解答题：函数与导数的综合应用（10大题型）（学生版）_2024-2025高三（6-6月题库）_2024年12月试卷_1202解答题：函数与导数的综合应用（10大题型）（解析版）

解答题：函数与导数的综合应用 目录 题型一 利用导数研究函数的单调性1 题型二 利用导数研究函数的极值3 题型三 利用导数研究函数的最值4 题型四 利用导数解决恒成立与能成立 6 题型五 利用导数求解函数的零点7 题型六 利用导数证明不等式 9 题型七 利用导数研究双变量问题10 题型八 利用导数研究极值点偏移问题12 题型九 隐零点问题综合应用 13 题型十 导数与数列综合问题 15 必刷大题17 题型一 利用导数研究函数的单调性 大题典例 1.(24-25高三上·海南·期中)设函数fx 1  x = k≠0 ekx  . (1)求曲线y=fx  在点 0,f0    切线方程； (2)求函数fx  的单调区间;变式训练 2.(24-25高三上·北京·期中)已知函数f(x)=x3+ax2+bx-1在x=1处有极值-1. (1)求实数a，b的值; (2)求函数gx 2  =ax+lnx2的单调区间. x-a 3.(24-25高三上·江苏常州·月考)已知函数f(x)= (x+1)2 (1)当a=0时，求曲线y=fx  在点 0,f0    处的切线方程； (2)求函数fx  的单调区间．题型二 利用导数研究函数的极值 大题典例 4.(24-25高三上·黑龙江·月考)已知函数f(x)=ax2+(a-2)x-lnx. (1)当a=0时，求函数f(x)在x=1处的切线; (2)当a>0时，若f(x)的极小值小于0，求a的取值范围 变式训练 5.(24-25高三上·福建宁德·期中)已知函数fx 3  1 = +a为R上的奇函数． ex+1 (1)求a； (2)若函数gx  =2ex+1  fx  +2x，讨论gx  的极值．6.(24-25高三上·河南安阳·月考)已知函数fx 4  lna+lnx = lnx+1  ． (1)求fx  的定义域； (2)若fx  存在极大值，求a的取值范围 题型三 利用导数研究函数的最值 大题典例 7.(24-25高三上·江西·月考)已知函数fx  3x-sinx+2 = ． ex (1)求曲线y=fx  在点 0,f0    处的切线方程； (2)求fx  的最值．变式训练 8.(24-25高三上·北京·期中)已知函数fx 5  =x2-ax+1  ex(a∈R)在x=2处取得极小值. (1)求a的值，并求函数fx  的单调区间； (2)求fx  在区间 -2,0  上的最大值和最小值. 9.(24-25高三上·湖北武汉·期中)已知函数fx  =ax-lnxa∈R  ． (1)若函数fx  1 在  ,1  e  3 上的最小值为 ，求a的值； 2 (2)若a=0，函数gx  fx =ex+  -1 ，求gx x  的最小值．题型四 利用导数解决恒成立与能成立 大题典例 10.(24-25高三上·河北衡水·月考)已知函数fx 6  =exx2-x+1  ． (1)求函数fx  的单调区间； (2)函数fx  ≤a在 -2,1  上恒成立，求最小的整数a． 变式训练 11.(24-25高三上·四川成都·期中)已知函数fx  =ex-a+1  x (1)讨论fx  的单调性； (2)若fx  =ex-a+1  x≥b对于x∈R恒成立，求b-a的最大值.12.(24-25高三上·浙江绍兴·月考)已知函数f(x)=ex-ax-1. (1)当a=2时，求f(x)在区间 0,1 7  上的值域； (2)若存在x 0 >1，当x∈0,x 0  时，f(x)<0，求a的取值范围. 题型五 利用导数求解函数的零点 大题典例 13.(24-25高三上·江苏苏州·开学考试)已知函数 fx  =sinx+ex-4x，e为自然对数的底数，函数 gx  =x3-ax+3. (1)若fx  在0,1  处的切线也是gx  的切线，求实数a的值； (2)求fx  在-π,+∞  上的零点个数.变式训练 14.(24-25高三上·云南玉溪·月考)已知函数f(x)=lnx-x+2sinx (1)证明：f(x)在区间0,π 8  存在唯一极大值点； (2)求f(x)的零点个数． 15.(24-25高三上·四川绵阳·月考)函数f(x)=2x3-3ax2+1. (1)若a=1，求函数f(x)在x=-1处的切线方程； (2)证明：存在实数a使得曲线y=f(x)关于点(1,-3)成中心对称图形； (3)讨论函数f(x)零点的个数.题型六 利用导数证明不等式 大题典例 16.(24-25高三上·广东·月考)已知函数fx 9  lnx =ex-a- -1． x (1)当a=0时，求曲线y=fx  在点 1,f1    处的切线方程； (2)当a=1时，证明：fx  ≥0． 变式训练 17.(24-25高三上·广东广州·月考)已知函数fx  1 = x3-3x+4. 3 (1)求曲线y=fx  在点 3,f 3    处的切线方程； (2)当x∈0，3  时，求证：fx  ≤x+4.18.(24-25高三上·河北保定·期中)已知函数fx 10  =ex+sinx-2x,gx  =2-cosx. (1)已知直线x-y+a=0是曲线y=gx  ,x∈0,π  的切线，求实数a的值； (2)求函数fx  的单调区间； (3)求证：fx  ≥gx  恒成立. 题型七 利用导数研究双变量问题 大题典例 1 19.(24-25高三上·福建龙岩·期中)已知函数f(x)= ax2-(2a+1)x+2lnx+4a(a>0). 2 (1)求fx  的单调区间; (2)设gx  =x2-2x，若对任意x 1 ∈(0,2]，均存在x 2 ∈(0,2]，使得fx 1  0，设fx 11  2 =- ax3+x2. 3 (1)若a=3，求函数y=fx  的图象在点1,-1  处的切线方程； 1 (2)若a= ，已知函数y=fx 3  ，x∈m,+∞  的值域为-∞,3  ，求实数m的取值范围； (3)若对于任意的x 1 ∈2,+∞  ，总存在x 2 ∈1,+∞  ，使得fx 1  ⋅fx 2  =1，求a的取值范围.题型八 利用导数研究极值点偏移问题 大题典例 22.(24-25高三上·云南·月考)已知函数fx 12  1 =ex- x2+ax+a. 2 (1)若fx  为增函数，求a的取值范围； (2)若fx  有两个极值点x ,x ，证明：x +x <0. 1 2 1 2 变式训练 23.(23-24高三上·天津·月考)已知函数fx  1 =- x2+ax-lnxa∈R 2  . (1)当a=1时，求曲线y=fx  在点 1,f1    处的切线方程； (2)求fx  的单调区间； (3)若函数fx  有两个极值点x 1 ,x 2x 1 -1． 题型九 隐零点问题综合应用 大题典例 25.(23-24高三下·湖南衡阳·一模)已知函数f(x)=sinx-aln(b+x) (1)若f(x)在x=π处的切线方程为2x+y+2π(ln2π-1)=0，求a、b的值； π (2)若b=1时，在-1, 2  上f(x)≥0恒成立，求a的取值范围；变式训练 26.(24-25高三上·浙江杭州·月考)已知函数fx 14  1 = ax2-a+1 2  x+lnx,gx  1 =xex- ax2-2． 2 (1)讨论fx  的单调性； (2)证明：fx  +gx  ≥2lnx-ax-1． 27.(24-25高三上·四川成都·期中)已知函数fx  =ex-ax2-x-1. (其中e≈2.71828) (1)当a=0时，证明：fx  ≥0 (2)若x>0时，fx  >0，求实数a的取值范围； (3)记函数gx  ex-1 23 = -2lnx的最小值为m，求证：m∈ ,e-1 x 20 题型十 导数与数列综合问题 大题典例 28.(23-24高三下·河北·三模)已知函数fx 15  =xlnx-ax2+2a-1  x-a+1a∈R  ． (1)若fx  ≤0在 1,+∞  恒成立，求实数a的取值范围； 1 1 1 1 1 (2)证明： + + +⋯+ + >ln2． n+1 n+2 n+3 n+n 4n 变式训练 29.(23-24高三下·四川雅安·一模)已知函数f(x)=ax2+(1-a)x-lnx． (1)若f(x)有2个相异极值点，求a的取值范围； (2)若f(x)≥1，求a的值； 1 (3)设m为正整数，若∀n∈N*，1+ 4  3 1+ 42  32 1+ 43  3n-1 ⋯1+ 4n  0，求函数y=f(x)的极值； (2)①当x>1时，f(x)>0恒成立，求正整数k的最大值； ②证明：(1+1×2)(1+2×3)⋯[1+n(n+1)]>e n2- n+ 3 1 16 必刷大题 刷模拟 1 31.(24-25高三上·福建泉州·期中)已知函数f(x)= ax2+lnx-(a+1)x，a∈R． 2 (1)当a>0时，讨论f(x)的单调性； f(x) (2)当a>0时，设g(x)= ，若g(x)既有极大值又有极小值，求a的取值范围． x 32.(24-25高三上·山东·期中)已知函数f(x)=ax3+2sinx-x. (1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程； (2)当a=1时，讨论f(x)的单调性； (3)当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围. 1733.(24-25高三上·北京房山·期中)已知函数fx 18  =ax3+bx2+cx在点x 处取得极大值5，其导函数y 0 =fx  的图象经过点1,0  ，2,0  ，如图所示.求： (1)x 的值； 0 (2)a，b，c的值； (3)函数fx  在区间 -1,3  上的最大值和最小值.34.(24-25高三上·江苏盐城·期中)设函数fx 19  =xex，x∈R. (1)求fx  的极值； flnx (2)已知实数a>0，若存在正实数x使不等式a⋅3axln3-  ≤0成立，求a的取值范围； x (3)已知不等式fm  -fn  >km-n  2对满足m>n>0的一切实数m，n恒成立，求实数k的取 值范围.35.(23-24高三下·广东佛山·一模)已知函数fx 20  =ax2-1+2lnx． (1)讨论fx  的单调性； (2)当a=1时，若存x 1 、x 2 在，满足fx 1  =-fx 2  ，证明：x +x ≥2； 1 2 (3)对任意的x>0，fx  2 ≤xe2x+ -lnx-1恒成立，其中fx x  是函数fx  的导数，求a的取值 范围．36.(23-24高三下·浙江杭州·一模)已知函数fx 21  =axlnx-x3-1. (1)若a=1，求fx  的单调区间; (2)若0≤a≤3，求证:fx  <0; (3)若hx  fx =  +x3+1 a ，∃x 1 ≠x 2 使得hx 1  =hx 2  =b，求证:be+1<x -x 1 2  1时，fx  -2当且仅当10  处的切线． (1)当k=-1时，求fx  的单调区间. (2)求证：l不经过点0,0  . (3)当k=1时，设点A t,ft    t>0  ，C 0,ft    ，O0,0  ，B为l与y轴的交点，S 与S 分别 △ACO △ABO 表示△ACO与△ABO的面积．是否存在点A使得2S =15S 成立？若存在，这样的点A有 △ACO △ABO 几个？ (参考数据：1.090)，求证：对于点M0,0 x  ，存在点P，使得点P是M在fx  的“最近点”； (2)对于fx  =ex,M1,0  ，请判断是否存在一个点P，它是M在fx  的“最近点”，且直线MP与y =f(x)在点P处的切线垂直； (3)已知y=f(x)在定义域R上存在导函数f(x)，且函数 g(x) 在定义域R上恒正，设点 M 1 t-1,ft  -gt    ，M 2 t+1,ft  +gt    ．若对任意的t∈R，存在点P同时是M 1 ,M 2 在fx  的“最 近点”，试判断fx  的单调性．