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专题突破卷 06 导数中的隐零点问题
题型一：不含参函数的隐零点问题
1．已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时，求证 ；
(3)若 有两个零点，求 的取值范围．
【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析(3)
【分析】（1）对参数进行分类讨论，求解函数单调性即可.
（2）利用给定条件进行放缩，利用隐零点代换证明即可.
（3）对参数范围进行讨论，找到符合零点要求的参数范围即可.
【详解】（1）由题意得 定义域为 ，而 ，
当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ，
当 时，解得： ，当 时，解得： ，
在 上单调递减， 在 上单调递增；
综上，当 时， 在 上单调递减，
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
（2） ，
若证 成立，只需证 成立即可，
所以 定义域为 ， ，
在 上单调递增，
在 上单调递增，
，
在 上有唯一实根 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
，
试卷第2页，共3页，
，同时取对数得 ，
，
， ，
（3）若 时，由已知得 最多有一个零点，
当 时，由已知得当 时， 取得最小值，
，
当 时， ，故 只有一个零点，
当 时，由 ，即 ，故 没有零点，
当 时， ，
由 ，
故 在 有一个零点，
，
， ，
设 ， ，
在 上单调递增，
， ，，
在 上有一个零点，
在 上有两个零点，
综上得到 的取值范围是 .
2．已知函数 .
(1)试研究函数 的极值点；
(2)若 恰有一个零点，求证 .
【答案】(1)极大值点 ，无极小值点；(2)证明见解析.
【分析】（1）先求函数 的导函数，再利用导数与单调性的关系，得到函数 的单
调区间，最后得到函数 的极值点；
（2）根据零点存在定理结合函数 的单调性，从而确定 的取值范围.
【详解】（1）由 ，定义域为 ，
则 ， ，
所以当 时， ，此时函数 在 单调递增，
当 时， ，此时函数 在 单调递减，
故函数 有唯一极大值点 ，无极小值点.
（2）由题意可得 ， ，
试卷第4页，共3页令 ，解得 ，
因为 ， ，
所以 在 上有唯一零点 ，
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减.
因为 有且仅有一个零点，所以 且 .
即 ，
消去 并整理得： ，
令 ，则 ，
因为 时， 在 上恒成立，所以 在 上单调递增，
又 ， ,所以 .
又 ，且函数 在 上单调递增，
所以 .
3．已知函数 ， ．
(1)当 时，求 的极值；
(2)讨论函数 的零点个数．
【答案】(1)极大值为 ，无极小值(2)答案见解析【分析】（1）原函数求导 ，令
再分析，进而得到原函数的单调区间，进而得到极值.
（2）分情况讨论单调区间，借助极限知识，大概知晓函数图像趋势和函数值，进而得到零
点个数.
【详解】（1）当 时， ，
∴ ，
易知函数 的定义域为(0,+∞)，且函数 和 都在区间(0,+∞)上单调递减，
令 ，则 在区间(0,+∞)上单调递减，且 ，
∴当 时，f′(x)>0；当 时， ；当 时，f′(x)<0，
∴函数 在(0,1)上单调递增，在 上单调递减，
∴函数 的极大值为 ，无极小值．
（2）当 时，易知f′(x)>0，函数 单调递增，
又当 时， ；当 时， ，
∴当 时，函数 只有一个零点，
当 时，令 ，易知ℎ(x)在区间(0,+∞)上单调递减，
当 时， ；当 时， ，
∴存在x ∈(0,+∞)使得 ，即 ，
0
∴当 时，f′(x)>0，函数 单调递增；当 时，f′(x)<0，函数 单调
试卷第6页，共3页递减，
又当 时， ；当 时， ，
下面讨论 与0的大小关系，
∵ ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴当 时， ；当 时， ；当 时， ．
∴当 时， 有2个零点；当 时， 只有1个零点；当 时， 没
有零点．
综上，
当 时，函数 只有1个零点；
当 时，函数 有2个零点；
当 时，函数 没有零点．
4．已知函数 （ ）的两个零点为 ，且 .
(1)求实数 的取值范围；
(2)若 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据零点的定义，通过取对数法，得到等式 ，通过构造函数法，利
用导数研究新函数的单调性，最后根据零点的个数，结合函数的图象进行求解即可；
（2）根据零点的定义、对数的运算法则，得到 ，令 ，通过换元把分别用 的代数式表示，代入已知不等式中，得到 ，构造新函数，
利用导数判断函数的单调性，最后利用函数的单调性、函数零点存在原理进行求解即可.
【详解】（1）由 得 ，两边同时取对数得： ，
设 ，则 ，当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，当 时 ，当 时
，函数 的图象如下图所示：
所以 ，即 ，所以 .
（2）由 ， 得， ，
设 ，则有 ，即 ， ，
由 得 ，即 ，
设 （ ），则 ，
试卷第8页，共3页设 ，则 ，
设 ，则 ，
当 ， ， 单调递增，当 ， ， 单调递减，
且 ， ，所以存在唯一的 ，使得 ，
当 ， ， 单调递增，当 ， ， 单调递减，
且ℎ(1)=0， ，所以φ(x)在 单调递增，在 单调递减，
所以 ，所以 ，所以 的取值范围是 .
5．设函数 ．
(1)当 时，求 的最小值；
(2)若 恰有两个零点，求a的取值范围．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）利用导数分析函数的单调性求最值即可；
（2）求出函数 的导函数 ，对 进行分类讨论，分析函数
的单调性，最值，由函数零点的个数求a的取值范围即可.
【详解】（1）当 时， ， ，
当 时 ；当 时， ．
所以，函数 在 上单调递减，在 上单调递增．
所以 ，即 的最小值为0．
（2）由 ，得 ，（ⅰ）当 时， ，函数 在 单调递增，且 ，故函数 恰
有一个零点，不合题意．
（ⅱ）当 时，
①若 ，由（1）可知 为最小值，函数 恰有一个零点，不合题意．
②若 ，当 时， ，函数 在 单调递减，所以 ，
当 时， ，函数 在 单调递增，又 ，
根据零点存在定理，所以函数 在区间 上存在唯一零点 ，
此时函数 恰有两个零点，满足题意．
③若 ，因为函数 在 单调递增，所以 ，
根据（1）由 ，得 ，
由 ，得 ，进而得 ，
所以 ．
又因为 在 上单调递减，根据零点存在定理，
所以函数 在区间 上存在唯一零点 ，
此时函数 恰有两个零点，满足题意．
综上，a的取值范围是 ．
6．已知函数 ．
试卷第10页，共3页(1)当 时，求函数 在点 处的切线方程；
(2)若函数 在 上有零点，求实数a的取值范围．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）求导，根据点斜式即可求解直线方程，
（2）构造 ，求导，对 分类讨论，求解导函数的正负，即可根据
单调性求解.
【详解】（1）当 时， , ，
∴ ， ，
在点(1,f (1))处的切线方程为 ，
即 ；
（2） 在(0,+∞)上有零点等价于 在(0,+∞)上有零点，
则 ，x∈(0,+∞)，
①当 时，
∵ ，∴ℎ(x)在(0,+∞)上递减，
∴ ，∴ℎ(x)在(0,+∞)上无零点，∴ 不合题意；
②当 时，
（ⅰ）当 时，即 时，∵ ，
∴ℎ(x)在(0,+∞)上递增，
∴ ，∴ℎ(x)在(0,+∞)上无零点，∴ 不合题意；
（ⅱ）当 时，即 时，令 ，则 ，
令ℎ ′(x)<0，则 ；令ℎ ′(x)>0，则 ，
∴ℎ(x)在 上递减，在 上递增，
∴ ，
取 时，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，使得 ，
∴ 符合题意；
综上，a的取值范围为 ．
7．黎曼猜想是解析数论里的一个重要猜想，它被很多数学家视为是最重要的数学猜想之一．
它与函数 （ 为常数）密切相关，请解决下列问题：
试卷第12页，共3页(1)当 时，求 在点 处的切线方程；
(2)当 时，证明 有唯一极值点．
【答案】(1) ．(2)证明见解析
【分析】（1）求导可得 ，进而求得 ，可求切线方程；
（2）易知当 时，由 可知 存在唯一变号零点，
即可知 有唯一极大值点.
【详解】（1）当 时， ，
此时 ，又 ，
所以 在点 处的切线方程为 ，
即 ．
（2）由题意得 ，
令 ，
，令 ，可得 ，依题意得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减．
又 ，所以 ，又因为 ，
所以，存在唯一 ．当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 存在唯一极大值点 ，且 ．
8．给定函数 .
(1)判断函数 的单调性，并求出函数 的极值;
(2)证明:当 时， .
【答案】(1) 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，极小值
.(2)证明见解析
【分析】（1）首先求函数的导数，利用导数与函数单调性的关系，求解函数的单调区间，
再求函数的极值；
（2）首先由不等式构造函数 ，转化为证明函数F(x)的最
小值大于0.
【详解】（1）函数的定义域为 .
.
令 ，解得 .
当 变化时， 的变化情况如下表
负 0 正
试卷第14页，共3页单调递减 极小值 单调递增
在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
当 时， 有极小值 .
（2）要证明当 时， ，
即证明当 时， .
令函数 .
则 .
当 时， .
设函数 .
则 ，故 在 上单调递增.
又
所以存在唯一的 使得g(x )=0.
0
且 .
当x∈(0,x )时， 单调递减，
0
当x∈(x ,+∞)时， 单调递增，
0
所以设函数
则
即 在 单调递增.
所以 原不等式得证.
9．已知函数 ．
(1)若函数 在点 处的切线与直线 垂直，求a的值；
(2)讨论函数 的单调性；
(3)若 有两个零点，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)当 时， 在 上为减函数，
当 时， 在 上是减函数，在 上是增函数．(3)
【分析】（1）对 求导，由已知可得 ，解方程即可求解 的值；
（2）对 分类讨论，由导数与单调性的关系求解即可；
（3）对 分类讨论，结合（2）中结论，结合零点存在性定理即可求解 的取值范围．
【详解】（1）由 ，求导得 ，
直线 的斜率为 ，
试卷第16页，共3页又函数 在点 处的切线与直线 垂直，
所以 ，即 ，解得 ．
（2）因为 ， ，
所以当 时，f′(x)<0，所以 在 上单调递减；
当 时， ，
令 ，解得 ，当f′(x)>0，解得 ，当f′(x)<0，解得 ，
所以 时， 单调递减， 时， 单调递增．
综上，可知：当 时， 在 上为减函数，
当 时， 在 上是减函数，在 上是增函数．
（3）①若 ，由（2）可知： 最多有一个零点，
②当 时，由（1）可知：当 时， 取得最小值，
，
由于 均为 上单调递增函数，所以函数 在 单调递增，
当 时， ，故当 时， ，故 只有一个零点，
当 时，由 ，即 ，故 没有零点，
当 时， ， ，
由 ，故 在 有一个零点，
假设存在正整数 ，满足 ，则 ，
由 ，所以 ，因此在 上有一个零点．综上， 的取值范围为 ．
10．已知函数 ， .
(1)求证： 有且仅有三零点.
(2)设 为最小的零点，证明：当 ， .
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【分析】（1）对函数求导后，令 ，利用导数求出 的单调区间，结
合零点存在性定理可得 ， ， 在 递增， 递减，
递增，再结合零点存在性定理可证得结论；
（2）根据题意转化为证 ，再转化为证
，然后构造函数 ，
利用导数判断其单调性可证得结论.
【详解】（1） ， ，
设 ， ，
则 在 递减，在 递增，
， ， ，
所以 ，使 ，
，使 ，
试卷第18页，共3页所以 的正负性确定，
所以 在 递增， 递减， 递增，
令 ，则 ，
所以 在 上递减，所以 ，
所以 ，
令 ，则 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
因为 ，所以 ，
所以 在 递减，所以 ，
所以 ，
同理当 可证得 在 递减，所以 ，
所以 ，
因为 ， ， ， ，
所以 有且仅有三个零点.
（2）依题意得： ， ，
需证： ， ，只需证： .只需证： ，
（ 满足 ），
，
令 ， ，
所双 在 单调递增，
所以 得证.
题型二：含参函数的隐零点问题
11．已知函数 ， ．
(1)若 在 上有两个极值点，求a的取值范围；
(2)证明：若 在 上恒成立，则 ．
【答案】(1) ；(2)证明见解析
【分析】（1）首先由方程 ，参变分离为方程 有两个不同的正根，转化为
利用导数分析函数 ， 的图形，利用数形结合求实数 取值范围；
（2）首先将不等式参变分离为 恒成立，转化为利用导数分析函数
的最值.
【详解】（1）由题可得 ，
试卷第20页，共3页若 在(0,+∞)上有两个极值点，则关于x的方程 有两个不同的正实根，
即方程 有两个不同的正实根．
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
又当 时， ，当 时， ，所以 ，即 ，
所以a的取值范围为 ．
（2）由题得 在[0, )上恒成立，
即 恒成立．
令 ，
，
当 时， ，所以函数 在(1,+∞)上单调递增，
当 时， ．
令 （ ），
则 （ ），所以函数 在[0,1)上单调递增，
， ，
所以 在区间 上存在唯一零点 ，使得函数 在 上小于零，在 上大
于零，
即 在区间 上大于零，在区间 上小于零，
所以函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
又 ，
所以 ，
所以 ，原式得证．
12．已知函数 ．
(1)讨论 的单调区间；
(2)若 在区间 上存在唯一零点 ，证明： ．
【答案】(1)答案见详解(2)证明见详解
【分析】（1）求导，分 和 两种情况，利用导数求原函数的单调区间；
（2）由题意可得 ，若要证明 ，则只需 ，即只需
，通过构造函数 ，连续求导即可得证.
【详解】（1）由题意可知： 的定义域为 ，且 ，
若 ，则 对任意 恒成立，
可知 的单调递增区间为 ，无单调递减区间；
若 ，令 ，解得 ；令 ，解得 ；
试卷第22页，共3页可知 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
综上所述：若 ， 的单调递增区间为 ，无单调递减区间；
若 ， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（2）因为 在区间 上存在唯一零点 ，
所以存在唯一的 ，有 ，化简得 ，
若要证明 ，则只需 ，即只需 ，
不妨设 ，求导得 ，
令 ，继续求导得 ，
所以当 时， 单调递增，
所以 ，
所以当 时， 单调递增，
所以 ，
即当 时，有不等式 成立，
综上所述：若 在区间 上存在唯一零点 ，则 .
13．已知函数 ．
(1)当 时，求 的最小值；
(2)当 时，证明： ．【答案】(1) (2)证明见解析
【分析】（1）求导函数 并变形，再局部构造函数 ，再求导研究
的单调性，并通过观察确定零点，判断 的符号变化，从而得到 符号，进而
得 单调性并求最值；
（2）先利用零点性存在定理证明导函数的零点的存在，设出隐零点 并得到其所在区间
，判断函数的单调性得最值，将零点满足的 （即 ）变形回代
表达出最小值 .证明 恒成立，即转化为最小值 在区间 成立即可.
【详解】（1）当 时， ，定义域为 ，
则 ，
令 ，
则 ，所以 在 单调递增，
其中 ，
故当 时， ，即 ， 单调递减；
当 时， ，即 ， 单调递增；
在 处取最小值，又 .
故 的最小值为 ；
（2）由（1）知，当 时， ，即 成立；
下面证明当 时， 也成立.
，定义域为 ，
试卷第24页，共3页，
令 ，又 ，
则 ，所以 在区间(0,+∞)单调递增，
其中 ，且 ，
由零点存在性定理及单调性可知，存在唯一实数 ，
使 ，即 ，则 ①
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
所以 ，将①式代入可得，
②，
下面先证 ， ，
令 ，
则 ， 在 单调递增，
则 ，即 ，故当 ， ③.
由②③式可得，
，又 ，则 ，即
，所以 ，则有 .
故当 时， 也成立.
综上所述，当 时， ．
14．已知函数 .
(1)求 的单调区间；
(2)设函数 .证明：
（i）函数 有唯一极值点；
（ii）若函数 有唯一零点 ，则 .
【答案】(1) 减区间是 ，增区间是 .(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【分析】（1）利用函数导数求解函数单调性；（2）利用导数证明极值点和零点所在范围.
【详解】（1）由函数 可得： ，且 ，
当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增，
所以函数 减区间是 ，增区间是 .
（2）（i）因为 的定义域为 ，
所以 ，
试卷第26页，共3页设 ，则 ，当 时， ，所以 单调递增，
当 时， ，所以 单调递减，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，又 ，
所以存在唯一的 ，使得 ，即 ，
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增，
所以函数 有唯一极值点.
（ii）由（i）得 ，因为函数 有唯一零点 ，所以 ，
所以 ，
即 ，所以 ，
设 ，所以 ，
所以 在 单调递减，
因为 ，所以 .
15．已知 .
(1)求 在点 处的切线方程；
(2)记 的最大值为 ，求证： .
【答案】(1) (2)证明见解析【分析】（1）求出 的导函数 ，再将 ，代入导函数中得到该点的斜率，再使
用点斜式即可得到切线方程.
（2）由函数 可知，当 时， ，所以只需讨论 的情况. 根据导函数
讨论函数 的单调性，求出函数的最大值点，而且， .即可证
明.
【详解】（1） ， ， ，
所以 在点 处的切线方程为 .
（2）证明：当 时， ；当 时， ，
所以求 的最大值为 只需讨论 时， ，
令 ， ,
当 时， ， 在 上单调递减，
， ，故 ，使得g(x )=0.
0
即 .
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减；
所以 .
试卷第28页，共3页由于 ， ，所以 .
16．设函数 .
(1)当 时，求 在 上的最大值;
(2)讨论 的单调性;
(3)若 ，证明 只有一个零点.
【答案】(1) (2)答案见解析(3)证明见解析
【分析】（1）先代入a的值，再求导函数得出单调性求出最大值；
（2）先求导函数，再根据判别式分类讨论得出单调性即可；
（3）先判断函数值正负，再应用零点存在定理判断零点个数.
【详解】（1）当 时， ,
当 所以 在 上单调递增 ,
当 所以 在(0,1)上单调递减 ,
所以 在 上的最大值为 .
（2） ，定义域为
,
当 时，f′(x)≥0所以 在 上单调递增 .
时， 时，有 ,
所以f (x) 在 上单调递减,在 上单调递增 ;当 时, 在 上单调递增 ,在 上单调递减;
当 时， 在(0,+∞)上单调递减, 在 上单
调递增 .
（3）当 时,
当 时，
,
所以 有且仅有一个零点 ;
时， 单调递增, ,所以 有且
仅有一个零点 ;
时， ,
所以 有且仅有一个零点 ;
综上， 时 只有一个零点.
17．已知函数 .
(1)若函数 在 处有极小值，求 的值；
(2)当 时，求证 .
【答案】(1) (2)证明见解析
试卷第30页，共3页【分析】（1）根据 在 处有极小值得 求出 ，再检验即可；
（2）根据 转化为只需证明当 时 即可，利用导数求出
取得最小值可得答案.
【详解】（1）∵ ，∴ ，
∵ 在 处有极小值，∴ .即 ，
∴ .
检验：当 时， ，
∵ ，即 ，
当 时， ， ，
∴ ，∴ ，∴ 单调递减.
当 时， ，
∴ ，∴ 单调递增.
综上，当 时， 在 处有极小值；
（2）当 时， 时， ，
则有 ，
故只需证明当 时， ，
当 时， 在区间 上单调递增，
又 ， ，
故 在区间 上有唯一实根 ，且 ，当 时， ；当 时， ，
从而当 时， 取得最小值，
由 ，得 ， ，
故 ，
综上，当 时， .
18．已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，求证 ．
【答案】(1) (2)证明见解析
【分析】（1）求出 的导数 ，利用导数的几何意义即可求出切线方程；
（2）当 时， ，只需证明当 时， ．求出导函数 ，
再确定 的单调性，从而确定 的零点 存在，得出极小值点，由 得
，代入 并变形，根据已知条件即可得证．
【详解】（1）当 时， ，
则 ，
又 ， ，
试卷第32页，共3页所以切线方程为： ，
即 ．
（2）当 ， 时， ，
则有 ，
故只需证明当 时， ．
当 时，函数 在区间 上单调递增，
又 ， ，
故 在区间 上有唯一实根 ，且 ，
当 时， ；
当x∈(x ,+∞)时， ，
0
从而当 时， 取得最小值，
由 ，得 ， ，
故 ，
综上，当 时， ．
19．已知函数 ．
(1)当 时，求函数 过原点的切线方程；
(2)若 有三个零点，求a的取值范围．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）求导，根据切点求解切线方程，代入原点坐标可得 ，即可求解，（2）求导，即可根据函数的单调性，进而根据零点个数，得 ，代入即可求解.
【详解】（1）当 时， ，则 ，
设切点
切线方程：
由于切线过原点，所以 ，解得 ，
∴切线方程：
（2） ，
当 时， 恒成立，所以 在 上单调递增，至多一个零点；
当 时，令 ，得 ，令 ，得 ，
令 ，得 或 ，
所以 在 上单调递减，在 ， 上单调递增．
有三个零点，则 ，即 ，解得 ，
当 时， ，
且 ，
所以 在 上有唯一一个零点，
试卷第34页，共3页同理 ， ，
所以 在 上有唯一一个零点，
又 在 上有唯一一个零点，所以 有三个零点，
综上可知a的取值范围为
20．已知函数 .
(1)当 时，求曲线y=f (x)在点 处的切线方程；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）先计算当 时，函数 的解析式，并求导，根据导数的几何意义可得
，再由点斜式写出切线的方程即可．
（2）先求出 ，再令 ，并求出 ，通过分两种情况 ， ，讨论
的正负，得 的增减性，进而判断 是否恒成立，即可得出答案．
【详解】（1）当 时， ，
所以 ，
所以 ，
即所求切线方程为 ，
即 .
（2）因为 ，所以 ，
令 ，
则 ，
当 时，易知 ，
所以 在 单调递增，
即 .
当 ，即 时， ，
所以函数 单调递增，即 ，符合题意.
当 ，即 时， ，
又当 时， ，
所以 .
当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，不符合题意.
综上，实数 的取值范围为
题型三：函数零点的存在性
21．已知函数 ，其中 .
(1)若 ，求 的最小值；
试卷第36页，共3页(2)证明： 至少有两个零点.
【答案】(1) (2)证明见解析
【分析】（1）利用导数求出最值可得答案；
（2）求出 ，f (1)，由零点存在定理判断可得答案.
【详解】（1）由 得 ，
当 时，f′(x)<0， 在 单调递减，
当 时，f′(x)>0， 在 单调递增，
因此 最小值为 ；
（2） 不全为0，不妨 ， ，
所以 ， ，
因此由零点存在定理， 在 各至少有一个零点，结论得证.
22．（1）求证： 在 上有唯一的零点；
（2）函数 的单调区间．
【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析.
【分析】（1）利用导数确定函数 在 上的单调性，再利用零点存在性定理推理即
得.
（2）求出函数 的导数，再按 分类探讨函数单调区间即得.
【详解】（1）由 求导得： ，当 时， ，即函数 在 上单调递增，又 ， ，
所以函数 在 上有唯一的零点.
（2）函数 的定义域为 ，求导得 ，
当 时，则 ， 在 上为增函数；
当 时，由 ，得 ；由 ，得 ，
则函数 在 上为增函数，在 上为减函数，
所以当 时， 的增区间为 ，无减区间；
当 时， 的增区间 ，减区间为 .
23．已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性;
(2)当 时，证明：函数 有且仅有一个零点.
【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析
【分析】（1）先确定定义域，对 求导，得到 ，利用导数与函数
单调性间的关系，对 进行讨论，即可求出结果；
（2）利用（1）中结果，再利用零点存在性原理，即可得出结果.
【详解】（1）易知函数 的定义域为(0,+∞)， ，
令 ， ， ，对称轴为 ，
试卷第38页，共3页（1）当 ，即 时，方程 有两根为 ， ，
（i） 时， ， 时， ，即
，
时， ，即 ，
（ii） 时， ， 时， ，即 ，
时， ，即 ，
（2）当 ，即 时，方程 的根为 ，
此时 在区间(0,+∞)上恒成立，当且仅当 取等号，
（3）当 ，即 时， 在区间(0,+∞)上恒成立，
综上所述，当 时，函数 的单调递增区间为 ，
单调递减区间为 ，
时，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，
时，函数 的单调递增区间为(0,+∞)，无减区间.
（2）由（1）知当 时，函数 的单调递增区间为，单调递减区间为 ，
当 时， ，又
，
又 ，所以 ， ，则 ， ，
得到 ，
而 时， ，
由零点存在性原理知 时，函数 有且仅有一个零点，
当 时，函数 的单调递增区间为(0,+∞)，
又 ，而 时， ，
由零点存在性原理知 时，函数 有且仅有一个零点，
综上，函数 有且仅有一个零点.
24．已知函数 ．
(1)求证： 时， ；
(2)讨论 的单调性；
试卷第40页，共3页(3)求证： 恰有一个零点．
【答案】(1)证明见解析.(2)答案见解析.(3)证明见解析.
【分析】（1）构造函数 ， ，通过导数判断函数 的单调性，并求最大
值即可；
（2）求导函数 ，分类讨论 三种情况，函数 在定义域的单调
性即可；
（3）由（2）函数 的单调性，并结合零点存在性定理，分别分析
三种情况的零点即可.
【详解】（1）设 ， ，则 ，
当 时， ，则 在 上单调递增，
当 时， ，则 在 上单调递减，
所以 ，
即 ．
（2）由题意 定义域为 ，
则 ， ，
①当 时，函数 ，
当 时， ；当 时， ，
故当 时， 恒成立，此时 在 上单调递增；
② 时，
当 时， ，函数 在 和 上单调递增；当 时， ，函数 在 上单调递减；
③ 时，
当 时， ，函数 在 和 上单调递增；
当 时， ，函数 在 上单调递减；
（3）由（2）知：
①当 时， 在 上单调递增，
因为 ， ，
所以此时 恰有一个零点；
②当 时，因为 的极小值为 ，
又由（1）知 ，结合 的单调性，
可知此时 也恰有一个零点；
③当 时， 的极小值为 ，
又 ，结合 的单调性，同样 也恰有一个零点．
综上， ， 恰有一个零点．
25．已知函数
(1)判断函数 的单调性并证明；
(2)若关于 的方程 在区间 上有解，求实数 的取值范围．
试卷第42页，共3页【答案】(1)单调递减，证明见解析(2)
【分析】（1）对 求导，得到 ，利用导数与函数单调性间的关
系，即可得出结果；
（2）根据条件，将问题转化成 在区间 上有解，令 ，构
造函数 ，求出 的取值范围，即可求出结果.
【详解】（1）单调递减，证明如下，
易知定义域为 ，由 ，
得到 ，
因为 ，所以 ，又 ，
故 在区间 上恒成立，所以函数 在区间 上单调递减.
（2）由 ，得到 ， ，
又 是增函数，得到 在区间 上有解，
即 在区间 上有解，
令 ， ，
则 在区间 恒成立，即 在区间 上单调递减，
所以 ，故实数 的取值范围 .
26．已知函数 .
(1)设 ，求函数 的单调区间；
(2)若 ，函数 ，试判断是否存在 ，使得 为函数 的极小值点.
【答案】(1)单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；(2)存在.
【分析】（1）求出函数 及导数，进而求出单调区间.
（2）求出函数 ，利用导数探讨单调性，结合零点存在性定理求解即得.
【详解】（1）函数 的定义域为 ，求导得 ，
由 ，得 ，由 ，得 ，
所以函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（2）当 时，函数 ，求导得 .
令 ，求导得 ，由 ，得 ，
因此函数 在区间 上单调递增，又 ， ，
则存在 ，使得 且当 ， ，当 时， ，
于是函数 在 上单调递减，在 上单调递增，即当 时， 取得极
小值，
所以存在 ，使得 为函数 的极小值点.
27．已知函数 .
(1)当 时，求函数 在点 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1) ；(2) .
试卷第44页，共3页【分析】（1）把 代入，求出函数 的图象在 的切线方程即可求解.
（2）求出函数 的导数，按 分类探讨函数 的单调性即可得解.
【详解】（1）当 时， ，求导得 ，则 ，而
，
则 的图象在点 处的切线方程为 ，该切线交 轴于点 ，交 轴于点
，
所以该切线与坐标轴转成的三角形面积为 .
（2）当 时，函数 ，求导得 ，
令 ， ，求导得 ，则函数 在 上
递增，
因此 ，当 ，即 时，函数 在 上单调递增，
，
当 时， ，则存在 ，使得 ，
当 时， ，函数 在 上单调递减，当 时， ，
不符合题意，
所以关于 的不等式 在 上恒成立，实数 的取值范围是 .
28．已知 ，函数 .
(1)若 ，解不等式 ；
(2)证明：函数 有唯一零点；
(3)设 ，证明： .
【答案】(1) (2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）将不等式化简，利用对数函数单调性解不等式即可；
（2）先利用导数判断函数单调性，利用零点存在性定理即可证明；
（3）作差变形后，结合基本不等式利用作差法即可判断.
【详解】（1）当 时，不等式即为 ，即 ，
所以 ，解得 ；
（2）因为 ，所以 在定义域内单调递增，
又 ， ， ，
所以由零点存在定理得，函数 有唯一零点，且零点在 内.
（3）由 知， ，
因为 ，
所以
.
29．已知函数 ，其中 .
(1)若 ，求 在 处的切线方程；
(2)当 时，设 .求证： 存在极小值点.
【答案】(1) (2)证明见详解.
【分析】（1）当 时， ，由此利用导数的几何意义即可求出函数
试卷第46页，共3页在 处的切线方程.
（2）求得导数 ，得到 ，再求函数 的导数 ，因为 ，所以 与
同号，构造函数 ，求得 ，利用零点存在定理证明
(1 )
函数 存在 ，使得 ，进而得到 在 ,1 上的单调性，即可作出
2
证明.
【详解】（1）依题意得，函数 的定义域为 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 在 处的切线方程为 ，
即 .
（2）因为 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
令 ，则 ，
所以对任意x∈(0,+∞)，有 ，故 在x∈(0,+∞)单调递增.
因为 ，
所以 ， ，
所以存在 ，使得 .
因为 恒成立，
(1 )
所以 和 在区间 ,1 上的情况如下表：
2
单调递减 极小值 单调递增
所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增.
所以 存在极小值点 .
30．设函数 ， ．
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)证明： ．
【答案】(1)函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ．(2)证明见解析
试卷第48页，共3页【分析】（1）求出函数 的定义域，利用导数求出其单调区间即可.
（2）通过导数及零点存在定理判断函数 在 上单调递减，在
上单调递增，且 ，等式两边取对数并使用基本不等式证明即可.
【详解】（1）当 时， ，定义域为 ，
所以 ，
令
因为 ，
所以 在 上单调递增，
即 在 上单调递增，注意到 ，
所以当 时， ；
当 时， ，
所以函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ．
（2）证明： ，
即 ，
的定义域为 ，
且 ．
在 上单调递增，当 时， 在 上单调递增，
故 在 上单调递增，
又 ，当 趋近于0时， ，
根据零点存在定理可知，导函数 存在唯一的零点，
设该零点为 ．当x∈(0,x )时， ；当 时， ，
0
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时， 取得最小值 ．
，即 ，
两边同时取对数得 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，取等号，
故当 时， ，
即 ．
1．设函数 .
(1)求函数 的单调增区间；
试卷第50页，共3页(2)当 时，记 ，是否存在整数 ，使得关于x的不等式 有解？
若存在，请求出 的最小值；若不存在，请说明理由.（参考数据：
）
【答案】(1)答案见解析(2)存在， 的最小值为0
(1)因为 ，
所以 ，
①当 时，由 ，解得 ；
②当 时，由 ，解得 ；
③当 时，由 ，解得 ；
④当 时，由 ，解得 ；
⑤当 时，由 ，解得 ，
综上所述，当 时， 的增区间为 ；
当 时， 的增区间为 ；
时， 的增区间为 .
(2)当 时， ，所以 ，
而 ，
因为 均为 上的增函数，
故 为 上的增函数，
而 ， ，故 在 上有且只有一个零点 ，
且 且 时， ；当 时， ，
故 在 上为减函数，在 上为增函数，
故 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
而整数 ，使得关于x的不等式 有解，故 ，
故存在整数 满足题意，且 的最小值为0.
2．设函数 ，其导函数为 .
（1）求函数 的单调区间；
（2）若 ， 为整数，且当 时， ，求 的最大值.
【答案】（1）若 ， 在 上单调递增；若 ， 的单调减区间是：
，增区间是： ；（2）2.
【详解】（1） 的定义域为 ，
，
若 ，则 ， 在 上单调递增；
试卷第52页，共3页若 ，则 解得 .
当 变化时， ， 变化如下表：
- 0 +
减 极小值 增
综上所述：若 ， 在 上单调递增；
若 ， 的单调减区间是： ，增区间是： .
（2）由于 ，
所以 .故当 时，
等价于 （ ），①
令 ，则 .
由（1）知，当 时，函数 在 上单调递增，
而 ， ，所以 在 存在唯一的零点.
故 在 存在唯一的零点.
设此零点为 ，则 .当 时， ；
当 时， .
所以 在 的最小值为 .又由 ，可得 ，所以
.由于①式等价于 ，故整数 的最大值为2.3．已知函数 ．
(1)若 是 的极值点，求a；
(2)当 时，证明： ．
【答案】(1)1
(2)证明见解析
(1)依题意， 的定义域为 ，
由 ，得 ，
因为 是 的极值点，所以 ，即 ，即
当 1时， ，
当 时， ，所以 在 单调递增；
当 时， ，所以 在 单调递减；
所以f（x）在 处取得极大值，符合题意，因此
(2)当 时，要证 ，只需证 ，
即证 ，等价于证明
令 ，则
令 ，则 ，所以 对 恒成立，
故 在 单调递减，
又 ，所以 ，
试卷第54页，共3页所以 在 上恰有一个零点 ，且 ．
当 时， ，即 ，所以 在 单调递增；
当 时， ，即 ，所以 在 单调递减，
所以 ．
又因为 ，即 ，即 ，即 ，即 ，
所以
所以 ，
又因为 ，所以 ，即 ，
因此 ，即 ，圆
4．设函数 ， ，其导函数为 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)若 ， 为整数，且当 ， ，求 的最大值．
【答案】(1)详见解析；(2)2.
(1)因为 的定义域为R， ．
当 时，则 ， 在R上单调递增；
当 时，则 ，解得 ，
当x变化时， ， 变化如下表：
x－ 0 ＋
单调减 极小值 单调增
综上，当 时， 在R上单调递增；
当 时， 的单调减区间是 ，增区间是 ；
(2)由于 ，
∴ ．
故当 时， 等价于 ，
令 ，则 ．
由（1）知，函数 在 上单调递增，
而 ， ，∴ 在 存在唯一的零点，
故 在 存在唯一的零点．设此零点为m，则 ．
当 时， ；当 时， ，
∴ 在 的最小值为 ．
又由 ，可得 ，
∴ ．由于 ，故整数 的最大值为2．
5．已知 ，函数
(1)讨论函数 在 上的单调性；
(2)讨论函数 在 上值是否存在最小 ？若存在，求出 的值域；若不存
在，请说明理由.
试卷第56页，共3页【答案】(1)函数 在 上单调递增.
(2)函数 在 上存在最小值 ，且 的值域为 .
(1)
因为 ， ，所以 ，
所以函数 在 上单调递增.
(2) ,
令 ，
，
在 上单调递增，又因为 ，
所以存在 使得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
又因为 ，则 ，
， ，令 ， ，
所以 在 上单调递增，
而 故 的值域为 .所以 的值域为 .
6．（2022·四川省成都市新都一中高二期末（理））已知函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)若对任意的 ， ，不等式 恒成立，求整数 k的最大值．
【答案】(1) 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ；
(2) .
(1)对函数求导得 ， 令 ，得 ，
当 时， ，此时函数 单调递减；
当 时， ，此时函数 单调递增，
所以函数 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ；
(2)不等式 ，对任意的 ， 恒成立，
∴ ，即 ，
设 ，则 ，
令 ，则 ，函数 在 上单调递增，
试卷第58页，共3页又 ，
所以存在唯一的 ，使得 ，即 ，
当 时， ， ，所以函数 单调递减；
当 时， ， ，所以函数 单调递增，
所以当 时，函数 有极小值 ，同时也为最小值，
因为 ，
又 ，∴ ，所以整数 k 的最大值是 .
7．已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性与极值；
(2)当 时，函数 在 上的最大值为 ，求使得
上的整数k的值（其中e为自然对数的底数，参考数据： ，
）.
【答案】(1)单调性见解析，极大值为 ，无极小值(2)
(1) ， .
当 ，即 时， 恒成立，则函数 在 上单调递增，无极值；
当 ，即 时，令 ，即 ，解得 ，
当 时， ，故函数 在 上单调递增；当 时， ，故函数 在 上单调递减，
所以当 时，函数 取得极大值，且极大值为 .
综上所述，当 时，函数 在 上单调递增，无极值；
当 时，函数 在 上单调递增；在 上单调递减，在 处，
取得极大值，且极大值为 ，无极小值.
(2)依题意，当 时， ，
.
因为 ，所以 .
令 ， ，
则 在 上恒成立，所以 在 上单调递增.
又 ， ，
所以存在 ，使得 ，即 ，
则当 时， ，则 ，所以函数 在 上单调递增；
试卷第60页，共3页当 时， ，则 ，所以函数 在 上单调递减，
所以函数 在 上的最大值 .
又因为 ，所以 ， .
令 ， ，
则 在 上恒成立，所以函数 在 上单调递增，
所以 .
因为 ， ，
所以 ，又 ，所以整数 .
