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特训 06 利用导数解决零点、交点、方程根等问题（三大题型）
方法技巧1 隐零点问题
在求解函数问题时，很多时候都需要求函数f(x)在区间I上的零点，但所述情形都难以求出其准确值，导致
解题过程无法继续进行时，可这样尝试求解：先证明函数f(x)在区间I上存在唯一的零点(例如，函数f(x)在
区间I上是单调函数且在区间I的两个端点的函数值异号时就可证明存在唯一的零点)，这时可设出其零点
是x.因为x 不易求出(当然，有时是可以求出但无需求出)，所以把零点x 叫做隐零点；若x 容易求出，就
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叫做显零点，而后解答就可继续进行，实际上，此解法类似于解析几何中“设而不求”的方法.
方法技巧2 极限思想在解决零点问题中的应用
解决函数的零点问题，往往要转化为函数的图象与 x轴的交点问题，故需判断函数图象的变化趋势，极限
的思想方法是解决问题的有力工具.
目录：
01 ：判断、证明或讨论零点的个数
02 ：根据零点情况求参数范围
03 ：与函数零点相关的综合问题
01 ：判断、证明或讨论零点的个数
例1 已知函数f(x)＝xsin x－.
判断函数f(x)在(0，π)内的零点个数，并加以证明.
感悟提升 利用导数求函数的零点常用方法
(1)构造函数g(x)，利用导数研究g(x)的性质，结合g(x)的图象，判断函数零点的个数.
(2)利用零点存在定理，先判断函数在某区间有零点，再结合图象与性质确定函数有多少个零点.
训练1 已知函数f(x)＝x3－a(x2＋x＋1).
(1)若a＝3，求f(x)的单调区间；
(2)证明：f(x)只有一个零点.
02 ：根据零点情况求参数范围
例2 已知函数f(x)＝2ln x－x2＋ax(a∈R).
(1)当a＝2时，求f(x)的图象在x＝1处的切线方程；
(2)若函数g(x)＝f(x)－ax＋m在上有两个零点，求实数m的取值范围.
感悟提升 1.函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，根据图象的几何直观求解.
2.与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点判断函数
的大致图象，进而求出参数的取值范围.也可分离出参数，转化为两函数图象的交点情况.
训练2 已知函数f(x)＝ex＋(a－e)x－ax2.
(1)当a＝0时，求函数f(x)的极值；
(2)若函数f(x)在区间(0，1)内存在零点，求实数a的取值范围.
03 ： 与函数零点相关的综合问题
例3 设函数f(x)＝e2x－aln x.
(1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数；
(2)证明：当a>0时，f(x)≥2a＋aln .
感悟提升 1.在(1)问中，当a>0时，f′(x)在(0，＋∞)上单调递增，从而f′(x)在(0，＋∞)上至多有一个零点，问题的关键是找到b，使f′(b)<0.
2.由(1)问知，函数f′(x)存在唯一零点x，则f(x)为函数的最小值，从而把问题转化为证明f(x)≥2a＋aln .
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训练3 设函数f(x)＝x3＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点处的切线与y轴垂直.
(1)求b；
(2)若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，证明：f(x)所有零点的绝对值都不大于1.
方法技巧1 隐零点问题
在求解函数问题时，很多时候都需要求函数f(x)在区间I上的零点，但所述情形都难以求出其准确值，导致
解题过程无法继续进行时，可这样尝试求解：先证明函数f(x)在区间I上存在唯一的零点(例如，函数f(x)在
区间I上是单调函数且在区间I的两个端点的函数值异号时就可证明存在唯一的零点)，这时可设出其零点
是x.因为x 不易求出(当然，有时是可以求出但无需求出)，所以把零点x 叫做隐零点；若x 容易求出，就
0 0 0 0
叫做显零点，而后解答就可继续进行，实际上，此解法类似于解析几何中“设而不求”的方法.
例 设函数f(x)＝ex－ax－2.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若a＝1，k为整数，且当x>0时，(x－k)·f′(x)＋x＋1>0，求k的最大值.
方法技巧2 极限思想在解决零点问题中的应用
解决函数的零点问题，往往要转化为函数的图象与 x轴的交点问题，故需判断函数图象的变化趋势，极限
的思想方法是解决问题的有力工具.
例 (1)已知函数f(x)＝ax－x2(a＞1)有三个不同的零点，求实数a的取值范围.
(2)已知函数f(x)＝ex(x＋1)，若函数g(x)＝f(x)－3ex－m有两个零点，求实数m的取值范围.
一、解答题
1．（2024·北京顺义·三模）已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，求证：函数 存在极小值；
(3)求函数 的零点个数.
2．（2024·湖南常德·一模）已知函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)证明： ；
(3)若函数 有三个不同的零点，求 的取值范围．
3．（2024·陕西商洛·三模）已知函数 ．(1)求函数 的单调区间；
(2)当 时，若函数 和 的图象在 上有交点，求实数 的取值范围．
4．（2024·湖南岳阳·三模）已知 的三个角 的对边分别为 且 ，点 在边 上，
是 的角平分线，设 （其中 为正实数）．
(1)求实数 的取值范围；
(2)设函数
①当 时，求函数 的极小值；
②设 是 的最大零点，试比较 与1的大小．
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论 的零点个数；
(2)若 有两个零点，证明：两个零点之和大于4．
6．（2024·河北邯郸·二模）已知函数 ．
(1)是否存在实数 ，使得 和 在 上的单调区间相同？若存在，求出 的取值范围；若不存
在，请说明理由．
(2)已知 是 的零点， 是 的零点．
①证明： ，
②证明： ．
7．（2023·河南信阳·模拟预测）设函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 ，讨论函数 的零点的个数.8．（2024·湖南株洲·一模）已知函数 在 处的切线方程为 ，其中e为自
然常数.
(1)求 、 的值及 的最小值；
(2)设 ， 是方程 （ ）的两个不相等的正实根，证明： .
9．（2023·河南·模拟预测）已知函数 ．
(1)求证：曲线 仅有一条过原点的切线；
(2)若 时，关于 的方程 有唯一解，求实数 的取值范围．
10．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ， ．
(1)讨论 的单调性．
(2)设方程 有两个不相等的正实数根 ， ．
①求实数 的取值范围．
②证明： ．
11．（2023·山东·模拟预测）已知函数 ．
(1)若 是函数 的极大值点，求实数a的取值范围；
(2)已知 ，证明：方程 有且仅有1个正实根，且该正实根位于区间 内．
12．（2022·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数 ．
(1)求 的最小值，并证明方程 有三个不等实根；(2)设(1)中方程 的三根分别为 ， ，且 ，证明： ．
13．（2024·山东潍坊·一模）已知函数 （ ）．
(1)讨论 的单调性；
(2)证明： （ ， ）；
(3)若函数 有三个不同的零点，求 的取值范围．
14．（2023·辽宁抚顺·模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 在 上的最大值．
(2)若函数 在定义域内有两个不相等的零点 ， ，证明： ．
15．（2024·河北邢台·二模）在函数极限的运算过程中，洛必达法则是解决未定式 型或 型极限的一种
重要方法，其含义为：若函数 和 满足下列条件：
① 且 （或 ， ）；
②在点 的附近区域内两者都可导，且 ；
③ （ 可为实数，也可为 ），则 ．
(1)用洛必达法则求 ；
(2)函数 （ ， ），判断并说明 的零点个数；
(3)已知 ， ， ，求 的解析式．
参考公式： ， ．16．（2024·浙江金华·模拟预测）设全集为 ，定义域为 的函数 是关于x的函数“函数组”，
当n取 中不同的数值时可以得到不同的函数．例如：定义域为 的函数 ，当 时，有
若存在非空集合 满足当且仅当 时，函数 在 上存在零点，则称
是 上的“跳跃函数”．
(1)设 ，若函数 是 上的“跳跃函数”，求集合 ;
(2)设 ，若不存在集合 使 为 上的“跳跃函数”，求所有满足
条件的集合 的并集；
(3)设 ， 为 上的“跳跃函数”， ．已知 ，且对任意正整数n，均有
．
（i）证明： ;
（ii）求实数 的最大值，使得对于任意 ，均有 的零点 ．
17．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若函数 的图象上的若干个不同点处的切线互相重合，则称
该切线为函数 的图象的“自公切线”，称这若干个点为函数 的图象的一组“同切点”例
如，如图，直线 为函数 的图象的“自公切线”， ， 为函数 的图象的一组“同切
点”.(1)已知函数 在 处的切线为它的一条“自公切线”，求该自公切线方程；
(2)若 ，求证：函数 ， 有唯一零点，且该函数的图象不存在“自公切
线”；
(3)设 ，函数 ， 的零点为 ，求证： 为函数
的一组同切点.
18．（2024·安徽芜湖·三模）若数列 的各项均为正数，且对任意的相邻三项 ，都满足
，则称该数列为“对数性凸数列”，若对任意的相邻三项 ，都满足 则
称该数列为“凸数列”．
(1)已知正项数列 是一个“凸数列”，且 ，（其中 为自然常数， ），证明：数列 是
一个“对数性凸数列”，且有 ；
(2)若关于 的函数 有三个零点，其中 ．证明：数列 是
一个“对数性凸数列”：
(3)设正项数列 是一个“对数性凸数列”，求证：
19．（2024·山东·模拟预测）法国数学家弗朗索瓦·韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，将其
推广到高次方程，并在其著作《论方程的识别与订正》中正式发表，后来人们把这个关系称为韦达定理，
即如果 是关于x的实系数一元n次方程 在复数集C内的n个根，则
试运用韦达定理解决下列问题：
(1)已知 ， ， ，求 的最小值；
(2)已知 ，关于x的方程 有三个实数根，其中至少有一个实效根在区
间 内，求 的最大值．
