：因为
4
sin
5
，所以
3
cos
5
．
由
4
sin
5
，可得5π
7π
2 π
2 π
4
4
k
k
，k Z ，
则5π
7π
π
π
8
2
8
k
k
，k Z ，所以tan
0
2
．
故
1 cos
tan 2
1 cos
，
将
3
cos
5
代入可得
3
1
1
5
tan
3
2
2
1
5
，
将
3
cos
5
代入可得
3
1
5
tan
2
3
2
1
5
2
，
故tan 2
1
2
或2
；
方法二：因为
4
sin
5
，所以
3
cos
5
．
若
3
cos
5
，则
3
1
1 cos
1
5
tan
4
2
sin
2
5
；
若
3
cos
5
，则
3
1
1 cos
5
tan
2
4
2
sin
5
．
故答案为：
1
2
或2
4.已知
8
tan
cot
2
3
,
(1)求tan的值；
(2)求sin 2
2
的值．
【答案】（1）3
（2）4
5
【详解】（1）由
8
tan
cot
3
可得
1
8
tan
tan
3
，整理得到：
2
3tan
8tan
3
0
，
故tan
3
或
1
tan
3
，因2
，故t an
0
，所以tan
3
．
（2）
2
2
1
tan
1 9
4
sin 2
cos2
2
1
tan
1 9
5
．
故选：D．
5.已知
5
sin
cos
2
2
5
，450
540
，则tan 2
的值为
.
【答案】2
【详解】由题意得
2
1
sin
cos
2
2
5
，即
1
1 sin
5
，
4
sin
5
，
450
540
，
3
cos
5
，
3
1
1 cos
5
tan
2
4
2
sin
5
.
故答案为：2
题型三：辅助角公式的应用
1.已知𝑓(𝑥) = sin2𝑥+ cos2𝑥.
(1)求𝑓(𝑥)的周期及单调递增区间；
(2)求函数𝑓(𝑥)在0, π
2 上的最大值和最小值.
【解题思路】（1）由三角恒等变换化简𝑓(𝑥)，由周期公式求周期，根据正弦函数的单调性求𝑓(𝑥)递增区间；
（2）根据角的范围，求出2𝑥+
π
4的范围，利用正弦函数求出值域即可得解.
【解答过程】（1）由𝑓(𝑥) = sin2𝑥+ cos2𝑥=
2sin 2𝑥+ π
4 ，
所以周期 𝑇=
2π
2 = π，
令2𝑘π−
π
2 ≤2𝑥+
π
4 ≤2𝑘π +
π
2，得𝑘π−
3π
8 ≤𝑥≤𝑘π +
π
8，(𝑘∈Z)，
∴𝑓(𝑥)的单调递增区间为𝑘π−3π
8 ,𝑘π + π
8 ，(𝑘∈Z).
（2）当𝑥∈0, π
2 时，则2𝑥+
π
4 ∈π
4 , 5π
4 ，所以sin 2𝑥+ π
4 ∈−
2
2 ,1 ，
故2sin 2𝑥+ π
4 ∈[−1, 2]，
∴𝑓(𝑥)max =
2， 𝑓(𝑥)min = −1．
2.函数
3
sin
cos
cos2
2
f x
x
x
x
的最小正周期是（ ）
A．π
B．π
2
C．2π
D．3π
2
【答案】A
【详解】由
3
3
π
cos2
sin 2
cos2
si
2
s
2
in cos
1
n
2
2
3
f
x
x
x
x
x
x
x
，
故函数的最小正周期为2π
π
2
.
故选：A
3.已知函数
2
π
cos 2
2cos
3
f x
x
x
．
(1)求
π
4
f
的值；
(2)求函数
f x 的单调递增区间．
【答案】(1)
3
1
2
(2)
5π
π
π,
π ,
Z
12
12
k
k
k
【详解】（1）由题意可得
2
2
π
π
π
π
π
π
3
cos 2
2cos
cos
2cos
1
4
4
6
4
3
4
2
f
，
即
π
3
1
4
2
f
（2）由
2
π
cos 2
2cos
3
f x
x
x
可得，
π
π
3
3
π
cos2 cos
sin 2 sin
cos2
1
sin 2
cos2
1
3sin 2
1
3
3
2
2
3
f x
x
x
x
x
x
x
，
令
π
π
π
2 π
2
2 π,
Z
2
3
2
k
x
k
k
，解得
5π
π
π
π,
Z
12
12
k
x
k
k
；
即函数
f x 的单调递增区间为
5π
π
π,
π ,
Z
12
12
k
k
k
4.已知函数
1
( )
cos (sin
cos )
2
f x
x
x
x
．
(1)若
π
0
2
，且
2
sin
2
，求
( )
f 的值；
(2)求函数
( )
f x 的单调递增区间．
【答案】(1) 1
2
(2)
3π
π
π
, π+
,
Z
8
8
k
k
k
【详解】（1）因为
π
2
0
,sin
2
2
，所以
2
cos
2
．
所以
2
2
2
1
1
( )
2
2
2
2
2
f
（2）因为
2
1
1
1 cos2
1
1
1
2
π
( )
sin cos
cos
sin 2
sin 2
cos2
sin 2
2
2
2
2
2
2
2
4
x
f x
x
x
x
x
x
x
x
，
由
π
π
π
2 π
2
2 π+
,
Z
2
4
2
k
x
k
k
，得
3π
π
π
π+
,
Z
8
8
k
x
k
k
．
所以
( )
f x 的单调递增区间为
3π
π
π
, π+
,
Z
8
8
k
k
k
5.函数
2
cos
sin cos
f x
x
x
x
的单调减区间为
．
【答案】
π
5π
π
, π
,
Z
8
8
k
k
k
；
【详解】因为
2
1 cos2
1
2
π
1
cos
sin cos
sin 2
sin 2
2
2
2
4
2
x
f x
x
x
x
x
x
，
则函数的单调减区间为: π
π
3π
+2 π
2
+2 π,
Z
2
4
2
k
x
k
k
，
解得：π
5π
+ π
+ π,
Z
8
8
k
x
k
k
.
故答案为：
π
5π
π
, π
,
Z
8
8
k
k
k
.
6.函数
2
2cos
3sin 2
f x
x
x
的最大值为
．
【答案】3
【详解】依题意，
π
( )
1 cos2
3sin 2
1
2cos(2
)
3
f x
x
x
x
，
所以当
π
2
2 π,
Z
3
x
k
k
，即
π
π
,
Z
6
x
k
k
时，
max
( )
3
f x
.
故答案为：3
7.函数
1
3
sin
cos
0
2
2
f x
x
x
在
0,π
x
上恰有2 个零点，则的取值范围是
．
【答案】5 8
,
3 3
【详解】
1
3
π
sin
cos
sin
2
2
3
f x
x
x
x
，
当
0,π
x
时，
π
π
π
,
π
3
3
3
x
，
f x
在
0,π 上恰有2 个零点，
π
2π
π
3π
3
，解得：5
8
3
3
，
即的取值范围为5 8
,
3 3
.
故答案为：5 8
,
3 3
.
题型四：简单的三角恒等变换
1.已知函数
2
cos
3sin cos
1
x
x
x
f x
，xR .
(1)求函数
y
f x
的最小正周期和对称轴方程；
(2)求
π
0, 2
x
时，函数
y
f x
的值域.
【答案】(1)最小正周期为π ，对称轴为
π
π ,
Z
k
x
k
2
6
(2)
5
1, 2
【详解】（1）
2
cos
3sin cos
1
x
x
x
f x
3
1
3
π
3
sin 2
cos2
sin 2
2
2
2
6
2
x
x
x
.
所以
f x 的最小正周期为2π
π
2
，
由
π
π
2
π
6
2
x
k
解得
π
π
2
6
k
x
，
所以
f x 的对称轴为
π
π ,
Z
k
x
k
2
6
.
（2）由于
π
0, 2
x
，
π
π 7π
2
0,π ,2
,
6
6
6
x
x
，
所以
π
3
5
sin 2
1,
6
2
2
x
.
即
f x 的值域为
5
1, 2
.
2.已知函数𝑓(𝑥) = 2 3sin𝑥cos𝑥+ 2cos2𝑥−1（𝑥∈R）．
(1)求函数𝑓(𝑥)的单调递减区间；
(2)若𝑓(𝑥0) =
6
5，𝑥0 ∈π
4 , π
2 ，求cos2𝑥0的值．
【解题思路】（1）利用二倍角公式、辅助角公式和正弦函数的图象与性质运算即可得解；
（2）利用三角函数基本关系式、两角差的余弦公式运算即可得解.
【解答过程】（1）解：由题意
𝑓(𝑥) = 2 3sin𝑥cos𝑥+ 2cos2𝑥−1 =
3sin2𝑥+ cos2𝑥
= 2
3
2 sin2𝑥+ 1
2 cos2𝑥= 2sin 2𝑥+ π
6 ，
∵2𝑘π +
π
2 ≤2𝑥+
π
6 ≤2𝑘π +
3π
2 ，𝑘∈Z,
∴𝑘π +
π
6 ≤𝑥≤𝑘π +
2π
3 ，𝑘∈Z,
∴函数𝑓(𝑥)的单调递减区间为𝑘π + π
6 ,𝑘π + 2π
3 （𝑘∈Z）.
（2）解：由（1）知，𝑓(𝑥0) = 2sin 2𝑥0 + π
6 ，
又∵𝑓(𝑥0) =
6
5，∴sin 2𝑥0 + π
6 =
3
5，
∵𝑥0 ∈π
4 , π
2 ，则2𝑥0 +
π
6 ∈2π
3 , 7π
6 ，
∴cos 2𝑥0 + π
6 < 0，
∴cos 2𝑥0 + π
6 = −
4
5，则
cos2𝑥0 = cos
2𝑥0 +
π
6 −
π
6
= cos 2𝑥0 +
π
6 cos π
6 + sin 2𝑥0 +
π
6 sin π
6
= −4
5 ×
3
2 +
3
5 ×
1
2 = 3−4 3
10 .
3.已知函数
2
sin 2
2 3 cos
f x
x
x
.
(1)求函数
f x 的最小正周期；
(2)求函数
f x 在区间
π
0, 4
上的最大值和最小值；
(3)若函数
f x 在[
π
,
]
3
m
上是减函数，求m 的取值范围.
【答案】(1)
π
T
(2)最大值为2
3
，最小值是1
3
；
(3)
π
π
,
12 3
【详解】（1）
2
sin 2
2 3 cos
f x
x
x
sin 2
3 1 cos2
sin 2
3 cos2
3
x
x
x
x
π
2sin 2
3
3
x
，
函数的最小正周期
2π
π
2
T
；
（2）
π
0
4
x
，π
π
5π
2
3
3
6
x
，所以1
π
sin 2
1
2
3
x
，
则
π
1
3
2sin 2
3
2
3
3
x
所以函数
f x 的最大值为2
3
，最小值是1
3
；
（3）若
π
, 3
x
m
，则
π
π
2
2
π
3
3
m
x
，
由题意可知，π
π
2
π
2
3
m
，得π
π
12
3
m
，
所以m 的取值范围是
π
π
,
12 3
.
4.化简
2
2
2
π
π
sin
sin
sin
6
6
．
【答案】
1
2
【详解】法1：由倍角公式
2
cos2
1
2sin
，得
2
1 cos2
sin
2
．
原式
π
π
1 cos 2
1 cos 2
1 cos2
3
3
2
2
2
1
1
π
π
cos 2
cos 2
cos2
2
2
3
3
1
1
π
1
2cos2 cos
cos2
2
2
3
2
．
法2：
2
2
2
π
π
sin
sin
sin
6
6
2
2
2
3
1
3
1
sin
cos
sin
cos
sin
2
2
2
2
2
2
2
3
1
1
sin
cos
sin
2
2
2
．
5.已知函数
2sin
3 cos
sin
1
f x
x
x
x
.
(1)求函数
f x 的最小正周期及
f x 的单调递增区间；
(2)若
8
( )
5
f
，
π
0 3
，
，求cos2的值；
【答案】(1)最小正周期为π ，单调递增区间为
π
π
π,
π ,
Z
6
3
k
k
k
(2) 3 3
4
10
【详解】（1）
2
2sin
3 cos
sin
1
3sin 2
2sin
1
3sin 2
cos2
f x
x
x
x
x
x
x
x
π
2sin 2
6
x
，
故
f x 的最小正周期为2π
π
2
，
令
π
π
π
2 π
2
2 π,
Z
2
6
2
k
x
k
k
，解得
π
π
π
π,
Z
6
3
k
x
k
k
，
故
f x 的单调递增区间为
π
π
π,
π ,
Z
6
3
k
k
k
；
（2）
π
2
5
s
6
( )
in 2
8
f
，解得
π
4
sin 2
6
5
，
因为
π
0 3
，
，所以
π
π π
2
6
6 2
，
，
故
π
cos 2
0
6
，故
2
5
π
π
cos 2
1 s
2
6
3
in
6
，
所以
π
c
n
π
π
2
2
s
6
o 2
sin 2
i
3
s
2
π
2π
π
2π
4
1
3
3
3 3
4
cos
6
3
6
3
5
2
5
2
10
sin 2
cos
2
sin
.
题型五：三角函数的实际应用
1.如图，在凸四边形ABCD 中，
1
DA
DC
，
2
AB
BC
，若
2
B
，则四边形ABCD 面积的最大值
为
.
【答案】
17
2 2
6
【详解】连接AC ，作DE 垂直AC 交AC 于点E ，设角
DAC
，
1
DA
DC
，
所以点E 为线段AC 的中点，在三角形ADE 中，
cos
cos
AE
AD
，
sin
sin
DE
AD
，
2cos
AC
，
1
1
1
2cos
sin
sin 2
2
2
2
ACD
S
AC
DE
，
设BC
m
，则
2
AB
m
，
π
2
B
，
在三角形ABC 中，
2
2
3
2cos
AC
AB
BC
m
，
2 cos
3
BC
，
2 6 cos
3
AB
，
2
1
2 2 cos
2
3
ABC
S
BC
AB
，
所以四边形的面积为
2
1
2 2
1
2
2
17
2
17
2 2
sin 2
cos
sin 2
cos2
sin(2
)
2
3
2
3
3
6
3
6
ACD
ABC
S
S
，此时
2 2
tan
3
，
故答案为：
17
2 2
6
．
2.如图，在半径为R 、圆心角为π
3 的扇形AB 弧上任取一点P ，作扇形的内接矩形PNMQ ，使点Q 在OA上，
点M 、N 在OB 上，则这个矩形面积的最大值为（ ）
A．
2
(2
3
R
）
B．
2
3
6 R
C．
2
3
4 R
D．
2
3
3 R
【答案】B
【详解】设
POB
a
，矩形PNMQ 面积为S ，
扇形AB 的半径为R ，圆心角为π
3 ，
所以
sin
QM
PN
R
，
cos
ON
R
，
π
3
tan
sin
6
3
OM
QM
R
，
所以
2
2
3
1
3
1 cos2
sin
cos
sin
sin 2
3
2
3
2
S
R
R
R
R
R
．
化简得：
2
2
3
π
3
sin 2
3
6
6
S
R
R
，
π
0, 3
，
当
π
6
，即
π
6
AOP
时，
S 取最大值
2
3
6 R ．
故选：B.
3.如图所示，已知OPQ 是半径为2，圆心角为π
4 的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形，
记
COP
，求当角取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积．
【答案】当
8
时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为2 2
2
．
【详解】解：在Rt
OBC
△
中，
2cos
OB
，
2sin
BC
，
π
0
4
，
在Rt
OAD
△
中，
tan
1
4
DA
OA
，
∴
2sin
OA
DA
BC
，
∴
2cos
2sin
AB
OB
OA
，
设矩形ABCD 的面积为S，则
S
AB BC
2
2cos
2sin
2sin
4sin
cos
4sin
a
a
2sin 2
2 1 cos2
2sin 2
2cos2
2
π
2 2 sin 2
2
4
，
由
π
0
4
，得π
π
3π
2
4
4
4
，
所以当
π
π
2
4
2
，即
8
时，
max
2 2
2
S
，
因此，当
8
时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为2 2
2
．
4.已知OPQ 是半径为1，圆心角为π
3 的扇形，C 是扇形弧上的动点.ABCD 是扇形的内接矩形，记
COB
，矩形ABCD 的面积为S .
(1)当
π
6
时，求矩形ABCD 的面积S 的值.
(2)求S 关于角的解析式，并求S 的最大值.
【答案】(1)
3
6
S
(2)
3
π
3
π
sin 2
0
3
6
6
3
S
，
；
π
6
时，
max
3
6
S
.
【详解】（1）在Rt
OBC
△
中，
cos
OB
，
sin
BC
θ
，在Rt
OAD
△
中，
tan 60
3
DA
OA
，
∴
3
3
3 sin
3
3
3
OA
DA
BC
，∴
3
cos
sin
3
AB
OB
OA
，
∴
2
3
3
cos
sin
sin
sin
cos
sin
3
3
AB BC
S
1
3
sin 2
(1 cos2 )
2
6
1
3
3
sin 2
cos2
2
6
6
3
3
1
3
sin 2
cos2
3
2
2
6
3
π
3
π
sin 2
0
3
6
6
3
，
.
当
π
6
时，
3
π
π
3
3
sin 2
3
6
6
6
6
S
.
（2）由（1）知
3
π
3
π
sin 2
0
3
6
6
3
S
，
由
π
0
3
得π
π
5π
2
6
6
6
，所以当
π
π
2
6
2
，即
π
6
时，
max
3
3
3
3
6
6
S
.
模块三：综合巩固
1.(多选)cos
3sin
化简的结果可以是（ ）
A．1
π
cos
2
6
B．
π
2cos 3
C．1
π
sin
2
3
D．
π
2sin 6
【答案】BD
【详解】
1
3
π
π
cos
3sin
2 ( cos
sin
)
2cos(
)
2sin(
)
2
2
3
6
.
故选：BD
2.求值：
5
5
cos
3sin
12
12
（ ）
A．0
B．
2
C．2
D．
2
【答案】B
【详解】
5π
5π
1
5π
3
5π
π
5π
π
5π
cos
3sin
2(
cos
sin
)
2(cos
cos
sin
sin
)
12
12
2
12
2
12
3
12
3
12
π
5π
3π
2cos(
)
2cos
2
3
12
4
，
故选：B.
3.下列函数中，最小正周期为2 的偶函数是（ ）
A．
sin 2
cos2
y
x
x
B．
sin
cos
y
x
x
C．
sin
2
y
x
D．
cos2
y
x
【答案】C
【详解】A 选项：
sin2
cos2
2 sin 2
4
y
f x
x
x
x
，函数的周期为，A 不正确；
因为
sin
cos
2 sin
4
y
g x
x
x
x
，函数的周期为2 ，但
2 sin
2
4
g
x
x
g x
，
不是偶函数，B 不正确；
因为
π
sin
cos
2
y
F x
x
x
，函数的周期为2 ，且
cos
cos
F
x
x
x
F x
，是偶函数，C
正确；
因为
cos2
y
x
，函数的周期为，是偶函数，D 不正确；
故选：C.
4.函数
sin cos
cos2
f x
x
x
x
的最小正周期为（ ）
A．π
4
B．π
2
C．π
D．2π
【答案】C
【详解】由二倍角公式和辅助角公式化简
sin cos
cos2
f x
x
x
x
可得
1
5
sin 2
cos2
sin 2
2
2
f x
x
x
x
，其中tan
2
，
由三角函数的周期公式可得最小正周期
2π
π
2
T
.
故选：C
5.已知
π
3
cos
cos
3
3
，则
π
cos
6
（ ）
A．1
3
B．7
9
C．
7
9
D．
1
3
【答案】A
【详解】
π
1
3
cos
cos
cos
cos
sin
3
2
2
3
1
3
cos
sin
2
2
π
3
π
1
3 cos
,cos
6
3
6
3
.
故选：A
6.已知
1
cos
5
，
3π ,2π
2
，则sin 2
等于（ ）
A．10
5
B．－10
5
C．2 6
5
D．2 5
5
【答案】A
【详解】
3π ,2π
2
,
2
1
cos
1 2sin 2
5
，
3π ,π
2
4
，
1 cos
10
sin 2
2
5
.
故选：A.
7.已知
3
tan
5
，
π
1
tan
3
4
，那么
π
tan
3
为（ ）
A．13
18
B．13
23
C．7
23
D．3
18
【答案】C
【详解】因为
3
tan
5
，
π
1
tan
3
4
，
所以
3
1
π
π
7
5
4
tan
tan
3
1
3
3
23
1
5
4
.
故选：C.
8.若
1
cos
3
，且270
360
，则cos 2
（ ）
A．
3
3
B．
6
3
C．
6
3
D．
6
3
【答案】D
【详解】因为
2
1
cos
2cos
1
2
3
，则
2
2
cos 2
3
，
因为270
360
，则135
180
2
，所以，
2
6
cos 2
3
3
.
故选：D.
9.若
12
sin
sin
13
，
6
cos
cos
13
，则tan
2
的值为（ ）
A．2
B．
1
2
C．－2
D．
1
2
【答案】A
【详解】由sin
sin
sin(
)
sin(
)
2
2
2
2
12
2sin
cos
2
2
13
，
cos
cos
cos(
)
cos(
)
2
2
2
2
6
2cos
cos
2
2
13
，
两式相除得
12
13
tan
2
6
2
13
.
故选：A.
10.(多选)若
4
cos
5
，则
1
tan 2
1
tan 2
的值可能为（ ）
A．
1
2
B．2
C．
1
2
D．－2
【答案】CD
【详解】
sin 2
1
1
tan
cos
cos
sin
2
2
2
2
1
tan
sin
cos
sin
2
2
2
2
1
cos 2
cos
sin
cos
sin
2
2
2
2
cos
sin
cos
sin
2
2
2
2
2
2
2
cos
sin
2
2
cos
sin
2
2
1 sin
cos
，
∵
4
cos
5
，∴
3
sin
5
，
当
4
cos
5
，
3
sin
5
时，
3
1
1 sin
1
5
4
cos
2
5
；
当
4
cos
5
，
3
sin
5
时，
3
1
1 sin
5
2
4
cos
5
.
故选：CD.
11.函数
3sin
cos
y
x
x
在
π π
,
6 6
上的值域是
.
【答案】0, 3
【详解】
π
3sin
cos
2cos
3
y
x
x
x
，
又∵
π π
,
6 6
x
，
∴
π
π π
,
3
6 2
x
，
π
3
cos
0,
3
2
x
，
所以
π
2cos
0, 3
3
y
x
，
故函数
3sin
cos
y
x
x
在
π π
,
6 6
上的值域是0, 3
.
故答案为：0, 3
12.在ABC
中，
1
cos
3
B
，则
2
2
cos
tan
2
2
B
A
C
.
【答案】8
3 /
2
2 3
【详解】
2
2
2
2
1 cos
sin
1 cos
1 cos
2
2
cos
tan
1 cos
2
2
2
2
cos
2
2
A
C
A
C
B
A
C
B
B
A
C
A
C
1
1
1
1
1 cos
1 cos π
1 cos
1 cos
1 cos
1 cos
8
3
3
1
2
1 cos
2
1 cos π
2
1 cos
2
3
1
3
A
C
B
B
B
B
B
A
C
B
B
故答案为：8
3
13.已知函数
2
2sin
cos
2 3cos
3
f x
x
x
x
（其中
0
），直线
1
x
x
、
2
x
x
是
y
f x
图象的
任意两条对称轴，且
1
2
x
x
的最小值为π
2 ．
(1)求的值；
(2)若
2
3
f
，求
π
cos 2
6
的值．
【答案】(1)
1
(2) 1
3
【详解】（1）
π
sin2
3cos2
2sin 2
3
f x
x
x
x
，
设
f x 的最小正周期为T ，
因为直线
1
x
x
、
2
x
x
是
y
f x
图象的任意两条对称轴，且
1
2
x
x
的最小值为π
2 ，
所以
π
2
π
2
T
，
因为
0
，所以
2π
π
π
2
T
，解得
1
；
（2）
π
2sin 2
3
f x
x
，由
2
3
f
得
1
sin 2
3
3
π
，
1
cos 2
cos
2
cos
2
sin 2
6
3
2
2
3
3
3
π
π
π
π
π
π
，
即
1
cos 2
6
3
π
.
14.设常数
R
a
，函数
2
sin2
2cos
f
x
a
x
x
.
(1)若
f x 为偶函数，求a 的值；
(2)若
π
2
4
f
，求方程
1
2
f x
在区间
π
0 2
，上的解.
【答案】(1)
0
a
(2)
π
8
x
【详解】（1）∵
2
sin2
2cos
f x
a
x
x
，
∴
2
sin2
2cos
f
x
a
x
x
，
又∵
f x 为偶函数，
∴
f
x
f x
，
即
2
2
sin2
2cos
sin2
2cos
a
x
x
a
x
x
，
∴2 sin2
0
a
x
，
∴
0
a
；
（2）∵
π
2
4
f
，
∴
2
π
π
sin
2cos
1
2
2
4
a
a
，∴
1
a ，
∴
2
π
sin2
2cos
sin2
cos2
1
2sin 2
1
4
f x
x
x
x
x
x
，
又∵
1
2
f x
，
∴
π
2sin 2
1
1
2
4
x
，
∴
π
sin 2
1
4
x
，
故
π
π
2
2 π,
Z
4
2
x
k k
，解之得
π
π
8
x
k
，
Z
k
，
∵
π
0, 2
x
，
∴
π
8
x
.
15.已知sin𝛼= 2 5
5 ，𝛼∈0, π
2 .
(1)求sin2𝛼和cos2𝛼的值；
(2)求sin 𝛼+ π
6 的值.
【解题思路】（1）利用同角三角函数关系式，正弦的二倍角公式与余弦的二倍角公式即可；
（2）根据（1）利用两角和的正弦公式求解即可.
【解答过程】（1）因为sin𝛼= 2 5
5 ，𝛼∈0, π
2 ，
所以cos𝛼=
1−sin2𝛼=
5
5 ，
所以sin2𝛼= 2sin𝛼cos𝛼= 2 × 2 5
5 ×
5
5 =
4
5，
cos2𝛼= 1−2sin2𝛼= 1−2 ×
2 5
5
2
= −
3
5.
（2）sin 𝛼+ π
6 = sin𝛼cos
π
6 + cos𝛼sin
π
6
= 2 5
5 ×
3
2 +
5
5 ×
1
2 = 2 15 +
5
10
.
16.已知sin𝛼= 2−4sin2𝛼
2．
(1)求sin2𝛼−cos2𝛼的值；
(2)已知𝛼∈(0,π),𝛽∈
π
2 ,π ,3tan2𝛽−5tan𝛽−2 = 0，求𝛼+ 𝛽的值．
【解题思路】（1）利用余弦的二倍角公式，结合三角函数商式关系式，求得正切值，根据正弦与余弦的二
倍角公式以及平方关系式，可得答案；
（2）根据二次方程以及正切的和角公式，结合角的取值范围，可得答案.
【解答过程】（1）因为sin𝛼= 2−4sin2𝛼
2,sin𝛼= 2 1−2sin2 𝛼
2 = 2cos𝛼，所以tan𝛼= 2，
又因为sin2𝛼−cos2𝛼= 2sin𝛼cos𝛼−cos2𝛼+ sin2𝛼
sin2𝛼+ cos2𝛼
= 2tan𝛼−1 + tan2𝛼
1 + tan2𝛼
，
所以sin2𝛼−cos2𝛼= 2 × 2−1 + 22
1 + 22
=
7
5.
（2）因为𝛽∈
π
2 ,π ，所以tan𝛽< 0，
因为3tan2𝛽−5tan𝛽−2 = (3tan𝛽+ 1)(tan𝛽−2) = 0，所以tan𝛽= −
1
3，
又因为𝑎∈(0,π),tan𝛼= 2，所以0 < 𝛼<
π
2，
所以tan(𝛼+ 𝛽) =
tan𝛼+ tan𝛽
1−tan𝛼tan𝛽=
2−1
3
1 + 2
3
= 1，由𝛽∈
π
2 ,π
0 < 𝛼< π
2
，得
π
2 < 𝛼+ 𝛽<
3π
2 ，
所以𝛼+ 𝛽=
5π
4 ．
17.已知𝛼为第二象限角，且cos2𝛼=
7
9.
(1)求sin𝛼的值；
(2)若函数𝑓(𝑥) = sin2𝑥+ 2cos𝛽cos2𝑥0 < 𝛽< π
2 的图象关于直线𝑥=
π
12对称，求cos(2𝛼+ 𝛽)的值.
【解题思路】（1）利用二倍角余弦公式，由cos2𝛼= 1−2sin2𝛼=
7
9求解；
（2）由𝛼为第二象限角，且cos2𝛼=
7
9得到sin2𝛼，根据函数𝑓(𝑥)的图象关于直线𝑥=
π
12对称，由𝑓(0) = 𝑓
𝜋
6 ，得到cos𝛽=
3
2 ，然后利用两角和的余弦公式求解.
【解答过程】（1）解：由cos2𝛼= 1−2sin2𝛼=
7
9，
得sin2𝛼=
1
9，
因为𝛼为第二象限角，
所以sin𝛼=
1
3.
（2）由题意得𝛼∈
π
2 + 2𝑘π,π + 2𝑘π (𝑘∈𝑍)，
则2𝛼∈(π + 4𝑘π,2π + 4𝑘π)(𝑘∈𝑍)，
所以sin2𝛼= −1−cos22𝛼= −4 2
9 .
依题意得𝑓(0) = 𝑓𝜋
6 ，即2cos𝛽=
3
2 + cos𝛽，
则cos𝛽=
3
2 ，
因为0 < 𝛽<
𝜋
2，
所以𝛽=
π
6.
故cos(2𝛼+ 𝛽) = cos 2𝛼+ π
6 ，= cos2𝛼cos
π
6−sin2𝛼sin
π
6 = 7 3 + 4 2
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