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第二课时 简单的三角恒等变换
考点一 三角函数式的化简
1.·等于( )
A.－sin α B.－cos α
C.sin α D.cos α
答案 D
解析 原式＝＝＝cos α.
2.化简：2＋等于( )
A.2cos 2 B.2sin 2
C.4sin 2＋2cos 2 D.2sin 2＋4cos 2
答案 B
解析 2＋
＝2＋
＝2＋
＝2|sin 2＋cos 2|＋2|cos 2|.
∵<2<π，∴cos 2<0，
∵sin 2＋cos 2＝sin，0<2＋<π，
∴sin 2＋cos 2>0，
∴原式＝2(sin 2＋cos 2)－2cos 2＝2sin 2.
3.化简：(－tan )·＝________.
答案
解析 (－tan )·(1＋tan α·tan )
＝(－)·(1＋·)
＝·
＝·＝.
感悟提升 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征.
2.三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补
等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.
考点二 三角函数式的求值
角度1 给角求值
例1 (1)的值为( )
A.1 B. C. D.2
(2)cos 20°·cos 40°·cos 100°＝________.
答案 (1)C (2)－
解析 (1)原式＝
＝＝＝.
(2)cos 20°·cos 40°·cos 100°
＝－cos 20°·cos 40°·cos 80°
＝－
＝－
＝－＝－
＝－＝－.
角度2 给值求值
例2 (1)(2021·哈尔滨模拟)若sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，则的值为( )
A.－3 B.－ C. D.3
(2)(2022·武汉检测)已知＝－，则cos＝( )
A. B.－ C.－ D.
答案 (1)A (2)B
解析 (1)因为sin α＋cos α＝，
所以sin2α＋cos2α＝sin2α＋＝1，
可得25sin2α－5sin α－12＝0，
解得sin α＝或－.
又因为α∈(0，π)，所以sin α＝，
所以cos α＝－＝－，
则＝＝
＝＝＝－3，故选A.
(2)＝
＝－2sin＝－，
故sin＝.
而sin＝sin
＝cos＝，
所以cos＝2cos2－1
＝－1＝－.
角度3 给值求角
例3 (1)已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，则β＝________.
(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为________.
答案 (1) (2)－
解析 (1)∵0<β<α<，∴0<α－β<，
sin α＝.
又cos(α－β)＝，
∴sin(α－β)＝＝.
∴cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝×＋×＝.
又0<β<，∴β＝.
(2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝
＝＝>0，
又α∈(0，π)，∴0<α<，
又∵tan 2α＝＝＝>0，
∴0<2α<，
∴tan(2α－β)＝＝＝1.
∵tan β＝－<0，
∴<β<π，－π<2α－β<0，
∴2α－β＝－.感悟提升 1.给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难
的，但仔细观察非特殊角与特殊角之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得
到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而得解.
2.给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，
然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入即可.
3.给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角.遵照
以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或
余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；(2)若角的范围是(0，π)，选余弦较
好；若角的范围为，选正弦较好.
训练1 (1)(2021·许昌模拟)计算
所得的结果为( )
A.1 B. C. D.2
(2)(2022·新高考五省五校联考)已知α∈，sin＝，则tan α＝________.
(3)已知α，β均为锐角，cos α＝，sin β＝，则cos 2α＝______，2α－β＝______.
答案 (1)C (2)3＋2 (3)
解析 (1)
＝
＝＝，故选C.
(2)∵α∈，∴α－∈，
∵sin＝，∴cos＝，α－∈，则tan＝，
则tan α＝tan＝＝3＋2.
(3)因为cos α＝，
所以cos 2α＝2cos 2α－1＝.
又因为α，β均为锐角，sin β＝，
所以sin α＝，cos β＝，
因此sin 2α＝2sin αcos α＝，
所以sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝×－×＝.
因为α为锐角，所以0＜2α＜π.
又cos 2α＞0，所以0＜2α＜，
又β为锐角，所以－＜2α－β＜，又sin(2α－β)＝，所以2α－β＝.
考点三 三角恒等变换的应用
例4 已知函数f(x)＝sin＋·cos.
(1)求函数f(x)在区间上的最值；
(2)若cos θ＝，θ∈，求f(2θ＋)的值.
解 (1)由题意得
f(x)＝·sin＋cos
＝×
＝－·sin.
因为x∈，所以x－∈，
所以sin∈，
所以－sin∈，即函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－.
(2)因为cos θ＝，θ∈，
所以sin θ＝－，
所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝－，
所以cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝－＝，
所以f＝－sin
＝－·sin
＝－(sin 2θ－cos 2θ)
＝(cos 2θ－sin 2θ)＝×＝.
感悟提升 1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角
之间的关系；注意公式的逆用和变形使用.
2.把形如y＝asin x＋bcos x化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调
性、最值与对称性.
训练2 已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x.
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；
(2)若α∈(0，π)，且f＝，求tan的值.
解 (1)因为f(x)＝(2cos 2x－1)sin 2x＋cos 4x＝cos 2xsin 2x＋cos 4x
＝(sin 4x＋cos 4x)
＝sin，所以函数f(x)的最小正周期T＝.
令2kπ＋≤4x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得＋≤x≤＋，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递减区间为
，k∈Z.
(2)因为f＝，所以sin＝1.
又α∈(0，π)，所以－＜α－＜，
所以α－＝，故α＝，
因此tan＝
＝＝2－.
万能公式
sin α＝，cos α＝，
tan α＝.
注意：(1)上述三个公式统称为万能公式.
(2)上述公式左右两边定义域发生了变化，由左向右定义域缩小了.
例 已知＝－5，求3cos 2θ＋4sin 2θ的值.
解 ∵＝－5，
∴cos θ≠0(否则2＝－5)，
∴＝－5，
解得tan θ＝2.
∴原式＝＋
＝＋＝.
1.sin 15°cos 15°等于( )
A.－ B.
C.－ D.
答案 B
解析 sin 15°cos 15°＝sin 30°＝.2.已知sin α－cos α＝，0≤α≤π，则cos 2α等于( )
A.－ B.
C.－ D.
答案 C
解析 ∵sin α－cos α＝，
sin2α＋cos2α＝1，0≤α≤π，
∴sin α＝，
∴cos 2α＝1－2sin2α＝1－2＝－.
3.计算等于( )
A. B.－ C. D.－
答案 D
解析 原式＝－·＝－tan ＝－×＝－.
4.已知cos＝，则sin＝( )
A.－ B. C. D.－
答案 B
解析 因为cos＝，
所以sin＝－cos
＝－cos＝1－2cos2＝.故选B.
5.已知0<α<，－<β<0，cos(α－β)＝－，sin α＝，则sin β＝( )
A. B.－ C. D.－
答案 D
解析 因为sin α＝，0<α<，
所以cos α＝.
因为－<β<0，0<α<，
所以α－β∈(0，π)，
所以sin(α－β)＝＝，
所以sin β＝sin[α－(α－β)]
＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝×－×＝－.故选D.
6.已知α∈[0，2π)，cos α＋3sin α＝，则tan α＝( )A.－3 B.3或 C.3 D.
答案 C
解析 因为(cos α＋3sin α)2＝10，
所以cos2α＋6sin αcos α＋9sin2 α＝10，
所以＝10，
所以＝10，所以tan α＝3.
7.(2022·烟台模拟)已知α∈，若sin＝，则tan α的值为________.
答案
解析 法一 ∵sin＝cos 2α＝，α∈，
∴sin α＝＝，
cos α＝＝，
∴tan α＝＝.
法二 由法一得cos 2α＝＝，解得tan2α＝，又α∈，所以tan α＝.
8.＝________.
答案
解析 ＝
＝
＝
＝＝＝.
9.已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β＝________.
答案
解析 因为α，β均为锐角，
所以－<α－β<.
又sin(α－β)＝－，
所以cos(α－β)＝.
又sin α＝，所以cos α＝，
所以sin β＝sin[α－(α－β)]
＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝×－×＝，
所以β＝.10.已知sin＝，α∈.求：
(1)cos α的值；
(2)sin的值.
解 (1)sin＝，
即sin αcos＋cos αsin ＝，
化简得sin α＋cos α＝，①
又sin 2α＋cos2α＝1，②
由①②解得cos α＝－或cos α＝，
因为α∈，所以cos α＝－.
(2)由(1)知，sin α＝，
则cos 2α＝1－2sin2α＝－，
sin 2α＝2sin αcos α＝－，
所以sin＝sin 2αcos－cos 2αsin
＝－.
11.已知A，B均为钝角，且sin A＝，sin B＝，求A＋B的值.
解 因为A，B均为钝角，且sin A＝，sin B＝，
所以cos A＝－＝－，
cos B＝－＝－，
所以cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B
＝－×－×＝.
又因为＜A＜π，＜B＜π，
所以π＜A＋B＜2π，所以A＋B＝.
12.(2021·郑州模拟)若tan α＞sin α＞sin 2α，则α的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 由tan α＞sin α，可得tan α－sin α＝－sin α＝＞0，
由－＜α＜，可得0＜cos α≤1，
则1－cos α≥0，可得sin α＞0，所以0＜α＜.由sin α＞sin 2α，可得sin α－sin 2α＝sin α－2sin αcos α＝sin α(1－2cos α)＞0，
由0＜α＜，得sin α＞0，
所以1－2cos α＞0，即cos α＜，
所以＜α＜.故选C.
13.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，
发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18°，若m2＋n＝4，
则等于________.
答案 2
解析 因为m＝2sin 18°，m2＋n＝4，
所以n＝4－m2＝4－4sin218°＝4cos218°.
所以＝
＝＝
＝＝2.
14.已知0<α<<β<π，cos＝，sin＝.
(1)求sin 2β的值；
(2)求cos的值.
解 (1)法一 因为cos
＝coscos β＋sinsin β
＝cos β＋sin β＝，
所以cos β＋sin β＝，
所以1＋sin 2β＝，所以sin 2β＝－.
法二 sin 2β＝cos
＝2cos2－1＝－.
(2)因为0<α<<β<π，
所以<β－<π，<α＋β<.
所以sin>0，cos(α＋β)<0，
所以sin＝，cos(α＋β)＝－.
所以cos＝cos
＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin
＝－×＋×＝.
