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5.6 利用导数研究函数的零点
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：函数的零点................................................................... 2
考点二：函数零点的判定............................................................. 2
模块二：题型分类.........................................................................2
题型一：判断、证明、讨论函数零点个数.........................................2
题型二：利用极值最值研究函数零点问题.........................................3
题型三：数形结合法研究函数零点问题............................................5
题型四：构造函数求函数零点....................................................... 7
模块三：综合巩固.........................................................................7
5.6 利用导数研究函数的零点
模块一：基础知识
考点一：函数的零点
（1）函数零点的定义：对于函数
( )
y
f x
，把使
( )
0
f x
的实数x 叫做函数
( )
y
f x
的零点．
（2）三个等价关系
方程
0
)
(
x
f
有实数根函数
)
(x
f
y
的图象与x 轴有交点的横坐标函数
)
(x
f
y
有零点．
考点二：函数零点的判定
如果函数
( )
y
f x
在区间[ , ]
a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有
( )
( )
0
f a
f b
，那么函数
( )
y
f x
在区间( , )
a b 内有零点，即存在
( , )
c
a b
，使得
( )
0
f c
，这个c 也就是
( )
0
f x
的根．我们
把这一结论称为函数零点存在性定理．
注意：单调性+存在零点=唯一零点
15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662
模块二：题型分类
题型一：判断、证明、讨论函数零点个数
1.已知函数
3
2
1
1
1
3
2
f
x
x
x
ax
a
R ，在
0
x
处切线的斜率为-2.
（1）求a 的值及
f
x 的极小值；
15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662
（2）讨论方程
f
x
m m
R 的实数解的个数.
15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662
2.已知函数
2
cos
f
x
x
x
.
(1)设
g x
f
x
，求
g x 在区间π ,π
4
上的最值；
(2)讨论
f
x 的零点个数.
15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662
3.已知函数
1
1
e
0,
R
x
f x
x
m
m
，讨论函数
f x 的零点的个数.
4.已知
e
ln
x
g x
x
a
x
x
．
(1)当
1
a 时，求
g x 在
1,上的单调性；
(2)若
ex
h x
x
，令
f x
h x
，讨论方程
f
x
m m
R 的解的个数．
题型二：利用极值最值研究函数零点问题
1.已知函数
3
2
9
6
2
f x
x
x
x
a
（
R
a
）.
(1)求
f
x 在
2,3
上的最大值；
(2)若函数
f
x 恰有三个零点，求a 的取值范围.
2.已知函数
ln
R
f x
a x
x a
.
(1)讨论
f
x 的单调性；
15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662
(2)若
f
x 在
2
1 ,e
e
上存2 个零点，求a 的取值范围.
15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662
3.已知函数
2
2ln
1
x
f
x
a x
x
.
(1)当
0
a
时，求
f
x 的极值；
(2)当
1
a 时，求
f
x 在
1,上的最小值；
(3)若
f
x 在
1,e 上存在零点，求a 的取值范围.
4.已知函数
3
2
1
( )
, ( )
(
)
3
f x
x
ax g x
x
a a
R
.
B0-A4-60-28-3B-3D
(1)若函数
( )
( )
( )
F x
f x
g x
在
[1,
)
x
上单调递增，求a 的最小值
B0-A4-60-28-3B-3D；
(2)若函数
( )
( )
( )
G x
f x
g x
的图象与y
ax
有且只有一个交点，
B0-A4-60-28-3B-3D求a 的取值范围．
5.已知函数
x
f x
a
，
loga
g x
x
，其中
1
a ，若
0
ax
h x
x
f
x
.
(1)当
2
a
时，求
h x 的单调区间；
(2)曲线
y
h x
与直线
1
y 有且仅有两个交点，求a
B0-A4-60-28-3B-3D的取值范围.
题型三：数形结合法研究函数零点问题
1.已知函数
3
2
1
( )
, ( )
(
)
3
f x
x
ax g x
x
a a
R
.
(1)若函数
( )
( )
( )
F x
f x
g x
在
[1,
)
x
上单调递增，求a 的最小值；
(2)若函数
( )
( )
( )
G x
f x
g x
的图象与y
ax
有且只有一个交点，求a 的取值范围．
2.已知
e
ln
x
g x
x
a
x
x
．
(1)当
1
a 时，求
g x 在
1,上的单调性；
(2)若
ex
h x
x
，令
f x
h x
，讨论方程
f
x
m m
R 的解的个数．
3.已知函数
3
2
2
1
2
3
f x
x
k
x
kx
，
2
1(
g x
kx
其中
)
k
R
．
(1)讨论函数
f
x 的单调性；
(2)若方程
f x
g x
有三个根，求k 的取值范围．
4.已知函数
1 e
R
x
f x
x
a a
.
(1)求
f
x 的极值：
(2)若
f
x 有两个零点，求a 的取值范围.
5.已知函数
3
1
6
3
f
x
x
x
，函数
2
1
2
g x
x
a
，
(1)已知直线l 是曲线
y
f x
在点
0,
0
f
处的切线，且l 与曲线
y
g x
相切，求a 的值；
(2)若方程
f x
g x
有三个不同实数解，求实数a 的取值范围.
题型四：构造函数求函数零点
1.已知函数
2
1
e
,
R
2
x
f
x
ax
x
x x
．
(1)讨论函数
( )
f x 的单调性．
15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662
(2)若关于x 的方程
2
1
( )
ln
2
f x
x
x
有两个实数根，求实数a 的取值范围．
2.已知函数
2ln
1
f
x
x
ax
a
R .
(1)讨论函数
f
x 的零点个数；
(2)已知函数
2
e
e
ax
g x
x
a
R ，当
2 e
0
e
a
时，关于x 的方程
f x
g x
有两个实根
1
2
1
2
,
x x
x
x
，
求证：
1
2
1
1
e
e
x
x
.（注：e
2.71828
是自然对数的底数）
15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662
模块三：综合巩固
1.函数
2
2
2
f x
x
m
x
m
．
(1)若
f
x 为奇函数，求实数m 的值；
(2)已知
f
x 仅有两个零点，证明：函数
3
y
f x
仅有一个零点．
2.已知函数
3
2
1
( )
2
1
3
f x
x
ax
x
．
(1)求函数
( )
f x 在
0
x
处的切线方程；
(2)若
1
x 是
( )
f x 的极值点，且方程
( )
0
f x
m
有3 个不同的实数解，求实数m 的取值范围．
3.已知函数
2
2ln
f x
x
x
.
(1)求
f
x 的单调区间；
(2)令
2
g x
f
x
x
ax
（a 为常数），若
g x 有两个零点
1
2
1
2
,
x x
x
x
，求实数a 的取值范围.
4.已知
1
e
e
b
x
ax
f
x
ax
b
.
(1)当
0,
0
a
b
时，求函数
f
x 的极值；
15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662
(2)当
0
a
时，设
ln
g x
f x
x
x
.若函数
g x 在
2
1,e 上有两个不同的零点，求b 的取值范围.
