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第2课时 简单的三角恒等变换
三角函数式的化简
化简：(1)－2cos(α＋β)；
(2)·.
【解】 (1)原式＝
＝
＝
＝
＝＝.
(2)原式＝·
＝·
＝·＝.
三角函数式的化简要遵循“三看”原则
1.·等于( )
A．－sin α B．－cos α
C．sin α D．cos α
解析：选D.原式＝
＝＝cos α.
2．(一题多解)化简：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－cos 2αcos 2β.
解：方法一(从“角”入手，化复角为单角)：
原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－(2cos2α－1)(2cos2β－1)
＝sin2αsin2β－cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－
＝sin2αsin2β＋cos2αsin2β＋cos2β－＝sin2β＋cos2β－＝1－＝.
方法二(从“名”入手，化异名为同名)：
原式＝sin2αsin2β＋(1－sin2α)cos2β－cos 2αcos 2β
＝cos2β－sin2α(cos2β－sin2β)－cos 2αcos 2β
＝cos2β－sin2αcos 2β－cos 2αcos 2β
＝cos2β－cos 2β
＝－cos 2β＝.
三角函数式的求值
角度一 给角求值
计算＝________．
【解析】
＝
＝＝
＝＝2.
【答案】 2
给角求值问题的解题策略
在三角函数的给角求值问题中，已知角常常是非特殊角，但非特殊角与特殊
角总有一定关系．
[基本思路] 观察所给角与特殊角之间的关系，利用和、差、倍角公式等将非
特殊角的三角函数值转化为：
角度二 给值求值
(1)(2020·重庆巴蜀中学高考适应性月考)已知sin α＋cos α＝，则cos＝(
)
A．－ B．
C．－ D．
(2)已知tan 2α＝，α∈，函数f(x)＝sin(x＋α)－sin(x－α)－2sin α，且对任意的实
数x，不等式f(x)≥0恒成立，则sin的值为( )
A．－ B．－C．－ D．－
【解析】 (1)由sin α＋cos α＝，
得2cos＝，
即cos＝，所以cos＝2cos2－1＝2×－1＝－.故选C.
(2)由tan 2α＝，即＝，得tan α＝或tan α＝－3.又f(x)＝sin(x＋α)－sin(x－α)－
2sin α＝2cos xsin α－2sin α≥0恒成立，所以sin α≤0，tan α＝－3，所以sin α＝
－，cos α＝，所以sin＝sin αcos －cos αsin ＝－，故选A.
【答案】 (1)C (2)A
给值求值问题的解题策略
已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值．
解题关键：把“所求角”用“已知角”表示
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差
的形式或和或差的二倍形式；
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和、差
或倍数关系，然后应用诱导公式、和差公式、倍角公式求解．
角度三 给值求角
(一题多解)在平面直角坐标系xOy中，锐角α，β的顶点为坐标原点O，
始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆O的交点分别为P，Q.已知点P的横坐标
为，点Q的纵坐标为，则2α－β的值为________．
【解析】 方法一：由已知可知cos α＝，sin β＝.
又α，β为锐角，所以sin α＝，cos β＝.
因此cos 2α＝2cos2α－1＝，sin 2α＝2sin αcos α＝，
所以sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝×－×＝.
因为α为锐角，所以0＜2α＜π.
又cos 2α＞0，所以0＜2α＜，
又β为锐角，所以－＜2α－β＜，
又sin(2α－β)＝，所以2α－β＝.
方法二：同方法一得，cos β＝，sin α＝.
因为α，β为锐角，所以α－β∈.
所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝.
所以sin(α－β)＞0，故α－β∈，故cos(α－β)＝＝＝.
又α∈，所以2α－β＝α＋(α－β)∈(0，π)．
所以cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β)＝×－×
＝.
所以2α－β＝.
【答案】
给值求角的原则
已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若
角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，
选正弦较好．
1．已知tan＝，且α为第二象限角，若β＝，则sin(α－2β)cos 2β－cos(α－2β)sin
2β＝( )
A．－ B．
C．－ D．
解析：选D.tan＝＝，所以tan α＝－，又α为第二象限角，所以cos α＝－，所以
sin(α－2β)·cos 2β－cos(α－2β)sin 2β＝sin(α－4β)＝sin＝－cos α＝，故选D.
2．(2020·江西省分宜中学、玉山一中等九校4月模拟)已知锐角α的终边上一
点P(sin 40°，1＋cos 40°)，则锐角α＝( )
A．80° B．70°
C．20° D．10°
解析：选B.由题意可知sin 40°＞0，1＋cos 40°＞0，OP的斜率tan α＝＝＝tan
70°，由α为锐角，可知α为70°.故选B.
3．已知tan＝，且－＜α＜0，则＝( )
A．－ B．－
C．－ D.
解析：选A.因为tan＝＝，所以tan α＝－，
因为tan α＝＝－，sin2α＋cos2α＝1，α∈，
所以sin α＝－.
所以＝
＝＝2sin α＝2×＝－.故选A.
[A级 基础练]
1．(多选)下列各式的值等于的是( )
A．2sin 67.5°cos 67.5° B．2cos2－1
C．1－2sin215° D．
解析：选BC.选项A，2sin 67.5°cos 67.5°＝sin 135°＝.选项B，2cos2－1＝cos
＝.选项C，1－2sin215°＝cos 30°＝.选项D，＝tan 45°＝1.故选BC.
2．计算：＝( )
A． B．－
C． D．－
解析：选D.原式＝－·＝－tan＝－×＝－.
3．若tan(α＋80°)＝4sin 420°，则tan(α＋20°)的值为( )
A．－ B．
C． D．
解析：选D.由tan(α＋80°)＝4sin 420°＝4sin 60°＝2，得tan(α＋20°)＝tan[(α＋
80°)－60°]＝＝＝.故选D.
4．若＝sin 2θ，则sin 2θ＝( )
A． B．
C．－ D．－
解析：选C.由题意知＝sin 2θ，
所以2(cos θ＋sin θ)＝sin 2θ，
则4(1＋sin 2θ)＝3sin22θ，
解得sin 2θ＝－或sin 2θ＝2(舍去)．
5．已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在α的
始边上有一点A，终边上有一点B(－m，2m)(m＞0)，满足|OA|＝|OB|，若∠OAB＝
θ，则＝( )
A． B．2
C．4 D．1
解析：选D.因为α的终边上有一点B(－m，2m)(m＞0)，所以tan α＝－2.由三
角形内角和定理得α＋2θ＝π，所以tan 2θ＝tan(π－α)＝－tan α＝2，即＝2，整理得tan θ＋tan2θ＝1，所以＝＝tan θ＋tan2θ＝1.故选D.
6．(2020·全国统一考试模拟卷)已知cos－sin α＝，则sin＝________．
解析：由cos－sin α＝cos α－sin α－sin α＝cos α－sin α＝＝cos＝sin＝，得sin
＝.sin＝－sin＝－sin＝－.
答案：－
7．化简：·＝________．
解析：原式＝·＝·＝－4tan(45°＋15°)＝－4.
答案：－4
8．已知α，β为锐角，且(1－tan α)(1－tan β)＝4，则α＋β＝________．
解析：因为(1－tan α)(1－tan β)＝4，
所以1－(tan α＋tan β)＋3tan αtan β＝4，
即－(tan α＋tan β)＝3－3tan αtan β，
则tan α＋tan β＝－(1－tan αtan β)，
则tan(α＋β)＝＝＝－.
因为α，β为锐角，所以0＜α＋β＜π，则α＋β＝.
答案：
9．已知tan α＝－，cos β＝，α∈，β∈，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．
解：由cos β＝，β∈，
得sin β＝，tan β＝2.
所以tan(α＋β)＝
＝＝1.
因为α∈，β∈，
所以<α＋β<，
所以α＋β＝.
10．已知sin α＋cos α＝，α∈，sin＝，β∈.
(1)求sin 2α和tan 2α的值；
(2)求cos(α＋2β)的值．
解：(1)由题意得(sin α＋cos α)2＝，
即1＋sin 2α＝，所以sin 2α＝.
又2α∈，所以cos 2α＝ ＝，
所以tan 2α＝＝.
(2)因为β∈，所以β－∈，又sin＝，所以cos＝，
于是sin 2＝2sin·cos＝.
又sin 2＝－cos 2β，所以cos 2β＝－，
又2β∈，所以sin 2β＝，
又cos2α＝＝，α∈，
所以cos α＝，sin α＝.
所以cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β
＝×－×
＝－.
[B级 综合练]
11．设α∈，β∈，且tan α＝，则( )
A．3α－β＝ B．2α－β＝
C．3α＋β＝ D．2α＋β＝
解析：选B.因为tan α＝，所以＝，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，所以sin
αcos β－cos αsin β＝cos α，即sin(α－β)＝sin，又α，β均为锐角，且y＝sin x在上单
调递增，所以α－β＝－α，即2α－β＝，故选B.
12．已知 0＜β＜α＜，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝，则 log tan2β－logtan α＝
5
________．
解析：log tan2β－logtan α＝2log tan β－2log tan α
5 5 5
＝2log .因为0＜β＜α＜，所以0＜α－β＜，
5
又因为cos(α－β)＝，所以sin(α－β)＝，
因为sin(α＋β)＝，所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝，
又因为sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝，
所以两式相加得sin αcos β＝，两式相减得cos αsin β＝，则＝，
分子、分母同时除以cos βcos α，得＝，
所以log tan2β－logtan α＝2log ＝－2.
5 5
答案：－2
13．如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内
接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半
圆的圆周上．已知半圆的半径长为20 m，如何选择关于点O对称的点A，D的位
置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少？解：连接OB(图略)，设∠AOB＝θ，
则AB＝OBsin θ＝20sin θ，OA＝OBcos θ＝20cos θ，且θ∈.
因为A，D关于原点O对称，
所以AD＝2OA＝40cos θ.
设矩形ABCD的面积为S，则
S＝AD·AB＝40cos θ·20sin θ＝400sin 2θ.
因为θ∈，所以当sin 2θ＝1，
即θ＝时，S ＝400(m2)．
max
此时AO＝DO＝10(m)．
故当点A，D到圆心O的距离为10 m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面
积是400 m2.
14．已知函数f(x)＝Acos，x∈R，且f＝.
(1)求A的值；
(2)设α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α＋β)的值．
解：(1)因为f＝Acos＝Acos＝A＝，所以A＝2.
(2)由f＝2cos＝2cos＝－2sin α＝－，
得sin α＝，又α∈，
所以cos α＝.
由f＝2cos(β－＋)＝2cos β＝，
得cos β＝，又β∈，所以sin β＝，
所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝×－×＝－.
[C级 创新练]
15.(2020·河南、江西、湖南三省部分重点中学4月联考)《九章
算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭
赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央．出水一尺，引葭赴岸，
适与岸齐，问水深、葭长各几何？”其意思为“今有水池1丈见
方(即CD＝10尺)，芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺．
将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接(如图所示)．试问水深、芦苇的长度各是多少？”设θ＝∠BAC，现有下述四个结论：
①水深为12尺；②芦苇长为15尺；③tan ＝；④tan＝－.
其中所有正确结论的编号是( )
A．①③ B．①③④
C．①④ D．②③④
解析：选B.设BC＝x尺，则AC＝(x＋1)尺，
在Rt△ABC中，
因为AB＝5，
所以52＋x2＝(x＋1)2，所以x＝12.所以水深为12尺，芦苇长为13尺．
所以tan θ＝，所以tan θ＝＝，解得tan ＝(负根舍去)，因为tan θ＝，所以tan＝
＝－，故正确结论的编号为①③④.
16．(2020·山西晋中5月模拟)已知a为正整数，tan α＝1＋lg a，tan β＝lg a，且
α＝β＋，则当函数f(x)＝asin θ－cos θ(θ∈[0，π])取得最大值时，θ＝( )
A. B. C. D.
解析：选C.因为α＝β＋，所以α－β＝，
所以tan(α－β)＝1，即＝＝1，
解得a＝1或a＝(舍去)．
则f(x)＝sin θ－cos θ＝2sin，
由于θ∈[0，π]，所以θ－∈.
则当θ－＝，即θ＝时，函数f(x)取得最大值．
故选C.
