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专题14 利用导数研究函数零点问题
一．函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参
数的值或取值范围.
求解步骤：
第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与 轴(或直线 )在某区间上的交点
问题；
第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；
第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数.
二．利用导数确定函数零点的常用方法
(1)图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极(最)值的位置，借助数形结合的思想分析问题
（画草图时注意有时候需使用极限）．
(2)利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、
极值(最值)及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．
三．利用函数的零点求参数范围的方法
(1)分离参数( )后，将原问题转化为 的值域(最值)问题或转化为直线 与
的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解；
(2)利用函数零点存在定理构建不等式求解；
(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．
专项突破一 判断函数零点的个数
一、单选题
1．函数 所有零点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知函数 ，则函数 的零点个数为（ ）
A．1 B．0 C．3 D．2
3．函数 的零点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．34．已知 ，则函数 的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．已知a∈R，则函数 零点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．与a有关
6．已知 为R上的可导函数，当 时， ，若 ，则函数 的零点
个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．0或2
二、填空题
7．设函数 满足 ，则函数 的零点个数为______.
8．已知函数 则函数 零点的个数为___________
三、解答题
9．已知函数 .
(1)求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
(2)判断函数f（x）的零点的个数，并说明理由.
10．设函数 .
（1）讨论 在定义域上的单调性；
（2）当 时，判断 在 ， 上的零点个数．11．已知函数 ，其中 ．
（1）当 时，求 的极值；
（2）当 时，求 的零点个数．
12．已知函数 , ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)当 时,判断 的零点个数．
13．已知
(1)当 时，求 的单调性；
(2)讨论 的零点个数．
14．已知函数 .
(1)当 时，求 的单调区间；(2)当 时，讨论 的零点个数.
15．已知函数
(1)求函数 的单调区间.
(2)若 ，求函数 在区间 上的零点个数.
16．已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)讨论 在 上的零点个数．
专项突破二 由函数零点个数求参数
一、单选题
1．若函数 有且只有2个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．若函数 有三个不同的零点，则实数 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
3．若关于 的方程 有且只有2个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．若函数 有两个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．设函数 ，若函数 有两个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数 有两个零点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数 有两个极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 ）有三个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0， ） B．（0， ） C．（0，1） D．（0，e）
9．函数 有两个零点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．已知 恰有三个不同的零点，则实数a的范围为（ ）
A． B． C． D．二、多选题
11．已知 （ ）
A．若 ，则 ，使函数 有2个零点
B．若 ，则 ，使函数 有2个零点
C．若 ，则 ，使函数 有2个零点
D．若 ，则 ，使函数 有2个零点
12．已知函数 有两个零点 、 ，则下列说法正确的是（ ）．
A． B． C． D．
13．已知函数 ，若函数 有3个零点，则实数a可能的取值有
（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
14．已知函数 在区间（1，＋∞）内没有零点，则实数a的取值可以为（ ）
A．－1 B．2 C．3 D．4
15．已知函数 在 上有两个不同的零点，则实数 可能取到的值为（ ）
A． B． C． D．1
三、填空题
16．已知函数 有三个零点，则实数 的取值范围是___________.
17．已知函数 ，若函数 有四个零点，则实数a的取值范围是
______________.
18．已知函数 有两个零点，则正实数 的取值范围为______．19．若函数 不存在零点，则实数a的取值范围是______.
四、解答题
20．已知函数 ．
(1)求 的导函数；
(2)若 在 上有零点，求 的取值范围．
21．已知函数
(1)讨论函数 在区间 内的单调性；
(2)若函数 在区间 内无零点，求 的取值范围．
22．已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)若函数 至多有两个零点，求实数a的取值范围.
23．已知函数 ．（1）讨论 的单调性；
（2）若 存在两个零点，求实数 的取值范围．
24．已知函数 ．
（Ⅰ）当 时，求 的极值；
（Ⅱ）若 在 上有两个不同的零点，求a的取值范围．
25．已知函数
(1)求函数 的图象在点 处的切线方程；
(2)证明：函数 有且仅有两个零点 ，且
26．已知函数 .
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若 有两个零点，求实数 的取值范围.27．已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的极值；
(2)若函数 在 无零点，求实数a的取值范围．
28．已知函数 有两个零点．
(1)求a的取值范围；
(2)设 是 的两个零点，证明： ．
29．已知函数 ．
(1)当 时，求函数 在原点 处的切线方程；
(2)讨论函数 的零点个数．30．已知函数 ，其中 ，且 .
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若 只有一个零点，求 的取值范围.
