函数的零点
目录
模块一：基础知识......................................................................................................................................................3
考点1：函数的零点...........................................................................................................................................3
考点2：函数零点的判定...................................................................................................................................3
考点3：零点个数的判断方法...........................................................................................................................4
考点4：判断函数零点所在区间.......................................................................................................................4
考点5：已知函数零点个数，求参数取值范围的方法.................................................................................. 4
模块二：题型分类......................................................................................................................................................5
题型一：求函数的零点......................................................................................................................................5
题型二：函数零点的个数..................................................................................................................................7
题型三：判断零点所在的区间........................................................................................................................12
题型四：根据零点求函数解析式的参数........................................................................................................16
题型五：根据零点所在区间求参数范围........................................................................................................18
题型六：已知零点个数求参数范围................................................................................................................21
题型七：一次函数零点分布求参数范围........................................................................................................25
题型八：二次函数零点分布求参数范围........................................................................................................26
题型九：指对幂函数零点分布求参数范围....................................................................................................30
题型十：比较零点大小....................................................................................................................................35
题型十一：求零点的和....................................................................................................................................39
模块三：综合巩固....................................................................................................................................................45
函数的零点
模块一：基础知识
考点一：函数的零点
（1）一般地，如果函数
( )
y
f x
在实数处的值等于零，即
( )
0
f
，则a 叫做这个函数的零点.
知识点诠释：
①函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零；
②函数的零点也就是函数
( )
y
f x
的图象与x 轴交点的横坐标；
③函数
( )
y
f x
的零点就是方程
( )
0
f x
的实数根．
归纳：方程
( )
0
f x
有实数根函数
( )
y
f x
的图象与x 轴有交点函数
( )
y
f x
有零点．
（2）二次函数的零点
二次函数
2
y
ax
bx
c
的零点个数，方程
2
0
ax
bx
c
的实根个数见下表.
判别式
方程的根
函数的零点
0
两个不相等的实根
两个零点
0
两个相等的实根
一个二重零点
0
无实根
无零点
（3）二次函数零点的性质
①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号.
②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.
引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立.
考点二：函数零点的判定
（1）利用函数零点存在性的判定定理
如果函数
( )
y
f x
在一个区间
a
b
，
上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即
0
f a f b
，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点
0x
a
b
，
，使
0
0
f x
，这个
0x 也就是方程
( )
0
f x
的根.
知识点诠释：
①满足上述条件，我们只能判定区间内有零点，但不能确定有几个．若函数在区间内单调，则只有一
个；若不单调，则个数不确定．
②若函数
( )
f x 在区间
,a b 上有
( )
( )
0
f a
f b
，( )
f x 在( , )
a b 内也可能有零点，例如
2
( )
f x
x
在
1,1
上，
2
( )
2
3
f x
x
x
在区间
2,4
上就是这样的．故
( )
f x 在
,a b 内有零点，不一定有
( )
( )
0
f a
f b
．
③若函数
( )
f x 在区间
,a b 上的图象不是连续不断的曲线，
( )
f x 在
,a b 内也可能是有零点，例如函
数
1
( )
1
f x
在
2,2
上就是这样的．
（2）利用方程求解法
求函数的零点时，先考虑解方程
( )
0
f x
，方程
( )
0
f x
无实根则函数无零点，方程
( )
0
f x
有实根
则函数有零点．
（3）利用数形结合法
函数
( )
( )
( )
F x
f x
g x
的零点就是方程
( )
( )
f x
g x
的实数根，也就是函数
( )
y
f x
的图象与
( )
y
g x
的图象交点的横坐标．
【方法技巧与总结】
1、函数
f x 在区间
,a b 上的图象是一条连续不断的曲线，
0
f a
f b
，且
f x 具有单调性，
则函数
f x 在区间
.a b 内只有一个零点.
2、函数
f x 在区间
,a b 上的图象是一条连续不断的曲线，函数
f x 在区间
.a b 内有零点，且函数
f x 具有单调性，则
0
f a
f b
考点三：零点个数的判断方法
（1）直接法：直接求零点，令
0
f x
，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点.
（2）定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间
,a b 上是连续不断的曲线，且
0
f a
f b
，
结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.
（3）数形结合法：
①单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数
f x 的图象，函数
f x 的图象与x 轴交点的个数
就是函数
f x 的零点个数；
②两个函数图象：将函数
f x 拆成两个函数
h x 和
g x 的差，根据
0
f x
h x
g x
，则函
数
f x 的零点个数就是函数
y
h x
和
y
g x
的图象的交点个数.
考点四：判断函数零点所在区间
（1）将区间端点代入函数求函数的值；
（2）将所得函数值相乘，并进行符号判断；
（3）若符号为正且在该区间内是递增或递减，则函数在该区间内无零点；若符号为负且函数图象连
续，则函数在该区间内至少一个零点。
考点五：已知函数零点个数，求参数取值范围的方法
（1）直接法：利用零点存在的判定定理建立不等式；
（2）数形结合法：转化为两个函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围；
（3）分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域问题．
模块二：题型分类
题型一：求函数的零点
1.函数
2
6
1
y
x
x
的零点是（
）
A．1
1
,0 ,
,0
3
2
B．1
1
,0 ,
,0
3
2
C．1
1
,
3
2
D．
1 1
,
3 2
【答案】C
【解析】解方程
2
6
1
0
x
x
，即
3
1 2
1
0
x
x
，
解得
1
2
x
或
1
3
x
，因此，函数
2
6
1
y
x
x
的零点为1
1
,
3
2
.
故选：C .
2.函数
1 lg 3
2
x
f x
的零点为（
）
A．
3
log 8
B．2
C．
3
log 7
D．
2
log 5
【答案】A
【解析】令
1 lg 3
2
0
x
f x
，得3
2
10
x
，则
3
log 8
x
．
故选：A
3.若,
是二次函数
2
3
6
y
x
x
的两个零点，则
2
3
的值是（
）
A．3
B．15
C．3
D．15
【答案】B
【解析】由题意知,
是二次函数
2
3
6
y
x
x
的两个零点，
故,
是
2
3
6
0
x
x
的两个根，
则
2
3
6
0
，且
+
3
，则
2
3
6
且
3
，
故
2
2
2
3
3( 3
)
5
，
故选：B
4.函数
2
1
4
f
x
x
x
的零点为（
）
A．12
，
B．2, 1,2
C．2,1,2
D．无零点
【答案】B
【解析】令
2
1
4
0
f
x
x
x
，解得：= 1
x 或
2
x ，
所以函数的零点是2, 1,2
.
故选：B
5.函数
e
1
( )
e
x
x
x
f x
x
的零点为（
）
A．0
B．1
C．
0,0
D．
1,0
【答案】B
【解析】首先函数的零点不是点，而是数，故排除C,D 选项，
而函数的定义域为
,0
0,
U
，则排除A 选项，
0
e 1 1
(1)
e
1
f
，故函数
f
x 的零点为1，
故选：B.
6.已知二次函数
2
0
y
ax
bx
c a
图象如图所示，那么二次函数
2
y
ax
bx
c
的零点是
．
【答案】1,2
【分析】结合函数的图象即可求解；
【详解】根据图象可得函数的零点是1,2
，
故答案为：1,2
.
7.设
1
2
,
x x 是函数
2
6
2
y
x
x
的两个零点，则
1
2
1
1
x
x 的值为（
）
A．2
B．2
C．1
2
D．
1
2
【答案】D
【分析】根据题意得到
1
2
,
x x 是函数
2
6
2
0
x
x
的根，再利用韦达定理求解即可.
【详解】因为
1
2
,
x x 是函数
2
6
2
0
x
x
的根，
由题意
1
2
1
6
x
x
，
1
2
1
3
x x
，
1
2
1
2
1
2
1
1
1
2
x
x
x
x
x x
，
故选：D.
8.若
( )
f x 是奇函数，且
0x 是函数
( )
ex
y
f x
＝
的一个零点，则
0x
一定是下列哪个函数的零点（
）
A．
(
)e
1
x
y
f
x
B．
( )e x
y
f x
1
C．
( )e
1
x
y
f x
D．
( )e
1
x
y
f x
【答案】C
【分析】根据
f
x 是奇函数可得
(
)
( )
f
x
f x
，因为
0x 是
ex
y
f x
的一个零点，代入得
0
0
ex
f
x
，
利用这个等式对A、B、C、D 四个选项进行一一判断可得答案.
【详解】因为
0x 是
( )
ex
y
f x
＝
的一个零点，所以
0
0
0
e
x
f
x
，
又因为f（x）为奇函数，所以
(
)
( )
f
x
f x
，
所以
(
)
e
x
f
x
0
0
0，即
(
)
ex
f
x
0
0
0 .
所以( (
)
e )e
( (
)
e )e
x
x
x
x
f
x
f
x
0
0
0
0
0
0
1
0，
(
)e
x
f
x
0
0
1
0
故
0x
一定是
( )e
1
x
y
f x
的零点.
故选：C.
题型二：函数零点的个数
1.方程
ln
3
x
x
解的个数为
.
【答案】1
【分析】根据函数零点存在定理，或者函数与方程的思想判断函数图象交点个数即可得出答案.
【详解】解法一：令
3
ln
0
f
x
x
x
，则ln
3
x
x
；
在同一平面直角坐标系中分别画出函数
ln
y
x
与
3
y
x
的图象，如图所示.
由图可知函数
ln
y
x
与
3
y
x
的图象只有一个交点，
即函数
3
ln
f x
x
x
只有一个零点.
故原方程只有1 个解.
解法二：因为
3
ln 3
0
f
，
2
2
1 ln 2
ln
0
e
f
< ，
所以
3
2
0
f
f
，说明函数
3
ln
f x
x
x
在区间
2,3 内有零点.
又
f
x 在区间
0,
上是增函数，所以原方程只有一个解.
故答案为：1
2.函数
( ) | 2
1| 3
x
x
f x
的零点个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【分析】分
0
x
和
0
x
两种情况，根据函数单调性和零点存在性定理分析求解.
【详解】当
0
x
时，则3
2
1
x
x
，即2
1
0,3
2
0
x
x
x
，
可得
( )
2
1
3
2
3
1
1
0
x
x
x
x
f x
，
所以
( )
f x 在
0,
内无零点；
当
0
x
时，则2
1
x ，即2
1
0
x
，
可得
( )
2
1
3
2
3
1
x
x
x
x
f x
，
因为
2 ,
3
x
x
y
y
在定义域内单调递增，则
( )
f x 在
,0
内单调递减，
且
1
1
1
(0)
1
0,
1
1
0
2
3
6
f
f
，
所以
( )
f x 在
,0
内有且仅有一个零点；
综上所述：函数
( ) | 2
1| 3
x
x
f x
的零点个数为1 个.
故选：A.
3.讨论方程
2
2
log
x
x
的解的个数与分布情况．
【答案】答案见解析
【分析】方程
2
2
log
x
x
的解是函数
2
log
2
x
f x
x
的零点，可以通过适当的计算和增减性讨论来解答；
也可以将所求方程的解看成是两函数
2
log
y
x
和
2 x
y
的图象的公共点的横坐标．
【详解】函数
2
log
2
x
f x
x
，其零点就是方程
2
2
log
x
x
的解．
计算得：
1
2
1
log 1
2
0.5
0
f
，
2
2
2
log 2
2
0.75
0
f
，
可见
2
log
2
x
f x
x
在
1,2 内有零点．
另一方面，由于
2
log
y
x
单调递增而
2 x
y
也单调递增（因为
2 x
y
单调递减），
因此
2
log
2
x
f x
x
单调递增，所以
2
log
2
x
f x
x
在
1,2 内恰有一个零点．
由图象可看出，函数
2 x
y
与
2
log
y
x
的图象只在区间
1,2 内有一个交点，
所以原方程有且只有一个解，且此解在区间
1,2 上．
4.设
( )
f x 是定义在R 上的周期为5 的奇函数，
(3)
0
f
，则
( )
f x 在[0,10]内的零点个数最少是（
）
A．4
B．6
C．7
D．9
【答案】D
【分析】利用函数的周期性、奇偶性求区间零点的个数.
【详解】因为
( )
f x 是定义在R 上的周期为5 的奇函数，
所以
(0)
(5)
(10)
0
f
f
f
，又
(3)
0
f
，所以
(3)
(8)
f
f
，
则
5
5
( 3)
(2)
(7)
0,
2
2
f
f
f
f
f
，则
5
5
5
5
2
2
2
f
f
f
．
所以
5
5
15
5
5
0,
5
0
2
2
2
2
2
f
f
f
f
f
，
故零点至少有
5
15
0,2,
,3,5,7,8,
,10
2
2
，则
( )
f x 在[0,10]内的零点个数最少是9．
故选：D
5.函数
2
2
3,
0
2
ln ,
0
x
x
x
f x
x x
的零点个数为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【分析】结合分段函数，在各自的范围判断零点个数即可.
【详解】当
0
x
时，令
2
2
3
0
x
x
，解得：
3
x ；
当
0
x
时，
( )
ln
2
f x
x
在(0,
)
上单调递增，
又
3
(1)
2
0,
e
1
0
f
f
，所以
3
(1)
e
0
f
f
，
所以
( )
f x 在(0,
)
上有且只有1 个零点；
综上，
( )
f x 在R 上有2 个零点.
故选：C
6.设函数
( )
f x 是定义在R 上的奇函数，当
0
x
时，
( )
2
3
x
f x
x
，则
( )
f x 的零点个数为
.
【答案】3
【分析】
0
x
时，
( )
2
3
x
f x
x
，由数形结合知，此时有一个零点．依据奇函数的对称性知，
0
x
时
也有一个零点．又因为奇函数定义域为全体实数，所以
(0)
0
f
，即过原点．从而可求出结果.
【详解】∵函数
( )
f x 是定义域为R 的奇函数，
∴
(0)
0
f
，所以0 是函数
( )
f x 的一个零点，
当
0
x
时，令
( )
2
3
0
x
f x
x
，
得到2
3
x
x
，
分别画出函数
2x
y
和
3
y
x
的图像，如图所示，有一个交点，
所以函数
( )
f x 在
0,
上有一个零点，
又根据对称性知，当
0
x
时，函数
( )
f x 也有一个零点.
综上所述，
( )
f x 的零点个数为3.
故答案为：3.
7.已知
f
x 是定义在
4,4
上的偶函数，且
f
x 在
4,0
上的图象如图所示.
(1)在答题卡中作出
f
x 在
0,4 上的图象；
(2)求函数
2
log 5
g x
f
x
的零点的个数.
【答案】(1)答案见解析
(2)
g x 零点的个数为4
【分析】（1）根据偶函数关于y 轴对称，即可画出函数图象；
（2）依题意可得
2
log 5
f x
，则问题转化为直线
2
log 5
y
与
y
f x
图象的交点个数.
【详解】（1）因为
f
x 是定义在
4,4
上的偶函数，所以函数图象关于y 轴对称，
则作出
f
x 在
0,4 上的图象如下图所示：
（2）由
0
g x
，得
2
log 5
f
x
，
因为
2
2
log 5
3
，
所以直线
2
log 5
y
与
y
f x
的图象有4 个公共点，
所以
g x 零点的个数为4.
8.已知函数
lg
1,
0
1
1,
0
2
x
x
x
f x
x
，则函数
2
3
2
y
f
x
f x
的零点个数是（
）
A．6
B．5
C．4
D．3
【答案】C
【分析】将函数
2
3
2
y
f
x
f x
的零点个数转化为方程
1
f x 和
2
f x
根的个数，然后再转化为
函数
f
x 与
1
y ，
2
y
图象交点个数，最后结合图象判断即可.
【详解】函数
2
3
2
1
2
y
f
x
f
x
f
x
f
x
的零点，
即方程
1
f x 和
2
f x
的根，函数
lg
1,
0
1
1,
0
2
x
x
x
f x
x
的图象，如下图所示：
由图可得方程
1
f x 和
2
f x
的根，共有4 个根，即函数
2
2
3
1
y
f
x
f x
有4 个零点．
故选：C．
题型三：判断零点所在的区间
1.函数
4
2x
f x
x
的零点所在区间是（
）
A．
0,1
B．
1,2
C．
2,3
D．
3,4
【答案】B
【分析】根据零点存在性定理判断即可.
【详解】
4
2x
f x
x
在
0,
上连续且单调递增，( )
1
2
f
= - ，
2
2
f
，故函数
f
x 的零点位于区间
1,2 内．
故选：B．
2.
2
( )
log
5
f x
x
x
的零点所在区间为（
）
A．
1,2
B．
2,3
C．
3,4
D．
4,5
【答案】C
【分析】根据函数单调性及函数零点存在性定理求解.
【详解】因为
2
( )
log
5
f x
x
x
在
0,
上单调递增，
且
2
(3)
log 3
2
0,
(4)
2 1
1
0
f
f
，
所以函数零点所在区间为
3,4 .
故选：C
3.函数
3
6
x
f x
x
的零点所在的区间是（
）
A．
0,1
B．
1,2
C．
2,3
D．
3,4
【答案】B
【分析】根据零点存在性定理，即可判断选项.
【详解】函数
3
6
x
f x
x
为增函数，
0
1
6
5
0
f
，
1
3 1 6
2
f
，
2
9
2
6
5
f
，
1
2
0
f
f
，
所以函数的零点所在的区间为
1,2 .
故选：B
4.函数
2
1
( )
log
f x
x
x
的零点所在区间是（
）
A．
1
0, 2
B．
1 ,1
2
C．(1,2)
D．(2,3)
【答案】C
【分析】计算端点函数值，根据零点存在性定理和单调性直接判断可得.
【详解】易知增函数加增函数为增函数，函数
( )
f x 在定义域(0,
)
上单调递增，且
2
1
(1)
log 1
1
0
1
f
，
2
1
1
1
(2)
log 2
1
0
2
2
2
f
，所以
( )
f x 存在唯一零点
0x ，且
0
(1,2)
x
.
故选：C.
5.设函数
( )
2
3
x
x
f x
的零点为
0x ，则
0x 所在的区间是（
）
A．( 4, 2)
B．( 2, 1)
C．(1,2)
D．(2,4)
【答案】B
【分析】由零点存在性定理求解．
【详解】易知
( )
f x 在R 上单调递增且连续，
1
2
( 2)
0
4
3
f
，
1
1
( 1)
0
2
3
f
，
所以
0
( 2, 1)
x
故选：B
6.函数
( )
e
2
x
f x
x
零点所在的区间是（
）
A．(1,2)
B．( 1,0)
C．
3, 2
D．( 2, 1)
【答案】C
【分析】利用函数的单调性及零点存在性定理即可得解.
【详解】由单调性的性质易得
( )
e
2
x
f x
x
在R 上单调递增，
又
3
3
e
3
2
0
f
，
2
2
e
2
2
0
f
，
所以
( )
f x 的零点所在的区间是
3, 2
.
故选：C.
7.函数
1
3
y
x
x
的一个零点在
0,1 内，另一个零点在（
）内.
A．
4,5
B．
3,4
C．
2,3
D．
1,2
【答案】C
【分析】根据题意结合零点存在性定理列不等式组求解即可.
【详解】因为函数
1
3
f
x
x
x
的一个零点在
0,1 内，
所以
1
1
2
2
3
0
2
2
1
1
3
3
3
0
3
3
f
f
，又因为函数
1
3
y
x
x
在
2,3 连续不断，根据零点存在性定理另一个零
点在
2,3 内.
故选：C.
8.方程
1
3
1
2
x
x
的根所在区间是（
）
A．2 ,1
3
B．1 2
,
2 3
C．1 1
,
3 2
D．
1
0, 3
【答案】C
【分析】构造函数
1
3
1
2
x
f x
x ，判断函数的单调性，然后根据零点存在性定理分析判断即可
【详解】构造函数
1
3
1
2
x
f x
x ，
因为
1
2
x
y
和
1
3
y
x
在R 上单调递减，所以函数
f
x 在R 上单调递减，
且函数
f
x 的图象是一条连续不断的曲线，
因为
0
1
0
0
1
0
2
f
，
1
1
3
3
1
1
1
0
3
2
3
f
，
1
1
2
3
1
1
1
0
2
2
2
f
，
由
f
x 的单调性可知
2
0
3
f
，
1
0
f
，则
1
1
0
3
2
f
f
，
故函数
f
x 的零点所在的区间为1 1
,
3 2
，
即方程
1
3
1
2
x
x
的根
0x 属于区间1 1
,
3 2
．
故选：C
9.方程
3
log
2
x
x
的根所在区间是（
）
A．
0,1
B．
1,2
C．
2,3
D．
3,4
【答案】B
【分析】将问题转化为
3
log
2
f
x
x
x
零点所在区间的求解问题，利用零点存在定理求解即可.
【详解】设
3
log
2
f
x
x
x
，则方程
3
log
2
x
x
根所在区间即为
f
x 零点所在区间，
3
log
y
x
与
2
y
x
在
0,
上均为增函数，
( )
f
x
\
在
0,
上单调递增；
对于A，
3
1
log 1 1 2
1
f
，当
0,1
x
时，
1
f
x ，A 错误；
对于B，
1
1
0
f
，
3
3
2
log 2
2
2
log 2
0
f
，即
1
2
0
f
f
，
0
1,2
x
，使得
0
0
f x
，B 正确；
对于CD，当
2
x
时，
2
0
f x
f
，
( )
f
x
\
在区间
2,3 和
3,4 上无零点，C 错误，D 错误.
故选：B.
10.(多选)已知函数
f
x 的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：
x
1
1
3
5
7
f
x
24
13
5
1
5
则一定包含
f
x 的零点的区间是（
）
A．
1,1
B．
1,3
C．
3,5
D．
5,7
【答案】BCD
【分析】根据零点存在性定理结合表中的数据分析判断即可
【详解】因为
f
x 的图象是一条连续不断的曲线，
且
1
3
0,
3
5
0,
5
7
0
f
f
f
f
f
f
，
所以一定包含
f
x 的零点的区间是
1,3 , 3,5 , 5,7 ．
故选：BCD
11.(多选)若函数
f
x 图象是连续不断的，且
0
0
f
，
1
2
4
0
f
f
f
，则下列命题不正确的是（
）
A．函数
f
x 在区间(0,1)内有零点
B．函数
f
x 在区间(1,2) 内有零点
C．函数
f
x 在区间(0,2) 内有零点
D．函数
f
x 在区间(0, 4) 内有零点
【答案】ABC
【分析】根据零点存在定理分析判断.
【详解】因为
1
2
4
0
f
f
f
，则
1 ,
2 ,
4
f
f
f
中有一个小于0，另两个大于0，或三个都小于0.
若
0
1
4
0,
0
2
f
f
f
,
，又
0
0
f
，
则
0
1
0
f
f
，所以函数
f
x 在区间(0,1)内有零点；
若
1
0
4
0,
0
2
f
f
f
,
，又
0
0
f
，
则
1
2
0
f
f
，
2
4
0
f
f
，所以函数
f
x 在区间(1,2) ，(2,4) 内有零点；
若
1
0
4
0,
0
2
f
f
f
,
，又
0
0
f
，
则
2
4
0
f
f
，所以函数
f
x 在区间(2,4) 内有零点；
若
1
0
4
0,
0
2
f
f
f
,
，又
0
0
f
，
则
0
1
0
f
f
，所以函数
f
x 在区间(0,1)内有零点，
综上，函数
f
x 在区间(0, 4) 内必有零点，因此ABC 错误，D 正确.
故选：ABC.
题型四：根据零点求函数解析式的参数
1.关于x 的函数
2
2
2
8
(
0)
y
x
ax
a
a
的两个零点为
1
2
,
x x ，且
2
1
15
x
x
，则a ＝（
）
A．5
2
B．7
2
C．15
4
D．15
2
【答案】A
【解析】依题意得
1
2
,
x x 是方程
2
2
2
8
0
x
ax
a
的两不等实根，
所以
2
2
2
4
0
3
32
6
a
a
a
，
1
2
2
x
x
a
，
2
1
2
8
x x
a
，
所以
2
2
2
2
2
2
1
1
2
1
2
4
4
32
36
225
x
x
x
x
x x
a
a
a
，即
2
225
36
a
，
又
0
a
，所以
15
5
6
2
a
.
故选：A
2.函数
2
6
1
y
mx
x
有且只有一个零点，则实数m 的值为（
）
A．9
B．12
C．0 或9
D．0 或12
【答案】C
【解析】因为
2
6
1
y
mx
x
，令
0
y
，得到
2
6
1
0
mx
x
，
当
0
m
时，6
1
0
x
，得到
1
6
x
，满足题意，
当
0
m
时，因为函数
2
6
1
y
mx
x
有且只有一个零点，故
36
4
0
m
，得到
9
m
，综上，
0
m
或
9
m
.
故选：C.
3.若函数
( )
(
0)
f x
ax
b a
的零点为2，则函数
2
( )
g x
bx
ax
=
-
的零点是（
）
A．0，
1
2
B．0，1
2
C．0，2
D．2，
1
2
【答案】A
【解析】因为函数
( )
(
0)
f x
ax
b a
的零点为2，所以
(2)
2
0
f
a
b
，
∵
0
a
，2
0
a
b
，∴
0
b
，∴
1
2
a
b
．
令
2
0
bx
ax
，得
0
x
或
1
2
a
x
b
．
故选：A.
4.已知2 是函数
( )
8
n
f x
x
（n 为常数）的零点，且
( )
56
f m
，则m 的值为（
）
A．3
B．4
C．4
D．3
【答案】C
【解析】因为2 是函数
( )
8
n
f x
x
（n 为常数）的零点，
所以2
8
n
，得
3
n
，所以
3
( )
8
f x
x
，
因为
( )
56
f m
，所以
3
8
56
m
，得
4
m
，
故选：C
5.若实数，满足
e
2
，
ln
2
，则（
）
A．e
B．1
C．1
2
D．2
【答案】D
【解析】由
e
2
可得
2
e
，所以是方程
2
ex
x
的解，
即是
ex
y
与
2
y
x
图象交点的横坐标，
由
ln
2
可得
2
ln
，所以是方程
2
ln x
x
的解，
即是
ln
y
x
与
2
y
x
图象交点的横坐标，
在平面直角坐标系中分别作出
ex
y
，
ln
y
x
，
2
y
x
的图象如图所示，
因为
ex
y
与
ln
y
x
互为反函数，图象关于直线y
x
对称，
而
2
y
x
的图象也关于直线y
x
对称，
所以两个交点
2
,
A
，
2
,
B
关于直线y
x
对称，
所以
2
2
，可得
2
，
故选：D
题型五：根据零点所在区间求参数范围
1.函数
2
( )
2 x
f x
a
x
的一个零点在区间(1,2) 内，则实数a 的取值范围是（
）
A．0 <
< 3
a
B．1
3
a
C．1
2
a
D．
2
a
【答案】A
【解析】因为函数
2x
y
，
2
y
x
在(0,
)
上单调递增，
所以函数
2
( )
2 x
f x
a
x
在(0,
)
上单调递增，
由函数
2
( )
2 x
f x
a
x
的一个零点在区间(1,2) 内得
1
0,
2
3
0
f
a
f
a
，
解得0 <
< 3
a
，
故选：A
2.若函数
2
2x
f
x
a
x
存在1 个零点位于
1,2 内，则a 的取值范围是（
）
A．
0,3
B．
3,3
C．
3,3
D．
3,0
【答案】A
【解析】若函数
2
2x
f
x
a
x
存在1 个零点位于
1,2 内，
2
2x
f
x
a
x
单调递增,又因为零点存在定理，
1
2
2
2
1
2
0,
2
2
1
0,
2
f
a
f
a
0
3
a
.
故选：A.
3.函数
1
3
2
x
f x
a
x
的一个零点在区间
1,2 内，则实数a 的取值范围是（
）
A．
1,
B．
5 ,1
2
C．
5
,
1,
2
D．
5
2
,
【答案】B
【解析】
2x
y
和
3
y
x
在
0,
上是增函数，
3
2x
f
x
a
x
在
0,
上是增函数，
只需
1
2
0
f
f
即可，即
5
1
0
2
a
a
，解得
5
1
2
a
．
故选：B.
4.已知函数
2
1,
1
2
,
1
x
x
f x
x
a
x
a
x
，若
f
x 恰有两个零点，则正数a 的取值范围是（
）
A．
1
0 2
，
B．1 ,2
2
C．1 ,1
2
D．
1,2
【答案】C
【解析】当
1
x 时，2
1
0
x
，得
0
x
成立，
因为函数
f
x 恰有两个零点，
所以
1
x
时，
2
0
x
a
x
a
有1 个实数根，显然a 小于等于0，不合要求，
当
0
a
时，只需满足
1
2
a
a
，解得：1
1
2
a
.
故选：C
5.已知函数12
lg
f x
x
x
在区间
,
1
n n
上有唯一零点，则正整数n （
）
A．8
B．9
C．10
D．11
【答案】C
【解析】函数12
lg
f x
x
x
的定义域为
0,
，且在
0,
上是减函数；
易得
11
12 11 lg11 1 lg11 0
f
，
10
12 10 lg10
1
0
f
，
∴
11
10
0
f
f
，
根据零点存在性定理及其单调性，可得函数
f
x 的唯一零点所在区间为
10,11 ，
∴
10
n
．
故选：C．
6.函数
2
2
1
1
1
f
x
k
x
k
x
只有一个零点，则k 的取值集合为
【答案】
5
1,
3
【解析】（1）若
2
1
0
k
，即
1
k 时，
①当
1
k 时，此时
1
f x ，此时没有零点，
②当
1
k 时，此时
2
1
f x
x
，令
2
1
0
f x
x
，解得
1
2
x
，符合题意，
（2）当
1
k 时，令
2
2
1
1
1
0
f
x
k
x
k
x
，
则
2
2
1
4
1
0
k
k
，解得
5
3
k
或1（舍去），
综上
5
3
k
或1
，则k 的取值集合为
5
1,
3
.
故答案为：
5
1,
3
.
7.已知函数
,
0
2
3 ,
0
x x
f x
x
x
，
1
2
g x
f x
x
a
，若
g x 存在3 个零点，则实数a 的取值范围
为
．
【答案】
3
[0, )
4 .
【解析】由
1
2
g x
f x
x
a
存在3 个零点，即方程
1
0
2
f x
x
a
有3 个实数根，
即函数
y
f x
与
1
2
y
x
a
的图象有3 个不同的交点，
因为函数
,
0
2
3 ,
0
x x
f x
x
x
，画出函数
y
f x
和
1
2
y
x
a
的图象，如图所示，
结合图象，将点3
( ,0)
2
代入
1
2
y
x
a
，可得
3
4
a
，此时
1
3
2
4
y
x
，
要使得函数
y
f x
和
1
2
y
x
a
的图象有3 个不同的交点，
则满足
3
0
4
a
，解得
3
0
4
a
，即实数a 的取值范围是
3
[0, )
4 .
故答案为：
3
[0, )
4 .
题型六：已知零点个数求参数范围
1.已知函数
2
1
1,
0
2
2,
0
x
x
x
f x
x
，若函数
g x
f x
a
有两个零点，则实数a 的取值范围是
.
【答案】
1,0
1
【解析】
如图所示，根据二次函数及指数函数的图象和性质可作出分段函数
f
x 的图象，
可知
2
1
1 1
0 ,
2
2
1
0
x
y
x
x
y
x
而
g x
f x
a
有两个不同零点等价于函数
y
f x
与函数y
a
有两个不同交点，
结合图象可知
1,0
1
a
.
故答案为：
1,0
1
2.若函数
2
2
1
f x
ax
x
在区间
0,1 上恰有一个零点，则实数a 的取值范围是
．
【答案】
1,
【解析】若函数
2
2
1
f x
ax
x
在区间
0,1 内恰有一个零点，
则方程
2
2
1
0
ax
x
在区间
0,1 内恰有一个根，
若
0
a
，则方程
2
2
1
0
ax
x
可化为：
1
0
x
，得
1
0,1
x
，不成立；
若
0
a
时，设方程的两根为
1
2
,
x x ，且
2
1
8
1 8
0
a
a
，得
1
8
a
，且
0
a
，
当
1
0
8
a
时，有
1
2
1
2
1
0
2
1
0
2
x
x
a
x
x
a
故
1
0
x
，
2
0
x
，不符合题意；
若
0
a
时，则函数图象开口向上，又
0
1
0
f
，
若函数在
0,1 上恰有一个零点，则
1
2
1 1
0
f
a
，所以
1
a .
综上：
1
a .
故答案为：
1,
3.已知函数
2
lg
1 ,
1
6
5,
0
x
x
f
x
x
x
x
，若函数
2
( )
[ ( )]
( )
5
g x
f x
bf x
有7 个零点，则实数b 的取值范围
是
．
【答案】(6,
)
【解析】函数
f
x 的图象如下图所示：
令
f x
t
，函数
2
( )
[ ( )]
( )
5
g x
f x
bf x
可化为
2
5
y
t
bt
，
函数
2
( )
[ ( )]
( )
5
g x
f x
bf x
有7 个零点，等价于方程
2
( )
[ ( )]
( )
5
0
g x
f x
bf x
有7 个不相等的实根，
当
0
t
时，
2
[ ( )]
( )
5
0
f x
bf x
可有三个不相等的实根，
当
(0,5]
t
时，
2
[ ( )]
( )
5
0
f x
bf x
可有四个不相等的实根，
当
(5,
)
t
时，
2
[ ( )]
( )
5
0
f x
bf x
可有三个不相等的实根，
设
2
5
0
t
bt
的两根为1
2
,
t t ，且1
2
t
t
，
若1
2
0,
(0,5]
t
t
，方程
2
5
0
t
bt
无零根，不符合题意，
若1
2
(0,5),
(5,
)
t
t
，
2
5
y
g t
t
bt
，由题意可知：
2
Δ
20
0
0
5
0
6
5
25
5
5
0
b
g
b
g
b
，
若1
2
5,
(5,
)
t
t
，则有
25
5
5
0
6
b
b
，此时
2
6
5
0
t
t
，
这时2
1
t ，显然不满足2
(5,
)
t
，
综上所述：实数b 的取值范围是(6,
)
，
故答案为：(6,
)
4.函数
2
( )
2
f x
x
x
a
有两个不同零点，则实数a 的取值范围是
.
【答案】(
,1)
【解析】由题意可知，方程
2
2
0
x
x
a
有两个不同解，故
4
4
0
a
，即
1
a
.
故答案为：(
,1)
.
5.函数
2
2
1
1
1
f
x
k
x
k
x
只有一个零点，则k 的取值集合为
【答案】
5
1,
3
【分析】分
1
k 和
1
k 讨论即可.
【详解】（1）若
2
1
0
k
，即
1
k 时，
①当
1
k 时，此时
1
f x ，此时没有零点，
②当
1
k 时，此时
2
1
f x
x
，令
2
1
0
f x
x
，解得
1
2
x
，符合题意，
（2）当
1
k 时，令
2
2
1
1
1
0
f
x
k
x
k
x
，
则
2
2
1
4
1
0
k
k
，解得
5
3
k
或1（舍去），
综上
5
3
k
或1
，则k 的取值集合为
5
1,
3
.
故答案为：
5
1,
3
.
6.已知函数
e ,
0
ln ,
0
x x
f x
x x
，
g x
f x
x
a
.若
g x 有且只有1 个零点，则a 的取值范围是
.
【答案】
, 1
【分析】令
h x
x
a
，将函数的零点个数问题转化成函数
y
f x
与函数
y
h x
的交点个数问题，
然后在同一坐标系中，画出
y
f x
与
y
h x
的函数图象，最后根据图象求解出结果.
【详解】令
h x
x
a
，则
g x
f x
h x
,
在同一坐标系中画出
y
f x
，
y
h x
图象的示意图，如图所示，
若
g x 存在2 个零点，则
y
f x
的图象与
y
h x
的图象有2 个交点，平移
y
h x
的图象可知，当直
线y
x
a
过点
0,1 时，有2 个交点，此时1
0
a
，得到
1
a ，
当y
x
a
在
1
y
x
上方，即
1
a 时，仅有1 个交点，符合题意；
当y
x
a
在
1
y
x
下方，即
1
a 时，有2 个交点，不符合题意，
综上，a 的取值范围为
, 1
，
故答案为：
, 1
.
7.若二次函数
2
2
y
x
x
m
在区间
1,有且仅有一个零点，则m 的取值范围为（
）
A．
,1
B．
,1
C．(1,
)
D．
1,
【答案】A
【分析】求出函数的对称轴，然后根据已知可得
(1)
0
f
，从而可求得结果.
【详解】二次函数
2
2
y
x
x
m
的对称轴为
1
x ，
因为函数在区间
1,有且仅有一个零点，
所以
(1)
0
f
，即1
2
0
m
，得
1
m ，
即m 的取值范围为
,1
，
故选：A
题型七：一次函数零点分布求参数范围
1.若函数
( )
y
f x
的表达式
( )
2
1
f x
ax
a
在( 1,1)
内有零点，则实数a 的取值范围
．
【答案】
1
(
, 1)
,
3
【解析】当
0
a
时，
( )
1
f x ，显然不成立；
当
0
a
时，函数
( )
2
1
f x
ax
a
在( 1,1)
内有零点，需
( 1) (1)
0
f
f
，
即(
1)( 3
1)
0
a
a
，即(
1)(3
1)
0
a
a
，解得
1
a 或
1
3
a
，
故实数a 的取值范围是
1
, 1
,
3
.
故答案为：
1
(
, 1)
,
3
2.若方程3
0
x
m
的根在
1,0
内，则m 的取值范围是
．
【答案】
0,3
【解析】设
3
f x
x
m
，则
1
0
3
0
f
f
m m
，解得：0
3
m
，
即m 的取值范围为
0,3 .
故答案为：
0,3 .
3.若函数
( )
3
4
f x
mx
在[ 2,0]
上存在
0x ，使
0
0
f x
，则实数m 的取值范围是
.
【答案】
2
,
3
【解析】函数
( )
3
4
f x
mx
在[ 2,0]
上存在
0x ，使
0
0
f x
(0)
4
0
f
2
( 2)
6
4
0,
3
f
m
m
故答案为
2
,
3
4.若函数
( )
1
f x
ax
在区间(1,2) 上有零点，则实数a 的取值范围是.
【答案】1
( ,1)
2
【解析】由题意，函数
( )
1
f x
ax
在区间(1,2) 上有零点，
当
0
a
时，函数
( )
1
f x ，此时函数
f
x 没有零点；
当
0
a
时，要使得函数
f
x 在区间(1,2) 上有零点，
则满足
(1) (2)
(
1)(2
1)
0
f
f
a
a
，解得1
1
2
a
，
综上可得，实数a 的取值范围是1
( ,1)
2
.
故答案为：1
( ,1)
2
.
题型八：二次函数零点分布求参数范围
1.已知函数
2
2
1
,
0,
,
0.
x
x
f
x
x
a
x
若关于x 的方程
1
2
f x
恰有3 个实数解，则实数a 的取值范围为
.
【答案】
2
2
,
,+
2
2
U
【解析】当
0
x
时，
2
( )
(
1)
f x
x
，
令
2
1
(
1)
2
x
，解得
2
1
2
x
或
2
1
2
x
当
0
x
时，
2
( )
f x
x
a
由关于x 的方程
1
2
f x
恰有3 个实数解，所以当
0
x
时，
1
2
f x
有唯一实数解，
所以
2
1
2
a
，解得
2
2
a
或
2
2
a
所以实数a 的取值范围为
2
2
,
,+
2
2
U
故答案为：
2
2
,
,+
2
2
U
2.设集合
2
1 0
|
A
x ax
x
，
,0
A
，则实数a 的取值范围是
.
【答案】
1
, 4
【解析】由题意可知方程
2
1
0
ax
x
有负数根，
若
0
1,
1
a
x
A
，符合题意；
若a<0 ，则
1 4
0
a
，显然方程有两个不等实数根
1
2
,
x x ，且
1
2
1
0
x x
a
，
即该两实数根异号，符合题意；
若
0
a
，则函数
2
1
y
ax
x
的对称轴为
1
0
2
x
a
，
若要满足题意，则需
1
Δ
1
4
0
0
4
a
a
；
综上所述：
1
, 4
a
.
故答案为：
1
, 4
a
3.已知函数
2
2 ,
0
( )
1 ,
0
x
x x
f x
x
x
，若关于x 的方程
( )
(
3)
f x
a x
有四个不同的实数根，则实数a 的取值
范围是
．
【答案】(0,4
2 3)
【解析】设
(
3)
y
a x
，该直线恒过点( 3,0)
，方程
( )
(
3)
f x
a x
有四个不同的实数根，
如图作出函数
( )
y
f x
的图象，结合函数图象，则
0
a
，
所以直线
(
3)
y
a x
与曲线
2
2 ,
( 2,0)
y
x
x x
有两个不同的公共点，
所以
2
(2
)
3
0
x
a x
a
在( 2,0)
有两个不等实根，
令
2
( )
(2
)
3
g x
x
a x
a
，
实数a 满足
2
Δ
(2
)
12
0
2
2
0
2
(0)
3
0
( 2)
0
a
a
a
g
a
g
a
，
解得0
4
2 3
a
．
故答案为：(0,4
2 3)
4.已知点
,
A B 的坐标分别为
1,0 ，
2,0 ，若二次函数
2
3
3
y
x
a
x
的图像与线段AB 有且只有一个
公共点，则实数a 的取值范围是
.
【答案】
1
1
2
a
或
3
2 3
a
【解析】①当二次函数与x 轴有两个交点时，如图1，
因为二次函数
2
3
3
y
f
x
x
a
x
的图像与线段AB 有且只有一个公共点，,
A B 的坐标分别为
1,0 ，
2,0 ，
所以
2
2
1
2
1
3
2
3
2
0
3
3
a
a
f
f
，
解得
1
1
2
a
.
由
2
3
1
1
0
3
a
f
，得
1
a ，此时
1
2
1,
3
x
x
，符合题意.
由
2
1
2
0
3
2
3
a
f
，得
1
2
a
，此时
1
2
3
2,
2
x
x
，不符合题意.
所以
1
1
2
a
.
②当二次函数与x 轴仅有一个交点时，如图2，
令
2
3
3
0
x
a
x
，
由
2
3
12
0
a
得
3
2 3
a
，
当
3
2 3
a
时，
1
2
3
x
x
，不合题意；
当
3
2 3
a
时，
1
2
3
x
x
，符合题意.
综上，a 的取值范围是
1
1
2
a
或
3
2 3
a
.
故答案为：
1
1
2
a
或
3
2 3
a
.
5.函数y＝x2＋x＋m 的两个零点都是负数，则m 的取值范围为
．
【答案】
1
(0,
)
4
【解析】因为函数y＝x2＋x＋m 的两个零点都是负数，所以可转化为
2
0
x
x
m
的两个根均为负数，则
2
1
2
1
2
Δ
1
4
0
1
0
0
m
x
x
x x
m
，解得m 的取值范围为
1
(0,
)
4 ，
故答案为：
1
(0,
)
4
6.若函数
2
6
2
1
0
f x
ax
x
a
在
0,2 内有且只有一个零点，则a 的取值集合是
.
【答案】
5
|
24
a a
【解析】
由已知得
0
a
，
0
1
f
，
2
24
5
f
a
.
由二次函数图象及函数零点存在定理可知，
该函数在
0,2 内只有一个零点，只需
2
0
f
，解得
5
24
a
.
故答案为：
5
|
24
a a
.
7.若方程
2
3
1
0
x
ax
的两根分别在区间( 1,0)
和(0,1)内，则实数a 的取值范围是
．
【答案】( 2,2)
【解析】令
2
3
1
f x
x
ax
，
因为方程
2
3
1
0
x
ax
的两根分别在区间( 1,0)
和(0,1)内，
所以
1
3
1
0
0
1
0
1
3
1
0
f
a
f
f
a
，解得2
2
a
，
故答案为：( 2,2)
题型九：指对幂函数零点分布求参数范围
1.已知函数
2
2
log
,
0 ,
3
1
,
0
x x
f x
g x
f x
f x
x
x
，若方程
g x
a
有3 个不同的实根
1
2
3
1
2
3
,
,
x x x
x
x
x
，则
2
1
2
3
x x x 的取值范围为（
）
A．
, 4 6
B．
4 6,
C．
,8
D．
,0
【答案】A
【解析】因为
3
1
g x
f x
f x
，
2
2
log
,
0
,
0
x x
f
x
x
x
，
当
( )
1
f x 时，
2
x
或= 1
x ，
故当
1
x 时，
2
3
1
4 ( )
3
4
3
g x
f x
f x
f x
x
，
当1
0
x
时，
2
3
1
2 ( )
3
2
3
g x
f x
f x
f x
x
，
当0
2
x
时，
2
3
1
2 ( )
3
2log
3
g x
f x
f x
f x
x
，
当2
x
时，
2
3
1
4 ( )
3
4log
3
g x
f x
f x
f x
x
.
因为方程
g x
a
有3 个不同的实根
1
2
3
1
2
3
,
,
x x x
x
x
x
，
所以
,
y
g x
y
a
有3 个不同的交点，如图，
由
2
2
2
3
3
2log
4log
3
x
x
可得
2
2
3
8
x x
，
又
2
1
4
3
3
x
，解得
1
6
2
x
，
所以
2
1
2
3
4 6
x x x
.
故选：A
2.已知函数
2
lg
,
0,
( )
6
1,
0.
x
x
f x
x
x
x
若函数
g x
f x
a
有四个不同的零点
1
x ，
2
x ，
3x ，
4x ，且
1
2
3
4
x
x
x
x
，则下列结论中正确的是（
）
A．
2
1
1
10
x
B．1
0
a
C．
1
2
1
10
x x
D．
3
4
3
x
x
【答案】B
【解析】函数
g x
f x
a
的四个不同的零点
1
x ，
2
x ，
3x ，
4x ，就是函数
y
f x
与y
a
两个图象四
个交点的横坐标，
作出函数
y
f x
的图象，
对于A，
(0)
1
f
，
当1
0
x
时，
( )
lg
f x
x
，令
( )
1
f x ，解得
1
10
x
，
结合图象可知
2
1
1
10
x
，故A 错误；
结合图象可知0
1
a
，解得1
0
a
，故B 正确；
又
1
2
lg
lg
x
x
，且
2
1
0
l
g
0
>
g
l
x
x
，
，
所以
1
2
lg
lg
x
x
，即
1
2
1
2
lg
lg
lg
0
x
x
x x
，
所以
1
2
1
x x ，故C 错误；
根据二次函数的性质和图象得出
3
4
3
2
x
x
，所以
3
4
6
x
x
，故D 错误；
故选：B
3.已知函数
1
2
2
1,
2
log
2 ,
2
x
x
f x
x
x
若关于x 的方程
2
8
0
f
x
a
f x
a
有6个不同的实数根，则实
数a 的取值范围为（
）
A．
15
4,
4
B．
15,0
4
C．
4,0
D．
7
4,
2
【答案】A
【解析】令
t
f x
，作出函数
t
f x
的图象如下图所示：
因为关于x 的方程
2
8
0
f
x
a
f x
a
有6个不同的实数根，
则关于t 的方程
2
8
0
t
a
t
a
在
1,3 内有两个不等的实根，
设
2
8
g t
t
a
t
a
，则函数
2
8
g t
t
a
t
a
在
1,3 内有两个不等的零点，
所以，
2
Δ
8
4
0
8
1
3
2
1
2
7
0
3
4
15
0
a
a
a
g
a
g
a
，解得
15
4
4
a
.
故选：A.
4.函数
2
log
4
f x
x
x
的零点为
1
x ，函数
log
1
5
1
a
g x
x
x
a
的零点为
2
x ，若
2
1
1
x
x
，则
实数a 的取值范围是（
）
A．
1,
2
B．
1,2
C．
2,
D．
2,
【答案】D
【解析】已知
2
log
4
f x
x
x
,
log
1
5
1
a
g x
x
x
a
,
函数
2
log
4
f x
x
x
的零点为
1
x ，
函数
log
1
5
1
a
g x
x
x
a
的零点为
2
x ，
则
1
2 1
2
2
log
4
log
1
5
0
a
x
x
x
x
1
2 1
2
2
log
4
1 log
1
4
a
x
x
x
x
1
2 1
2
2
log
1 log
1
a
x
x
x
x
1
2
1
x
x
又因为
2
log
y
x
x
,
log
1
1
1
a
y
x
x
a
这两函数均单调递增，
当
1
2
1
x
x
时，
2 1
2
log
>log
1
a
x
x
,解得
2
a
.
故选:D.
5.函数
2
2
log
,0
4
( )
2
70
8
,
4
3
3
x
x
f x
x
x
x
，若a b c d
, ,
,
互不相同，且
f a
f b
f c
f d
，则abcd 的取值范
围是（
）
A．
32,34
B．
32,34
C．
32,35
D．
32,36
【答案】C
【解析】不妨设0
a
b
c
d
，
作出函数
( )
f x 的图象，如图：
由图可知，0
1
4
a
b
，4
5
c
，7
8
d
，
因为
( )
( )
f a
f b
，所以
2
2
| log
| | log
|
a
b
，所以
2
2
log
log
a
b
，所以
2
2
log
log
0
a
b
，
所以
2
log (
)
0
ab
，所以
1
ab .
因为二次函数
2
2
70
8
3
3
y
x
x
的对称轴为
8
6
2
2
3
x
，
因为
( )
( )
f c
f d
，所以
2
6
12
c
d
，
所以
2
(12
)
12
cd
c
c
c
c
2
(
6)
36
c
，
因为4
5
c
，所以32
35
cd
，
所以
(32,35)
abcd
.
故选：C
6.已知函数
2016
1
1
2
,0
1
2
log
,
1
x
x
f
x
x x
，若a ，b ，c互不相等，且
f a
f b
f c
，则a
b
c
的取值范
围是（
）
A．
1,2016
B．
1,2016
C．
2,2017
D．
2,2017
【答案】C
【解析】因为
2016
1
1
2
,0
1
2
log
,
1
x
x
f
x
x x
，即
2016
1
2 ,0
2
1
2
2 ,
1
2
log
,
1
x
x
f x
x
x
x x
当
1
2
x
，
1
1
2
f
；当
2016
x
，
2016
1
f
；
不妨设a
b
c
，做出函数
f
x 的大致图像，如下图所示，
结合图像可得：
1,1
2016
a
b
c
，
1
a
b
c
c
，
即2
1
2017
c
，
a
b
c
的取值范围是
2,2017
故选:C
7.已知函数
2
1 ,
0
( )
log
,
0
x
x
f x
x x
，若方程
R
f x
a a
有四个不同的解
1
2
3
4
,
,
,
x x x x ，且
1
2
3
4
x
x
x
x
，
则
1
2
4
x
x
x
的取值范围是（
）
A．[ 4, 2)
B．[ 4, 2]
C．( 4, 2)
D．( 4, 2]
【答案】A
【解析】由题意作函数
2
1 ,
0
( )
log
,
0
x
x
f x
x x
与y
a
的图象如下，
∵方程
( )
f x
a
有四个不同的解
1
2
3
4
,
,
,
x x x x ，且
1
2
3
4
x
x
x
x
，
∴
1
2
,
x x 关于= 1
x 对称，即
1
2
2
x
x
，
当
2
log
1
x 得
2
x
或1
2 ，则
4
1
2
x
，故
1
2
4
4
(
)
2
x
x
x
，
故选：A.
题型十：比较零点大小
1.已知：
( )
(
)(
)
2
f x
x
a x
b
的零点,
，那么a，b，,
大小关系可能是（
）
A．
a
b
B．a
b
C．a
b
D．
a
b
【答案】A
【分析】根据题意可设( )
(
)(
)
g x
x
a x
b
，作出函数
( ), ( )
f x g x 的大致图象，结合它们的零点，数形结合，
可判断出答案.
【详解】由题意：
( )
(
)(
)
2
f x
x
a x
b
的零点,
，则
( )
0,
( )
0
f
f
，
令( )
(
)(
)
g x
x
a x
b
，则( )
0, ( )
0
g a
g b
，
而
( )
( )
2
f x
g x
，则其图象可由( )
(
)(
)
g x
x
a x
b
图象向下平移2 个单位得到，
故可作出函数
( ), ( )
f x g x 的大致图象如图：
由此可知,a b 应介于,
两数之间，结合选项可知可能的结果为
a
b
，
故B，C，D 错误，A 正确，
故选：A
2.(多选)已知函数
10 (
1)
1
x
x
f
x
x
x
，
lg (
1)
1
x
g x
x x
x
的零点分别为
1
x ，
2
x ，则（
）
A．
1
2
lg
x
x
B．
1
2
1
1
1
x
x
C．
1
2
4
x
x
D．
1
2
10
200
x x
【答案】ABD
【分析】由指数函数与对数函数、
(
1)
1
x
y
x
x
的对称性知
1
1,10x
A x
与
2
2
,lg
B x
x
关于直线y
x
对称，
利用指数幂、对数运算的性质计算依次判断选项即可.
【详解】因为函数
10x
y
与
lg
y
x
的图象关于直线y
x
对称，
(
1)
1
x
y
x
x
图象也关于直线y
x
对称，
设
(
1)
1
x
y
x
x
与
10x
y
图象的交点为A，
(
1)
1
x
y
x
x
与
lg
y
x
图象的交点为B ，
则
1
1,10x
A x
与
2
2
,lg
B x
x
关于直线y
x
对称，则
1
2
lg
x
x
，
1
2
10x
x
．
因为
1
1
1
10
0
1
x
x
x
，所以
1
2
1
1
x
x
x
，则
1
2
1
2
x
x
x x
，即
1
2
1
1
1
x
x
，
因为
(
1)
1
x
y
x
x
的图象与直线y
x
的交点为
2,2 ，
所以
1
2
4
x
x
，
1
1
2
1 10x
x x
x
，
1
1,2
x
，则
1
2
10
200
x x
．
故选：ABD.
3.已知
1
2
2
x
f x
x
，
1
2
log
2
g x
x
x
，
3
2
h x
x
x
的零点分别是a ，b ，c ，则a ，b ，c 的
大小顺序是（
）
A．a
b
c
B．c
b
a
C．b
c
a
D．b
a
c
【答案】B
【分析】将函数的零点，转化为函数
2
y
x
的图象分别与函数
1
2
x
y
、
1
2
log
y
x
、
3
y
x
的图象交点
的横坐标，利用数形结合法求解．
【详解】解：函数
1
2
2
x
f x
x
，
1
2
log
2
g x
x
x
，
3
2
h x
x
x
的零点，
即为函数
2
y
x
分别与函数
1
2
x
y
、
1
2
log
y
x
、
3
y
x
的图象交点的横坐标，
如图所示：
由图可得a
b
c
.
故选：B
4.函数
1
2
( )
2
log
x
f x
x
，
1
2
1
log
2
x
g x
x ，
2
1
log
2
x
h x
x
的零点分别为a，b，c，则（
）
A．a
b
c
B．c
b
a
C．< <
c a b
D．b
a
c
【答案】A
【分析】分别令
0
f
x
、
0
g x
、
0
h x
，根据函数定义域可得x 的范围，从而求出a
b
c
，，的范围
可得答案.
【详解】令
1
2
2
log
0
x
f
x
x
，可得
1
2
2
log
x
x
，因为
0
x
，所以2
1
x ，
1
2
log
1
x ，
可得
1
0
2
x
，所以
1
0
2
a
；
令
1
2
1
log
0
2
x
g x
x
，可得
1
2
1
log
2
x
x
，因为
0
x
，所以
1
1
0
2
x
，
1
2
0
log
1
x
，
可得1
1
2
x
，所以1
1
2
b
；
令
2
1
log
2
x
h x
x
，可得
2
1
log
2
x
x
，因为
0
x
，所以
1
1
0
2
x
，
2
0
log
1
x
，
可得1
2
x
，所以1
2
c
；
综上，a
b
c
.
故选：A.
5.设
2
1
log
3
a
a
，
1
3
2
log
b
b
，1
5
4
c
，则a 、b 、c 的大小关系是（
）
A．b
a
c
B．c
b
a
C．a
b
c
D．b<c<a
【答案】B
【分析】利用零点存在定理计算出a 、b 的取值范围，利用对数函数的单调性可得出
0
c
，即可得出a 、b 、
c 的大小关系.
【详解】构造函数
2
1
log
3
x
f x
x
，因为函数
2
log
y
x
、
1
3
x
y
在
0,
上均为增函数，
所以，函数
f
x 为
0,
上的增函数，且
1
1
0
3
f
，
8
2
0
9
f
，
因为
0
f a
，由零点存在定理可知1
2
a
；
构造函数
1
3
2
log
x
g x
x
，因为函数
2x
y
、
1
3
log
y
x
在
0,
上均为增函数，
所以，函数
g x 为
0,
上的增函数，且
1
9
1
2
2
0
9
g
，
1
3
1
2
1
0
3
g
，
因为
0
g b
，由零点存在定理可知1
1
9
3
b
.
因为1
5
4
c
，则
1
1
4
4
log 5
log 1
0
c
，因此，c
b
a
.
故选：B.
6.(多选)已知函数
1
ln
e
x
y
x
的两个零点分别为
1
2
,
x x ，且
1
2
x
x
，则（
）
A．
1
1
2
1
1
x
x
x
B．
2
1
2
1
1
x
x
x
C．
2
1
2
1
1
x
x
x
D．
2
1
2
1
1
x
x
x
【答案】AC
【分析】根据零点的性质，将问题转化为两函数求交点问题，利用指数函数单调性以及对数运算以及单调
性，可得答案.
【详解】函数
1
ln
e
x
y
x
的两个零点即函数
1
e
x
y
与
ln
y
x
的图象的两个交点的横坐标，作出两个
函数的图象，如下图：
则
2
0
1
x
，
1
1
x ，即
1
1
0
1
x
，
2
1
1
x ，故D 错误；
由图可知
1
2
1
1
e
e
x
x
，且
1
1
1
ln
e
x
x
，
2
2
1
ln
e
x
x
，则
1
2
ln
ln
x
x
，
由
2
0
1
x
，
1
1
x ，则
1
2
ln
ln
x
x
，即
1
2
1
ln
ln
x
x
，可得
1
2
1
x
x
，即
2
1
1
x
x
，
故A、C 正确，B 错误.
故选：AC.
题型十一：求零点的和
1.函数
2
,
2
log
2 ,
2
x x
f x
x
x
，则函数
y
f
f x
的所有零点之和为（
）
A．0
B．3
C．10
D．13
【答案】D
【分析】令
t
f x
，根据
0
f t
，求得
0
t
或
3
t
，再根据
0
f
x
和
3
f x
，结合分段函数的解
析式，即可求解.
【详解】令
t
f x
，
由
0
f t
得
2
0
t
t
或
2
2
log
2
0
t
t
，所以
0
t
或
3
t
，
当
0
t
f x
时，
0
x
或
3
x
，
当
3
t
f x
时，则
2
3
x
x
或
2
2
log
2
3
x
x
，解得
10
x
，
所以函数
y
f
f x
的所有零点之和为0
3 10
13
.
故选：D.
2.已知定义域为R 的函数
f
x 满足
2
f
x
f
x
，且曲线
y
f x
与曲线
1
1
y
x
有且只有两个交
点，则函数
1
1
g x
f x
x
的零点之和是（
）
A．2
B．－2
C．4
D．－4
【答案】A
【分析】判断函数
f
x 和
1
1
y
x
的图象关于点(1,0) 对称，即可判断曲线
y
f x
与曲线
1
1
y
x
有
且只有的两个交点关于点(1,0) 对称，结合函数图象交点与函数零点的关系，可得函数
1
1
g x
f x
x
的
零点之和.
【详解】由题意定义域为R 的函数
f
x 满足
2
f
x
f
x
，
则
f
x 的图象关于点(1,0) 成中心对称，
函数
1
1
y
x
的图象是由
1
y
x
的图象向右平移一个单位得到，
故
1
1
y
x
的图象关于点(1,0) 成中心对称，
又曲线
y
f x
与曲线
1
1
y
x
有且只有两个交点，
则这两个交点关于(1,0) 对称，故这两个交点的横坐标之和为2，
而函数
1
1
g x
f x
x
的零点即为曲线
y
f x
与曲线
1
1
y
x
交点的横坐标，
故函数
1
1
g x
f x
x
的零点之和是2，
故选：A
3.函数
f
x 是定义在R 上的奇函数，当
0
x
时，
1
2
1,0
2
1
2 ,
2
2
x
x
f x
f x
x
，则函数
1
g x
xf x
在
6,8
上的所有零点之和为（
）
A．32
B．32
C．16
D．8
【答案】D
【分析】由题意可得
g x 是偶函数，则函数
g x 的零点都是以相反数的形式成对出现的，从而函数
g x
在
6,6
上所有的零点的和为0，则函数
g x 在
6,8
上所有的零点的和，即函数
g x 在
6,8 上所有的零
点之和，即方程
1
f x
x
在
6,8 上的所有实数解之和，作出函数的图象，数形结合可得答案．
【详解】∵函数
f
x 是定义在R 上的奇函数，∴
f
x
f
x
.
又∵函数
1
g x
xf x
，
∴
1
1
1
g
x
x f
x
x
f
x
xf
x
g x
∴函数
g x 是偶函数，∴函数
g x 的零点都是以相反数的形式成对出现的.
∴函数
g x 在
6,6
上所有的零点的和为0，
∴函数
g x 在
6,8
上所有的零点的和，即函数
g x 在
6,8 上所有的零点之和.
即方程
1
f x
x
在
6,8 上的所有实数解之和.
由0
2
x
时，
1
2
1
x
f x
，故有
1
1
2
1,0
1
2
1,1
2
1
2 ,
2
2
x
x
x
f x
x
f x
x
，
∴函数
f
x 在
0,2 上的值域为
0,1 ，当且仅当
2
x
时，
1
f x .
又∵当
2
x
时，
1
2
2
f
x
f
x
，如图：
∴函数
f
x 在
2,4 上的值域为
1
0, 2
；函数
f
x 在
4,6 上的值域为
1
0, 4
；
函数
f
x 在
6,8 上的值域为
1
0,8
，当且仅当
8
x
时，
1
8
f
x
，
即方程
1
f x
x
在
6,8 上的有一个实数解
8
x
，即
1
g x
xf x
有一个零点
8
x
；
综上，函数
1
g x
xf x
在
6,8
上的所有零点之和为8.
故选：D.
4.(多选)已知函数
2
4
1
,
0
( )
log
,
0
x
x
f x
x x
，若
( )
f x
a
有四个不同的解
1
2
3
4
,
,
,
x x x x 且
1
2
3
4
x
x
x
x
，则
4
1
2
2
3
4
3
(
)
x
x
x
x x
可能的取值为（
）
A．
33
4
B．
29
4
C．
27
4
D．
31
4
【答案】BC
【分析】作出分段函数的图象，数形结合确定
1
2
2
x
x
以及
3 4 1
x x ，进而可得
4
1
2
4
2
3
4
4
3
3
(
)
2
x
x
x
x
x x
x
，
构造函数
3
( )
2
g x
x
x
结合函数的单调性即可得解.
【详解】当
0
x
时，
2
( )
(
1)
f x
x
，
当0
1
x
时，
4
( )
log
f x
x
，当
1
x
时，
4
( )
log
f x
x
，
作出函数
( )
f x 的图象如下，
则由图象可知，
( )
f x 的图象与
1
y 有4 个交点，分别为
1
2,1 , 0,1 ,
,1 , 4,1
4
，
因为
( )
f x
a
有四个不同的解
1
2
3
4
,
,
,
x x x x 且
1
2
3
4
x
x
x
x
，
所以0
1
a
，且
1
2
2
1
0
x
x
，且
1
2
2
x
x
，
3
4
1
1
4
4
x
x
，
又因为
4
3
3
4
4
4
(
)
,
(
)
,
log
log
f x
x
f x
x
所以
4
3
4
4
log
log
,
x
x
即
4
3
4
4
0
log
log
x
x
，所以
3 4 1
x x ，
所以
4
1
2
4
2
3
4
4
3
3
(
)
2
x
x
x
x
x x
x
，且
4
1
4
x
，
构造函数
3
( )
2
,
1,4
g x
x
x
x
，
因为函数
3
2 ,
y
x y
x
在
1,4
x
上都是减函数，
所以函数
3
( )
2
g x
x
x
在
1,4
x
上单调递减，
所以
4
1
g
g x
g
，即
29
1
4
g x
，
所以
4
1
2
2
3
4
3
29
(
)
,1
4
x
x
x
x x
.
故选：BC.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，
利用数形结合的方法求解.
5.(多选)设函数
2
ln ,
0
8 ,
0
x x
f x
x
x x
，若函数
g x
f
x
m
有四个零点分别为
1
2
3
4
,
,
,
x x x x ，且
1
2
3
4
x
x
x
x
，则下列结论正确的是（
）
A．0
16
m
B．
1
2
4
x
x
C．
3
4
1
x
x
D．
16
3
4
16
1
2,e
e
x
x
【答案】ACD
【分析】根据题意，函数
( )
y
f x
与y
m
有四个交点，横坐标分别为
1
2
3
4
,
,
,
x x x x 且
1
2
3
4
x
x
x
x
，进而
数形结合，结合对数运算，依次讨论各选项即可得答案.
【详解】因为
( )
( )
g x
f x
m
有四个零点，
所以函数
( )
y
f x
与y
m
有四个交点，横坐标分别为
1
2
3
4
,
,
,
x x x x 且
1
2
3
4
x
x
x
x
，
作出函数
f
x 的图象，如图所示，
由图可得0
16
m
，故A 正确；
1
2
4 2
8
x
x
，故B 错误；
3
4
0
1
x
x
，所以
3
4
ln
0,ln
0
x
x
由
3
4
ln
ln
x
x
，得
3
4
ln
ln
x
x
，
所以
3
4
3
4
ln
ln
ln
0
x
x
x x
，所以
3
4
1
x
x
，故C 正确；
由
ln
16
x
，得
16
1
e
x
，由ln
16
x
，得
16
e
x
，
所以
16
3
4
16
1
1
e
e
x
x
，
3
4
3
3
1
x
x
x
x
，
由双勾函数的单调性可得函数
1
y
x
x
在
16
1 ,1
e
上递减，
所以
16
3
4
3
16
3
1
1
2,e
e
x
x
x
x
，故D 正确.
故选：ACD.
6.已知函数
2
2
1 ,
0
log
,0
4
12
35,
4
x
x
f
x
x
x
x
x
x
，若互不相等的实数
1
x ，
2
x ，
3x ，
4x ，
5x ，
6x 满足
1
2
3
4
5
6
f x
f x
f x
f x
f x
f x
，则
1
2
3
4
5
6
x
x
x
x
x
x
的取值范围是
.
【答案】
25
(12,
]
2
【分析】根据解析式画出函数草图，利用绝对值函数、对数函数、二次函数的性质得
1
2
12
x
x
，
2
3
4
log
log
0
x
x
，
5
6
2
x
x
，结合对勾函数性质求零点之和的范围.
【详解】根据解析式可得
( )
f x 草图如下：
要使互不相等的实数
1x
2x
3x
4x
5x
6x 满足
1
2
3
4
5
6
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
k
，
由图知：
1
2
12
x
x
，
2
3
4
3
4
log
log
0
1
x
x
x x
，
5
6
2
x
x
，且0
1
k
，
令|
1| 1
x
，则
0
x
或
2
x ；令
2
| log
| 1
x ，则
2
x
或
1
2
x
；令
2
12
35
1
x
x
，则
6
2
x
；
令|
1| 0
x
，则= 1
x ；令
2
| log
| 0
x
，则
1
x ；令
2
12
35
0
x
x
，则
5
x
或
7
x
；
所以
1
2
3
4
5
6
1
6
2
7
5
6
2
2
1
0
1
2
2
x
x
x
x
x
x
，
所以
1
2
3
4
5
6
x
x
x
x
x
x
3
3
0
1
1
x
x
，在
3
(1,2]
x
上递增，
所以
1
2
3
4
5
6
25
(12,
]
2
x
x
x
x
x
x
.
故答案为：
25
(12,
]
2
7.已知函数
2
2
log
,0
2
8
13,
2
x
x
f x
x
x
x
，若
f x
a
有四个解
1
2
3
4
,
,
,
x x x x ，则
1
2
3
4
x
x
x
x
的取值范围
是
．
【答案】
21
(10,
)
2
【分析】分析函数
( )
f x 的性质，作出函数的图象，借助对勾函数性质及二次函数对称性求解作答.
【详解】当0
2
x
时，
2
( ) | log
|
f x
x
在(0,1]上递减，函数值集合为[0,
)
，在[1,2) 上递增，函数值集合为
[1,1) ，
当
2
x
时，
2
( )
8
13
f x
x
x
在[2,4] 上递减，函数值集合为[ 3,1]
，在[4,
)
上递增，函数值集合为[ 3,
)
，
显然函数
2
( )
8
13
f x
x
x
在[2,6]上的图象关于直线
4
x
对称，如图，
方程
( )
f x
a
的四个解
1
2
3
4
,
,
,
x x x x 是直线y
a
与曲线
( )
y
f x
的四个交点横坐标为
1
2
3
4
,
,
,
x x x x ，
显然0
1
a
，不妨令
1
2
3
4
0
1
2
x
x
x
x
，则有
3
4
8
x
x
，
2
1
2
2
| log
| | log
|
x
x
，有
1
2
1
x x
，
因此
1
2
2
2
1
x
x
x
x
，而对勾函数
1
y
x
x
在(1,2) 上单调递增，则
2
2
1
5
2
2
x
x
，即
1
2
3
4
21
10
2
x
x
x
x
，
所以
1
2
3
4
x
x
x
x
的取值范围是
21
(10,
)
2
.
故答案为：
21
(10,
)
2
模块三：综合巩固
1．若二次函数
2
2
y
x
x
m
在区间
1,有且仅有一个零点，则m 的取值范围为（
）
A．
,1
B．
,1
C．(1,
)
D．
1,
【答案】A
【解析】二次函数
2
2
y
x
x
m
的对称轴为
1
x ，
因为函数在区间
1,有且仅有一个零点，
所以1
2
0
m
，得
1
m ，
即m 的取值范围为
,1
，
故选：A
2．已知函数
2
,
0
( )
1
,
0
x x
f x
x x
x
，
( )
( )
g x
f x
x
a
．若( )
g x 有2 个零点，则实数a 的取值范围是（
）
A．[ 1,0)
B．[0,
)
C．[ 1,
)
D．[1,
)
【答案】D
【解析】
0
x
时，
1
( )
f x
x
x
，函数在
0,
上单调递减，
(1)
0
f
，
令
( )
0
g x
可得
( )
f x
x
a
，作出函数
( )
y
f x
与函数y
x
a
的图象如图所示：
由上图可知，当
1
a 时，函数
( )
y
f x
与函数y
x
a
的图象有2 个交点，此时，函数
( )
y
g x
有2 个零
点．因此，实数a 的取值范围是[1,
)
．
故选：D．
3．二次函数.
²
3
2
y
x
m
x
m
的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为
1
2
,
x x ，且
1
2
0
2
x
x
，如图
所示，则m 的取值范围是（
）
A．
0
m
B．
1
2
m
C．
1
0
2
m
或
5
m
D．
1
0
2
m
【答案】D
【解析】由题意可得
2
0
0
0
f
f
，
即
4
3
2
2
0
2
0
m
m
m
，解得
1
0
2
m
.
故选：D.
4．函数
3
6
x
f x
x
的零点所在的区间是（
）
A．
0,1
B．
1,2
C．
2,3
D．
3,4
【答案】B
【解析】函数
3
6
x
f x
x
为增函数，
0
1 6
5
0
f
，
1
3 1 6
2
f
，
2
9
2
6
5
f
，
1
2
0
f
f
，
所以函数的零点所在的区间为
1,2 .
故选：B
5．如果关于x 的方程
2
2
3
0
x
ax
a
至少有一个正根，那么实数a 的取值范围是（
）
A．2
2
a
B．3
2
a
C．
3
2
a
D．
3
2
a
【答案】C
【解析】由题意得
2
2
2
4
3
12
3
a
a
a
，分以下两种情况：
情形一：当方程的两根相等时，Δ
0
，此时
2
a ，
若
2
a
，则
2
2
1
0
x
x
的根为
1
2
1
0
x
x
，符合题意；
若
2
a ，则
2
2
1
0
x
x
的根为
1
2
1 0
x
x
，不符合题意.
情形二：当方程有两个不等实根时，由
0
可得2
2
a
，此时又可以分以下两种情形来讨论：
情形（1）：若方程的两个不等实根中有一个正根，一个负根或零根，则
2
1
2
3
0
x x
a
，解得
3
3
a
，
当
3
a
时，方程变为了
2
3
0
x
x
，此时方程没有正根，不符合题意，
当
3
a
时，方程变为了
2
3
0
x
x
，此时方程有一个正根为
3 ，符合题意，
故
3
3
a
，符合题意;
情形（2）：若方程有两个不相等的正根，
则
1
2
2
1
2
0
3
0
x
x
a
x x
a
，解得
3
a
，则
3
2
a
，
综上可得：实数a 的取值范围是
3
2
a
.
故选：C.
6．设函数
2
2
f x
x
x
a
，若函数
[ ( )]
y
f f x
有且只有2 个不同的零点，则a 的取值范围是（
）
A．
1
5, 1
5
B．
1
5
1
5
,
2
2
C．
1
3, 1
3
D．
1
3
1
3
,
2
2
【答案】B
【解析】由题意知函数
2
2
f x
x
x
a
，
[ ( )]
y
f f x
有2 个不同的零点；
令
t
f x
，得
2
[ ]
2
0
y
f t
t
t
a
，有2 个对应的x 根，根据判别式法则有Δ
0
与
0
两种情况：
当Δ
0
时，即
4
4
0
a
，得
1
a ，即
2
2
1
0
y
t
t
，解得
[ ]
1
t
f x
，即
2
2
1
1
x
x
，此时x 无解，所以此种情况不符题意；
当
0
时，即
4
4
0
a
，得
1
a
；
设
( )
0
f x
的实根为：1t 和2t ，不妨设1
2
t
t
，则
2
1
1
1
,
1
1
t
a t
a
，
则方程
1
( )
f x
t
与
2
( )
f x
t
一共有两个不等实根．
进一步可知：方程
1
( )
f x
t
1
x 和
2
( )
f x
t
有且仅有一个方程有两个不等实根．
即
2
1
2
0
x
x
a
t
和
2
2
2
0
x
x
a
t
中一个方程有两不等实根，另一个方程无实根．
因为1
2
t
t
，所以
1
2
Δ
0
Δ
0
，即
1
2
4
4
0
4
4
0
a
t
a
t
，即
1
2
1
0
1
0
a
t
a
t
，
则
1
0
1
0
a
a
a
a
，设
1
t
a
，则
2
1
a
t
，则
2
2
1
0
1
0
t
t
t
t
，
所以
2
2
1
0
1
0
t
t
t
t
，解得
1
5
1
5
2
2
t
，
2
3
5
3
5
2
2
t
，
2
1
5
1
5
1
2
2
t
，
即
1
5
1
5
2
2
a
．
故选：B.
7．方程
2
2
0
x
ax
a
在区间
0,1 和
1,2 各有一个根的充要条件是（
）
A．
, 1
a
B．
4 , 1
3
a
C．
4 ,0
3
a
D．
2, 1
a
【答案】B
【解析】因为一元二次方程
2
2
0
x
ax
a
在区间
0,1 和
1,2 各有一个根，
令
2
2
f x
x
ax
a
，则由题意可得
0
0
1
1
2
0
2
4
4
0
f
a
f
a
a
f
a
a
，即
0
1
4
3
a
a
a
，解得
4
1
3
m
，
则方程
2
2
0
x
ax
a
在区间
0,1 和
1,2 各有一个根的充要条件是
4 , 1
3
a
.
故选：B.
8．（函数
1
2
( )
2
log
x
f x
x
，
1
2
1
log
2
x
g x
x ，
2
1
log
2
x
h x
x
的零点分别为a，b，c，则（
）
A．a
b
c
B．c
b
a
C．< <
c a b
D．b
a
c
【答案】A
【解析】令
1
2
2
log
0
x
f
x
x
，可得
1
2
2
log
x
x
，因为
0
x
，所以2
1
x ，
1
2
log
1
x ，
可得
1
0
2
x
，所以
1
0
2
a
；
令
1
2
1
log
0
2
x
g x
x
，可得
1
2
1
log
2
x
x
，因为
0
x
，所以
1
1
0
2
x
，
1
2
0
log
1
x
，
可得1
1
2
x
，所以1
1
2
b
；
令
2
1
log
2
x
h x
x
，可得
2
1
log
2
x
x
，因为
0
x
，所以
1
1
0
2
x
，
2
0
log
1
x
，
可得1
2
x
，所以1
2
c
；
综上，a
b
c
.
故选：A.
9．(多选)设函数
1
1,
0
2
,
1
1,
0
1
x
x
f
x
x
x
则下列结论中正确的是（
）
A．函数
f
x 的定义域为R
B．函数
f
x 的值域为
1,
C．函数
f
x 的零点是0,2
D．若
0
f m
，则m 的取值范围是
2,
【答案】AC
【解析】由函数
1
1,
0
2
,
1
1,
0
1
x
x
f
x
x
x
可得
f
x 的定义域为R，故A 正确；
当
0
x
时，
f
x 递增，可得
1
f x ；
0
x
时，
f
x 递增，可得
1
0
f x
，
所以
f
x 的值域为
1,
，故B 错误；
由
0
f
x
，可得
2
x
或
0
x
，故C 正确；
0
f m
等价为
0
1
1
0
2
m
m
或
0
1
1
0
1
m
m
,
解得
2
m
或
0
m
，故D 错误．
故选：AC．
10．(多选)已知一元二次方程
2
3
0
x
mx
有两个实数根
1
x ，
2
x ，且
1
2
0
2
4
x
x
，则m 的可能值为
（
）
A．4
B．4.5
C．4.6
D．5
【答案】ABC
【解析】因为一元二次方程
2
3
0
x
mx
有两个实数根
1
x ，
2
x ，
且
1
2
0
2
4
x
x
，令
2
( )
3
f x
x
mx
，
则由题意可得
(0)
0
(2)
0
(4)
0
f
f
f
，即
3
0,
7
2
0,
19
4
0,
m
m
解得
19
7
4
2
m
，
故选：ABC.
11．(多选)某同学用二分法求函数
( )
2
3
7
x
f x
x
的零点时，计算出如下结果：
(1.5)
0.33
f
，
(1.25)
0.87
f
，
(1.375)
0.28
f
，
(1.4375)
0.02
f
，
(1.40625)
0.13
f
.下列说法正确的有（
）
A．
( )
f x 的零点在区间(1.375,1.40625) 内B．
( )
f x 的零点在区间(1.40625,1.4375) 内
C．精确到0.1 的近似值为1.4
D．精确到0.1 的近似值为1.5
【答案】BC
【解析】
( )
2
3
7
x
f x
x
是增函数，因为
(1.40625)
0.13
0
f
，
(1.4375)
0.02
0
f
，
所以零点在(1.40625,1.4375) 内，所以A 错误，B 正确，
又1.4375 和1.40625 精确到0.1 的近似数都是1.4，所以C 正确，D 错误.
故选：BC
12．(多选)已知二次函数
2
4
3
2
0
y
ax
ax
a
a
有两个零点
1
x ，
2
x ，且
1
2
x
x
，则（
）
A．
1
2
4
0
x
x
B．
1
2
3
0
x x
C．
2
1
2 7
x
x
D．
1
2
1
9
2
2
x
x
【答案】ABC
【解析】
2
4
3
2
y
ax
ax
a
的两个零点
1
x ，
2
x ，且
1
2
x
x
，
因此
2
2
16
4
3
2
28
8
a
a
a
a
a
，由于a<0 ，所以
0
恒成立
故
1
2
1
2
4
3
2
2
3
x
x
a
x x
a
a
，
对于A，
1
2
4
0
x
x
，故A 正确，
对于B，
1
2
3
2
2
2
3
3
3
3
0
a
x x
a
a
a
，故B 正确，
对于C，
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
7
2
8
4
16
4
3
28
2
2
8
a
x
x
x
x
x
x
x x
a
，故C 正确，
对于D，由于二次函数的开口向下，且对称轴为
2
x
，
1
9
3
2
0
2
2
4
f
f
a
，且因此两个根
1
1
2
x
，
2
9
2
x
，故D 错误，
故选：ABC
13．若函数
2
2
5
f
x
x
m
x
m 有两个小于2 的不同零点，则实数m 的取值范围是
．
【答案】
4,
【解析】若函数
2
2
5
f
x
x
m
x
m 有两个小于2 的不同零点，
则
2
Δ
2
4 5
0
2
4
2
2
5
0
2
2
2
m
m
f
m
m
m
，解得
4
m
，
所以实数m 的取值范围是
4,.
故答案为：
4,.
14．设
0x 为方程2
8
x
x
的解，若
+
0
,
1
x
n n
n
N
，则n 的值为
.
【答案】2
【解析】由题意可知
0x 是方程2
8
x
x
的解，所以
0
0
2
8
x
x
，
令
2
8
x
f x
x
，
因为
2
2
0,
3
3
0
f
f
，
2
8
x
f x
x
为R 上的增函数，
根据零点存在定理可得
0
(2, 3)
x
.
根据
+
0
,
1
N
x
n n
n
，可得
2
n
.
故答案为: 2 .
15．已知函数
2
2,
0,
( )
1 ln ,
0,
x
x
x
f x
x x
则函数
( )
f x 的零点为
【答案】2,e
【解析】当
0
x
时，由
2
( )
2
0
f x
x
x
，即(
1)(
2)
0
x
x
，解得
2
x 或
1
x （舍），
当
0
x
时，由
( )
1 ln
0
f x
x
，解得
e
x，
综上可得，函数
( )
f x 的零点为2,e
．
故答案为：2,e
．
16．已知函数
2
0.5
2
1,
0,
log
,
0,
x
x
x
f
x
x x
若方程
f x
a
有四个不同的解
1
2
3
4
,
,
,
x x x x ，且
1
2
3
4
x
x
x
x
，
则a 的最小值是
.
【答案】1
【解析】画出
2
0.5
2
1,
0,
log
,
0
x
x
x
f
x
x x
的图象如图所示.
因为方程
f x
a
有四个不同的解
1
2
3
4
,
,
,
x x x x ，
故
f
x 的图象与y
a
有四个不同的交点，又由图，
0
1
f
，
1
2
f
，
故a 的取值范围是
1,2 ，故a 的最小值是1.
故答案为：1
17．已知关于x 的方程
2
2
3
2
0
x
mx
m
.
(1)若方程有两个正根，求实数m 的取值范围.
(2)若方程有实数根，并且一个根大于1，一个根小于1，求实数m 的取值范围.
【解析】（1）令
2
2
3
2
f
x
x
mx
m
，由方程
2
2
3
2
0
x
mx
m
有两个正根，
则
Δ
0
0
2
0
0
b
a
f
，即
2
3
16
0
3
0
4
2
0
m
m
m
m
，解得
16
9
m
，
所以实数m 的取值范围为
16
,
9
.
（2）因为方程
2
2
3
2
0
x
mx
m
一根大于1，一根小于1，
则
1
0
f
，即2
0
m
，解得
2
m ，
所以实数m 的取值范围为
, 2
.
18．（1）已知函数
2
4
y
x
mx
的其中一个零点为1，求函数的另一个零点；
（2）当1
2
x
时，不等式
2
4
0
x
mx
恒成立，求m 的取值范围.
【解析】（1）函数
2
4
y
x
mx
的零点，即方程
2
4
0
x
mx
的根，
方程
2
4
0
x
mx
的一个根为1，设另一个根为a ，由韦达定理有1
4
a
，解得
4
a
，
所以函数
2
4
y
x
mx
的其中一个零点为1，函数的另一个零点为4 .
（2）令
2
4
f x
x
mx
，
因为当1
2
x
时，不等式
2
4
0
x
mx
恒成立，
所以
1
0
2
0
f
f
，即
1
4
0
4
2
4
0
m
m
，解得
5
m ，
故实数m 的取值范围为
, 5
.
19．已知函数
2
f
x
x
ax
b
，若
1
1
f
f
，且函数
f
x 有一个零点为2．
(1)求实数,a b的值；
(2)若
g x
f
x
kx
在
0,3 上的最小值为－5，求实数k 的值．
【解析】（1）因为
1
1
f
f
，所以
1
1
1
1
f
a
b
a
b
f
，解得
0
a
，
又因为
f
x 有一个零点为2，所以
2
0
f
，即4
0
b
，解得
4
b ；
（2）由（1）得，
2
4
f x
x
，则
2
4
g x
f x
kx
x
kx
，
其函数图象的对称轴为
2
k
x
，
当
0
2
k
，即
0
k
时，
g x 在
0,3 上单调递增，最小值为
0
4
5
g
，不符合题意；
当
3
2
k
，即
6
k
时，
g x 在
0,3 上单调递减，最小值为
3
5
3
5
g
k
，
解得
10
6
3
k
，不符合题意；
当0
3
2
k
，即0
6
k
时，
g x 在0, 2
k
上单调递减，在
,3
2
k
上单调递增，
最小值为
2
4
5
2
4
k
k
g
，解得
2
k ，
因为0
6
k
，所以
2
k
；
综上，可得实数k 的值为2．
20．已知
2
2
f
x
x
n
（n 为常数），且
1
4
f
.
(1)求
f
x 的解析式并证明
f
x 的奇偶性；
(2)关于x 的方程
f x
kx
有两个不相等的实数根，求实数k 的取值范围.
【解析】（1）由
1
4
f
得
1
2
4
f
n
，所以
2
n
，所以
2
2
2
f
x
x
；
易知，函数
f
x 的定义域为R ，且满足
2
2
2
2
2
2
f
x
x
x
f x
，所以函数
f
x 为偶函数.
（2）因为方程
f x
kx
有两个不相等的实数根，所以
2
2
2
0
x
kx
有两个不相等的实数根，
即
2
4 2 2
0
k
> ，所以
4
k
或
4
k ，
即实数k 的取值范围为
, 4
4,
k
.
21．已知函数
R
y
f x
x
是偶函数.当
0
x
时，
2
4
f x
x
x
.
(1)若函数
f
x 在区间
,
3
a a
上单调，求实数a 的取值范围；
(2)已知
h x
m
f x
，试讨论
h x 的零点个数，并求对应的m 的取值范围.
【解析】（1）设
0
x
，则
0
x
，则
2
4
f
x
x
x
，
因为
f
x 为偶函数，
所以
2
4
f x
f
x
x
x
，
所以
2
2
4 ,
0
4 ,
0
x
x x
f x
x
x x
，作出
f
x 的图象如图：
因为函数
f
x 在区间
,
3
a a
上具有单调性，
由图可得
3
2
a
或
2
a
，解得
5
a 或
2
a
；
所以实数a 的取值范围是
, 5
2,
.
（2）令
0
f x
h x
m
，即
f x
m
，
由（1）作出
y
f x
的图象如图：
由图像可知：
当
4
m
时，
h x 有两个零点；
当
4
m
时，
h x 有四个零点；
当0
4
m
时，( )
h x 有六个零点；
当
0
m
时，
h x 有三个零点；
当
0
m
时，
h x 没有零点.
22．已知二次函数
2
2
3
f
x
x
x
.
(1)令
g x
f x
a
，若函数
g x 的图象与x 轴无交点，求实数a 的取值范围；
(2)设函数
25
h x
x
b
x
，若对任意的
1
1,4
x
，总存在
2
1,5
x
，使得
1
2
f x
h x
，求实数b 的取值
范围.
【解析】（1）因为
2
2
3
f
x
x
x
，所以
2
( )
( )
2
3
g x
f x
a
x
x
a
，
又函数
g x 的图像与x 轴无交点，则一元二次方程
0
g x
无实根，
所以
2
( 2)
4( 3
)
4
4
0
a
a
，解得
4
a ，
所以实数a 的取值范围是(4,
)
.
（2）因为“对任意的
1
1,4
x
，总存在
2
1,5
x
，使得
1
2
f x
h x
”
等价于“
f
x 在
1,4 上的值域是
h x 在
1,5 值域的子集”，
因为
2
2
( )
2
3
(
1)
4
f x
x
x
x
，开口向上，对称轴为
1
x ，
所以
( )
f x 在
1,4 上单调递增，故
min
( )
(1)
4
f x
f
，
max
( )
(4)
5
f x
f
，
所以
( )
f x 在
1,4 上的值域为
4,5
，
而对于
25
h x
x
b
x
，不妨取
1
2
1
5
x
x
，
则
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
25
25
25
x
x
x x
h x
h x
x
b
x
b
x
x
x x
，
因为
1
2
1
5
x
x
，所以
1
2
1
2
1
2
0,
25
0,
0
x
x
x x
x x
，
所以
1
2
0
h x
h x
，即
1
2
h x
h x
，
所以
h x 在
1,5 上单调递减，又
1
26
h
b
，
5
10
h
b
，
则
h x 在
1,5 上的值域为
10
,26
b
b
，
所以
4,5
10
,26
b
b
，则有
10
4
26
5
b
b
，解得21
14
b
，
所以实数b 的取值范围为
21, 14
.
