解答题：函数与导数的综合应用
目录
题型一 利用导数研究函数的单调性1
题型二 利用导数研究函数的极值3
题型三 利用导数研究函数的最值4
题型四 利用导数解决恒成立与能成立 6
题型五 利用导数求解函数的零点7
题型六 利用导数证明不等式 9
题型七 利用导数研究双变量问题10
题型八 利用导数研究极值点偏移问题12
题型九 隐零点问题综合应用 13
题型十 导数与数列综合问题 15
必刷大题17
题型一 利用导数研究函数的单调性
大题典例
1.(24-25高三上·海南·期中)设函数fx
1
x
= k≠0
ekx
.
(1)求曲线y=fx 在点 0,f0 切线方程；
(2)求函数fx 的单调区间;变式训练
2.(24-25高三上·北京·期中)已知函数f(x)=x3+ax2+bx-1在x=1处有极值-1.
(1)求实数a，b的值;
(2)求函数gx
2
=ax+lnx2的单调区间.
x-a
3.(24-25高三上·江苏常州·月考)已知函数f(x)=
(x+1)2
(1)当a=0时，求曲线y=fx 在点 0,f0 处的切线方程；
(2)求函数fx 的单调区间．题型二 利用导数研究函数的极值
大题典例
4.(24-25高三上·黑龙江·月考)已知函数f(x)=ax2+(a-2)x-lnx.
(1)当a=0时，求函数f(x)在x=1处的切线;
(2)当a>0时，若f(x)的极小值小于0，求a的取值范围
变式训练
5.(24-25高三上·福建宁德·期中)已知函数fx
3
1
= +a为R上的奇函数．
ex+1
(1)求a；
(2)若函数gx =2ex+1 fx +2x，讨论gx 的极值．6.(24-25高三上·河南安阳·月考)已知函数fx
4
lna+lnx
=
lnx+1
．
(1)求fx 的定义域；
(2)若fx 存在极大值，求a的取值范围
题型三 利用导数研究函数的最值
大题典例
7.(24-25高三上·江西·月考)已知函数fx
3x-sinx+2
= ．
ex
(1)求曲线y=fx 在点 0,f0 处的切线方程；
(2)求fx 的最值．变式训练
8.(24-25高三上·北京·期中)已知函数fx
5
=x2-ax+1 ex(a∈R)在x=2处取得极小值.
(1)求a的值，并求函数fx 的单调区间；
(2)求fx 在区间 -2,0 上的最大值和最小值.
9.(24-25高三上·湖北武汉·期中)已知函数fx =ax-lnxa∈R ．
(1)若函数fx
1
在 ,1
e
3
上的最小值为 ，求a的值；
2
(2)若a=0，函数gx
fx
=ex+
-1
，求gx
x
的最小值．题型四 利用导数解决恒成立与能成立
大题典例
10.(24-25高三上·河北衡水·月考)已知函数fx
6
=exx2-x+1 ．
(1)求函数fx 的单调区间；
(2)函数fx ≤a在 -2,1 上恒成立，求最小的整数a．
变式训练
11.(24-25高三上·四川成都·期中)已知函数fx =ex-a+1 x
(1)讨论fx 的单调性；
(2)若fx =ex-a+1 x≥b对于x∈R恒成立，求b-a的最大值.12.(24-25高三上·浙江绍兴·月考)已知函数f(x)=ex-ax-1.
(1)当a=2时，求f(x)在区间 0,1
7
上的值域；
(2)若存在x 0 >1，当x∈0,x 0 时，f(x)<0，求a的取值范围.
题型五 利用导数求解函数的零点
大题典例
13.(24-25高三上·江苏苏州·开学考试)已知函数 fx =sinx+ex-4x，e为自然对数的底数，函数
gx =x3-ax+3.
(1)若fx 在0,1 处的切线也是gx 的切线，求实数a的值；
(2)求fx 在-π,+∞ 上的零点个数.变式训练
14.(24-25高三上·云南玉溪·月考)已知函数f(x)=lnx-x+2sinx
(1)证明：f(x)在区间0,π
8
存在唯一极大值点；
(2)求f(x)的零点个数．
15.(24-25高三上·四川绵阳·月考)函数f(x)=2x3-3ax2+1.
(1)若a=1，求函数f(x)在x=-1处的切线方程；
(2)证明：存在实数a使得曲线y=f(x)关于点(1,-3)成中心对称图形；
(3)讨论函数f(x)零点的个数.题型六 利用导数证明不等式
大题典例
16.(24-25高三上·广东·月考)已知函数fx
9
lnx
=ex-a- -1．
x
(1)当a=0时，求曲线y=fx 在点 1,f1 处的切线方程；
(2)当a=1时，证明：fx ≥0．
变式训练
17.(24-25高三上·广东广州·月考)已知函数fx
1
= x3-3x+4.
3
(1)求曲线y=fx 在点 3,f 3 处的切线方程；
(2)当x∈0，3 时，求证：fx ≤x+4.18.(24-25高三上·河北保定·期中)已知函数fx
10
=ex+sinx-2x,gx =2-cosx.
(1)已知直线x-y+a=0是曲线y=gx ,x∈0,π 的切线，求实数a的值；
(2)求函数fx 的单调区间；
(3)求证：fx ≥gx 恒成立.
题型七 利用导数研究双变量问题
大题典例
1
19.(24-25高三上·福建龙岩·期中)已知函数f(x)= ax2-(2a+1)x+2lnx+4a(a>0).
2
(1)求fx 的单调区间;
(2)设gx =x2-2x，若对任意x 1 ∈(0,2]，均存在x 2 ∈(0,2]，使得fx 1 <gx 2 ，求实数a的取值范
围.变式训练
1
20.(24-25高三上·湖北·期中)已知x=2为函数f(x)=x(x-c)2- 的极小值点.
e
(1)求c的值；
kx
(2)设函数g(x)= ，若对∀x ∈(0,+∞)，∃x ∈R，使得f(x )-g(x )≥0，求k的取值范围.
ex 1 2 1 2
21.(24-25高三上·上海·期中)已知实数a>0，设fx
11
2
=- ax3+x2.
3
(1)若a=3，求函数y=fx 的图象在点1,-1 处的切线方程；
1
(2)若a= ，已知函数y=fx
3
，x∈m,+∞ 的值域为-∞,3 ，求实数m的取值范围；
(3)若对于任意的x 1 ∈2,+∞ ，总存在x 2 ∈1,+∞ ，使得fx 1 ⋅fx 2 =1，求a的取值范围.题型八 利用导数研究极值点偏移问题
大题典例
22.(24-25高三上·云南·月考)已知函数fx
12
1
=ex- x2+ax+a.
2
(1)若fx 为增函数，求a的取值范围；
(2)若fx 有两个极值点x ,x ，证明：x +x <0. 1 2 1 2
变式训练
23.(23-24高三上·天津·月考)已知函数fx
1
=- x2+ax-lnxa∈R
2
.
(1)当a=1时，求曲线y=fx 在点 1,f1 处的切线方程；
(2)求fx 的单调区间；
(3)若函数fx 有两个极值点x 1 ,x 2x 1 <x 2 ，求证：4fx 1 -2fx 2 ≤1+3ln2.24.(24-25高三上·内蒙古包头·开学考试)设函数f(x)=(x-1)2ex-x，
(1)证明：f(x)有两个零点；
x +x
(2)记f(x)是f(x)的导数，x ,x 为f(x)的两个零点，证明：f 1 2
1 2 2
13
>-1．
题型九 隐零点问题综合应用
大题典例
25.(23-24高三下·湖南衡阳·一模)已知函数f(x)=sinx-aln(b+x)
(1)若f(x)在x=π处的切线方程为2x+y+2π(ln2π-1)=0，求a、b的值；
π
(2)若b=1时，在-1,
2
上f(x)≥0恒成立，求a的取值范围；变式训练
26.(24-25高三上·浙江杭州·月考)已知函数fx
14
1
= ax2-a+1
2
x+lnx,gx
1
=xex- ax2-2．
2
(1)讨论fx 的单调性；
(2)证明：fx +gx ≥2lnx-ax-1．
27.(24-25高三上·四川成都·期中)已知函数fx =ex-ax2-x-1. (其中e≈2.71828)
(1)当a=0时，证明：fx ≥0
(2)若x>0时，fx >0，求实数a的取值范围；
(3)记函数gx
ex-1 23
= -2lnx的最小值为m，求证：m∈ ,e-1
x 20
题型十 导数与数列综合问题
大题典例
28.(23-24高三下·河北·三模)已知函数fx
15
=xlnx-ax2+2a-1 x-a+1a∈R ．
(1)若fx ≤0在 1,+∞ 恒成立，求实数a的取值范围；
1 1 1 1 1
(2)证明： + + +⋯+ + >ln2．
n+1 n+2 n+3 n+n 4n
变式训练
29.(23-24高三下·四川雅安·一模)已知函数f(x)=ax2+(1-a)x-lnx．
(1)若f(x)有2个相异极值点，求a的取值范围；
(2)若f(x)≥1，求a的值；
1
(3)设m为正整数，若∀n∈N*，1+
4
3
1+
42
32
1+
43
3n-1
⋯1+
4n
<m，求m的最小值．k(x-1)
30.(24-25高三上·上海·月考)已知函数f(x)=lnx- +1.
x
(1)若k>0，求函数y=f(x)的极值；
(2)①当x>1时，f(x)>0恒成立，求正整数k的最大值；
②证明：(1+1×2)(1+2×3)⋯[1+n(n+1)]>e n2- n+ 3 1
16
必刷大题
刷模拟
1
31.(24-25高三上·福建泉州·期中)已知函数f(x)= ax2+lnx-(a+1)x，a∈R．
2
(1)当a>0时，讨论f(x)的单调性；
f(x)
(2)当a>0时，设g(x)= ，若g(x)既有极大值又有极小值，求a的取值范围．
x
32.(24-25高三上·山东·期中)已知函数f(x)=ax3+2sinx-x.
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；
(2)当a=1时，讨论f(x)的单调性；
(3)当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围.
1733.(24-25高三上·北京房山·期中)已知函数fx
18
=ax3+bx2+cx在点x 处取得极大值5，其导函数y 0
=fx 的图象经过点1,0 ，2,0 ，如图所示.求：
(1)x 的值；
0
(2)a，b，c的值；
(3)函数fx 在区间 -1,3 上的最大值和最小值.34.(24-25高三上·江苏盐城·期中)设函数fx
19
=xex，x∈R.
(1)求fx 的极值；
flnx
(2)已知实数a>0，若存在正实数x使不等式a⋅3axln3-
≤0成立，求a的取值范围；
x
(3)已知不等式fm -fn >km-n 2对满足m>n>0的一切实数m，n恒成立，求实数k的取
值范围.35.(23-24高三下·广东佛山·一模)已知函数fx
20
=ax2-1+2lnx．
(1)讨论fx 的单调性；
(2)当a=1时，若存x 1 、x 2 在，满足fx 1 =-fx 2 ，证明：x +x ≥2； 1 2
(3)对任意的x>0，fx
2
≤xe2x+ -lnx-1恒成立，其中fx
x
是函数fx 的导数，求a的取值
范围．36.(23-24高三下·浙江杭州·一模)已知函数fx
21
=axlnx-x3-1.
(1)若a=1，求fx 的单调区间;
(2)若0≤a≤3，求证:fx <0;
(3)若hx
fx
=
+x3+1
a ，∃x 1 ≠x 2 使得hx 1 =hx 2 =b，求证:be+1<x -x 1 2 <b+1.刷真题
37.(2024·全国·高考真题)已知函数fx
22
=ax-1 -lnx+1．
(1)求fx 的单调区间；
(2)当a≤2时，证明：当x>1时，fx <ex-1恒成立．
38.(2024·全国·高考真题)已知函数fx =1-ax ln1+x -x．
(1)当a=-2时，求fx 的极值；
(2)当x≥0时，fx ≥0，求a的取值范围．39.(2024·全国·高考真题)已知函数f(x)=ex-ax-a3．
(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点1,f(1)
23
处的切线方程；
(2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
40.(2024·天津·高考真题)已知函数fx =xlnx．
(1)求曲线y=fx 在点 1,f1 处的切线方程；
(2)若fx ≥ax- x 对任意x∈0,+∞ 成立，求实数a的值；
(3)若x 1 ,x 2 ∈0,1 ，求证：fx 1 -fx 2 ≤x -x 1 2
1
2．x
41.(2024·全国·高考真题)已知函数f(x)=ln +ax+b(x-1)3
2-x
(1)若b=0，且f(x)≥0，求a的最小值；
(2)证明：曲线y=f(x)是中心对称图形；
(3)若f(x)>-2当且仅当1<x<2，求b的取值范围．
2442.(2024·北京·高考真题) 设函数 f x
25
= x + kln1+x k≠0 ，直线 l 是曲线 y = f x 在点
t,ft t>0 处的切线．
(1)当k=-1时，求fx 的单调区间.
(2)求证：l不经过点0,0 .
(3)当k=1时，设点A t,ft t>0 ，C 0,ft ，O0,0 ，B为l与y轴的交点，S 与S 分别
△ACO △ABO
表示△ACO与△ABO的面积．是否存在点A使得2S =15S 成立？若存在，这样的点A有
△ACO △ABO
几个？
(参考数据：1.09<ln3<1.10，1.60<ln5<1.61，1.94<ln7<1.95)43.(2024·上海·高考真题)对于一个函数 fx
26
和一个点Ma,b ，令sx =(x-a)2+ fx -b 2，若
P x 0 ,fx 0 是sx 取到最小值的点，则称P是M在fx 的“最近点”．
1
(1)对于f(x)= (x>0)，求证：对于点M0,0
x
，存在点P，使得点P是M在fx 的“最近点”；
(2)对于fx =ex,M1,0 ，请判断是否存在一个点P，它是M在fx 的“最近点”，且直线MP与y
=f(x)在点P处的切线垂直；
(3)已知y=f(x)在定义域R上存在导函数f(x)，且函数 g(x) 在定义域R上恒正，设点
M 1 t-1,ft -gt ，M 2 t+1,ft +gt ．若对任意的t∈R，存在点P同时是M 1 ,M 2 在fx 的“最
近点”，试判断fx 的单调性．
