文档内容
专题14 利用导数研究函数零点问题
一．函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参
数的值或取值范围.
求解步骤：
第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与 轴(或直线 )在某区间上的交点
问题；
第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；
第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数.
二．利用导数确定函数零点的常用方法
(1)图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极(最)值的位置，借助数形结合的思想分析问题
（画草图时注意有时候需使用极限）．
(2)利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、
极值(最值)及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．
三．利用函数的零点求参数范围的方法
(1)分离参数( )后，将原问题转化为 的值域(最值)问题或转化为直线 与
的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解；
(2)利用函数零点存在定理构建不等式求解；
(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．
专项突破一 判断函数零点的个数
一、单选题
1．函数 所有零点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】由题可知， ，且 ，
故函数 为定义域上的偶函数，且 ，
当 ，且 时， ，
当 时， ，函数 单调递减，且 ，故函数 在区间 上无零点，
当 时， ，函数 单调递减，当 时， ，当 时， ，故函数在区间 上必存在一点 ，使得 ，所以函数 在区间 上有1个零点，
又函数 为定义域上的偶函数，则函数 在区间 上有1个零点，又 ，
所以函数 共有3个零点.故选：C.
2．已知函数 ，则函数 的零点个数为（ ）
A．1 B．0 C．3 D．2
【解析】当 时， ，得 ，即 ，成立，
当 时， ，得 ，设 ， ，
，得 或 （舍），
当 时， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减，
所以 时，函数取得最大值， ， ， ，
根据零点存在性定理可知， ，存在1个零点，
综上可知，函数有2个零点.故选：D
3．函数 的零点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】 ，
令 ， ，则 ，故h(x)在 上单调递增，
∵ ， ，
∴存在唯一的 ，使得 ，即 ，即 ， ，∴当 时， ， ， 单调递减，
当 时， ， ， 单调递增，
∴ ，
∴函数 的零点个数为1．故选：B．
4．已知 ，则函数 的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】函数 定义域为 ，求导得： ，
令 ， ，显然 在 上单调递减，而 ， ， ，
则存在 ，使得 ，即 ，当 时， ， ，当 时， ，
，因此， 在 上单调递增，在 上单调递减，
，
而 ，则存在 使得 ，即 在 上
存在唯一零点，又 ，令 ， ，
则 在 上单调递减， ， ，
于是得 ，则存在 使得 ，即 在 上存在唯一零点，
综上得：函数 的零点个数为2.故选：C
5．已知a∈R，则函数 零点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．与a有关【解析】令 ，得 .
令 ， ，只需看两个图像的交点的个数.
所以 在R上单调递增.当 时， ；当 时， ；
所以 与 有且只有一个交点.故选：A
6．已知 为R上的可导函数，当 时， ，若 ，则函数 的零点
个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．0或2
【解析】构造函数 ，其中 ，则 ，
当 时， .当 时， ，
此时，函数 单调递减，则 ；当 时， ，
此时，函数 单调递增，则 .
所以，当 时， ；
当 时， .综上所述，函数 的零点个数为0.故选：A.
二、填空题
7．设函数 满足 ，则函数 的零点个数为______.
【解析】因为 ①，所以 ②，①×2-②，得 ，即 ，则 ，
当 ，或 时 ， 单调递增，当 时 ， 单调递减，
所以 的极小值为 ，极大值为 ，
因为 的零点为0或3，所以由 ，
得 或 ，即 或 ，
因为 的极小值为 ，极大值为 ，所以方程 有3个不同的实数解，又
有2个不同的实数解，所以 的零点个数为5.
8．已知函数 则函数 零点的个数为___________
【解析】 时， ， 时， ， 递减；
时， ， 递增；
则 时， 取极小值也是最小值 ；
时， ， 时， ， 递减；
时， ， 递增；则 时， 取极小值也是最小值 ，
综上所述，可作出 图象，在作两条直线 ，
结合图象可知， 与 有 个交点.三、解答题
9．已知函数 .
(1)求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
(2)判断函数f（x）的零点的个数，并说明理由.
【解析】(1)由 ，
而 ，所以该函数在点（0，f（0））处的切线方程为：
；
(2)函数 的定义域为 ，由（1）可知： ，
当 时， 单调递增，
因为 ，所以函数在 时有唯一零点；
当 时， 单调递增，
因为 ，所以函数在 时有唯一零点，
所以函数f（x）有 个零点.
10．设函数 .
（1）讨论 在定义域上的单调性；（2）当 时，判断 在 ， 上的零点个数．
【解析】（1）由题意，函数 的定义域为 ，
可得 ，
①当 时， ，则 在 上是减函数；
②当 时， ，
则当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减；
（2）①当 时，函数 ，
令 ，解得 ，故 在 上有一个零点；
②当 时，因为 ，则 ，
即 在 ， 上单调递减，又 ， ，
所以函数 在 上没有零点．
11．已知函数 ，其中 ．
（1）当 时，求 的极值；
（2）当 时，求 的零点个数．
【解析】（1）当 时， ， ，求导得 ， ，令 ，得 ，当 时， ；当 时， ．
∴ 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
∴当 时， 取得极大值 ，无极小值；
（2） ， ，当 时，∵ ，∴ ，
∴ 在区间 上单调递增，∴ ，故 只有一个零点0．
12．已知函数 , ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)当 时,判断 的零点个数．
【解析】(1) ,故当 时, ,
所以函数 在 上单调递增,当 时,令 ,得 ,
所以函数 在 上单调递增,令 ,得 ,
所以函数 在 上单调递减,
综上,当 时,函数 在 上单调递增,
当 时,函数 在 上单调递增,在 上单调递减.
(2)设 ,则 ,令 ,
解得 ,当 时, ；当 时, ；
故 最大值为 ，所以 有且只有一个零点 .13．已知
(1)当 时，求 的单调性；
(2)讨论 的零点个数．
【解析】(1)因为 ， ，
所以 ，
令 ， ，所以 在 单增，且 ，
当 时 ，当 时 ，
所以当 时 ，当 时 ，
所以 在 单调递减，在 单调递增
(2)因为
令 ，易知 在 上单调递增，且 ，
故 的零点转化为 即 ， ，
设 ，则 ，当 时， 无零点；
当 时， ，故 为 上的增函数，
而 ， ，故 在 上有且只有一个零点；
当 时，若 ，则 ； ，则 ；
故 ，若 ，则 ，故 在 上有且只有一个零点；
若 ，则 ，故 在 上无零点；
若 ，则 ，此时 ，
而 ， ，
设 ， ，则 ，
故 在 上为增函数，故 即 ，
故此时 在 上有且只有两个不同的零点；
综上：当 时，0个零点；当 或 时，1个零点； 时，2个零点；
14．已知函数 .
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)当 时，讨论 的零点个数.
【解析】(1)当 时，函数 ，
可得 .
当 在区间 上变化时， ，f（x）的变化如下表：
x 0
0 + 0 -
f（x） 极小值1 -1
极大值所以 的单调增区间为 ； 的单调减区间为 .
(2)由题意，函数 ，
可得
当 时， 在 上恒成立，
所以 时， ，所以 在 上单调递增.
又因为 ，所以f（x）在 上有0个零点.
当 时，令 ，可得 .
由 可知存在唯一的 使得 ，
所以当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
因为 ， ， ，
①当 ，即 时， 在 上有0个零点.
②当 ，即 时， 在 上有1个零点.
综上可得，当 时， 有2个零点；当 时， 有0个零点.
15．已知函数
(1)求函数 的单调区间.
(2)若 ，求函数 在区间 上的零点个数.
【解析】(1)由题意，得当 时， 恒成立，所以 在R上单调递增.
当 时，由 ，得 ，由 ，得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
综上所述，当 时， 的单调递增区间为R，无单调递减区间，
当 时， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
(2)由（1）可知当 时， 在 上恒成立，
所以 在 上单调递增.
因为 ，
所以由零点存在性定理知，函数 在 上有1个零点，
当 时，若 ，则 ，若 ，则 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
可得 ，
①当 时， ，此时 在 上有1个零点
②当 时 ，
因为当 时 ，
所以此时 在 上有2个零点
③当 时， ，此时 在 上无零点.
综上，当 或 时， 在 上有1个零点，
当 时 在 上有2个零点，当 时 在 上无零点.
16．已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)讨论 在 上的零点个数．
【解析】(1)因为 ，则 ，
当 时， ，此时 在 上单调递减；
当 时，令 ，可得 ，
则当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减.
综上所述：当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 单调递增，在 上单调递减.
(2)当 时， 在 上单调递减，又 ，
故当 时， ，故此时 在 无零点；
当 时， ，故 在 单调递减，
同 时，此时 在 无零点；
当 时， ，故 在 单调递增，在 单调递减，
，
若 ，即 时， ，故 在 无零点；若 ，即 时， ，此时 在 有一个零点 ；
若 ，即 时， ，
又因为 ，故 在 上一定存在一个零点；
又因为 ，且 ，故 在 上也一定存在一个零点；
下证 ：
，
令 ，则 ，即 在 单调递减，
故 ，即
故 .故当 时， 有两个零点.
综上所述：当 时， 在 无零点；
时， 在 有一个零点 ； 时， 有两个零点.
专项突破二 由函数零点个数求参数
一、单选题
1．若函数 有且只有2个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】根据题意， 时， ，此时
时， ; 时， ,
所以 在 上单调递增，在 上单调递减
时， ，所以 在 上无零点从而 时， 有2个零点，根据二次函数的性质可得
，故选：D.
2．若函数 有三个不同的零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】 ， .
令 ，解得 ， .
， ， 为增函数， ， ， 为减函数，
， ， 为增函数.
所以 ， .
因为函数 有三个不同的零点，
等价于方程 有三个不同的根.所以 ，解得 .故选：D
3．若关于 的方程 有且只有2个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】由 ，得 （ ），令 ，
所以关于 的方程 有且只有2个零点，等价于函数 的图像与直线 有两个交点，
由 ，得 ，
当 时， ，当 ， ，
所以 在 上递增，在 上递减，所以 ，当 时， ，所以当 时，函数 的图像与直线 有两个交点，
所以a的取值范围是 ，故选：D
4．若函数 有两个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为函数 有两个零点，定义域为 ；
所以方程 在 上有两不等实根，显然
即方程 在 上有两不等实根，令 ，
则直线 与曲线 在 上有两不同交点；
因为 ，
令 ，则 在 上显然恒成立，
因此 在 上单调递减，
又 ，所以当 时， ，即 ，所以 单调递增；
当 时， ，即 ，所以 单调递减；
因此 ，又当 时， ；当 时， ，
所以为使直线 与曲线 在 上有两不同交点，只需 ，解得 .故选：C.
5．设函数 ，若函数 有两个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】当 时，函数 单调递增；当 时， ，则 时，
，
所以当 时， ， 时， ，故当 时， 在 上单调递减，在
上单调递增，所以 在 处取极小值，极小值为 ，作出函数 的图象如图：
因为函数 有两个零点，所以函数 与 有两个交点，所以当 时
函数 与 有两个交点，所以实数 的取值范围为 .故选：D.
6．已知函数 有两个零点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题意，函数 的定义域为 ，
令 ，即 ，即 ，
设 ，可得 ，
当 时， ，当 时， ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
又 ，作出简图，如图所示，
要使得函数 有两个零点，
只需 与 的图像有两个交点，所以 ，
即实数 的取值范围是 .故选：A.
7．已知函数 有两个极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为函数 有两个极值点，
所以 有两个相异的零点，即 有两个交点，
令 ，则 ，
令 ，则 恒成立，
所以 在 上递减，且 ，
所以 时， ； 时， ；
所以 时， ； 时， ；
所以 时， 单调递增； 时， 单调递减；，又当 时， ； 时， ；
所以当 有两个交点时，则有 ，即 ，
所以函数 有两个极值点，则实数a的取值范围是 ，故选：A
8．已知函数 ）有三个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0， ） B．（0， ） C．（0，1） D．（0，e）
【解析】令 ，所以 或 ，
令 ，则 ，令 ，则 ，
当 时， ，h(x)在（－∞，0）上单调递增；
当 时， ，h(x)在（0，＋∞）上单调递减，
所以 ，即 ，
所以g(x)在R上单调递减，又 ，g（0）＝ ，
所以存在 使得 ，
所以方程 有两个异于 的实数根，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ，k(x)在（－∞，1）上单调递增；
当 时， ，k(x)在（1，＋∞）上单调递减，且 ．
所以 ，所以 与 的部分图象大致如图所示，由图知 ，故选：A．
9．函数 有两个零点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】令 得 ，令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
在 上单调递减，在 ， 上单调递增，
作出 与 的函数图象如图所示：
设直线 与 的图象相切，切点为 ，
则 ，解得 ， ， ，或 ， ， ，
有两个不同的零点， 与 的函数图象有两个交点，或 ，即 ．故选：C．
10．已知 恰有三个不同的零点，则实数a的范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由 ，
得 ，即 ．
令 ，则 ，令 可得 ，
当 时， ，当 时， ，
∴ 在 单调递增，在 单调递减，
所以 ，即 仅有唯一的解 ．
依题意，方程 有两个不同的解，即 与 有两个不同的交点，令 ，
则 ，易得 在 单调递增，在 单调速减， ，画出 的草图
观察图象可得 ，故选：D．
二、多选题
11．已知 （ ）A．若 ，则 ，使函数 有2个零点
B．若 ，则 ，使函数 有2个零点
C．若 ，则 ，使函数 有2个零点
D．若 ，则 ，使函数 有2个零点
【解析】
令 ，则 ，所以设 ，则
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减
在 处取得极大值
当 趋向于 时， 趋向于 ；当 趋向于 时， 趋向于
又 ， 且当 时， ；当 时，
所以， 是函数 的拐点， ，
所以 在 处的切线方程为 ，即
如图所示，ACD正确，B错误，故选：ACD
12．已知函数 有两个零点 、 ，则下列说法正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【解析】由 可得 ，令 ，其中 ，
所以，直线 与曲线 的图象有两个交点，，令 ，可得 ，列表如下：
减 极小值 增
作出函数 与 的图象如下图所示：
由图可知，当 时，函数 与 的图象有两个交点，A对；
接下来证明对数平均不等式 ，其中 ，且 、 均为正数.
先证明 ，其中 ，即证 ，
令 ， ，其中 ，则 ，
所以，函数 在 上为增函数，当 时， ，
所以，当 时， ，
接下来证明： ，其中 ，即证 ，
令 ，即证 ，令 ，其中 ，则 ，
所以，函数 在 上为减函数，当 时， ，
所以，当 时， ，
由已知可得 ，两式作差可得 ，所以， ，
因为 ，故 ， ，B错，CD都对.
故选：ACD.
13．已知函数 ，若函数 有3个零点，则实数a可能的取值有
（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【解析】函数 有3个零点，即方程 有3个不同的实根，
即函数 与 的图象有3个不同的交点，
令 ，
当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上递增，在 上递减，
故当 时， ，
又 ，当 时， ，
当 时， 在 上递增，又 ，当 时， ，
如图，作出函数 的大致图像，结合图像可知，
要使函数 与 的图象有3个不同的交点，
则a的范图为 .故选：CD.
14．已知函数 在区间（1，＋∞）内没有零点，则实数a的取值可以为（ ）
A．－1 B．2 C．3 D．4
【解析】 ，设
则在 上， 与 有相同的零点.
故函数 在区间 内没有零点,即 在区间 内没有零点， ，
当 时， 在区间 上恒成立,则 在区间 上单调递增.
所以 ，显然 在区间 内没有零点.
当 时, 令 ，得 ，令 ，得
所以 在区间 上单调递减增.在区间 上单调递增.
所以
设 ，则
所以 在 上单调递减,且所以存在 ，使得 ，
要使得 在区间 内没有零点，则 ，所以 ，
综上所述，满足条件的 的范围是
由选项可知：选项ABC可使得 在区间 内没有零点，即满足题意.
故选：ABC
15．已知函数 在 上有两个不同的零点，则实数 可能取到的值为（ ）
A． B． C． D．1
【解析】令 ，即 ，所以 ，
因为函数 在 上有两个不同的零点，设 ，
则 与 在 上有两个不同的交点，
因为 ，
令 ，则 ， ，因为在 上， ， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ，
且当 时， ；当 时， ，
因为 与 在 上有两个不同的交点，所以 ，
根据选项，符合条件的为B，C，故选：BC
三、填空题
16．已知函数 有三个零点，则实数 的取值范围是___________.
【解析】由 ，得 .设 ，则 .当 时， ，当 时， ，当 时， ，
所以函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
又 ，故函数 的图象如图所示：
故当 时，函数 有三个零点，即 .
17．已知函数 ，若函数 有四个零点，则实数a的取值范围是
______________.
【解析】因为函数 有四个零点，
所以方程 有4个不同的解，
所以函数 的图象与直线 有4个不同的交点，
①当 时， ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上递增，在 上递减，
所以当 时， 有最大值 ，
当 时， ，当 时，
②当 时， ，当 时， 有最小值
所以 的图象如图所示由图可知，当 时，函数 的图象与直线 有4个不同的交点，
所以实数a的取值范围是
18．已知函数 有两个零点，则正实数 的取值范围为______．
【解析】因为函数 有两个零点，
所以方程 有两个根，所以
所以方程 其中 有两个根，
设 ， ，
所以 ，令 可得 ，
化简可得 ， ，
所以当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
作函数 的图象可得，由图象可得，当 时，直线 与函数 ， ，的图象有
且仅有两个交点，
所以当 时，函数 有两个零点，
故答案为： ．
19．若函数 不存在零点，则实数a的取值范围是______.
【解析】因为函数 不存在零点，
所以方程 无实数根，
所以方程 无实数根，即方程 无实数根，
故令 ，
令 ，故 恒成立，
所以， 在 上单调递减，由于 ，
所以，当 时， ，即 ，当 时， ，即 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ，
所以，当方程 无实数根时， 即可.所以，实数a的取值范围是
四、解答题20．已知函数 ．
(1)求 的导函数；
(2)若 在 上有零点，求 的取值范围．
【解析】(1)因为 ，所以
(2)由（1）知 ，因为 ，所以 ，
所以 ，从而 在 上单调递增，
所以 ， ．
因为 在 上有零点，所以 ，解得 ．
21．已知函数
(1)讨论函数 在区间 内的单调性；
(2)若函数 在区间 内无零点，求 的取值范围．
【解析】(1) ， ，
（Ⅰ）当 ，即 时，
， 在 单调递减
（Ⅱ）当 ，即 时，
， 在 单调递增
（Ⅲ）当 ，即 时，当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减综上所述，（Ⅰ）当 时， 在 单调递减
（Ⅱ）当 时， 在 单调递增
（Ⅲ）当 时， 在 单调递增，在 单调递减
(2)由（1）知：当 时，
即 ， 在 无零点，当 时，
即 ， 在 无零点
当 时， 在 单调递增，在 单调递减
，
只需 即可，即 ， ，
综上所述，
22．已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)若函数 至多有两个零点，求实数a的取值范围.
【解析】(1)依题意： ，
故当 时， ，当 时， ，当 时， ，
∴ 的单调增区间为 ， ，单调减区间为 ；
(2)令 ，得 .
∵ ， ，结合f(x)单调性，作出f(x)图像：∴ 至多有两个零点可转化为 与 至多有两个交点.
结合图像可知， 或 ，即实数a的取值范围为 .
23．已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 存在两个零点，求实数 的取值范围．
【解析】（1） 且 ，
∴当 时， ， 递增；
当 时：若 时， ， 递减；当 时， ， 递增；
∴ 时， 在 上递增； 时， 在 上递减，在 上递增；
（2）由（1）知： 时 才可能存在两个零点，且 ，
∴ ，可得 .
24．已知函数 ．
（Ⅰ）当 时，求 的极值；
（Ⅱ）若 在 上有两个不同的零点，求a的取值范围．
【解析】（Ⅰ）当 时， ， ．由 ，得 ．
当 时， ， 在 上单调递增，
当 时， ， 在 上单调递减，只有极大值，无极小值，且 ．
（Ⅱ） ．当 时， ，
函数 在 上单调递增，
从而 至多有一个零点，不符合题意．
当 时， ，
在 上单调递增，在 上单调递减．
由 得 ．
由 得 ．
当 时， ，满足 在 上有两个不同的零点．
的取值范围是 ．
25．已知函数
(1)求函数 的图象在点 处的切线方程；
(2)证明：函数 有且仅有两个零点 ，且
【解析】(1)由函数 ，得 ， ，
，则 ，
所以函数 的图象在点 处的切线方程为 ，即 ；
(2) ， ，
因为函数 在 上递增，所以函数 在 上递增，
又 ，所以存在唯一的实数 ，使得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上递减，在 上递增，
故 ，又 ，所以函数 在 上存在唯一的零点 ，
则 ，由 ，得 ，
又 ，
所以函数 在 上存在唯一的零点 ，
即函数 有且仅有两个零点 ，且
26．已知函数 .
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若 有两个零点，求实数 的取值范围.
【解析】(1)函数 的定义域为 ，
当 时，
易知， 在 上为减函数，
所以 在 上为减函数，且
当 时， 当 时，
故函数的递增区间为 ，递减区间为 .
(2) 有两个零点，所以 在 上有两个不等的实数根，即 在 上有两个不等的实数根，
即直线 与 有两个交点，
当 时， 当 时，
在 上单调递增，在 上单调递减，则 的极大值为
又 ，当 时， ，当 时，
由图可得要使直线 与 有两个交点，则 ，
故实数 的取值范围为 .
27．已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的极值；
(2)若函数 在 无零点，求实数a的取值范围．
【解析】(1)由题知，当 时， ，
∴ ，令 ， ．
∴ 时， ， 单调递减；
时， ， 单调递增．∴ 是 的极小值点，∴ 的极小值为 ，无极大值．
(2)由题知 ，
∴ ， ；令 ，
∴ ，∵ ，∴ 恒成立，
∴ 单调递增，即 单调递增．
①当 时，∴ ，∴ 单调递增
∴ 恒成立，即 在 上无零点，∴ ．
②当 时，令 ， ， ，又 单调递增，
∴ 时， ， 时， ，
∴ 在 时单调递减， 时，单调递增，
∴ ，又∵ 时，
∴ ， ，即 在 上有零点，不合题意；
综上所述 ．
28．已知函数 有两个零点．
(1)求a的取值范围；
(2)设 是 的两个零点，证明： ．
【解析】(1)由题意得 有两个零点等价于 有两个根；
令 ，则 ，
令 ， ，故 单调递减，且 ，故当 时， , 递增，当 时， , 递减，
故 ，要使 有两个根，需满足 ，即 ，即a的取值范围为
；
(2)设 是 的两个零点，则 ，
不妨设 ，由（1）可知 ，则 ，又因为 在 时递减，
故要证明 ，即 ，只需证明 ，即 ；
设 ，
则 ，
而 当且仅当 时取等号，
故 ，即 ，故 单调递增，
因为 ，故 ，即 成立.
29．已知函数 ．
(1)当 时，求函数 在原点 处的切线方程；
(2)讨论函数 的零点个数．
【解析】(1)当 时， ，则 ，
所以 ，所以函数 在原点 处的切线方程为 ；
(2)因为 ，
所以 ，令 ，解得 或 ，因为 ，所以 ，
当 变化时， 与 变化如下表：
单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
所以 ， ，
令 ， ，所以当 时 ， 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，
即 ，即 ，
所以 ，所以 且 ，
①当 时 ，故 ， ，
而 时 ， ，
所以 在 上有一个零点，此时 有两个零点；
②当 时，因为 ，所以 ，
，
当 时 ，所以 在 上无零点，从而 只有一个零点，
当 时 ，所以 在 上只有一个零点 ，从而 只有两个零点，
当 时 ，所以 在 上有一个零点， ，所以 在 上有一个零点，从而 只有三个零点，
③当 时，因为 ，所以 ， ，
所以 在 上只有一个零点，
又 ，
当 时 ，所以 在 上只有一个零点，
又易知 在 上只有一个零点，所以 有三个零点，
综上可得：当 时 只有一个零点；
当 或 时 有两个零点；
当 且 时 有三个零点；
30．已知函数 ，其中 ，且 .
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若 只有一个零点，求 的取值范围.
【解析】(1)当 时， ，
，
易知 在 上单调递增，且 ，
所以当 时， ，此时 单调递减；
当 时， ，此时 单调递增；
所以 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ；(2) ，令 ，
（1）当 时，则 ， ，
当 时， ，此时 单调递增；
当 时， ，此时 单调递减；
故 ，
则 ， 在 单调递增，
又 时， ； 时， ；
所以此时 在 只有一个零点；
（2）当 时，则 ，
恒成立， 在 单调递增，
且 ， ，
又 ，则 ，
故存在 ，使得 ，
当 时， ，当 时， ，
因为当 时， ，
所以当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；当 时， 取得极小值，
由 得 ，则 ，
当 时，等号成立，
由 ，可得 ，解得 ，
综合第一问可知，当 时， 只有一个零点；
综上，若 只有一个零点，则 的取值范围是
