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函数与导数专项测试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）下列函数不是偶函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的奇偶性的定义求解.
【详解】对于A项， ，定义域为 ，
所以 ，所以 为偶函数；
对于B项，定义域为 ， ，所以 为偶函数；
对于C项， 的定义域为 ， ，
所以 不是偶函数；
对于D项， 的定义域为 ， ，
所以 是偶函数.
故选:C.
2．（2022·吉林·东北师大附中校考模拟预测）一种药在病人血液中的量不低于1800mg时才有疗效，如果
用药前，病人血液中该药的量为0mg，用药后，药在血液中以每小时20%的比例衰减．现给某病人静脉注
射了3600mg的此药，为了持续保持疗效，则最长需要在多少小时后再次注射此药（ ，结果精
确到0.1）（ ）A．2.7 B．2.9 C．3.1 D．3.3
【答案】C
【分析】根据指数函数与对数函数的运算法则即可求解.
【详解】设注射后经过的时间为 ，血液中药物的含量为 ，
则有 ，
因为药在病人血液中的量不低于1800mg时才有疗效，
所以令 ，
解得 .
故选：C.
3．（2023·全国·模拟预测）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，
设 ，用 表示不超过 的最大整数， 也被称为“高斯函数”，例如 ， ，
，设 为函数 的零点，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断 所在区间，最后根据高斯函数的定义计算
可得.
【详解】解：因为 与 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，
又 ， ，
所以 在 上存在唯一零点 ，即 ，所以 .
故选：A4．（2021·天津蓟州·天津市蓟州区第一中学校考模拟预测）已知函数 是 上的单
调函数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由函数可得 且 ，故可得函数只能是 上的单调递减函数，然后列不等式即可
【详解】由 可得 且 ，
所以当 时， 不可能是增函数，
所以函数 在 上不可能是增函数，
则函数 是 上的单调递减函数，
所以 ，解得 ，
综上：实数a的取值范围为 ，
故选：B
5．（2023·河南信阳·河南省信阳市第二高级中学校联考一模）已知函数 对 均满足
，其中 是 的导数，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】根据给定的等式，构造函数并探讨其单调性，再逐项计算判断作答.
【详解】 ，令 ，求导得： ，
当 时 ，当 时 ，因此函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
对于A， ，则 ，即 ，A正确；
对于B， ，则 ，即 ，B错误；
对于C， ，则 ，即 ，C错误；
对于D， ，则 ，即 ，D错误．
故选：A
6．（2023·青海海东·统考一模）已知定义在 上的函数 的导函数为 ，若 ，且
，则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设 ，求导可得 在 上单调递减，再根据 转化为 ，
再结合 的单调性求解即可.
【详解】设 ，则 .因为 ，所以 ，即 ，
所以 在 上单调递减.
不等式 等价于不等式 ，即 .
因为 ，所以 ，所以 .
因为 在 上单调递减，所以 ，解得
故选：A
7．（2021·陕西汉中·统考模拟预测）已知定义在 上的函数 ，其导函数为 ，当 时，
，若 ，则 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意当 时， ，结合导数的运算法则可构造函数 ，由此判断
其单调性，利用函数的单调性，即可判断 的大小.
【详解】设 ，则 ，
由题意知当 时， ，即 ，
故 在 时单调递增，
故 ，即 ，
故选：D.
8．（2022·江苏南京·模拟预测）已知函数 （ ），且 在 有两个零点，则 的取
值范围为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用零点的意义等价转化，构造函数 ，再借助导数探讨函
数 在 有两个零点作答.
【详解】 ， ，由 得， ，则 ，令 ，
依题意，函数 在 有两个零点，显然 ，而 在 上单调递增，
则有 ，当 或 ，即 或 时， 在 上单调递增
或单调递减，
即有函数 在 只有一个零点1，因此 ，此时当 时， ，当 时，
，
函数 在 上单调递减，在 单调递增，则 ，
要函数 在 有两个零点，当且仅当 在 上有一个零点，即有 ，解得
，
所以 的取值范围 .
故选：C
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符
合题目要求的.
9．（2023·安徽淮南·统考一模）已知函数 ，则（ ）
A． 的值域为
B．直线 是曲线 的一条切线
C． 图象的对称中心为
D．方程 有三个实数根【答案】BD
【分析】A.分 两种情况求函数的值域；B.利用导数求函数的切线，判断选项；C.利用平移判断函
数的对称中心；D.首先求 的值，再求解方程的实数根.
【详解】A. 时， ，当 时等号成立，
当 时， ，当 时等号成立，故A错误；
B.令 ，得 ， ，所以图象在点 处的切线方程是 ，得
， ，所以图象在点 处的切线方程是 ，得 ，故B
正确；
C. 的对称中心是 ，所以 的对称中心是 ，向右平移1个单位得 ，
对称中心是 ，故C错误；
D. ，解得： 或 ，
当 ，得 ， ，1个实根，当 时，得 或 ，2个实根，所以
共3个实根，故D正确.
故选：BD
10．（2023·安徽马鞍山·统考一模）已知函数 ，若 恒成立，则实数 的可能
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】根据 转化成 恒成立，构造函数 利用导数求解 的单调性，
问题进一步转化成 恒成立，构造 ，求解最值即可.【详解】 ，
故 恒成立，转化成 恒成立，
记 ，则 在 单调递增，故由 得 ，
故 恒成立，
记 ，故当 时， 单调递减，当 时， 单调递
增，故当 时， 取最大值 ，
故由 恒成立，即 ,故 ，
故选：AD
【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对
导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)
利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决
函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.
11．（2023·广东肇庆·统考二模）函数 的部分图像如图所示，
，则下列选项中正确的有（ ）
A． 的最小正周期为
B． 是奇函数C． 的单调递增区间为
D． ，其中 为 的导函数
【答案】AD
【分析】根据题意可求得函数的周期，即可判断A，进而可求得 ，再根据待定系数法可求得 ，再根
据三角函数的奇偶性可判断B，根据余弦函数的单调性即可判断C，求导计算即可判断D.
【详解】解：由题意可得 ，所以 ，故A正确；
则 ，所以 ，
由 ，得 ，
所以 ，则 ，
又 ，所以 ，
则 ，
由 ，得 ，
所以 ，
则 为偶函数，故B错误；
令 ，得 ，
所以 的单调递增区间为 ，故C错误；，
则 ，故D正确.
故选：AD.
12．（2023·湖南岳阳·统考一模）已知函数 ，则（ ）
A． 是周期函数 B．函数 在定义域上是单调递增函数
C．函数 是偶函数 D．函数 的图象关于点 对称
【答案】ABD
【分析】根据正弦函数周期判断A，由指数函数、反比例函数的单调性判断B，根据奇偶性定义判断C，由
函数中心对称充要条件判断D.
【详解】令 ，则 ，所以函数为周期函数，故
A正确；
因为 ，
因为 在定义域上单调递减，且 ，
所以由复合函数的单调性质可得 在定义域上是单调递增函数，故B正确；
令 ，则 ，所以函数 是奇函数，
故C错误；
因为 ，所以函数 的图象关于点 对称，故D正确.
故选：ABD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．（2022·四川乐山·统考一模）函数 在 上所有零点之和为__________________.
【答案】4
【分析】利用数形结合，将函数零点问题转化为函数 和 的交点问题，
利用函数的对称性，可求零点的和.
【详解】函数 ，即 ，函数 和 关于点 对称，如图
画出两个函数在区间 的函数图象，两个函数图象有4个交点，利用对称性可知，交点横坐标的和
.
故答案为：4
14．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知 是定义在 上的偶函数，且当 时， ，则
满足 的 的取值范围是_________.
【答案】
【分析】首先判断函数的单调性，根据偶函数的性质及单调性原不等式等价于 ，解得即可.
【详解】解：因为 是定义在 上的偶函数，且当 时， ，即 在 上单调递增，所以 在 上单调递减，
则不等式 等价于 ，即 ，解得 ，
即 .
故答案为：
15．（2021·陕西榆林·校考模拟预测）函数 的定义域为______.
【答案】
【分析】根据函数的解析式，列出函数有意义时满足的不等式，求得答案.
【详解】函数 需满足 ，
解得 且 ，
故函数 的定义域为 ，
故答案为：
16．（2022·上海徐汇·统考一模）设 ，函数 的图像与直线 有四个交点，且这
些交点的横坐标分别为 ，则 的取值范围为___________.
【答案】
【分析】根据题意，利用韦达定理，求得 ， 和 的关系，以及 的范围，将目标式转化为关
于 的函数，借助对勾函数的单调性，即可求得结果.
【详解】根据题意，令 ，解得 或 ，不妨设
作图如下：又直线 的斜率为 ，数形结合可知，要满足题意， ；
且 为方程 ，即 的两根，
当 时， ，则 ，
故 ；
为方程 ，即 的两根，
当 时， ，则 ，
故 ；
则 ，
令 ，由对勾函数单调性可知 在 上单调递减，
又 ，故 ，即 的取值范围为 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题考查函数与方程；处理问题的关键是能够数形结合求得 ， 和 的关系，从而借助函数单调性求值域，属综合中档题.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2023·全国·模拟预测）已知函数 .
(1)求函数 的图象在 处的切线方程；
(2)判断函数 的零点个数，并说明理由.
【答案】(1)
(2)有两个零点，理由见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义，结合导数的运算进行求解即可；
（2）令 转化为 与 图象交点的个数，利用导数得到
单调性，结合两个函数的图象判断可得答案.
【详解】（1） ，
所以切线斜率为 ，
，所以切点坐标为 ，
函数 的图象在 处的切线方程为 ；
（2）有两个零点，理由如下，
令 ，可得 ，
判断函数 的零点个数即判断 与 图象
交点的个数，
因为 为单调递增函数， ，当 无限接近于 时 无限接近于 ，
且 ，
由 ，得 ，当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 ， ，
， ，
且当 无限接近于2时 无限接近于 ，
所以 与 的图象在 时有一个交点，在 时有一个交点，综上函数
有2个零点.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，
利用数形结合的方法求解
18．（2023·全国·模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)是否存在正整数m，使得 恒成立，若存在求出m的最小值，若不存在说明理由.
【答案】(1)函数 的单调减区间为 ，单调增区间为 .
(2)存在正整数
【分析】（1）当 时，对函数 求导，令 和 ，即可求出函数 的单调区间；
（2）要使 恒成立，即 恒成立，讨论 和 ，求出 的单调性，即可知要使，令 ，对 求导，得出 的单调性，即可得解.
【详解】（1）当 时，函数 的定义域为 ，
，
令 ，解得： ；令 ，解得： ，
所以函数 的单调减区间为 ，单调增区间为 .
（2） 的定义域为 ，
，
若 ，即 ，函数 在 上单调递增，无最大值；
若 ，即 ，函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
当 时，函数 取得最大值，且 ，
要使 恒成立，即 ，
所以 ，即 ，
令 ，
所以 在 上单调递增，
当 趋近于2时， ， ，
所以存在最小正整数 ，使得 ，即是使得 恒成立.
19．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知函数 ．(1)当 时，求 的极值；
(2)设 在区间 上的最小值为 ，求 及 的最大值．
【答案】(1)极大值 ，极小值0
(2) ， 的最大值为0，
【分析】（1）由极值的概念求解，
（2）根据 的取值分类讨论求解 的单调区间后得 ，再由导数判断单调性后求解最大值，
【详解】（1）当 时， ，
，
当 或 时， ，
当 时， ，
故 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
的极大值为 ，极小值为 ，
（2） ， ，
当 时， ， 在 上单调递增， 在区间 上的最小值为 ，
当 时，当 或 时， ，
当 时， ，故 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
在区间 上的最小值为 ，
当 时，同理得 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
若 ， 在区间 上的最小值为 ，
若 ， 在区间 上的最小值为
综上，
令 ，则 ，
故 在 上单调递增，
可知 在 上单调递增，故 的最大值为0，
20．（2023·湖南湘潭·统考二模）已知 ，曲线 在 处的切线方程为 ．
(1)求a，b的值；
(2)证明：当 时， ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据切点和斜率求得 .
（2）化简 ，利用构造函数法，结合导数证得不等式成立.
【详解】（1）由题可知 ，即 ．又 ，所以 ，
解得 ，即 ．
（2） ， ，
要证 ， ，
只需证 ，
令 ，
则 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，即 ，
所以 在 上单调递增，则 ，即当 时， ．
21．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)讨论 在区间 上的单调性；
(2)当 时，证明： ．
【答案】(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）利用函数的导数判断函数的单调性，按照 和 的大小关系分类讨论；
（2）先转化需证明的结论，构造函数，利用导数研究函数的符号，推得 ，进而证明结论.
【详解】（1）因为函数 ， ，所以 ， ，
由 ，得 ，当 ，即 时， ， 在区间 上单调递减；
当 ，即 时，由 ，得 ，由 ，得 ，
所以 在 上单调递增，在 ， 上单调递减；
综上可得，当 时， 在区间 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增，在 ， 上单调递减；
（2）当 时， ，要证 ，
即证 ，即证 ，
令 ， ，则 ，
令 ，可得 ，令 ，可得 ，
所以 在 单调递减，在 单调递增，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，得证．
【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：
(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；
(2)不能随意将函数的两个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；
(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨
论和数形结合思想的应用.
22．（2022秋·四川成都·高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习）已知函数 ,为自
然对数的底数）．
(1)若 对任意的 恒成立，写出实数 的值，然后再证明；
(2)证明： （其中 ）．
【答案】(1) ，证明见解析
(2)证明见解析【分析】(1) 对任意的 恒成立, 即在 上, .构造函数 ，由
, 确定函数的单调性, 即可求得实数 的值;
(2) 由 (1) 知, 对任意实数 均有 , 即 , 令 , , 可
得 , 从而有 , 由此即可证得结论.
【详解】（1）由题意 ，由 得 .
当 时， ；当 时， .
∴ 在 单调递减，在 单调递增.
即 在 处取得极小值，且为最小值，
其最小值为
对任意的 恒成立，即在 上， .
设 ，所以 .由 得 .
∴ 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减
∴ 在 处取得极大值 .因此 的解为 ，∴
（2）因为 ，所以对任意实数 均有 ，即 .
令 , ，则 .
.
.【点睛】本题考查导数知识的运用, 考查函数的单调性与最值, 考查恒成立问题, 同时考查不等式的 证明,
解题的关键是正确求导数, 确定函数的单调性.属于较难题.
