6.2 平面向量的加法、减法
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：向量加法的定义及其运算法则............................................2
考点二：向量加法的运算律.......................................................... 2
考点三：相反向量......................................................................3
考点四：向量的减法................................................................... 3
考点五：向量三角不等式............................................................. 3
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：向量的加法运算............................................................. 3
题型二：向量加法法则的几何应用..................................................5
题型三：向量的减法运算............................................................. 9
题型四：向量减法法则的几何应用................................................12
题型五：相反向量.................................................................... 15
题型六：向量加法与减法混合运算................................................17
题型七：向量加法与减法与几何图形综合应用................................. 19
模块三：综合巩固....................................................................... 26
6.2 平面向量的加法、减法
模块一：基础知识
考点一：向量加法的定义及其运算法则
1.向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
2.向量求和的法则
考点二：向量加法的运算律
交换律
a＋b＝b＋a
结合律
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
技巧1.向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系
区别
联系
三角形法则
(1)首尾相接
(2)适用于任何向量求和
三角形法则作出的图形
是平行四边形法则作出
图形的一半
技巧2.多个向量相加
为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一
个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示.
考点三：相反向量
1.定义：与向量a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作－a.
2.性质
(1)零向量的相反向量仍是零向量.
(2)对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.
(3)若a，b 互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.
考点四：向量的减法
1.定义：向量a 加上b 的相反向量，叫做a 与b 的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量，相当于加
上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法.
2.几何意义：在平面内任取一点O，作OA
→＝a，OB
→＝b，则向量a－b＝BA
→，如图所示.
3.文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量
的终点为终点的向量.
考点五：向量三角不等式
①已知非零向量a
，b
，则||
|
|
|| |
| |
|
|
|
a
b
a
b
a
b
（当a
与b
反向共线时左边等号成立；当a
与b
同
向共线时右边等号成立）；
②已知非零向量a
，b
，则||
|
|
|| |
| |
|
|
|
a
b
a
b
a
b
（当a
与b
同向共线时左边等号成立；当a
与b
反
向共线时右边等号成立）；
记忆方式：（“符异”反向共线等号成立；“符同”同向共线等号成立）如||
|
|
|| |
| |
|
|
|
a
b
a
b
a
b
中，
||
|
|
|| |
|
a
b
a
b
中间连接号一负一正“符异”，故反向共线时等号成立；右如：
||
|
|
|| |
| |
|
|
|
a
b
a
b
a
b
中||
| |
|
|
|
a
b
a
b
中间链接号都是正号“符同”，故同向共线时等号成立；
模块二：题型分类
题型一：向量的加法运算
1．化简：AB
CA
BD
（
）
A．BC
B．DC
C．CD
D．DA
【答案】C
【分析】由向量加法的三角形法则可知.
【详解】AB
CA
BD
CA
AB
BD
CB
BD
CD
.
故选：C.
2．向量
AB
PB
BO
BM
OP
化简后等于（
）
A．BC
B．AB
C．AC
D．AM
【答案】D
【分析】根据向量的加法运算即可得到结果.
【详解】
AB
PB
BO
BM
OP
AB
BM
PB
BO
OP
AM
故选：D
3.化简下列各式：①AB
BC
CA
；②
AB
MB
BO
OM
uuur
uuur
uuur
uuur
；③OA
OC
BO
CO
；
④AB
CA
BD
DC
．其中结果为0
的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】根据向量的加减运算法则计算，逐一判断①②③④的正确性，即可得正确答案.
【详解】对于①：
0
AB
BC
CA
AC
CA
，
对于②：
AB
MB
BO
OM
AB
BO
OM
MB
AM
MB
AB
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
，
对于③：
0
OA
OC
BO
CO
BO
OA
CO
OC
BA
BA
，
对于④：
0
AB
CA
BD
DC
AB
BD
DC
CA
AD
DA
，
所以结果为0
的个数是2 ，
故选：B
4.向量
PA
MA
AO
AC
OM
化简后等于（
）
A．AC
B．PA
C．PC
D．PM
【答案】C
【分析】由向量加法运算法则直接计算可得结果.
【详解】
PA
MA
AO
AC
OM
PA
AO
OM
MA
AC
PO
OA
AC
PC
故选：C.
5．（多选）下列四个等式中，正确的是（
）
A．a
b
b
a
B．
a
a
r
r
C．
0
AB
BC
CA
D．
0
a
a
【答案】ABC
【分析】由向量的运算律、加法法则及相反向量等判断各项正误即可.
【详解】由向量的加法交换律及相反向量知：a
b
b
a
、
a
a
r
r
，即A、B 正确，
由
0
AB
BC
CA
AC
CA
，C 正确，
向量的线性运算(加减、数乘运算)，结果应为向量，D 错误．
故选：ABC
题型二：向量加法法则的几何应用
1.如图，在平行四边形ABCD中，O 是AC 和BD 的交点.
（1）AB
AD
；
（2）AC
CD
DO
；
（3）AB
AD
CD
；
（4）AC
BA
DA
.
【答案】
AC
AO
AD
0
【分析】根据向量加法法则计算．
【详解】（1）由平行四边形法则，AB
AD
AC
；
（2）由向量加法的三角形法则，AC
CD
DO
AD
DO
AO
；
（3）由向量加法法则得，AB
AD
CD
AC
CD
AD
；
（4）由向量加法法则得，
0
AC
BA
DA
BA
AC
BC
D
A
A
D
．
故答案为：AC
；AO
；AD
；0
．
2．正方形ABCD的边长为1，则AB
AD
为（
）
A．1
B．
2
C．3
D．2 2
【答案】B
【分析】利用向量加法运算及向量的摸的定义，结合勾股定理即可求解.
【详解】在正方形ABCD中，如图所示,
根据向量加法的平行四边形法则，AB
AD
AC
,
又因为正方形ABCD的边长为1，
所以
2
2
1
1
2
AB
A
AD
C
，
故选：B.
3．如图，在正六边形ABCDEF 中，AC
（
）
A．
2
AB
AF
B．
2
AB
AF
C．2AB
AF
D．2
2
AB
AF
【答案】C
【分析】根据正六边形的性质与平面向量加法运算法则即可得答案.
【详解】连接AD ，BE ，CF 交于点O，
由正六边形的性质可知，六个小三角形均为全等的正三角形，
所以
2
FC
AB
且
/ /
FC
AB，
2
AC
AF
FC
AF
AB
，
故选：C
4．在矩形ABCD中，AC
等于（
）
A．BC
BA
B．AD
CD
C．AB
DA
D．AD
DC
【答案】D
【分析】根据向量加法的几何关系及矩形性质判断各项的结果，即可得答案.
【详解】由题设，BC
BA
BD
，AD
CD
BC
CD
BD
，AB
DA
DC
DA
DB
，AD
DC
AC
，
故A、B、C 错，D 对.
故选：D
5．在矩形ABCD中，
2
AB
，
1
BC ，则AB
AD
AC
等于（
）
A．2 5
B．2 3
C．3
D．4
【答案】A
【详解】根据向量的加法运算法化简
2
AB
AD
AC
AC
，根据矩形的特征可求对角线AC 的长度，进而
可求模长．
【分析】在矩形ABCD中，由
2
AB
，
1
BC 可得
5
AC
，
又因为AB
AD
AC
，故
2
AB
AD
AC
AC
，故
2 5
AB
AD
AC
．
故选：A.
6.如图，在
ABD
△
中，C 为BD 的中点，E 为AB 上一点，则
2
AB
AD
CE
（
）
A．2AE
B．2BD
C．A E
D．BD
【答案】A
【分析】利用平面向量的加法运算求解.
【详解】因为C 为BD 的中点，
所以
2
2
2
2(
)
2
AB
AD
CE
AC
CE
AC
CE
AE
.
故选：A
7.菱形ABCD中，
2,
60
AB
A
，若
1
1
,
2
3
AM
AC DN
DB
，则NA
NB
NC
ND
（
）
A．2
3
B．4
3
C．5
3
D．7
3
【答案】B
【分析】根据菱形的几何性质结合向量的线性运算求解.
【详解】因为菱形ABCD中，
2,
60
AB
A
，若
1
1
,
2
3
AM
AC DN
DB
，
所以
ABD
△
为等边三角形，且
1
1
6
3
MN
BD
，
因为
2
2
4
NA
NB
NC
ND
NA
NC
NB
ND
NM
NM
NM
uur
uuur
uuur
uuur
uur
uuu
uuur
uuur
r
uuur
uuur
uuur
，
所以
4
4
3
NA
NB
NC
ND
NM
uur
uuur
uuu
uu
u
r
u
u
r
u r
.
故选：B.
8.已知ABC
是正三角形，则下列等式中不成立的是（
）
A．AB
BC
BC
CA
B．AC
CB
BA
BC
C．AB
AC
CA
CB
D．AB
BC
AC
CB
BA
CA
【答案】B
【分析】根据向量加法的三角形法则及ABC
是正三角形，逐一判断即可.
【详解】解：对于A，因为AB
BC
AC
，
|
| |
|
BC
CA
BA
AC
,
所以AB
BC
BC
CA
，故正确；
对于B，因为AC
CB
AB
,
2 |
|
3 |
|
BA
BC
BD
AB
( D 为AC 中点)，故错误；
对于C，因为
2
3 |
|
AB
AC
AE
AB
( E 为BC 中点),
2 |
|
3 |
|
C
C
F
A
CB
AB
( F 为AB 中点),
所以AB
AC
CA
CB
，故正确；
对于D，因为
| 0 | 0
AB
BC
AC
，
| 0 | 0
CB
BA
CA
，
所以AB
BC
AC
CB
BA
CA
，故正确.
故选：B.
9．2020 年10 月27 日，在距离长江口南支航道0.7 海里的风机塔上，东海航海保障中心上海航标处顺利
完成临港海上风电场AIS（船舶自动识别系统）基站的新建工作，中国首个海上风机塔AIS 基站宣告建成.
已知风机的每个转子叶片的长度为20 米，每两个叶片之间的夹角相同，风机塔（杆）的长度为60 米，叶
片随风转动，假设叶片与风机塔在同一平面内，如下图所示，则OA
OB
OM
的最小值为（
）
A．40
B．20 7
C．20 10
D．80
【答案】A
【分析】由题知，OA OB
CO
，从而有OA OB OM
CM
，则当风叶旋转到最低点时，CM
最小，从
而计算出模长的最小值.
【详解】由题知，
0
OA OB OC
，即OA OB
CO
，
则OA OB OM
CM
，
则当风叶旋转到最低点时，CM
最小，且值为60
20
40
.
故选：A
题型三：向量的减法运算
1．化简：AB
AD DC
；(
)
(
)
AB CD
AC
BD
；
AB CB
AC
DC
.
【答案】
CB
0
DC
【分析】根据平面向量的加法法则和减法法则即可得到答案.
【详解】AB
AD
DC
DB
DC
CB
，
(
)
(
)
0
AB CD
AC
BD
AB
AC
BD CD
CB
BD
DC
CB
BC
，
AB CB
AC
DC
AB
AC
DC CB
CB
DC CB
DC
.
故答案为：
;0;
CB
DC
.
2.下列向量的运算结果不正确
．．．的是（
）
A．
0
AB
BC
CA
B．
0
AB
BD
DA
C．
0
OA
OD
AD
D．
0
AB
AC
BD
CD
【答案】B
【分析】根据向量的加减法法则逐个分析判断即可.
【详解】对于A，
0
AB
BC
CA
AC
CA
，所以A 正确，
对于B，
(
)
2
AB
BD
DA
AB
BD
DA
AB
BA
AB
，所以B 错误，
对于C，
0
OA
OD
AD
OA
AD
OD
OD
OD
，所以C 正确，
对于D，
(
)
0
AB
AC
BD
CD
AB
AD
AD
BD
AC
CD
，所以D 正确，
故选：B
3.下列各式中不能化简为AD
的是（
）
A．
CB
MC
DA
BM
B．BM
DA
MB
C．
AB
DC
CB
D．
AD
CD
DC
【答案】B
【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.
【详解】对于A：
CB
MC
DA
BM
CB
MC
DA
BM
CB
BM
MC
DA
DA
AD
，故A 正确；
对于B：
2
BM
DA
MB
MB
DA
MB
DA
MB
，故B 错误；
对于C：
AB
DC
CB
AB
DC
CB
A
AD
B
CD
BC
，故C 正确；
对于D：
0
AD
CD
DC
AD
AD
，故D 正确；
故选：B
4.化简��Ԧ
ሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ得（
）
A．��Ԧ
ሬሬሬሬ
B．��Ԧ
ሬሬሬሬ
C．��Ԧ
ሬሬሬሬ
D．0Ԧሬ
【解题思路】利用向量的加减运算法则化简即可.
【解答过程】��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ
= ��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ.
故选：D.
5.−��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ=（
）
A．��Ԧ
ሬሬሬሬ
B．��Ԧ
ሬሬሬሬ
C．��Ԧ
ሬሬሬሬ
D．��Ԧ
ሬሬሬሬ
【解题思路】利用平面向量的线性运算化简，求解即可．
【解答过程】由题意可得：��Ԧ
ሬሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ
+ ��Ԧ
ሬሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬሬ
= ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ.
故选：C．
6．已知平面内M
N
P
、、三点满足
0
MN
PN
PM
，则下列说法正确的是（
）
A．M
N
P
、、是一个直角三角形的三个顶点
B．M
N
P
、、是一条直线上的三个点
C．M
N
P
、、是平面内的任意三个点
D．M
N
P
、、是一个锐角或钝角三角形的三个顶点
【答案】C
【分析】根据向量加法运算即可进行判断.
【详解】由向量加法运算可得：
0
MN
PN
PM
PM
MN
PN
PN
PN
，
M
N
P
、、是平面内的任意三个点都满足上式，
故选：C.
7．在四边形ABCD 中，AB
＋AD
＝AC
，则四边形ABCD 是（
）
A．梯形
B．矩形
C．正方形
D．平行四边形
【答案】D
【分析】利用向量的加法平行四边形法则求解出答案.
【详解】由平行四边形法则可得，四边形ABCD 是以AB，AD 为邻边的平行四边形.
故选：D.
8．在ABC
中，若
|
|
AB
AC
AB
AC
，则ABC
的形状为（
）
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】根据向量的减法法则可得AB
AC
CB
，由三边相等关系即可得出结果.
【详解】因为AB
AC
CB
，
|
|
AB
AC
AB
AC
，
所以AB
AC
CB
，
所以ABC
为等边三角形．
故选：A
题型四：向量减法法则的几何应用
1.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC 与BD 交于点O，且E 为AO 的中点，则DE
（
）
A．3
1
4
4
AB
AD
B．1
3
4
4
AB
AD
C．1
3
4
4
AB
AD
D．3
1
4
4
AB
AD
【答案】C
【分析】根据平面向量的线性运算法则，准确化简，即可求解.
【详解】因为E 为AO 的中点，可得
1
1
1
2
4
4
AE
AO
AC
AB
AD
，
所以
1
1
3
4
4
4
DE
AE
AD
AB
AD
AD
AB
AD
.
故选：C.
2.如图，A 、B 、C 、D 是平面上的任意四点，下列式子中正确的是（
）
A．AB
CD
BC
DA
B．AC
BD
BC
AD
C．AC
BD
DC
BA
D．AB
DA
AC
DB
【答案】B
【分析】根据向量的加法减法运算法则，即可求解.
【详解】
,
DC
BC
BD DC
AC
AD
AC
AD
BC
BD
AC
BD
BC
AD
故选：B
3.如图为正八边形ABCDEFGH ，其中O为正八边形的中心，则CE
FG
（
）
A．BE
B．EO
C．AD
D．OH
【答案】A
【分析】根据正八边形的几何性质可知FG
CB
，结合向量的减法运算，可得答案.
【详解】因为FG
CB
，所以CE
FG
CE
CB
BE
，
故选:A.
4.如图，向量AB
a
，AC
b
，CD
c
，则向量BD
可以表示为（
）
A．a
b
c
B．b
a
c
C．a
b
c
D．b
a
c
【答案】D
【分析】根据平面向量的加减法法则结合图形即可得到答案.
【详解】如图，
BD
BC
CD
AC
AB CD
b
a
c
.
故选：D.
5．已知O是四边形ABCD所在平面上任一点
//
AB CD ，且OA
OB
OC
OD
．则四边形ABCD一定为
（
）
A．菱形
B．梯形
C．平行四边形
D．矩形
【答案】C
【分析】分析可得BA
DC
，结合平行四边形的定义可得出结论.
【详解】因为OA
OB
OC
OD
，即BA
DC
，
又因为
//
AB CD ，故四边形ABCD一定为平行四边形.
故选：C.
6．(多选)若平行四边形MNPQ 的对角线MP 与NQ 相交于点O，则下列结论正确的是（
）．
A．MN
PQ
B．
2
MP
OM
C．MP
MN
MQ
D．QN
MN
MQ
【答案】BCD
【分析】作出图形，根据平行四边形的性质和平面向量的线性运算即可求解.
【详解】作出图形，如图所示：
因为四边形MNPQ 为平行四边形，所以MN
PQ
，故选项A 错误；
因为四边形MNPQ 为平行四边形，所以O为MP 的中点，则
2
MP
OM
，故选项B 正确；
因为四边形MNPQ 为平行四边形，所以MP
MN
MQ
，故选项C 正确；
因为四边形MNPQ 为平行四边形，所以QN
QM
QP
MN
MQ
，故选项D 正确；
故选：BCD.
7.已知O，A，B ，C ，D 在同一平面内，
1
OA
OB
OC
OD
，且
0
OA OB
，则AC
BD
的最大
值为（
）．
A．2 2
B．2
2
C．1
2
D．4
【答案】B
【分析】由向量加减运算几何意义及向量的模的几何意义分析即可得出答案．
【详解】解：
0
OA OB
，OA
OB
，又|
| |
| 1
OA
OB
，|
|
2
OA
OB
．
|
| |
| |
(
)
AC
BD
OC
OA
OD
OB
OC
OD
OA
OB
，
当OC
、OD
同向，且OD
与OA
OB
反向时，|
|
AC
BD
取得最大值2
2
，
故选：B．
8．（多选）对于菱形ABCD，给出下列各式，其中结论正确的为（
）
A．AB
BC
B．AB
BC
C．AB
CD
AD
BC
D．AD
CD
CD
CB
【答案】BCD
【解析】由向量的加法减法法则及菱形的几何性质即可求解.
【详解】菱形中向量AB
与BC
的方向是不同的，但它们的模是相等的，
所以B 结论正确，A 结论错误；
因为
2
AB
CD
AB
DC
AB
，
2
AD
BC
BC
，且AB
BC
，
所以AB
CD
AD
BC
，即C 结论正确；
因为AD
CD
BC
CD
BD
，
|
| |
|
CD
CB
CD
BC
BD
，所以D 结论正确.
故选：BCD
【点睛】本题主要考查了向量加法、减法的运算，菱形的性质，属于中档题.
题型五：相反向量
1.设点
,
,
D E F 分别是ABC
的三边BC,CA,AB的中点，则BE
CF
（
）
A．DA
B．1
2 DA
C．AD
D．1
2 BC
【答案】A
【分析】利用向量的线性运算和中点的向量表示进行计算，即得结果.
【详解】由已知可得
1
1
2
2
BE
CF
BA
BC
CA
CB
1
1
1
2
2
2
2
BA
CA
AB
AC
AD
AD
DA
，
故选：A.
2.已知O是ABC
所在平面内一点，P 为线段AB 的中点，且
3
0
OA
BO
OC
，那么
A．
2
= 3
CO
OP
B．
1
= 3
CO
OP
C．
3
= 2
CO
OP
D．
1
= 2
CO
OP
【答案】A
【分析】所给等式可整理为
3
OA
OB
CO
，再由P 为AB 的中点得
2
OA
OB
OP
，推出3
2
CO
OP
，得
解.
【详解】因为
3
0
OA
BO
OC
，所以
3
OA
OB
CO
，
因为P 为AB 的中点，所以
2
OA
OB
OP
，
则3
2
CO
OP
2
3
CO
OP
.
故选: A
【点睛】本题考查平面向量的线性运算，属于基础题.
3.如图所示，已知在ABC
中，D 是边AB 上的中点，则CD
（
）
A．
1
2
BC
BA
B．
1
2
BC
BA
C．
1
2
BC
BA
D．
1
2
BC
BA
【答案】B
【分析】由题意得
1
2
BD
BA
，再由
1
2
CD
CB
BD
BC
BA
，即可得到答案.
【详解】由于D 是边AB 上的中点，则
1
2
BD
BA
.
1
2
CD
CB
BD
BC
BA
.
故选：B.
4.在ABC
中，若|
| |
| |
|
AB
AC
AB
AC
，则ABC
的形状为（
）
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
【答案】D
【分析】根据向量的减法法则可得AB
AC
CB
，由三边相等关系即可得出结果.
【详解】解：因为AB
AC
CB
，
|
|
AB
AC
AB
AC
，
所以AB
AC
CB
，
所以ABC
为等边三角形．
故选：D
5．在四边形ABCD 中，若AB
CD
，且AB
AD
AB
AD
，则四边形ABCD 的形状为
.
【答案】矩形
【解析】根据向量相等可证明四边形为平行四边形，再由对角线相等可证明是矩形.
【详解】因为AB
CD
，
所以AB
DC
，
所以四边形ABCD 为平行四边形.
因为AB
AD
AB
AD
，
所以AC
DB
，即平行四边形ABCD 的对角线相等，
所以四边形ABCD 为矩形，
故答案为：矩形
【点睛】本题主要考查了向量加法的运算，向量相等的概念，向量模的概念，属于中档题.
题型六：向量加法与减法混合运算
1.化简下列各向量的表达式：
(1) AB
BC
AD
；
(2) (
)
(
)
AB
CD
AC
BD
；
(3) (
)
(
)
AC
BO
OA
DC
DO
OB
；
【答案】(1) DC
.
(2)0
.
(3)0
【分析】根据平面向量的加法运算和减法运算法则可求出结果.
【详解】（1）AB
BC
AD
AC
AD
DC
.
（2）(
)
(
)
AB
CD
AC
BD
AB
AC
BD
CD
CB
BD
DC
0
CB
BC
CB
CB
.
（3）(
)
(
)
AC
BO
OA
DC
DO
OB
AC
BA
OC
OB
0
BC
BC
.
2．设M，N，P，Q 是数轴上不同的四点，给出以下关系：①
0
MN
NP
PQ
QM
；
②
0
MN
PQ
MQ
PN
；③
0
PQ
PN
MN
MQ
；④QM
MN
NP
PQ
.其中正确的序号是
.
【答案】①②③
【分析】依次根据数轴上向量的几何运算规律进行计算，即可得结果.
【详解】
0
MN
NP
PQ
QM
，①显然正确；
0
MN
PQ
MQ
PN
MN
PQ
QM
NP
MP
PM
，故②正确；
0
PQ
PN
MN
MQ
PQ
NP
MN
QM
NQ
QN
，故③正确；
MN
NP
PQ
MQ
，与QM
不相等，故④错.
故答案为：①②③.
【点睛】本题考查数轴上向量的几何运算，是基础题.
3．化简（1）(
)
(
)
AB
CD
AC
BD
（2）OA
OD
AD
；
（3）AB
DA
＋BD
BC
CA
．
【答案】（1）0
；（2）0
；（3）AB
.
【分析】（1）方法一：将CD
转化为DC
，将AC
转化为CA
，利用向量的加法法则，即可求得答案.方
法二：利用向量的减法法则，化简整理，即可得答案.
（2）利用向量的减法法则，化简整理，即可得答案.
（3）根据向量的线性运算法则，即可求得答案.
【详解】（1）方法一(统一成加法)：(
)
(
)
AB
CD
AC
BD
AB
AC
CD
BD
0
AB
BD
DC
CA
AD
DA
方法二(利用OA
OB
BA
uur
uuur
uur)：(
)
(
)
AB
CD
AC
BD
AB
CD
AC
BD
0
AB
AC
CD
BD
CB
CD
BD
DB
BD
（2）
0
OA
OD
AD
DA
AD
uur
uuur
uuur
uuur
uuur
r．
（3）AB
DA
BD
BC
CA
AB
DA
AC
BD
BC
AB
DC
CD
AB
题型七：向量加法与减法与几何图形综合应用
1．如图所示，求：
(1)a
d
；
(2)c
b
；
(3) e
c
b
；
(4)c
f
b
.
【答案】(1) DA
(2)CB
(3) DB
(4)CA
【分析】（1）（2）（3）（4）按照向量加法法则直接计算即可.
【详解】（1）a
d
d
a
DO
OA
DA
；
（2）c
b
CO
OB
CB
；
（3）
e
c
b
e
c
b
e
CB
DC
CB
DB
；
（4）c
f
b
c
b
f
CO
OB
BA
CA
.
2．已知向量,a b
满足a
b
a
b
，则a
与a
b
的夹角为（
）
A．π
6
B．π
3
C．2π
3
D．5π
6
【答案】A
【分析】向量,a b
为邻边的平行四边形是菱形，,a b
夹角为π
3 ，可求a
与a
b
的夹角.
【详解】设OA
a
，OB
b
，以
,
OA OB 为邻边作平行四边形OACB ，如图所示，
则有BA
a
b
，
OC
a
b ，
由a
b
a
b
，则四边形OACB 为菱形，
π
3
BOA
，
则有a
与a
b
的夹角为
π
6
COA
.
故选：A．
3．已知向量,a b
满足|
| 3,|
| 5
a
b
，则a
b
的取值范围是（
）
A．
2,3
B．
2 8,
C．
3,5
D．
2,5
【答案】B
【分析】利用向量的加法的几何意义求解即得.
【详解】向量,a b
满足|
| 3,|
| 5
a
b
，则
|
|
|
| 8
a
b
a
b
，当且仅当,
a b
同向时取等号；
||
|
|
|| 2
a
b
b
a
，当且仅当,
a b
反向时取等号，
所以a
b
的取值范围是
2 8,
.
故选：B
4．在矩形ABCD中，
2
AB
，
1
BC ，则AB
AD
AC
等于（
）
A．2 5
B．2 3
C．3
D．4
【答案】A
【详解】根据向量的加法运算法化简
2
AB
AD
AC
AC
，根据矩形的特征可求对角线AC 的长度，进而
可求模长．
【分析】在矩形ABCD中，由
2
AB
，
1
BC 可得
5
AC
，
又因为AB
AD
AC
，故
2
AB
AD
AC
AC
，故
2 5
AB
AD
AC
．
故选：A.
5．已知OA
a
，OB
b
，
5
OA
，
12
OB
，
90
AOB
，则a
b
r
r
.
【答案】13
【分析】根据向量减法几何意义，向量模的定义，结合勾股定理计算．
【详解】由题意AOB
是直角三角形，
2
2
5
12
13
a
b
BA
，
故答案为：13.
6．如图，无弹性的细绳OA，OB 的一端分别固定在A，B 处，同样的细绳OC 下端系着一个称盘，且使得
OB
OC
，试分析OA，OB，OC 三根绳子受力的大小，并判断哪根绳受力最大.
【答案】分析答案见解析，OA 受力最大
【分析】根据题意利用向量加法的平行四边形法则，画出图形，结合图形利用直角三角形的边角关系得出
拉力最大的是OA．
【详解】设OA，OB，OC 三根绳子所受的力分别为a
，b
，c
，则
0
a
b
c
.
因为a
，b
的合力为c
a
b
，所以c
c
.
如图在平行四边形OB C A
中，
因为OB
OC
，B C
OA
，
所以OA
OB
，OA
OC
，即a
b
，a
c
.
故细绳OA 受力最大.
7．已知正方形ABCD的边长为1，AB
a
，BC
b
，AC
c
，则|
|
a
b
c
等于（
）
A．0
B．
3
C．
2
D．2 2
【答案】D
【分析】根据题意，分析易得正方形ABCD中，由向量加法的性质可得
2
AB
BC
AC
AC
a
b
c
，由向量模的公式计算可得答案.
【详解】
如图，因为正方形ABCD的边长为1，AB
a
, BC
b
, AC
c
，
2
AB
BC
AC
AC
a
b
c
uuur
u
r
r
r
uur
uuur
uuur
，
2
2
2
=
+
1 1
2
AC
AB
BC
uuur
uuur
uuur
Q
，
2
2 2
AC
uuur
故选：D
8．(多选)已知三角形ABC 为等腰直角三角形，且
90
A
，则有（
）
A．|
| |
|
AB
AC
AB
AC
B．|
| |
|
BC
BA
CB
CA
C．|
| |
|
AB
CB
AC
BC
D．
2
2
2
|
|
|
|
|
|
AB
AC
BC
AC
CB
AB
【答案】ABC
【分析】根据三角形的形状，结合向量加，减运算法则，即可判断选项.
【详解】由条件可知AB
AC
，且
0
AB AC
，
以
,
AB AC
为邻边的的四边形是正方形，对角线相等，
根据向量加，减法则可知|
| |
|
AB
AC
AB
AC
，故A 正确；
BC
BA
AC
，CB
CA
AB
，所以|
| |
|
BC
BA
CB
CA
，故B 正确；
|
| |
AB
CB
AB
BC
AC
，AC
BC
AC
CB
AB
，所以|
| |
|
AB
CB
AC
BC
，故C 正确；
2
2
AB
AC
CB
，
2
2
BC
AC
BA
，
2
2
CB
AB
CA
，
由条件可知
2
2
2
CB
BA
CA
，
即
2
2
2
|
|
|
|
|
|
AB
AC
BC
AC
CB
AB
，故D 错误.
故选：ABC
9 如图，E，F，G，H 分别是梯形ABCD 的边AB，BC，CD，DA 的中点，
//
AB CD ，
2
CD
AB
，AD
a
，AB
b
，
用a
，b
表示下列各式．
(1) EG
；
(2) AC
HF
HC
．
【答案】(1)
1
2
a
b
(2) 1
3
2
2
a
b
【分析】（1）根据平面向量的加法运算求解即可.
（2）根据平面向量的加法、减法运算求解即可.
【详解】（1）由题知：
1
1
2
2
EG
EA
AD
DG
b
a
b
a
b
．
（2）AC
HF
HC
AC
CF
AF
AH
HF
1
1
1
3
(
2 )
2
2
2
2
a
b
b
a
b
．
10.如图所示，在平行四边形ABCD中，E ，F 分别为边AB 和BC 的中点，G 为AC 与BD 的交点．
(1)若AB
AB
BC
CD
，则四边形ABCD是什么特殊的平行四边形？说明理由．
(2)化简AD
GC
EB
，并在图中作出表示该化简结果的向量．
【答案】(1)菱形，理由见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）根据平面向量加法的运算法则，结合菱形的定义进行求解判断即可；
（2）根据三角形中位线定理，结合平面向量运算法则进行求解即可.
【详解】（1）由条件知AB
AB
BC
CD
AD
，
即AB
AD
，又四边形ABCD是平行四边形，故四边形ABCD是菱形．
（2）由平行四边形及三角形中位线的性质可知GC
EF
．
所以
AD
GC
EB
AD
EF
AE
AD
AE
EF
AD
AF
FD
．
作出向量FD
如图所示．
11.在ABC
中，AC
CB
AC
AB
AB
BC
，则ABC
是（
）
A．等边三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】根据向量加减法法则及模的定义判断.
【详解】因为AC
C
AB
B
，AC
AB
BC
，AB
BC
AC
，AC
CB
AC
AB
AB
BC
，
所以AB
BC
AC
，
所以ABC
是等边三角形．
故选：A．
12.(多选)如图，在平行四边形ABCD中，,
E F 分别是CD 边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（
）.
A．
1
3
EF
AB
B．BE
CB
CE
C．AC
AB
AD
D．
2
1
3
3
AF
AD
AC
【答案】AC
【分析】结合图形，用向量共线的知识和三等分点的性质即可判断选项A；用向量的加法法则和向量的性
质即可判断选项B 和选项C；用向量的加法法则和减法法则即可判断选项D.
【详解】对选项A：
1
1
3
3
EF
DC
AB
，正确；
对选项B：BE
BC
CE
CB
CE
，错误；
对选项C：AC
AB
BC
AB
AD
，正确；
对选项D：
2
1
2
3
3
3
3
2
AF
AD
DF
AD
DC
AD
AC
AD
AD
AC
，错误.
故选：AC
13.(多选)以下四个选项中，正确的有（
）
A．若向量// , //
a b b c
，则//
a c
r r
B．若非零向量, ,
a b c
满足
0
a
b
c
，则表示, ,
a b c
的有向线段可以构成三角形
C．若四边形ABCD满足AB
DC
，且AD
AB
BC
BA
，则四边形ABCD为矩形
D．P 为四边形ABCD所在平面内一点，若PA
PC
PB
PD
，则四边形ABCD为平行四边形
【答案】CD
【分析】当
0
b
时，无法确定,a c
的方向，即可判断A；当, ,
a b c
共线时，即可判断B；由AB
DC
，可得
AB
CD
且
//
AB CD ，再根据AD
AB
BC
BA
结合平面向量的减法的三角形法则即可判断C；根据
PA
PC
PB
PD
，可得BA
CD
，即可判断D.
【详解】对于A，当
0
b
时，无法确定,a c
的方向，故不能判断,a c
是否平行，故A 错误；
对于B，若非零向量, ,
a b c
满足
0
a
b
c
，则
a
b
c
，
当, ,
a b c
共线时，则表示, ,
a b c
的有向线段不可以构成三角形，故B 错误；
对于C，若四边形ABCD满足AB
DC
，则AB
CD
且
//
AB CD ，
则四边形ABCD为平行四边形，
因为AD
AB
BC
BA
，即BD
AC
，
所以平行四边形ABCD为矩形，故C 正确；
对于D，因为PA
PC
PB
PD
，所以PA
PB
PD
PC
，即BA
CD
，
所以AB
CD
且
//
AB CD ，
所以四边形ABCD为平行四边形，故D 正确.
故选：CD.
模块三：综合巩固
1．如图，在平行四边形ABCD中，AB
AD
（
）
A．BC
B．AC
C．AB
D．DC
【答案】B
【分析】根据向量加法的平行四边形法则分析求解.
【详解】因为ABCD为平行四边形，所以AB
AD
AC
.
故选：B.
2．如图，在平行四边形ABCD中，AB
a
，AD
b
，则AC
可以表示为（
）
A．a
b
B．a
b
C．
2 a
b
D．
1
2 a
b
【答案】B
【分析】根据向量加法的平行四边形法则判断即可.
【详解】在平行四边形ABCD中AC
AB
AD
a
b
.
故选：B
3．如图，在平行四边形ABCD中，AB a
= ，AD
b
，则BD
可以表示为（
）
A．a
b
B．b
a
C．
1
2 a
b
D．
1
2 b
a
【答案】B
【分析】根据向量减法运算法则直接计算.
【详解】由题意得，BD
AD
AB
，
因为AB a
= ，AD
b
，
所以BD
AD
AB
b
a
.
故选：B
4．（多选）下列各式中结果一定为零向量的是（
）
A．
BO
OM
MB
B．AB
BC
C．
C
BO
OB
O
CO
D．AB
AC
BD
CD
【答案】ACD
【分析】利用向量的加法运算，结合零向量的意义逐项计算判断作答.
【详解】对于A，
0
O
M
BO
M
B
MO
OM
，A 是；
对于B，AB
BC
AC
，AC
不一定是零向量，B 不是；
对于C，
(
)
(
)
0
0
0
BO
O
BO
C
O
，C 是；
对于D，
(
)
0
AB
AC
BD
CD
AB
AD
AD
BD
AC
CD
，D 是.
故选：ACD
5．AB
BC
CA
=
，AB
BC
CA
．
【答案】
0
0
【分析】利用向量加法法则化简AB
BC
CA
，即可求模长.
【详解】由
0
AB
BC
CA
AC
CA
，所以
0
AB
BC
CA
.
故答案为：0
，0
6．OM
BA
BO
MB
uuur
uur
uuur
uuur
（
）
A．MB
B．BA
C．AB
D．BM
【答案】C
【分析】利用平面向量的线性运算化简，求解即可．
【详解】由题意可得：
OM
BA
BO
MB
BO
BA
OM
MB
AO
OB
AB
uuur
uur
uuur
uuur
uuur
uur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
.
故选：C．
7．已知O,A,B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C，且2
0
AC
CB
，则OC
（
）
A．2OA
OB
B．
2
OA
OB
C．2
1
3
3
OA
OB
D．
1
2
3
3
OA
OB
【答案】A
【分析】由AC
OC
OA
, CB
OB
OC
代入运算即可得解.
【详解】解：因为2
0
AC
CB
，所以2(
)
(
)
0
OC
OA
OB
OC
,
所以OC
2OA
OB
，
故选：A.
【点睛】本题考查了平面向量的加法、减法运算，属基础题.
8．已知, ,
a b c
是非零向量，则
a
c
b
，
b
a
c
，
b
c
a
，
c
a
b
，
c
b
a
中，与向量a
b
c
相等的向量的个数为（
）
A．5
B．4
C．3
D．2
【答案】A
【分析】根据向量的加法运算律判断
【详解】因为向量的加法满足交换律和结合律，
所以
a
c
b
，
b
a
c
，
b
c
a
，
c
a
b
，
c
b
a
都等于a
b
c
，
故选：A
9．下列各式中不能化简为AD
的是（
）
A．
CB
MC
DA
BM
B．BM
DA
MB
C．
AB
DC
CB
D．
AD
CD
DC
【答案】B
【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.
【详解】对于A：
CB
MC
DA
BM
CB
MC
DA
BM
CB
BM
MC
DA
DA
AD
，故A 正确；
对于B：
2
BM
DA
MB
MB
DA
MB
DA
MB
，故B 错误；
对于C：
AB
DC
CB
AB
DC
CB
A
AD
B
CD
BC
，故C 正确；
对于D：
0
AD
CD
DC
AD
AD
，故D 正确；
故选：B
10.设�是平行四边形����的对角线的交点，则2��Ԧ
ሬሬሬሬ+ 3��Ԧ
ሬሬሬሬ+ 3��Ԧ
ሬሬሬሬ+ 2��Ԧ
ሬሬሬሬሬ=（
）
A．��Ԧ
ሬሬሬሬ
B．��Ԧ
ሬሬሬሬ
C．��Ԧ
ሬሬሬሬ
D．5��Ԧ
ሬሬሬሬ
【解题思路】根据平行四边形性质及向量的线性运算化简得解.
【解答过程】如图，
���Ԧ
ሬሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬሬ
+ ��Ԧ
ሬሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬሬ
= ��Ԧ
ሬሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ，
故选：A．
11.已知ABC
为正三角形，则下列各式中成立的是
.（填序号）
①AB
AC
BC
uuur
uuur
uuur
；②AB
CA
BC
AB
；③AB
CA
CA
BC
；④CA
BC
AB
AC
.
【答案】①②③
【分析】设
,
,
D E F 分别为
,
,
AB BC AC 的中点，根据平面向量的加法和减法的运算法则逐一判断即可得出
答案.
【详解】对于①，AB
AC
CB
BC
，故①成立；
对于②，设
,
,
D E F 分别为
,
,
AB BC AC 的中点，
则
3
2
AE
CD
BF
AB
，
2
3
AB
CA
AB
AC
AE
AB
，
2
3
BC
AB
BC
BA
BF
BA
，
所以AB
CA
BC
AB
，故②成立；
对于③，
2
3
CA
BC
CA
CB
CD
AB
，
所以AB
CA
CA
BC
，故③正确；
对于④，AB
AC
CB
AB
CA
BC
，故④不成立.
故答案为：①②③.
12．(多选)在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列结论不正确的是（
）
A．AB
DC
，BC
AD
B．AD
OD
AO
C．AO
OD
AC
CD
D．AB
BC
CD
DA
【答案】BD
【分析】利用向量相等的概念可判定选项A，利用向量的加法法则可判定选项B，C，D.
【详解】选项A：因为平行四边形ABCD，所以AB
DC
，BC
AD
，故选项A 正确；
选项B：因为AO
AD
DO
，DO
与OD
不是相等向量，故选项B 错误；
选项C：因为AO
OD
AD
，AC
CD
AD
，所以AO
OD
AC
CD
，故选项C 正确；
选项D：因为AB
BC
CD
AC
CD
AD
，故选项D 错误；
故选：BD.
13.在平行四边形ABCD中，已知
,
,
AB
a BC
b BD
c
，且a
b
a
b
，
6,
2 3
a
b
．求a
b
c
．
【答案】8 3
【分析】根据a
b
a
b
得到平行四边形ABCD是矩形，
2
a
b
DB
c
，计算得到答案.
【详解】a
b
AC
，a
b
DB
，a
b
a
b
，故AC
BD
，
故平行四边形ABCD是矩形,
6,
2 3
a
b
，
36 12
4 3
AC
BD
，
2
D
DB
a
b
c
AB
BC
BD
AB
AD
DB
B
DB
，
a
b
c
=8 3 .
14.已知平行四边形ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于点E，O 是任意一点，求证：
4
OA
OB
OC
OD
OE
．
【答案】证明见详解
【分析】根据题意结合向量减法分析证明.
【详解】因为
4
OA
OB
OC
OD
OE
OA
OE
OB
OE
OC
OE
OD
OE
uur
uuur
uuur
uuur
uuur
uur
uuur
uuur
uuur
uuur
uu ur
uuur
uuur
EA
EB
EC
ED
uur
uur
uuur
uuur ，
又因为ABCD为平行四边形，则E 为
,
AC BD 的中点，可得
,
EA
EC EB
ED
uur
uuur uur
uuur
，
所以
4
0
OA
OB
OC
OD
OE
EA
EB
EC
ED
EA
EC
EB
ED
uur
uuur
uuur
uuur
uuur
uur
uur
uuur
uuur
uur
uuur
uur
uuur
r
，
即
4
OA
OB
OC
OD
OE
.
15.如图，在ABC
中，
3
AC
AE
，
3
BC
BD
.
(1) BE
xAB
yAC
，求x
y
的值；
(2)若AD
a
，BE
b
，试用a
，b
表示AB
.
【答案】(1)
2
3
(2)
3
3
5
5
AB
a
b
【分析】(1)在ABE
中运用向量的加法与相反向量及数乘关系可求解；
(2)
1
3
a
AB
BC
，
1
3
b
BA
AC
，两式相减化简整理可得答案.
【详解】（1）
1
3
BE
BA
AE
AB
AC
，
所以= 1
x ，
1
3
y
，
故
2
3
x
y
.
（2）因为
1
3
AD
AB
BC
a
，
1
3
BE
BA
AC
b
，
所以
1
1
1
1
5
2
2
3
3
3
3
3
AB
BC
BA
AC
AB
BC
CA
A
a
B
BA
AB
b
，
故
3
3
5
5
AB
a
b
.
