4.6 二分法求方程的近似解
模块一：基础知识.......................................................................... 2
考点一：二分法..................................................................................................2
考点二：用二分法求函数零点的一般步骤....................................................... 2
考点三：关于精确度.......................................................................................... 3
考点四：运用二分法求函数的零点应具备的条件........................................... 3
考点五：利用二分法求方程的近似解的步骤................................................... 3
模块二：题型分类.......................................................................... 3
题型一：二分法概念的理解.............................................................................. 3
题型二：用二分法求近似解的条件...................................................................8
题型三：用二分法求方程近似解的过程.........................................................10
题型四：用二分法求方程的近似解.................................................................15
模块三：综合巩固........................................................................ 19
二分法求方程的近似解
模块一：基础知识
考点一：二分法
对于区间
,a b 上图象连续不断且
0
f a
f b
的函数
f x ，通过不断把它的零点所在区间一分为
二，使所得区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到近似值的方法．
考点二：用二分法求函数零点的一般步骤
已知函数
y
f x
定义在区间D 上，求它在D 上的一个零点x0 的近似值x，使它满足给定的精确度．
第一步：在D 内取一个闭区间
0
0
,
a b
D
，使
0
f a
与
0
f b
异号，即
0
0
0
f a
f b
，零点位于区
间
0
0
,
a b
中．
第二步：取区间
0
0
,
a b
的中点，则此中点对应的坐标为
0
0
0
0
0
0
1
1
2
2
x
a
b
a
a
b
．
计算
0
f x
和
0
f a
，并判断：
①如果
0
0
f x
，则
0x 就是
f x 的零点，计算终止；
②如果
0
0
0
f a
f x
，则零点位于区间
0
0
,
a x
中，令
1
0
1
0
,
a
a b
x
；
③如果
0
0
0
f a
f x
，则零点位于区间
0
0
,
x b
中，令
1
0
1
0
,
a
x b
b
第三步：取区间
1
1
,
a b 的中点，则此中点对应的坐标为
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
x
a
b
a
a
b
．
计算
1
f x
和
1
f a
，并判断：
①如果
1
0
f x
，则
1x 就是
f x 的零点，计算终止；
②如果
1
1
0
f a
f x
，则零点位于区间
1
1
,
a x
中，令
2
1
2
1
,
a
a b
x
；
③如果
1
1
0
f a
f x
，则零点位于区间
1
1
,
x b 中，令
2
1
2
1
,
a
x b
b
；
……
继续实施上述步骤，直到区间
,
n
n
a b
，函数的零点总位于区间
,
n
n
a b
上，当
na 和
nb 按照给定的精确
度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数
y
f x
的近似零点，计算终止．这时函数
y
f x
的近似零点满足给定的精确度．
知识点诠释：
（1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②
( )
f a 、
( )
f b 的值比较容易计算且
( )
( ) <0
f a
f b
．
（2）根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的．对于求方
程
( )
( )
f x
g x
的根，可以构造函数
( )
( )
( )
F x
f x
g x
，函数
( )
F x 的零点即为方程
( )
( )
f x
g x
的根．
考点三：关于精确度
（1）“精确度”与“精确到”不是一回事，
这里的“精确度”是指区间的长度达到某个确定的数值，即a
b
；“精确到”是指某讴歌数的数位
达到某个规定的数位．
（2）精确度表示当区间的长度小于时停止二分；此时除可用区间的端点代替近似值外，还可选用
该区间内的任意一个数值作零点近似值．
考点四：运用二分法求函数的零点应具备的条件
(1)函数图象在零点附近连续不断．
(2)在该零点左右函数值异号．
只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点．
考点五：利用二分法求方程的近似解的步骤
(1)构造函数，利用图象确定方程的解所在的大致区间，通常取区间(n，n＋1)，n∈Z.
(2)利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间M.
(3)区间M 内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M 的一个端点．
模块二：题型分类
题型一：二分法概念的理解
1．判断正误（正确的打正确，错误的打错误）
（1）所有函数的零点都可以用二分法来求．(
)
（2）精确度就是近似值．(
)
（3）用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位．(
)
（4）在一定精确度下，近似值是唯一的．(
)
【答案】
错误
错误
正确
错误
【分析】根据二分法求近似解的条件、精确度的定义依次判断各个选项即可.
【详解】对于（1），不是所有函数零点都可以用二分法来求；例如
2
y
x
=
的零点，在零点左右两侧函数值
不变号，无法用二分法来求，（1）错误；
对于（2），精确度不是近似值，若零点在
,a b 时，精确度为，a
b
，则可得零点的近似值为a 或
b ，区间
,a b 之间的任意一点也可以作为零点近似值，（2）错误；
对于（3），用二分法求方程的近似解时，只要满足精确度要求，区间
,a b 之间的任意一点都可以作为近
似解，可以精确到小数点后任意一位，（3）正确；
对于（4），在一定的精确度下，满足精确度的区间内的任意一点都可以作为零点近似值，（4）错误.
故答案为：错误；错误；正确；错误.
2.（多选）下列函数零点能用二分法求解的是（
）
A．
3
1
f x
x
B．
ln
3
f
x
x
C．
2
2 2
2
f x
x
x
D．
2
4
1
f x
x
x
【答案】ABD
【分析】利用二分法的概念，在零点两侧函数值异号进行逐一判定.
【详解】对于A 选项，
3
1
f x
x
在R 上单调递增，且与x 轴有唯一交点，交点两侧的函数值异号，则
可用二分法求解；
对于B 选项，
ln
3
f
x
x
在(0,
)
单调递增，且与x 轴有唯一交点，交点两侧的函数值异号，则可用二
分法求解；
对于C 选项，
2
2
2 2
2
(
2)
0
f x
x
x
x
恒成立，所以不能用二分法求解；
对于D 选项，
2
2
4
1
(
2)
3
f
x
x
x
x
，在(
,2)
单调递增，(2,
)
单调递减，所以
max
( )
(2)
3
0
f x
f
，
则零点处的两侧函数值异号，可用二分法求解，
故选：ABD.
3.(多选)若函数
(
=
)
y f x 在区间
,a b 上的图象不间断，则下列结论中错误的是（
）
A．若
( ) ( )
0
f a f b
，则
( )
f x 在
,a b 上不存在零点
B．若
( ) ( )
0
f a f b
，则
( )
f x 在
,a b 上
至少有一个零点
C．若
( )
f x 在( , )
a b 内有且只有一个零点，则
( )
( )
0
f a
f b
D．若
( )
f x 在
,a b 上存
在零点，则可用二分法求此零点的近似值
【答案】ACD
【分析】通过举例判断选项A，利用函数零点存在性定理判断选项B，利用数形结合的思想即可判断选项
C、D.
【详解】A：令
2
( )
f x
x
，
1
a ，
1
b ，
则
(0)
0
f
，
(
)
1
1
f
，
(1)
1
f
，令
1
a ，
1
b ，
( ) ( )
0
f a f b
，则
( )
f x 在
,a b 上存在零点0，故A 错误；
B：函数
(
=
)
y f x 在区间
,a b 上的图象不间断，若
( ) ( )
0
f a f b
，
则
( )
f x 在
,a b 上至少有一个零点，由函数零点存在定理知正确，故B 正确；
C：如图，
( )
f x 在(
)
a
b
，
内有且只有一个零点，但
( )
( )
0
f a
f b
，故C 错误；
D：如图，
( )
f x 在
,a b 上存在零点，但不可用二分法求此零点的近似值，故D 错误.
故选：ACD
4.以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据零点的存在定理及二分法分析各选项的函数图象，即可得到答案．
【详解】根据二分法的思想，函数
f
x 在区间[ , ]
a b 上的图象连续不断，且
0
f a
f b
，即函数的零点
是变号零点，才能将区间( , )
a b 一分为二，逐步得到零点的近似值．
对各选项的函数图象分析可知，A，B，D 都符合条件，
而选项C 不符合，因为图象经过零点时函数值的符号没有发生变化，因此不能用二分法求函数零点．
故选：C.
5.(多选)下列函数图象与x 轴均有交点，能用二分法求函数零点近似值的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】根据二分法的定义确定图象需满足的条件，依次判断各个选项即可.
【详解】根据二分法的定义，知函数
f
x 在区间
,a b 上的图象连续不断，且
0
f a
f b
，
即函数的零点是变号零点，才能将区间
,a b 一分为二，逐步得到零点的近似值．
对于ABC，三个函数图象均符合二分法求函数零点近似值的条件，ABC 正确；
对于D，零点左右两侧的函数值不变号，不能用二分法求函数零点的近似值．
故选：ABC.
6.用二分法求函数
3
5
f x
x
的零点可以取的初始区间是（
）
A．
2,1
B．
1,0
C．
0,1
D．
1,2
【答案】A
【分析】由函数单调性判断各区间端点函数值正负情况，结合零点存在性定理即可得答案.
【详解】由
2
3,
( 1)
4,
(0)
5,
(1)
6,
(2)
13
f
f
f
f
f
，且
f
x 在定义域上递增，
所以区间
1,0
、
0,1 、
1,2 对应函数都为正，只有区间
2,1
中函数值有正有负.
故选：A
7.用二分法求方程
lg
3
0
x
x
的近似解，以下区间可以作为初始区间的是（
）
A．[1,2]
B．[2,3]
C．[3,4]
D．[4,5]
【答案】B
【分析】利用零点存在定理计算求解.
【详解】设
( )
lg
3
f x
x
x
，显然函数图象是连续的，
则有
(1)
2
0
f
，
(2)
lg2
1
0
f
，
(3)
lg3
0
f
，
(4)
1 lg4
0
f
，
(5)
2
lg5
0
f
，
所以
(1)
(2)
0
f
f
，
(2)
(3)
0
f
f
，
(3)
(4)
0
f
f
，
(4)
(5)
0
f
f
，
故区间[2,3]可以作为初始区间，故A，C，D 错误.
故选：B.
8.用“二分法”求方程
3
2
5
0
x
x
在区间
2,3 内的实根，取区间中点为
0
2.5
x
，那么下一个有根的区间是
（
）
A．
2,2.5
B．
2.5,3
C．
2,2.25
D．
2.75,3
【答案】A
【分析】设
3
2
5
f x
x
x
，其中
2
0,
3
0
f
f
，及
(2.5)
0
f
，即可求解．
【详解】由题意，设
3
2
5
f x
x
x
，
其中
3
3
2
2
2 2
5
1
0,
3
3
2 3 5
16
0
f
f
，
又由
3
2.5
2.5
5
5
5.625
0
f
，则
2
(2.5)
0
f
f
，
可得方程根在区间
2,2.5 ．
故选：A．
9.已知函数
2
( )
3
1
f x
x
在区间(0,1)上有唯一零点
0x ，如果用“二分法”求这个零点(精确度
0.05
)的近似
值，那么将区间(0,1)等分的次数至少是
.此时规定只要零点的存在区间( , )
a b 满足a
b
，则可用
2
a
b
作为零点的近似值，由此求得
0x
.
【答案】
5
37
64
【分析】根据二分法的计算过程可知1
0.05
2n
，则
5
n
；进而依次计算第一、二、三、四、五次的区间，
由19
9
1
0.05
32
16
32
即可求解.
【详解】开区间(0,1)的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，
经过
*
(
N )
n n
次操作后，区间长度变为1
2n ，故有1
0.05
2n
，即2
20
n
，
因为
4
5
2
16,2
32
，所以
5
n
.
故计算5 次就可满足要求，所以将区间(0,1)等分的次数至少是5 次.
因为
1
( )
0
2
f
，所以第一次得到的区间为1 1
2
，；
因为
3
( )
0
4
f
，所以第二次得到的区间为1 3
( , )
2 4 ；
因为
5
( )
0
8
f
，所以第三次得到的区间为1 5
(
, )
2 8 ；
因为
9
(
)
0
16
f
，所以第四次得到的区间为9
5
(
, )
16 8 ；
因为
19
(
)
0
32
f
，所以第五次得到的区间为9 19
(
,
)
16 32 ，
因为19
9
1
0.05
32
16
32
，
所以函数零点为
9
19
37
16
32
2
64
.
故答案为：5；37
64 .
题型二：用二分法求近似解的条件
1.下列函数中，不能用二分法求零点的是（
）
A．
2
y
x
B．
2
2
y
x
C．
1
3
y
x
x
D．
ln
y
x
【答案】B
【解析】对于A，
2
y
x
有唯一零点
0
x
，且函数值在零点两侧异号，则可用二分法求零点；
对于B，
2
2
y
x
有唯一零点
2
x
，但函数值在零点两侧同号，则不可用二分法求零点；
对于C，
1
3
y
x
x
有两个不同零点
3
5
2
x
，且在每个零点左右两侧函数值异号，则可用二分法求零
点；
对于D，
ln
y
x
有唯一零点
1
x ，且函数值在零点两侧异号，则可用二分法求零点.
故选：B.
2.下列函数中不能用二分法求零点的是（
）
A．
3
1
f x
x
B．
3
f x
x
C．
2
f x
x
D．
ln
f x
x
【答案】C
【解析】易知函数
2
f x
x
的零点为
0
x
，而在零点左右两侧的函数值符号都为正，不是异号的，故不
能用二分法求函数的零点；
而选项A、B、D 中的函数，它们在各自的零点左右两侧的函数值符号相反，可以用二分法求函数的零点；
故选：C
3.用二分法求函数
3
5
f x
x
的零点可以取的初始区间是（
）
A．
2,1
B．
1,0
C．
0,1
D．
1,2
【答案】A
【解析】由
2
3,
( 1)
4,
(0)
5,
(1)
6,
(2)
13
f
f
f
f
f
，且
f
x 在定义域上递增，
所以区间
1,0
、
0,1 、
1,2 对应函数都为正，只有区间
2,1
中函数值有正有负.
故选：A
4.以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据二分法的思想，函数
f
x 在区间[ , ]
a b 上的图象连续不断，且
0
f a
f b
，即函数的零点
是变号零点，才能将区间( , )
a b 一分为二，逐步得到零点的近似值．
对各选项的函数图象分析可知，A，B，D 都符合条件，
而选项C 不符合，因为图象经过零点时函数值的符号没有发生变化，因此不能用二分法求函数零点．
故选：C.
5.下列图象中，不能用二分法求函数零点的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据零点存在定理，对于A，在零点的左右附近，函数值不改变符号，所以不能用二分法求函数
零点.
故选：A．
6.下列函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号.
在B 中，不满足
0
f a
f b
，不能用二分法求零点，
由于A、C、D 中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点.
故选：B.
7.下列函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由二分法的定义知，若函数
f
x 在区间
,a b 上连续，且满足
0
f a
f b
，
则可以利用二分法求函数
f
x 的零点的近似值，
故选项A 不能用二分法求图中函数零点，
故选：A.
【方法技巧与总结】
判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因
此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．
题型三：用二分法求方程近似解的过程
1.若用二分法求方程
3
2
3
3
0
x
x
在初始区间
0,1 内的近似解，则第三次取区间的中点
3x
.
【答案】5
8 /0.625
【解析】设
3
2
3
3
f x
x
x
，
则
(0)
3
0,
(1)
2
0
f
f
，
(0)
(1)
0
f
f
，
∴第一次取区间
0,1 的中点
1
1
2
x
，
1
5
0
2
4
f
，∴
1
( )
(1)
0
2
f
f
，∴
f
x 的零点所在的区间为
1 ,1
2
，
∴第二次取区间
1 ,1
2
的中点
2
3
4
x
，
3
3
0
4
32
f
，∴
1
3
0
4
2
f
f
，∴
f
x 的零点所在的区间为1 3
,
2 4
，
∴第三次取区间1 3
,
2 4
的中点
3
1
3
5
2
4
2
8
x
.
故答案为：5
8 .
2.下列是函数
f
x 在区间[1,2] 上一些点的函数值. 由此可判断：方程
0
f
x
的一个近似解为
(精
确度0.1)．
x
1
1.25
1.375
1.4065
1.438
f x
2
0.984
0.260
0.052
0.165
x
1.5
1.625
1.75
1.875
2
f x
0.625
1.982
2.645
4.35
6
【答案】1.438(答案不唯一)
【解析】由题设有
1
2
0,
2
6
0
f
f
，于是
1
2
0
f
f
，
所以，函数
f
x 在区间
1,2 内有零点
0x ，此时
1
|
1
2|
1
0.
，
取区间
1,2 的中点
1
1.5
x
，又
1.5
0.625
f
，
因为
1
1.5
0
f
f
，所以
0
1,1.5
x
，此时
1
|1 1.5
0
|
.5
0.
，
再取
1,1.5 的中点
2
1.25
x
，又
1.25
0.984
f
，
因为
1.25
1.5
0
f
f
，所以
0
1.25,1.5
x
，此时
1
|
|
1.25 1.5
0.25
0.
，
再取
1.25,1.5 的中点
3
1.375
x
，又
1.375
0.260
f
，
因为
1.375
1.5
0
f
f
，所以
0
1.375,1.5
x
，此时
1
|
|
1.375 1.5
0.125
0.
，
再取
1.375,1.5 的中点
4
1.438
x
，又
1.438
0.165
f
，
因为
1.375
1.438
0
f
f
，所以
0
1.375,1.438
x
，此时1.375 1.438
0.063
0.1
|
|
，
再取
1.375,1.438 的中点
5
1.4065
x
，又
1.4065
0.052
f
，
因为
1.4065
1.438
0
f
f
，所以
0
1.4065,1.438
x
，
所以，当精确度为0.1 时，方程
0
f
x
的一个近似解为1.438．
故答案为：1.438．(答案不唯一)
3.用二分法求方程
2
0.9
0
21
x
x
的近似解．（精确度为0.1，可以使用计算器）
【解析】画出
0.9x
y
和
2
21
y
x
的图像，
由图知：函数
0.9x
y
和
2
21
y
x
只有一个交点.
方程
2
0.9
0
21
x
x
的近似解等价于函数
2
0.9
21
x
f x
x
的零点.
5
10
5
0.9
0.114
21
f
，
6
12
6
0.9
0.040
0
21
f
，
所以取初始区间为
5,6 ，用二分法求解，如下表：
次数
左端点
右端点
区间长度
第一次
5
6
1
第二次
5.5
6
0.5
第三次
5.5
5.75
0.25
第四次
5.625
5.75
0.125
第五次
5.6875
5.75
0.0625
因为5.75
5.6875
0.0625
0.1
，
所以方程
2
0.9
0
21
x
x
的近似解可取为5.7.
4.用二分法求方程
1
ln x
x
在
1,2 上的近似解，取中点
1.5
c
，则下一个有根区间是
．
【答案】
1.5,2
【解析】令
1
ln
f x
x
x
，
1
ln1 1
1
0
f
，
2
2
1
1
27
1
1.5
ln1.5
3ln1.5
2
ln
2
ln e
2
0
3
3
3
8
3
f
，
1
1
1
2
ln 2
ln
4
ln
e
0
2
2
2
f
，
1
1.5
0
f
f
，
1.5
2
0
f
f
，
( )
f
x
\
在区间
1.5,2 上有零点，
即
1
ln x
x
的下一个有根区间为
1.5,2 .
故答案为：
1.5,2 .
5.用“二分法”求方程
3
4
0
x
x
在区间
1,3 内的实根，首先取区间中点
2
x
进行判断，那么下一个取的
点是x
．
【答案】1.5/ 3
2
【解析】设函数
3
( )
4
f x
x
x
，易得函数为严格增函数，
因为
(1)
2
0
f
，
(2)
6
0
f
，
所以下一个有根区间是(1,2) ，
那么下一个取的点是
1.5
x
．
故答案为：1.5
6.求方程
3
2
5
0
x
x
在区间
2,3 内的实根，取区间中点
0
2.5
x
，那么下一个有根区间是
．
【答案】
2,2.5
【解析】令
3
2
5
f x
x
x
，则
2
8
4
5
1
0
f
，
3
27
6
5
16
0
f
，
由因为
3
5
45
2.5
5
5
0
2
8
f
，
因此，下一个有根的区间为
2,2.5 .
故答案为：
2,2.5 .
7.已知函数
3
3
f x
x
x
在区间
1,2 内有零点，求方程
3
3
0
x
x
在区间
1,2 内的一个近似解．（精确
度为0.1）
【解析】根据题意，函数
3
3
f x
x
x
在区间
1,2 上的零点就是方程
3
3
0
x
x
在区间
1,2 内的解，
由于函数
3
y
x
和
3
y
x
均为单调递增函数，所以
3
( )
3
f x
x
x
在区间
1,2 上递增，
1
1
0
f
，
2
7
0
f
，
3
27
3
15
(1.5)
( )
0
2
8
2
8
f
f
，则
( )
f x 的零点在(1,1.5) 上，
又由1 (1 1.5)
1.25
2
，而
1.25
0.203125
0
f
，则
( )
f x 的零点在(1,1.25) 上，
又由1 (1 1.25)
1.125
2
，而
(1.125)
0.4512
0
f
，则
( )
f x 的零点在1.125,1.25)
(
上，
又由1 (1.125
1.25)
1.1875
2
，而
(1.1875)
0.1379
0
f
，则
( )
f x 的零点在1.1875,1.25)
(
上，
此时满足精确度为0.1，则函数
3
( )
3
f x
x
x
在区间
1,2 上的零点近似为1.2，
故方程
3
3
0
x
x
在区间
1,2 内的近似解为1.2．
8.利用计算器，求方程lg
3
x
x
的近似解（精确到0.1）.
【解析】求方程lg
3
x
x
的解，可以转化为求函数
lg
3
f x
x
x
的零点，
分别画出函数
lg
y
x
和
3
y
x
的图像，如图所示，
在两个函数图象的交点处，函数值相等，
因此，这个点的横坐标就是方程lg
3
x
x
的解.
由函数
lg
y
x
和
3
y
x
的图象可以发现，方程lg
3
x
x
有唯一解，记为
1
x ，
并且这个解在区间
2,3 内，
设
lg
3
f x
x
x
，用计算器计算，
得
2
lg 2
2
3
0.69897
0
f
，
3
lg3
3
3
0.47712
0
f
，
所以
1
2,3
x
，
2.5
lg 2.5
2.5
3
0.10206
0
f
，
所以
1
2.5,3
x
，
2.75
lg 2.75
2.75
3
0.18933
0
f
，
所以
1
2.5,2.75
x
，
2.625
lg 2.625
2.625
3
0.04413
0
f
，
所以
1
2.5,2.625
x
，
2.5625
lg 2.5625
2.5625
3
0.02884
0
f
，
所以
1
2.5626,2.625
x
.
因为2.5625 与2.625 精确到0.1的近似值都为2.6 ，
所以原方程的近似解为
1
2.6
x
.
【方法技巧与总结】
（1）依据图象估计零点所在的初始区间
,
m n （这个区间既要包含所求的根，又要使其长度尽可能的
小，区间的端点尽量为整数）．
（2）取区间端点的平均数c ，计算
f c ，确定有解区间是
,
m c 还是
,c n ，逐步缩小区间的“长度”，直
到区间的长度符合精确度要求（这个过程中应及时检验所得区间端点差的绝对值是否达到给定的精确度），
才终止计算，得到函数零点的近似值（为了比较清晰地表达计算过程与函数零点所在的区间往往采用列表
法）．
题型四：用二分法求方程的近似解
1.判断方程
3
1
0
x
x
在区间
1,1.5 内是否有解；如果有，求出一个近似解．（精确度为0.1）
【答案】1.3
【分析】求函数
3
( )
1
f x
x
x
在区间
1,1.5 内的一个零点，利用二分法可得答案.
【详解】设
3
( )
1
f x
x
x
，
利用二分法，列表计算如下：
x
1
1.5
1.25
1.375
1.3125
1.34375
( )
f x
1
0.875
0.2969
0.2246
0.05151
0.0826
由表中数据可得
(1.34375)
0,
(1.3125)
0
f
f
，
因为题中要求精确度为0.1，而左右端点的近似值都为1.3.
所以近似解为1.3.
2.已知函数
y
f x
的表达式为
2
5
x
f x
x
，用二分法计算此函数在区间
1,2 上零点的近似值，第一
次计算
1
f
、
2
f
的值，第二次计算
1
f x
的值，第三次计算
2
f x
的值，则
2x
．
【答案】7
4 /1.75
【分析】根据二分法的定义可得出结论.
【详解】因为
1
2
0
f
，
2
2
2
2
5
1
0
f
，
取
1,2 的中点
1
3
2
x
，则
3
2
3
3
7
49
2
5
2 2
8
0
2
2
2
4
f
，
所以，函数
f
x 的零点在区间3 ,2
2
内，
故
2
x 为区间3 ,2
2
的中点值，因此，
2
3
2
7
2
2
4
x
.
故答案为：7
4 .
3.在用二分法求方程
( )
0
f x
在[0,1] 上的近似解时，经计算，
(0.5)
0
f
，
(0.75)
0
f
，
(0.625)
0
f
，即可
得出方程的一个近似解为
（精确度为0.2）.
【答案】0.6875
【分析】根据二分法的计算过程即可求解.
【详解】因为| 0.75
0.5| 0.25
0.2
，0.75
0.625
0.125
0.2
，
所以0.75
0.625
0.6875
2
可作为方程的近似解.
故答案为：0.6875.
4.若
3
2
2
2
f x
x
x
x
的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，数据如下表：
( )
1
2
f
= -
1.5
0.625
f
1.25
0.984
f
1.375
0.260
f
1.438
0.165
f
1.4065
0.052
f
那么方程
3
2
2
2
0
x
x
x
的一个近似根（精确到0.1）为（
）
A．1.2
B．1.3
C．1.4
D．1.5
【答案】C
【分析】根据二分法，结合表中数据，由于
1.438
0,
1.4065
0
f
f
，方程的一个近似根所在区间为
1.4065,1.438 内，进而得到结果.
【详解】根据二分法，结合表中数据，
由于
1.438
0.165
0,
1.4065
0.052
0
f
f
所以方程
3
2
2
2
0
x
x
x
的一个近似根所在区间为
1.4065,1.438
所以符合条件的解为1.4
故选:C.
5.若函数
3
2
( )
2
2
f x
x
x
x
的一个正零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
(1)
2
f
(1.5)
0.625
f
(1.25)
0.984
f
(1.375)
0.260
f
(1.4375)
0.162
f
(1.40625)
0.054
f
那么方程
3
2
2
2
0
x
x
x
的一个近似根（精确度0.1）为（
）
A．1.2
B．1.4
C．1.3
D．1.5
【答案】B
【分析】根据二分法求零点的步骤以及精确度可求得结果.
【详解】因为
(1)
0,
(1.5)
0
f
f
，所以
(1) (1.5)
0
f
f
，所以函数在(1,1.5) 内有零点，
因为1.5 1
0.5
0.1
，所以不满足精确度0.1；
因为
(1.25)
0
f
，所以
(1.25) (1.5)
0
f
f
，所以函数在(1.25,1.5) 内有零点，
因为1.5 1.25
0.25
0.1
，所以不满足精确度0.1；
因为
(1.375)
0
f
，所以
(1.375) (1.5)
0
f
f
，所以函数在(1.375,1.5) 内有零点，
因为1.5 1.375
0.125
0.1
，所以不满足精确度0.1；
因为
(1.4375)
0
f
，所以
(1.4375) (1.375)
0
f
f
，所以函数在(1.375,1.4375) 内有零点，
因为1.4375 1.375
0.0625
0.1
，所以满足精确度0.1；
所以方程
3
2
2
2
0
x
x
x
的一个近似根（精确度0.1）是区间(1.375,1.4375) 内的任意一个值（包括端点值），
根据四个选项可知选B .
故选：B
6.下表是连续函数
f
x 在区间
1,2 上一些点的函数值:
x
1
1.25
1.375
1.5
2
f
x
2
0.984
0.260
0.625
6
由此可判断，方程
0
f
x
的一个近似解为
（误差不超过0.1）.
【答案】1.4375
【分析】根据零点存在性定理求解即可.
【详解】由表可得
1.375
0
f
，
1.5
0
f
，故方程
0
f
x
的一个近似解为
1.375 1.5
2
1.4375
.
故答案为：1.4375
7.已知函数
3
( )
1
f x
x
x
在(0,1)内有一个零点，且求得
( )
f x 的部分函数值数据如下表所示：
x
0
1
0.5
0.75
0.625
0.5625
0.6875
0.65625
0.671875
( )
f x
-1
1
-0.375
0.1718
-0.1308
-0.2595
0.01245
-0.06113
-0.02483
要使
( )
f x 零点的近似值精确到0.1，则对区间(0,1)的最少等分次数和近似解分别为（
）
A．6 次0.7
B．6 次0.6
C．5 次0.7
D．5 次0.6
【答案】C
【分析】根据题意，结合二分法代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可知，对区间
0,1 内，需要求解
0.5 ,
0.75 ,
0.625 ,
0.6875 ,
f
f
f
f
0.65625
f
的值，然后达到
f
x 零点的近似值精确到0.1，所以零点的近似解为0.7 ，
共计算5次.
故选：C
8.(多选)已知函数
ex
f x
x
a
，其中xR ，a 为某确定常数，运用二分法研究函数
f
x 的零点时，
若第一次经计算
0
0
f
且
1
0
f
，则（
）
A．可以确定
f
x 的一个零点
0x ，满足
0
0,1
x
B．第二次应计算
1
2
f
，若
1
0
2
f
，第三次应计算
1
4
f
C．第二次应计算
1
2
f
，若
1
0
2
f
，第三次应计算
1
4
f
D．第二次应计算
3
2
f
，若
3
0
2
f
，第三次应计算
5
4
f
【答案】AB
【分析】二分法是基于零点存在定理的一种求根的近似值（有可能求出精确值）的方法，二分法的每一步
都要满足零点存在定理的条件，结合二分法的理论即可得解.
【详解】对于A 选项：由题意第一次经计算
0
0
f
且
1
0
f
，因此由零点存在定理可知存在
0
0,1
x
满
足
0
0
f x
，
故A 选项符合题意.
对于B 选项：第二次应计算
1
2
f
，若
1
0
2
f
，又
0
0
f
，所以有
1
0
0
2
f
f
，满足零点存在定
理，
所以第三次应计算
1
4
f
，故B 选项符合题意.
对于C 选项：第二次应计算
1
2
f
，若
1
0
2
f
，又
1
0
f
，所以有
1
1
0
2
f
f
，满足零点存在定
理，
所以第三次应计算
3
4
f
，故C 选项不符题意.
对于D 选项：第二次应计算
1
2
f
，而不是计算
3
2
f
，故D 选项不符题意.
故选：AB.
9.一块电路板的AB 线段之间有60 个串联的焊接点，知道电路不通的原因是焊口脱落造成的，要想用二分
法的思想检测出哪处焊口脱落，至少需要检测（
）
A．4 次
B．6次
C．8次
D．30次
【答案】B
【分析】利用二分法可得出结果.
【详解】利用二分法检测，每次取中点，焊接点数减半，不妨设需要n次检测，则60
1
2n ，
即2
60
n
，因为
5
6
2
60
2
，故n的最小值为6，即至少需要检测6次.
故选：B.
模块三：综合巩固
1.用二分法求方程
4
1
log
0
2
x
x
近似解时，所取的第一个区间可以是（
）
A．
0,1
B．
1,2
C．
2,3
D．
3,4
【答案】B
【解析】令
4
1
log
2
f x
x
x
，
因为函数
4
1
log
,
2
y
x y
x
在
0,
上都是增函数，
所以函数
4
1
log
2
f x
x
x
在
0,
上是增函数，
4
1
1
1
1
1
1
0,
2
log 2
0
2
4
2
4
4
f
f
，
所以函数
4
1
log
2
f x
x
x
在区间(1,2) 上有唯一零点，
所以用二分法求方程
8
1
log
0
3
x
x
近似解时，所取的第一个区间可以是(1,2) .
故选：B.
2.若函数
3
2
2
2
f x
x
x
x
的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下:
(1)
2
f
(1.5)
0.625
f
(1.25)
0.984
f
(1.375)
0.260
f
(1.4375)
0.162
f
(1.40625)
0.054
f
那么方程
3
2
2
2
0
x
x
x
的一个近似解（误差不超过0.02）为（
）
A．1.437 5
B．1.375
C．1.25
D．1.422
【答案】D
【解析】设近似解为
0
0
x
，
由零点存在性定理及二分法计算数据：
因为
(1)
2
f
，
(1.5)
0.625
f
，所以
0
(1,1.5)
x
，
又
(1.25)
0.984
0
f
，所以
0
(1.25,1.5)
x
，
又
(1.375)
0.260
0
f
，所以
0
(1.375,1.5)
x
，
又
(1.4375)
0.162
0
f
，所以
0
(1.375,1.4375)
x
，
又
(1.40625)
0.054
0
f
，所以
0
(1.40625,1.4375)
x
，
因为1.422 1.40625
0.02,1.4375 1.422
0.02
，
所以可取
0
1.422
x
故选：D
3.若函数
( )
f x 的零点与
3
( )
512
125
g x
x
的零点之差的绝对值不超过0.25，则函数
( )
f x 可以是（
）
A．
( )
4
1
f x
x
B．
( ) | 2
1|
f x
x
C．
3
( )
2
f x
x
x
D．
2
( )
(3
1)
f x
x
【答案】B
【解析】对A，
4
1
f x
x
的零点为1
4 ；
对B，
( ) | 2
1|
f x
x
的零点为1
2 ；
对C，
3
( )
2
f x
x
x
的零点为1；
对D，
2
( )
(3
1)
f x
x
的零点为
1
3
；
1
1
512
125
64 125
61
0
2
8
g
，1
512 125
387
0
g
，
1
1
0
2
g
g
，
故
g x 零点在
1 ,1
2
之间，再用二分法，取
3
4
x
，
3
27
512
125
216 125
91
0
4
64
g
，
1
3
0
2
4
g
g
，
故
g x 的零点
1 3
,
2 4
x
，
由题
,
f x
g x 的零点之差的绝对值不超过0.25，则只有
( ) | 2
1|
f x
x
的零点符合；
故选：B
4.已知函数
( )
f x 在(10,12)内有一个零点，要使零点的近似值的精确度为0.001，若只从二等分区间的角度
来考虑，则对区间(10,12)至少需要二等分（
）
A．8 次
B．9 次
C．10 次
D．11 次
【答案】D
【解析】设对区间(10,12)至少二等分n 次，此时区间长度为2，
则第n 次二等分后区间长为2
2n ，
依题意得2
0.001
2n
，所以2
2000,
n
2
log 2000
n
，
2
1
11
2
2
2
2
2
0
2
log
log 2000
log 2048,
log
log 2000
log 2 , 10
log 20 00
11
1024
2
，
所以
11
n
.
故选：D
5．在使用二分法计算函数
2
2
2
x
f x
x
的零点的近似解时，现已知其所在区间为
1,2 ，如果要求近
似解的精确度为0.1，则接下来至少需要计算（
）次区间中点的函数值．
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【解析】开区间
1,2 的长度等于1，每经过一次二分法计算，区间长度为原来的一半，
经过n 次二分法计算后，区间长度变为1
2n ，
又使用二分法计算函数
2
2
2
x
f x
x
的在区间
1,2 上零点的近似解时，要求近似解的精确度为0.1，
所以1
0.1
2n
，则
1
2
log 0.1
n
，又1
1
0.1
16
8
，所以
1
2
log 0.1
3,4
，又
*
N
n
，故
4
n
，
所以接下来至少需要计算你4 次区间中点的函数值．
故选：C.
6．下列函数中不能用二分法求零点近似值的是（
）
A．f(x)＝3x－1
B．f(x)＝x3
C．f(x)＝|x|
D．f(x)＝ln x
【答案】C
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于A，f(x)＝3x－1 在R 上是单调函数，有唯一零点，
且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点；
对于B，f(x)＝x3 在R 上是单调函数，有唯一零点，
且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点；
对于C，f(x)＝|x|，虽然也有唯一的零点，但函数值在零点两侧都是正号，
故不能用二分法求零点；
对于D，f(x)＝ln x 在(0,+∞)上是单调函数，有唯一零点，
且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点；
故选：C．
7．已知定义在[
]
,a b 上的增函数
f
x ，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在区间为[
]
,a b ，
,
2
a
b
a
，
1 ,
2 4
b
a
，又
2
3
5
0
3
a
b
f
，则函数
f
x 的零点为（
）
A．
7
3
B．
4
3
C．
7
9
D．
4
9
【答案】C
【解析】由
f
x 在[
]
,a b 上单调递增得：
0
f a
，
0
f b
，又
1
2
a
a
恒成立，
∴
1
2
2
2
2
4
a
b
a
a
a
b
b
，解得
2
3
4
3
a
b
，
∴
f
x 的零点为
4
4
5
7
3
3
9
，
故选：C.
8．用二分法求方程x3＋3x－7＝0 在(1，2)内的近似解的过程中，构造函数f(x)＝x3＋3x－7，算得f(1)<0，
f(1.25)<0，f(1.5)>0，f(1.75)>0，则该方程的根所在的区间是（
）
A．(1，1.25)
B．(1.25，1.5)
C．(1.5，1.75)
D．(1.75，2)
【答案】B
【解析】由f(1.25)<0，f(1.5)>0 得f(1.25)·f(1.5)<0，
又函数f(x)的图象是连续不断的，
根据零点存在性定理可知，函数f(x)的一个零点x0∈(1.25，1.5)，
即方程x3＋3x－7＝0 的根所在的区间是(1.25，1.5)，
故选：B
9．(多选)已知函数
f
x 在区间
0,3 上有两个零点，且都可以用二分法求得，其图象是连续不断的，若
0
0
f
，
1
2
3
0
f
f
f
，则下列命题正确的是（
）
A．函数
f
x 的两个零点可以分别在区间(
)
0,1 和(
)
1,2 内
B．函数
f
x 的两个零点可以分别在区间(
)
1,2 和
2,3 内
C．函数
f
x 的两个零点可以分别在区间(
)
0,1 和
2,3 内
D．函数
f
x 的两个零点不可能同时在区间(
)
1,2 内
【答案】ABD
【解析】由
f
x 在区间
0,3 上有两个零点，且都可以用二分法求得，再结合函数图象是连续的，可得到
3
0
f
，
1
2
0
f
f
，进而讨论
1 ,
2
f
f
的正负性，并结合零点存在性定理，可得出答案.因为函数
f
x 在区间
0,3 上有两个零点，且都可以用二分法求得，其图象是连续不断的，所以零点两侧函数值异
号，
又
0
0
f
，
1
2
3
0
f
f
f
，所以
3
0
f
，
1
2
0
f
f
，
若
1
0,
2
0
f
f
，可得
2
3
0
f
f
，
1
2
0
f
f
，即此时函数
f
x 的两个零点分别在区间(
)
1,2 和
2,3 内，故B 正确；
若
1
0,
2
0
f
f
，则
0
1
0
f
f
，
1
2
0
f
f
，即此时函数
f
x 的两个零点分别在区间(
)
0,1 和
(
)
1,2 内，故A 正确.
综上两种情况，可知选项C 错误，D 正确.
故选：ABD.
10．(多选)已知函数
( )
f x 的图象是连续的，且函数
( )
f x 的唯一零点同在
3
5 3
0 4
0 2
1
(
) (
) (
) (
2
4 2)
，，，，，，，，内，则与
(0)
f
符号不同的是（
）
A．
5
( )
4
f
B．
(2)
f
C．
(1)
f
D．
3
( )
2
f
【答案】BD
【解析】由二分法的步骤可知：①零点在(0 )
4
，内，则有
(0) (4)
0
f
f
，不妨设
(0)
0,
(4)
0
f
f
，取中点2；
②零点在(0 )
2
，内，则有
(0) (2)
0
f
f
，则
(0)
0,
(2)
0
f
f
，取中点1；③零点在(1 2)
，内，则有
(1) (2)
0
f
f
，
则
(1)
0,
(2)
0
f
f
，取中点3
2 ；④零点在
3
(1, )
2 内，则有
3
(1) ( )
0
2
f
f
，则
3
(1)
0,
( )
0
2
f
f
，则取中点5
4 ；
⑤零点在5 3
( , )
4 2 内，则有
5
3
( ) ( )
0
4
2
f
f
则
5
3
( )
0,
( )
0
4
2
f
f
，所以与
(0)
f
符号不同的是
(2)
f
,
3
( )
2
f
,
(4)
f
故选：BD
11．(多选)以下每个图象表示的函数都有零点，其中能用二分法求函数零点的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】根据二分法的思想，函数
( )
f x 在区间[
]
a b
,
上的图象连续不断，且
( ) ( )
0
f a f b
，
即函数的零点是变号零点，才能将区间( , )
a b 一分为二或多个小区间，
然后采用二分法逐步得到零点的近似值，
对各图象分析可知，A、B、D 都符合条件，
而选项C 不符合，因为图象经过零点时，零点两侧函数值的符号没有发生变化，
因此不能用二分法求函数零点，
故选：ABD
12．(多选)某同学求函数
ln
2
6
f x
x
x
的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示：
2
1.307
f
2.5
0.084
f
2.5625
0.066
f
2.625
0.215
f
2.75
0.512
f
3
1.099
f
则方程ln
2
6
0
x
x
的近似解（精确度0.1）可取为（
）
A．2.51
B．2.56
C．2.66
D．2.78
【答案】AB
【解析】因为函数
ln
2
6
f
x
x
x
在其定义域上单调递增，结合表格可知，
方程ln
2
6
0
x
x
的近似解在（2.5，3），（2.5，2.75），（2.5，2.5625）内，又精确度0.1，
∴方程ln
2
6
0
x
x
的近似解（精确度0.1）可取为2.51，2.56.
故选：AB．
13．已知函数
y
f x
的表达式为
2
5
x
f x
x
，用二分法计算此函数在区间
1,2 上零点的近似值，第
一次计算
1
f
、
2
f
的值，第二次计算
1
f x
的值，第三次计算
2
f x
的值，则
2x
．
【答案】7
4 /1.75
【解析】因为
1
2
0
f
，
2
2
2
2
5
1
0
f
，
取
1,2 的中点
1
3
2
x
，则
3
2
3
3
7
49
2
5
2 2
8
0
2
2
2
4
f
，
所以，函数
f x 的零点在区间3 ,2
2
内，
故
2
x 为区间3 ,2
2
的中点值，因此，
2
3
2
7
2
2
4
x
.
故答案为：7
4 .
14．用二分法求函数
ln
1
1
f x
x
x
在区间
0,1 上近似解，要求精确度为0.01 时，所需二分区间次
数最少为
次．
【答案】7
【解析】开区间
0,1 的长度为1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n 次操作后，区间长
度为1
2n ，
因为二分法求
ln
1
1
f x
x
x
在区间
0,1 上近似解，要求精确度为0.01，
所以1
0.01
2n
，解得：
7
n
，所以所需二分区间次数最少为7 次.
故答案为：7
15．函数
lg
2
3
y
x
x
的零点
0
1,5
x
，对区间
1,5 利用两次“二分法”，可确定
0x 所在的区间为
．
【答案】
1,2
【解析】设
lg
2
3
f x
x
x
，因为函数
lg
y
x
、
2
3
y
x
在区间
1,5 上均为增函数，
故函数
f
x 在区间
1,5 上为增函数，
因为
1
1
0
f
，
5
lg5
7
0
f
，
3
lg3
3
0
f
，故
0
1,3
x
，
又因为
2
lg 2 1
0
f
，由零点存在定理可得
0
1,2
x
.
故答案为：
1,2 .
16．用二分法求函数
( )
y
f x
在区间( , )(
)
a b a
b
内的零点近似值时，验证了
( )
( )
0
f a
f b
，取区间( , )
a b 的
中点
2
a
b
，得
( )
0
2
a
b
f
f b
，那么此时零点
0x
（填区间）．
【答案】
,
2
a
b
a
【解析】因为
( )
0
2
a
b
f
f b
，所以
2
a
b
f
与
( )
f b 同号，又
( )
( )
0
f a
f b
，所以
( )
f a 与
( )
f b 异号，
即
2
a
b
f
与
( )
f a 异号，所以
( )
0
2
a
b
f a
f
.此时零点
0x
,
2
a
b
a
.
故答案为：
,
2
a
b
a
四、解答题
17．根据图象是连续曲线的函数的性质以及函数增长快慢的差异，判断方程
3
2x
x
至少有两个实数根．用
二分法求方程
3
2x
x
的一个近似解．（精确度为0.01）
【解析】指数函数
2x
y
和幂函数
3
y
x
的图象是连续曲线，
当
1
x 时，
1
3
2
1
，当
2
x
时，
2
3
2
2
，在区间(1,2) 内方程
3
2x
x
有实数解，
由于当x 充分大以后，指数函数比幂函数的增长速度快很多，所以对于很大的x ，总有
3
2x
x
，于是在区
间(2,
)
内方程
3
2x
x
有实数解，
由二分法得到方程
3
2x
x
的实数解所在区间如下：
区间左端点
区间右端点
第1 次
1
2
第2 次
1
1.5
第3 次
1.25
1.5
第4 次
1.25
1.375
第5 次
1.3125
1.375
第6 次
1.34375
1.375
第7 次
1.359375
1.375
第8 次
1.3671875
1.375
至此，可以看出区间[1.3671875,1.375]的端点不是方程的解，而区间的长度小于0.01，所以可任取其中一
个数，如1.37，作为方程
3
2x
x
的一个近似解.
18．在26 枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币（质量稍轻），现在只有一台天平，请
问：你最多称几次就可以发现这枚假币？
【解析】第一次各13 枚称重，选出较轻一端的13 枚，继续称；
第二次两端各6 枚，若平衡，则剩下的一枚为假币，否则选出较轻的6 枚继续称；
第三次两端各3 枚，选出较轻的3 枚继续称；
第四次两端各1 枚，若不平衡，则较轻的一端是出假币；若平衡，则剩余的是假币．
所以最多称四次．
19．判断函数
3
1
f
x
x
x
在区间
1,1.5 内有无零点，如果有，求出一个近似零点（精确度0.1）？
【解析】因为
1
1
0
f
，
1.5
0.875
0
f
，且函数
3
1
f
x
x
x
的图象是连续的曲线，
由零点存在定理可知它在区间
1,1.5 内有零点，用二分法逐步计算，列表如下：
区间
中点值
中点函数近似值
1,1.5
1.25
0.30
1.25,1.5
1.375
0.22
1.25,1.375
1.3125
0.05
1.3125,1.375
1.34375
0.08
由于1.375 1.3125
0.0625
0.1
<
，
所以函数
3
1
f x
x
x
的一个近似零点为1.34 .
20．函数
2
log
2
g x
x
x
在区间
1,2 内是否有零点?若有零点，用“二分法”求零点的近似值（误差不
超过0.2）；若没有零点，说明理由.
（参考数据: 1.25
1.18
，1.5
1.225
，1.75
1.323
，
2
log 1.25
0.32
，
2
log 1.5
0.585
，
2
log 1.75
0.807
）
【解析】易得
2
log
2
g x
x
x
是定义域内的增函数.
∵1
1 2
1
0
g
，
2
2
2
log 2
2
2
1
0
g
，
∴函数
g x 在区间
1,2 内有且只有一个零点.
∵
2
1.5
1.5
log 1.5
2
1.225
0.585
2
0.19
0
g
，
2
1.75
1.75
log 1.75
2
1.323
0.807
2
0.13
0
g
，
∴函数的零点在
1.5,1.75 内.
∵1.75 1.5
0.25
0.4
，所以误差不超过0.2.
∴
g x 零点的近似值为1.625.
21．判断方程
3
1
0
x
x
在区间
1,1.5 内是否有解；如果有，求出一个近似解．（精确度为0.1）
【解析】设
3
( )
1
f x
x
x
，
利用二分法，列表计算如下：
x
1
1.5
1.25
1.375
1.3125
1.34375
( )
f x
1
0.875
0.2969
0.2246
0.05151
0.0826
由表中数据可得
(1.34375)
0,
(1.3125)
0
f
f
，
因为题中要求精确度为0.1，而左右端点的近似值都为1.3.
所以近似解为1.3.
22．已知函数
2
1
1
x
x
f
x
a
a
x
.
(1)求证：
( )
f x 在( 1
)
,
上为增函数.
(2)若
3
a
，求方程
( )
0
f x
的正根（精确度为0.01）.
【解析】（1）证明：设
1
2
1
x
x
，
1
2
( )
(
)
f x
f x
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
3(
)
1
1
(
1)(
1)
x
x
x
x
x
x
x
x
a
a
a
a
x
x
x
x
，
1
2
1
x
x
，
1
1
0
x
，
2
1
0
x
，
1
2
0
x
x
，
1
2
1
2
3(
)
0
(
1)(
1)
x
x
x
x
；
1
2
1
x
x
，且
1
a ，
1
2
ax
ax
，
1
2
0
x
x
a
a
，
1
2
( )
(
)
0
f x
f x
，即
1
2
( )
(
)
f x
f x
，
函数
( )
f x 在( 1,
)
上为增函数；
（2）由（1）知，当
3
a
时，
2
( )
3
1
x
x
f x
x
在( 1,
)
上为增函数，
故在(0,
)
上也单调递增，因此
( )
0
f x
的正根仅有一个，
以下用二分法求这一正根，由于
(0)
1
0
f
，
(1)
f
5
0
2
，
取(0,1)为初始区间，用二分法逐次计算，列出下表：
区间
中点
中点函数值
(0,1)
0.5
0.732
(0,0.5)
0.25
0.084
(0.25,0.5)
0.375
0.322
(0.25,0.375)
0.3125
0.124
(0.25,0.3125)
0.28125
0.021
0.25,0.28125
0.265625
0.032
0.265625,0.28125
0.2734375
0.00543
0.2734375,0.28125
由于0.2734375
0.28125
0.0078125
0.01
，原方程的根的近似值为0.2734375.
即
( )
0
f x
的正根约为0.2734375.
