5.3 导数求函数的单调性
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：函数的单调性与导数的关系...............................................2
考点二：求已知函数（不含参）的单调区间......................................2
考点三：由函数f(x)的单调性求参数的取值范围的方法....................... 2
考点四：含参问题讨论单调性....................................................... 2
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：求函数单调区间（不含参）...............................................3
题型二：函数单调性求参数范围.................................................... 5
题型三：求含参函数的单调区间.................................................... 8
题型四：已知函数f(x)在区间D 上存在单调区间求参数.................... 11
题型五：已知函数f(x)单调区间为（是）D 求参数值........................ 11
题型六：已知函数f(x)在区间D 上不单调，求参数.......................... 12
题型七：含参问题讨论单调性(导函数一次型) ..................................14
题型八：含参问题讨论单调性(导函数二次型且可因式分解) ................ 15
题型九：含参问题讨论单调性(导函数二次型不可因式分解) ................ 20
题型十：原函数与导函数的关系...................................................22
题型九：利用单调性解不等式......................................................25
题型十：利用单调性比较大小......................................................28
模块三：综合巩固....................................................................... 31
5.3 导数求函数的单调性
模块一：基础知识
考点一：函数的单调性与导数的关系
函数
( )
y
f x
在区间( , )
a b 内可导，
(1)若
( )
0
f
x
，则
( )
f x 在区间( , )
a b 内是单调递增函数；
(2)若
( )
0
f
x
，则
( )
f x 在区间( , )
a b 内是单调递减函数；
(3)若恒有
( )
0
f
x
，则
( )
f x 在区间( , )
a b 内是常数函数．
注意：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则
条件
恒有
结论
函数
( )
y
f x
在区
间( , )
a b 上可导
( )
0
f
x
( )
y
f x
在( , )
a b 内单调递增
( )
0
f
x
( )
y
f x
在( , )
a b 内单调递减
( )
0
f
x
( )
y
f x
在( , )
a b 内是常数函数
考点二：求已知函数（不含参）的单调区间
①求
( )
y
f x
的定义域
②求
( )
f
x
③令
( )
0
f
x
，解不等式，求单调增区间
④令
( )
0
f
x
，解不等式，求单调减区间
注：求单调区间时，令
( )
0
f
x
（或
( )
0
f
x
）不跟等号.
考点三：由函数f(x)的单调性求参数的取值范围的方法
1、已知函数
f x 在区间D 上单调
①已知
f x 在区间D 上单调递增
x
D
，
0
f
x
恒成立.
②已知
f x 在区间D 上单调递减
x
D
，
0
f
x
恒成立.
注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.
2、已知函数
f x 在区间D 上存在单调区间
①已知
f x 在区间D 上存在单调增区间
x
D
使得
( )
0
f
x
有解
②已知
f x 在区间D 上存在单调减区间
x
D
使得
( )
0
f
x
有解
3、已知函数
f x 在区间D 上不单调
0x
D
，使得
0
0
f
x
有变号零点
考点四：含参问题讨论单调性
第一步：求
( )
y
f x
的定义域
第二步：求
( )
f
x
（导函数中有分母通分）
第三步：确定导函数有效部分，记为
( )
g x
对于
( )
y
f x
进行求导得到
f
x
，对
f
x
初步处理（如通分），提出
f
x
的恒正部分，将该部分
省略，留下的部分则为
f
x
的有效部分（如：
2
2
(
2)
xe
x
ax
f
x
x
，则记
2
( )
2
g x
x
ax
为
( )
f
x
的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定
f
x
的正负.
第四步：确定导函数有效部分( )
g x 的类型：
①( )
g x 为一次型（或可化为一次型）②( )
g x 为二次型（或可化为二次型）
第五步：通过分析导函数有效部分，讨论
( )
y
f x
的单调性
模块二：题型分类
题型一：求函数单调区间（不含参）
1.函数
2
1
ln
2
f x
x
x
的单调递减区间为（
）
A．
1,1
B．
0,1
C．
1,
D．
0,
【答案】B
【详解】解：因为
2
1
ln
2
f x
x
x
，所以
1
1
1
x
x
f
x
x
x
x
，
令
0
f
x
，得0
1
x
，所以
f
x 的单调递减区间为
0,1 ，
故选：B
2.函数
2
5ln
4
f x
x
x
的单调递减区间是（
）
A．
0,3
B．
3,
C．
5
, 2
D．
5
0,2
【答案】D
【详解】
5
2
f
x
x
，定义域为
0,
，令
0
f
x
，解得
5
0
2
x
，所以
f
x 在
5
0,2
上单调递减.
故选：D.
3.（多选）函数
( )
ln
f x
x
x
的一个单调递增区间是（
）
A．(e,
)
B．1 ,
e
C．
1
(0, )
e
D．1 ,1
e
【答案】ABD
【详解】由题意
( )
ln
1
f
x
x
，
( )
ln
1
0
f
x
x
，
1
e
x
，因此
( )
f x 的增区间是1
( ,
)
e ，
因此ABD 正确，C 错误．
故选：ABD．
4.（多选）函数
4
2
2
5
y
x
x
的单调减区间可以为（
）
A．(
, 1)
B．( 1,0)
C．(0,1)
D．(1,
)
【答案】AC
【解析】由题意得
3
2
4
4
4
1
4 (
1)(
1)
y
x
x
x x
x x
x
，
令
0
y
，解得
1
x 或0
1
x
，
结合选项可知函数
4
2
2
5
y
x
x
的单调减区间可以为(
, 1)
,(0,1),故选:AC.
5.函数
sin
cos (0
2π)
y
x
x
x
x
的增区间为
．
【答案】(0,π)
【解析】由函数
sin
cos (0
2π)
y
x
x
x
x
，可得
cos
(cos
sin )
sin
y
x
x
x
x
x
x
，
因为
(0,2π)
x
，令
0
y
，即sin
0
x
，解得0
π
x
，
所以函数
sin
cos
y
x
x
x
的递增区间为(0,π) .
6.已知函数
1
1
( )
e
e
x
x
f x
，求函数
( )
f x 的单调区间.
【答案】
f
x 的单调递减区间是(
,1)
，单调递增区间是(1,
)
.
【解析】由
1
1
( )
e
e
x
x
f x
，可得
2
1
1
1
1
1
1
e
1
1
( )
e
-e
e
-e
e
x
x
x
x
x
x
f
x
，
令
( )
0
f
x
，解得
1
x ，
当
1
x 时，则
1
0
x
，可得
( )
0
f
x
，
f
x 在(
,1)
单调递减；
当
1
x 时，则
1
0
x
，可得
( )
0
f
x
，
f
x 在(1,
)
单调递增；
故函数
f
x 的单调递减区间是(
,1)
，单调递增区间是(1,
)
.
7.设
2
3
( )
2
f x
x
x
，则
( )
f x 的单调递减区间是（
）
A．
4
(0, )
3
B．4
( ,
)
3
C．(
,0)
D．(
,0)
和4
( ,
)
3
【答案】D
【解析】由
2
3
( )
2
f x
x
x
，得
2
( )
4
3
(4
3 )
f
x
x
x
x
x
，
令
( )
0
f
x
，得
0
x
或
4
3
x
，
( )
f
x
，
( )
f x 的变化情况如下表所示.
x
(
,0)
0
4
(0, )
3
4
3
4
( ,
)
3
( )
f
x
0
0
( )
f x
单调递减
单调递增
单调递减
所以，
( )
f x 的单调递减区间是(
,0)
和4
( ,
)
3 .故选：D.
8.函数
ln
1
x
y
x
的单调减区间为（
）
A．
,1
B．
0,1
C．
1,e
D．
1,
【答案】D
【解析】函数
ln
1
x
y
x
的定义域为
0,
，
2
2
2
ln
1
ln
1
1
ln
1
ln
x
x
x
x
x
x
y
x
x
x
，
由
0
y
得
1
x ，所以
ln
1
x
y
x
的单调减区间为
1,.故选：D.
题型二：函数单调性求参数范围
【例题】.已知函数
ln
f
x
x
ax
在区间
1,3 上单调递减，则实数a 的取值范围为（
）
A．
1
a
B．
1
a
C．
1
3
a
D．
1
3
a
【答案】A
【解析】因为
ln
f
x
x
ax
，所以
1
f
x
a
x
，
因为
f x 在区间
1,3 上单调递减，
所以
0
f
x
，即1
0
a
x
，则
1
a
x
在
1,3 上恒成立，
因为
1
y
x
在
1,3 上单调递减，所以
max
1
y
，故
1
a .故选：A.
1.已知函数
2
e x
f x
x
ax
在
0,2 上为减函数，则a 的取值范围是（
）
A．
,2e
B．
e,
C．
1,
D．
1,
【答案】D
【解析】
'
1
e x
f
x
x
a
，由条件知当
0,2
x
时，
'
0
f
x
，即
1
e x
a
x
，
令
1
e ,
0,2
x
g x
x
x
，
'
e
0,
x
g
x
x
g x
是减函数，
0
1
a
g
；故选：D.
2.若函数
ln
f x
x
a x
在区间
1,2 内存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是（
）
A．(
, 1)
B．(
, 1]
C．(
, 2)
D．(
, 2]
【答案】A
【解析】因为
1
a
f
x
x
，
由题意可知：存在
1,2
x
，使得
1
0
a
f
x
x
，整理得a
x
，
且y
x
在
1,2 上单调递减，则
1
x
，可得
1
a ，
所以实数a 的取值范围是(
, 1)
.故选：A.
3.已知函数
2
1
ln
6
2
f x
a
x
x
x
在定义域内单调递增，则实数a 的取值范围是（
）
A．
,0
B．
9,
C．
,9
D．
0,
【答案】D
【解析】函数
2
1
ln
6
2
f x
a
x
x
x
定义域为
0,
，且
6
a
f
x
x
x
，
依题意
6
0
a
f
x
x
x
在
0,
上恒成立，
所以
2
6
a
x
x
在
0,
上恒成立，
因为函数
2
2
6
3
9
y
x
x
x
在
0,
上单调递减，
且当
0
x
时
2
6
0
y
x
x
，所以
0
a
，即实数a 的取值范围是
0,
.故选：D
4.若函数
3
12
f x
x
x
在区间
1,
1
k
k
上单调，则实数k 的取值范围是（
）
A．
, 3
1,1
3,
B．
3, 1
1,3
C．
2,2
D．不存在这样的实数k
【答案】A
【解析】因为
3
12
f x
x
x
，该函数的定义域为R ，
2
3
12
f
x
x
，
由
0
f
x
可得2
2
x
，由
( )
0
f
x
¢
>
可得<
2
x
或
2
x
，
所以，函数
f
x 的增区间为
, 2
、
2,，减区间为
2,2
，
因为函数
3
12
f x
x
x
在区间
1,
1
k
k
上单调，
则
1,
1
, 2
k
k
或
1,
1
2,2
k
k
或
1,
1
2,
k
k
，
若
1,
1
, 2
k
k
，则
1
2
k ，解得
3
k ；
若
1,
1
2,2
k
k
，则
1
2
1
2
k
k
，解得1
1
k
；
若
1,
1
2,
k
k
，则
1
2
k
，解得
3
k
.
综上所述，实数k 的取值范围是
, 3
1,1
3,
.故选：A.
5.已知函数
e
ln
x
f x
a
x
在区间
2,3 上单调递增，则a 的最小值为（
）
A．
2
2e
B．e
C．
1
e
D．
2
1 e
2
【答案】D
【解析】依题可知，
1
e
0
x
f
x
a
x
在
2,3 上恒成立，
显然
0
a
，所以
1
ex
x
a
，
设
e ,
2,3
x
g x
x
x
，所以
1 e
0
x
g
x
x
，所以
g x 在
2,3 上单调递增，
2
2
2e
g x
g
，故
2
1
2e
a
，即
2
2
1
1 e
2e
2
a
，即a 的最小值为
2
1 e
2
．故选：D．
6.已知函数
2
4
ln
f x
ax
ax
x
，则
f x 在
1,3 上不单调的一个充分不必要条件是（
）
A．
1
, 6
a
B．
6
1 ,
a
C．
1 ,
2
a
D．
1 1
,
2 6
a
【答案】B
【解析】
2
2
4
1
0
ax
ax
f
x
x
x
，
令( )
2
2
4
1
g x
ax
ax
=
-
- ，因为
f x 在
1,3 上不单调，
f
x
在
1,3 上有变号零点，即
g x 在
1,3 上有变号零点，
当
0
a
时，
1
g x ，不成立；
当
0
a
时，只需
1
3
0
g
g
，即
2
1 6
1
0
a
a
，解得
1
2
a
或
1
6
a
，
所以
f x 在
1,3 上不单调的充要条件是
1
2
a
或
1
6
a
，
所以
f x 在
1,3 上不单调的一个充分不必要条件是
1
6
a
，故选：B
7.已知函数
2
2
f
x
ax
x
在
1,上不单调，则实数a 的取值范围是（
）
A．
,1
B．
0,1
C．
1,
D．
1
0, 2
【答案】B
【解析】
3
2
2
2
1
=2
=2 ax
f
x
ax
x
x
，
当
0
a
时，
2
2
=
0,
f
x
f x
x
在区间
1,上单调递减，不符合题意.
当a<0，
1
x 时，
3
2
1
=2
0
ax
f
x
x
，
f x 在区间
1,上单调递减，不符合题意.
当
0,
1
a
x
时，令
3
2
1
=2
=0
ax
f
x
x
，解得
3 1
=
x
a
，
要使
f x 在区间
1,上不单调，则
3 1
=
1
x
a ，即1
1
a ，解得0
1
a
,
此时
f x 在区间
3 1
1,
a
上
0,
f
x
f
x
递减；
在区间
3 1 ,
a
上
0,
f
x
f
x
递增.故选：B
8.已知函数
2
2
ln
f x
x
x
，若
f x 在区间
2 ,
1
m m
上单调递增，则实数m 的取值范围是
.
【答案】1
[ ,1)
4
【解析】由
2
2
ln
f x
x
x
得
2
1
4
1
4
x
f
x
x
x
x
，
由于函数
f x 的定义域为
0,
，故令
0
f
x
,解得
1
2
x
，
故
f x 的单调递增区间为1 ,
2
，
若
f x 在区间
2 ,
1
m m
上单调递增，则
1
2
2
1
2
m
m
m
，解得1
1
4
m
.
题型三：求含参函数的单调区间
1.求函数
3
2
3
3
1
f x
ax
x
a
的单调区间．
【答案】详见解析.
【解析】因为函数
3
2
3
3
1
f x
ax
x
a
，
所以
2
3
6 ,
0
f
x
ax
x a
，
当
0
a
时，令
0
f
x
，得
0
x
，
2
x
a
，
当
0
x
或
2
x
a
时，
0
f
x
；当
2
0
x
a
时，
0
f
x
；
当
0
a
时，令
0
f
x
，得
0
x
或
2
x
a
，
当
2
x
a
或
0
x
时，
0
f
x
，当2
0
x
a
时，
( )
0
f
x
¢
>
，
综上：当
0
a
时，
f
x 的增区间是
,0
，2 ,
a
，减区间是
2
0, a
；
当
0
a
时，
f
x 的增区间是2 ,0
a
，减区间是
2
, a
，
0,
.
2.讨论函数
3
y
x
ax
b
的单调性．
【答案】答案见解析
【解析】
3
y
x
ax
b
的定义域为R ，
2
3
y
x
a ；
①当
0
a
时，
0
y
在R 上恒成立，
3
y
x
ax
b
在R 上单调递增；
②当a<0 时，令
0
y
，解得：
3
a
x
，
当
,
,
3
3
a
a
x
时，
0
y
；当
,
3
3
a
a
x
时，
0
y
；
3
y
x
ax
b
在
,
,
,
3
3
a
a
上单调递增，在
,
3
3
a
a
上单调递减；
综上所述：当
0
a
时，
3
y
x
ax
b
在R 上单调递增；
当a<0 时，
3
y
x
ax
b
在
,
,
,
3
3
a
a
上单调递增，在
,
3
3
a
a
上单调递减.
3.已知
2
2
1
2
ln
2 1
2
f
x
x
x
x
a
x
a x
，
0
a
．讨论
f
x 的单调性；
【答案】
f
x 在
0,e a
和
1,上单调递增，在
e
,1
a
上单调递减
【解析】由题意，得
2
1
1
2
2 ln
2
2
2 1
2
f
x
x
x
x
x
a
x
a
x
2
1 ln
2
2
2
2
x
x
x
ax
x
a
2
1 ln
2
1
2
1 ln
0
x
x
a x
x
x
a
x
，
0
a
，∴0
e
1
a
，
当
0,e a
x
时，
0
f
x
，
f
x 单调递增；
当
e ,1
a
x
时，
0
f
x
，
f
x 单调递减；
当
1,
x
时，
0
f
x
，
f
x 单调递增．
综上所述，
f
x 在
0,e a
和
1,上单调递增，在
e
,1
a
上单调递减．
4.已知函数
2
ex
f x
x
a
x
.
（1）当
4
a
时，求曲线
y
f x
在
0,
0
f
处的切线方程；
（2）讨论
f
x 的单调性.
【答案】（1）2
8
0
x
y
；（2）答案见解析
【解析】（1）由已知
2
ex
f x
x
a
x
，
则
e
e
2
2
1
e
2
x
x
x
f
x
a
x
a
x
x
x
a
，
当
4
a
时，
0
8
f
，
0
2
f
，
则曲线
y
f x
在
0,
0
f
处的切线方程为
8
2
y
x
，即2
8
0
x
y
（2）由（1）知，
1
e
2
x
f
x
x
a
，
①当
0
a
时，e
2
0
x
a
，
当
,1
x
时，
0
f
x
，
f
x 在
,1
单调递增；
当
1,
x
时，
0
f
x
，
f
x 在
1,单调递减；
②当
0
a
时，由
1
e
2
0
x
f
x
x
a
，得
1
1
x ，
2
2
ln
x
a
（ⅰ）当
2
0
e
a
时，
1
2
x
x
，
当
2
,1
ln
,
x
a
时，
0
f
x
，
f
x 在
,1
，
2
ln
,
a
单调递增；
当
2
1,ln
x
a
时，
0
f
x
，
f
x 在
2
1,ln a
单调递减；
（ⅱ）当
2
e
a
时，
1
2
1
x
x
，
0
f
x
，
f
x 在R 单调递增；
（ⅲ）当
2
e
a
时，
1
2
x
x
，
当
2
,ln
1,
x
a
时，
0
f
x
，
f
x 在
2
,ln a
，
1,单调递增；
当
2
ln
,1
x
a
时，
0
f
x
，
f
x 在
2
ln
,1
a
单调递减；
综上可得：①当
0
a
时，
f
x 在
,1
单调递增，在
1,单调递减；
②当
2
0
e
a
时，
f
x 在
,1
，
2
ln
,
a
单调递增，在
2
1,ln a
单调递减；
③当
2
e
a
时，
f
x 在R 单调递增；
④当
2
e
a
时，
f
x 在
2
,ln a
，
1,单调递增，在
2
ln
,1
a
单调递减.
5.已知函数
2
2 ln
ln
0
f x
ax
a
x
a a
x
，讨论函数
f x 的单调性．
【答案】答案见解析
【解析】由题意知：
f x 定义域为
0,
，
2
2
2
2
2
2
1
ax
a
x
ax
x
f
x
x
x
，
令
0
f
x
，解得：
1
1
x ，
2
2
x
a
；
①当2
1
a ，即
2
a
时，若
2
0,
1,
x
a
，
0
f
x
；若
2 ,1
x
a
，
0
f
x
；
f x
在
2
0,
, 1,
a
上单调递增，在2 ,1
a
上单调递减；
②当2
1
a = ，即
2
a
时，
2
2
2
1
0
x
f
x
x
且
f
x
不恒等于0 ，
f x
在
0,
上单调递增；
③当2
1
a
，即0
2
a
时，若
2
0,1
,
x
a
，
0
f
x
；若
2
1,
x
a
，
0
f
x
；
f x
在
2
0,1 ,
,
a
上单调递增，在
2
1, a
上单调递减；
综上所述：当
2
a
时，
f x 在
2
0,
, 1,
a
上单调递增，在2 ,1
a
上单调递减；
当
2
a
时，
f x 在
0,
上单调递增；
当0
2
a
时，
f x 在
2
0,1 ,
,
a
上单调递增，在
2
1, a
上单调递减.
6.已知函数
1
ln
0
f
x
x
a
x a
x
.讨论
f x 的单调性．
【答案】答案见解析
【解析】由题意知，
f x 定义域为
0,
，
2
2
2
1
1
1
(
0)
a
x
ax
f
x
a
x
x
x
；
令
2
1(
0)
g x
x
ax
a
，则
2
4
a
.
①当
0
，即0
2
a
时，
0
f
x
（当且仅当
2
a
，
1
x 时取等号），
f x
在
0,
上单调递减；
②当
0
，即
2
a
时，令
0
g x
，解得
2
1
4
2
a
a
x
，
2
2
4
2
a
a
x
，
当
1
2
0,
,
x
x
x
时，
0
f
x
；当
1
2
,
x
x x
时，
0
f
x
；
f x
在
2
2
4
4
0,
,
,
2
2
a
a
a
a
上单调递减，在
2
2
4
4
,
2
2
a
a
a
a
上单调递增；
综上所述：当0
2
a
时，
f x 在
0,
上单调递减；
当
2
a
时，
f x 在
2
2
4
4
0,
,
,
2
2
a
a
a
a
上单调递减，
在
2
2
4
4
,
2
2
a
a
a
a
上单调递增.
题型四：已知函数f(x)在区间D 上存在单调区间求参数
1.若函数
2
(
)
ln
f
x
x
m
x
在区间
1,2 上有单调递增区间，则实数m 的取值范围是
．
【答案】
9
, 4
【详解】
1
2
(
0)
f
x
x
m
x
x
，由题意
( )
0
f
x
在(1.2) 上有解，
即
1
2
m
x
x
在(1,2) 上有解，
根据对勾函数的性质可知，
1
2
y
x
x
在
1,2 上单调递增，所以在
2
x
时取最大值，
故
1
9
2
4
4
m
，故实数m 的取值范围是
9
, 4
.
故答案为：
9
, 4
2.函数
2
ex
x
a
f x
在R 上存在单调递增区间，则a 的取值范围是
.
【答案】
1,
【详解】函数
2
ex
x
a
f x
，∴
2
2
2
2
2 e
e
2
2
e
e
e
x
x
x
x
x
x
x
a
x
x
a
x
x
a
f
x
，
∵函数
2
ex
x
a
f x
在R 上存在单调递增区间，
2
2
0
ex
x
x
a
f
x
，即
2
2
a
x
x
有解，
令
2
2
g x
x
x
,
2
1
1
1
g x
x
,∴当
1
x 时，min
1
g x
，
1
a
即可．
故答案为:
1,
3.若函数
3
2
1
( )
2
f x
x
ax
x
在
1,3 存在单调递减区间，则a 的取值范围为
．
【答案】
4
a
【详解】
2
( )
3
1
f
x
x
ax
，等价于
0
f
x
在
1,3 有解，即
2
3
1
0
x
ax
在
1,3 有解，
即
1
3
a
x
x
在
1,3 有解，所以
min
1
3
a
x
x
，
令
3
1
( )
,
3
1
,
g x
x
x
x
，
则
2
2
2
1
3
1
3
0
g
x
x
x
x
，即
g x 在
1,3 上是增函数，
∴
min
( )
(1)
4
g x
g
，所以
4
a
.
故答案为：
4
a
.
题型五：已知函数f(x)单调区间为（是）D 求参数值
1.已知函数
3
2
2
3
1
1
0
f x
mx
m
x
m
m
的单调递减区间是
0,4 ，则m
.
【答案】1
3
【详解】
2
3
6
1
f
x
mx
m
x
，
因为函数
f
x 单调递减区间是
0,4 ，
所以
0
0
0
4
48
24
1
0
m
f
f
m
m
，解得
1
3
m
，
则
2
4
f
x
x
x
，令
2
4
0
f
x
x
x
，得0
4
x
，
所以函数
f
x 单调递减区间是
0,4 ，
所以
1
3
m
.
故答案为：1
3 .
题型六：已知函数f(x)在区间D 上不单调，求参数
1.若函数
2
2
ln
f x
x
x
在其定义域的一个子区间
2
1,2
1
k
k
内不是单调函数，则实数k 的取值范围是
（
）
A．1 3
,
2 4
B．3 ,
4
C．1 ,2
2
D．
1 3
,
2 4
【答案】A
【详解】因为函数
( )
f x 的定义域为(0,
)
，
所以2
1
0
k
，即
1
2
k
，
2
1
4
1
(2
1)(2
1)
( )
4
x
x
x
f
x
x
x
x
x
，
令
( )
0
f
x
，得
1
2
x
或
1
=
2
x
（舍去），
因为
( )
f x 在定义域的一个子区间(2
1,2
1)
k
k
内不是单调函数，
所以
1
2
1
2
1
2
k
k
，得
4
1
4
3
k
，
综上，1
3
2
4
k
，
故选：A
2.已知函数
4
1
x
f
x
ax
x
e
在区间
1,3 上不是单调函数，则实数a 的取值范围是（
）
A．
2
,
4
16
e
e
B．
2
,
4
16
e
e
C．
3
2
,
36
16
e
e
D．
3
,
4
16
e
e
【答案】A
【详解】因为
4
(
1)
x
f
x
ax
a
e
在区间
1,3 上不是单调函数，
所以
3
4
0
x
f
ax
e
x
x
在区间
1,3 上有解，即
2
4
xe
a
x
在区间
1,3 上有解．
令
2
xe
g x
x
，则
3
2
'
x
x
e
g
x
x
．
当
1,2
x
时，
'
0
g
x
；当
2,3
x
时，
'
0
g
x
．
故
g x 在
1,2 上单调递减，在
2,3 上单调递增．又因为
2
3
1
,
2
,
3
4
9
e
e
g
e g
g
e
，
且当
2
16
e
a
时，
2
2
3
3
2
0,
4
4
x
x
e
e
e
f
x
x
xe
x
x
所以
f
x 在区间
1,3 上单调递增，所以
2
4
4
e
a
e
，解得
2
4
16
e
a
e
.
故选：A
3.已知函数
3
2
1
2
1
3
2
a
g x
x
x
x
．若
g x 在
2, 1
内不单调，则实数a 的取值范围是
．
【答案】
3, 2 2
【详解】由
3
2
1
2
1
3
2
a
g x
x
x
x
，得
2
2
g
x
x
ax
，
当
g x 在
2, 1
内为减函数时，则
2
2
0
g
x
x
ax
在
2, 1
内恒成立，
所以
2
a
x
x
在
2, 1
内恒成立，
当
g x 在
2, 1
内为增函数时，则
2
2
0
g
x
x
ax
在
2, 1
内恒成立，
所以
2
a
x
x
在
2, 1
内恒成立，
令
2
y
x
x
，因为
2
y
x
x
在
2,
2
内单调递增，在
2, 1
内单调递减，
所以
2
y
x
x
在
2, 1
内的值域为3, 2 2
，所以
3
a 或
2 2
a
，
所以函数
g x 在
2, 1
内单调时，a 的取值范围是
, 3
2 2,
，
故
g x 在
2, 1
上不单调时，实数a 的取值范围是
3, 2 2
．
故答案为：
3, 2 2
．
4.若函数
3
2
4
1
3
2
x
a
f x
x
x
在区间(1，4)上不单调，则实数a 的取值范围是
.
【答案】(4，5)
【详解】解：函数
3
2
4
1
3
2
x
a
f
x
x
x
，
'
2
( )
4
f
x
x
ax
，
若函数
( )
f x 在区间(1,4) 上不单调，则
'
2
4
0
f
x
x
ax
在(1,4) 上存在变号零点，
由
2
4
0
x
ax
得
4
a
x
x
，
令
4
( )
g x
x
x
，
(1,4)
x
，
'
2
(
2)(
2)
( )
x
x
g x
x
，
( )
g x
在
1,2 递减，在
2,4 递增，而
4
2
2+
4
2
g
，
4
1
1+
5
1
g
，
4
4
4+
5
4
g
，
所以4
5
a
.
故答案为：
4 5
，.
题型七：含参问题讨论单调性(导函数一次型)
1.已知函数
( )
ln
(
)
f x
x
ax a
R .
(1)若
1
a ，求函数
( )
f x 的极值；
(2)求函数
( )
f x 的单调区间.
【答案】(1)函数
( )
f x 的极大值为1
，无极小值
(2)答案见解析
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 137
【详解】（1）当
1
a 时，
( )
ln
f x
x
x
，其定义域为(0,
)
，
1
1
( )
1
x
f
x
x
x
.
令
1
( )
0
x
f
x
x
，则
1
x .
当0
1
x
时，
( )
0
f
x
，
( )
f x 单调递增；当
1
x 时，
( )
0
f
x
，
( )
f x 单调递减，
函数
( )
f x 的极大值为
(1)
1
f
，无极小值.
（2）
( )
ln
f x
x
ax
，
1
1
( )
ax
f
x
a
x
x
，
当
0
a
时，
( )
0
f
x
，
( )
f x 在(0,
)
上单调递增；
当
0
a
时，由
( )
0
f
x
，得
1
x
a
，
若
1
0
x
a
，则
( )
0
f
x
,若
1
x
a
，则
( )
0
f
x
，
( )
f x 单调递减，
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 137
当
0
a
时，
( )
f x 的单调递增区间为
1
0, a
，单调递减区间为1 ,
a
，
综上，当
0
a
时，函数
( )
f x 的单调递增区间为(0,
)
；
当
0
a
时，函数
( )
f x 的单调递增区间为
1
0, a
，单调递减区间为1 ,
a
.
2.已知函数
( )
(
1)
ln (
)
f x
a x
x
x a
R ．求函数
( )
f x 的单调区间．
【答案】增区间为
1
0,ea
，减区间为
1
e
,
a．
【详解】
( )
f x 的定义域为(0,
)
，
( )
1 ln
ln
1
f
x
a
x
x
a
，
令
ln
1
0
x
a
，解得
1
ea
x
．
令
( )
0
f
x
，得
1
0
e a
x
，令
( )
0
f
x
，得
1
ea
x
，
∴
( )
f x 的单调递增区间为
1
0,ea
，单调递减区间为
1
e
,
a．
3.已知函数
ln
3(
R)
f
x
a
x
ax
a
，讨论函数
f
x 的单调性．
【答案】答案见解析
【详解】由函数
ln
3
f x
a
x
ax
的定义域为
0,
，且
(1
)
a
x
f
x
x
，
令
0
f
x
，解得
1
x ，
若
0
a
，当
0,1
x
时，
( )
0
f
x
¢
>
；当
1,
x
时，
0
f
x
，
所以函数
f
x 在
0,1 单调递增，在
1,单调递减.
若
0
a
，当
0,1
x
时，
0
f
x
；当
1,
x
时，
( )
0
f
x
¢
>
，
所以函数
f
x 在
0,1 单调递减，在
1,单调递增.
若
0
a
，此时函数
3
f x 为常数函数，无单调性.
4.已知函数
e
2
R
x
f x
a
x a
．讨论函数
f
x 的单调性．
【答案】答案见解析
【详解】由题意，得函数
f
x 的定义域为R，则
= e
1
x
f
x
a
，
当
0
a
时，
0
f
x
对任意xR 恒成立，∴函数
f
x 在R 上单调递减；
当
0
a
时，令
( )
0
f
x
¢
>
，得
ln
x
a
，令
0
f
x
，得
ln
x
a
，
∴函数
f
x 在
, lna
上单调递减，在
ln ,+
a
上单调递增．
综上，当
0
a
时，
f
x 在R 上单调递减；当
0
a
时，
f
x 在
, lna
上单调递减，在
ln ,+
a
上单
调递增．
题型八：含参问题讨论单调性(导函数二次型且可因式分解)
1.知函数
2
( )
ln
(1 2 )
f x
ax
x
a x
，其中
R
a
．
(1)若
1
2
x
是函数
( )
f x 的极值点，求a 的值；
(2)若a<0 ，讨论函数
( )
f x 的单调性．
【答案】(1)
1
a
(2)答案见解析
【详解】（1）
0
x
>
2
2
(1 2 )
1
(2
1)(
1)
( )
x
ax
a x
x
ax
x
f
x
，
因为
1
2
x
是函数
( )
f x 的极值点，所以
1
( )
0
2
f
，解得
1
a ，
当
1
a 时，
( 2
1)(
1)
( )
x
x
x
f
x
，
若
( )
0
f
x
，则1
1
2
x
，若
( )
0
f
x
，则
1
0
2
x
或
1
x .
即函数
( )
f x 在
1
0, 2
上单调递减，在
1 ,1
2
上单调递增，即
1
2
x
是函数
( )
f x 的极值点.
故
1
a ．
（2）
0
x
>
，
2
2
(1 2 )
1
(2
1)(
1)
( )
x
ax
a x
x
ax
x
f
x
，
当a<0 时，令
( )
0
f
x
，解得
1
2
x
a
或
1
x ，
当
1
1
2a
，即
1
2
a
时，
当
1
1
2
x
a
时，
( )
0
f
x
，当
1
0
2
x
a
或
1
x 时，
( )
0
f
x
，
所以
( )
f x 在
1
0,
2a
上单调递减，在
1 ,1
2a
上单调递增，在
1,上单调递减．
当
1
1
1
0
2
2
a
a
，即
时，
当
1
1
2
x
a
时，
( )
0
f
x
，当0
1
x
或
1
2
x
a
时，
( )
0
f
x
，
所以
( )
f x 在
0,1 上单调递减，在
1
1,
2a
上单调递增，在
1 ,
2a
上单调递减．
当
1
1
2a
，即
1
2
a
时，
( )
0
f
x
，所以
( )
f x 在
0,
上单调递减.
综上，
当
1
0
2
a
时，
( )
f x 在
0,1 上递减，在
1
1,
2a
上递增，在
1 ,
2a
上递减；
当
1
2
a
时，
( )
f x 在
0,
上单调递减；
当
1
2
a
时，
( )
f x 在
1
0,
2a
上单调递减，在
1 ,1
2a
上单调递增，在
1,上单调递减．
2.已知函数
2
ln
2
1
f x
a
x
x
a
x
，其中
0
a
.求函数
f
x 的单调区间；
【答案】答案见解析
【详解】
2
1
2
2
1
0
x
x
a
a
f
x
x
a
x
x
x
，
令
0
f
x
得
2
1 ,
2
x
x
a
，
当
1
2
a
时，
0
f
x
，则函数
f
x 在
0,
上单调递增，
当
1
0
2
a
时，0
x
a
或
1
2
x
时，
( )
0
f
x
¢
>
，
1
2
a
x
时，
0
f
x
，所以函数
f
x 在
0,a ，1 ,
2
上单调递增，在
1
, 2
a
上单调递减，
当
1
2
a
时，
1
0
2
x
或x
a
时，
( )
0
f
x
¢
>
，1
2
x
a
时，
0
f
x
，
所以函数
f
x 在
1
0, 2
，
,a 上单调递增，在1 ,
2 a
上单调递减.
综上所述，当
1
2
a
时，函数
f
x 的单调递增区间为
0,
，无单调递减区间；
当
1
0
2
a
时，函数
f
x 的单调递增区间为
0,a ，1 ,
2
，单调递减区间为
1
, 2
a
；
当
1
2
a
时，函数
f
x 的单调递增区间为在
1
0, 2
，
,a ，单调递减区间为1 ,
2 a
.
3.已知函数
2
1
e
2
x
f
x
x
a
x
x
R
a
(1)若
0
a
，求曲线
y
f x
在点
2
x
处的切线方程；
(2)当
0
a
时，求函数
f
x 的单调递增区间.
【答案】(1)
3
2
3
2e
2e
4e
y
x
(2)答案见解析
【详解】（1）当
0
a
时，
ex
f x
x
，则
1 ex
f
x
x
，
所以切线的斜率
2
2
3e
k
f
，又
2
2
2e
f
，
所以
y
f x
在
2
x
处的切线方程为
2
3
2e
2e
2
y
x
，即
3
2
3
2e
2e
4e
y
x
．
（2）因为
2
1
e
2
x
f
x
x
a
x
x
，所以
1
ex
f
x
x
a
，
令
0
f
x
，得
1
x = 或
ln
x
a
，又
0
a
，
当
1
e
a
时，
0
f
x
恒成立，所以
f
x 在R 上单调递增．
当
1
0
e
a
时，ln
1
a ，
令
( )
0
f
x
¢
>
，得
ln
x
a
或
1
x ，
所以
f
x 的单调递增区间为(
,ln )
a
，( 1,
)
；
当
1
e
a
时，ln
1
a ，
由
( )
0
f
x
¢
>
，得
1
x 或
ln
x
a
，
所以
f
x 的单调递增区间为(
, 1)
，(ln ,
)
a ；
综上所述，当
1
e
a
时，
f
x 的单调递增区间为R ；
当
1
0
e
a
时，
f
x 的单调递增区间为(
,ln )
a
，( 1,
)
；
当
1
e
a
时，
f
x 的单调递增区间为(
, 1)
，(ln ,
)
a .
4.已知函数
2
1
ln
(1
)
1
2
y
x
ax
a x
．
(1)当
1
a 时，求曲线
( )
f x 在点(1,
(1))
f
处的切线方程；
(2)当
1
a 时，讨论函数
( )
f x 的单调性；
【答案】(1)
1
2
y
(2)在区间
1
(0, )
a 上单调递增，在区间1
(
,
)
a 上单调递减
【详解】（1）当
1
a 时，
2
1
ln
1
2
y
x
x
，则
1
y
x
x
，
所以，当
1
x 时，
1 1
0
1
y
，又
1
1
(1)
ln1
1
2
2
f
=
-
+ =
，
所以，由导数的几何意义知曲线
( )
f x 在点(1,
(1))
f
处的切线方程为
1
2
y
．
（2）因为
2
1
ln
(1
)
1
2
y
x
ax
a x
，易知，
0
x
，
则
2
1
(1
)
1
(
1)(
1)
1
ax
a x
ax
x
y
ax
a
x
x
x
，
又
1
a ，当
1
0
x
a
时，
0
y
,当
1
x
a
时，
0
y
，
所以
( )
f x 在区间
1
0, a
上单调递增，在区间1 ,
a
上单调递减．
5.已知函数
2
e
1
0
2
x
m
f x
x
x
m
.
(1)当
0
m
时，求函数
f
x 的最小值；
(2)当
0
m
时，讨论
f
x 的单调性.
【答案】(1)
1
e
(2)答案见解析
【详解】（1）当
0
m
时：
( )
(
1)e x
f
x
x
，令
0
f
x
解得= 1
x ，
又因为当
, 1
x
，
0
f
x
，此时函数
f
x 单调递减；
当
1,
x，
( )
0
f
x
¢
>
，此时函数
f
x 单调递增.
所以
f
x 的最小值为
( 1)
f
1
e
.
（2）
( )
(
1) ex
f
x
x
m
，
当
0
m
时，由
0
f
x
，得= 1
x 或
ln
x
m
.
①若
1
e
m
，则
1
( )
(
1) e
0
e
x
f
x
x
，故
f
x 在
,
上单调递增；
②若
1
e
m
，则ln
1
m .故当
( )
0
f
x
¢
>
时，
1
x 或
ln
x
m
；
当
0
f
x
时，1
ln
x
m
.
所以
f
x 在
, 1
，
ln
,
m 上单调递增，在
1,ln m
上单调递减.
③若
1
0
e
m
，则ln
1
m .故当
( )
0
f
x
¢
>
时，
ln
x
m
或
1
x ；
当
0
f
x
时，ln
1
m
x
.
所以
f
x 在
,ln m
，
1,
上单调递增，在
ln
, 1
m
上单调递减.
综上所述，当
1
e
m
时，
f
x 在
,
上单调递增；
当
1
e
m
时，
f
x 在
, 1
，
ln
,
m 上单调递增，在
1,ln m
上单调递减.
当
1
0
e
m
时，
f
x 在
,ln m
，
1,
上单调递增，在
ln
, 1
m
上单调递减.
6.已知
2
2
3
( )
(
)ln
2
2
f x
x
ax
x
x
ax
，求
( )
f x 的单调递减区间.
【答案】答案见解析
【详解】易得
f
x 的定义域为
0,
，
2
ln
3
2
2
ln
2
2
ln
1
f
x
x
a
x
x
a
x
a
x
a
x
x
a
x
a
x
，
令
0
f
x
得
2
a
x
或
e
x.
当
0
a
时，因为
0
x
，所以2
0
x
a
，令
0
f
x
得0
e
x
，所以
f
x 的单调递减区间为
0,e .
当
0
a
时，
①若
e
2
a
，即0
2e
a
，当
0, 2
a
x
时，
( )
0
f
x
¢
>
,当
,e
2
a
x
时，
0
f
x
，
当
e,+
x
时，
( )
0
f
x
¢
>
，
所以
f
x 的单调递减区间为
,e
2
a
；
②若
e
2
a
，即
2e
a
，当
0,
x
时，
0
f
x
恒成立，
f
x 没有单调递减区间；
③若
e
2
a
，即
2e
a
，当
0,e
x
时，
( )
0
f
x
¢
>
，当
e, 2
a
x
时，
0
f
x
，
当
,
2
a
x
时
( )
0
f
x
¢
>
，所以
f
x 的单调递减区间为e, 2
a
.
综上所述，当
0
a
时，
f
x 的单调递减区间为
0,e ；当0
2e
a
时，
f
x 的单调递减区间为
,e
2
a
；
当
2e
a
时，
f
x 无单调递减区间；当
2e
a
时，
f
x 的单调递减区间为e, 2
a
.
题型九：含参问题讨论单调性(导函数二次型不可因式分解)
1.设函数
1
( )
ln
1
x
f x
a
x
x
，其中a 为常数，讨论函数
( )
f x 的单调性．
【答案】答案见解析
【详解】根据题意，
1
( )
ln
1
x
f x
a
x
x
，则
0
x
，
导数
2
2
( )
(
1)
a
f
x
x
x
，
分2 种情况讨论：
①当
0
a
时，
( )
0
f
x
，函数
( )
f x 在(0,
)
上为增函数；
②当a<0 时，
2
2
2
2
(2
2)
( )
(
1)
(
1)
a
ax
a
x
a
f
x
x
x
x x
，
令
2
( )
(2
2)
g x
ax
a
x
a
，
则有
2
2
Δ
(2
2)
4
8
4
a
a
a
，
当
1
2
a
时，
0
，有( )
0
g x
恒成立，
则有
( )
0
f
x
，函数
( )
f x 为减函数，
当
1
0
2
a
时，
0
，
2
(2
2)
0
ax
a
x
a
有两个根，
1
(
1)
2
1
a
a
x
a
或
2
(
1)
2
1
a
a
x
a
，
且
1
2
0
x
x
，
则在区间(0 ,
(
1)
2
1)
a
a
a
和
(
1)
2
1
(
a
a
a
,
)
上，
( )
0
g x
，
则有
( )
0
f
x
，函数
( )
f x 为减函数，
在区间
(
1)
2
1
(
a
a
a
,
(
1)
2
1)
a
a
a
上，
( )
0
f
x
，函数
( )
f x 为增函数；
综合可得：当
0
a
时，
( )
f x 在(0,
)
上为增函数，
当
1
2
a
时，函数
( )
f x 在(0,
)
上为减函数，
当
1
0
2
a
时，在区间(0 ,
(
1)
2
1)
a
a
a
和
(
1)
2
1
(
a
a
a
,
)
上，函数
( )
f x 为减函数，
在区间
(
1)
2
1
(
a
a
a
,
(
1)
2
1)
a
a
a
上，函数
( )
f x 为增函数．
2.已知函数
1
ln
0
f x
x
a
x a
x
.讨论
f
x 的单调性．
【答案】答案见解析
【详解】由题意知，
f
x 定义域为
0,
，
2
2
2
1
1
1
(
0)
a
x
ax
f
x
a
x
x
x
；
令
2
1(
0)
g x
x
ax
a
，则
2
4
a
.
①当
0
，即0
2
a
时，
0
f
x
（当且仅当
2
a
，
1
x 时取等号），
( )
f
x
\
在
0,
上单调递减；
②当
0
，即
2
a
时，令
0
g x
，解得
2
1
4
2
a
a
x
，
2
2
4
2
a
a
x
，
当
1
2
0,
,
x
x
x
时，
0
f
x
；当
1
2
,
x
x x
时，
( )
0
f
x
¢
>
；
( )
f
x
\
在
2
2
4
4
0,
,
,
2
2
a
a
a
a
上单调递减，在
2
2
4
4
,
2
2
a
a
a
a
上单调递增；
综上所述：当0
2
a
时，
f
x 在
0,
上单调递减；
当
2
a
时，
f
x 在
2
2
4
4
0,
,
,
2
2
a
a
a
a
上单调递减，在
2
2
4
4
,
2
2
a
a
a
a
上单调递增.
3.已知函数
2
( )
2ln
f x
x
x
kx
．
(1)讨论
( )
f x 的单调性；
【答案】(1)见解析
(2)
2
e
,
e
【详解】（1）定义域为(0,
)
，
2
2
2
2
2
x
kx
f
x
x
k
x
x
，
令
2
2
2
h x
x
kx
，
①当
0
k
时，( )
0
h x
恒成立，
( )
0
f
x
，
( )
f x 是增函数；
②
0
k
时，
2
16
k
，
当
0
，即
4
k
时，由( )
0
h x
得
2
1
16
4
k
k
x
，
2
2
16
4
k
k
x
，
由
1
( )
0
0
f
x
x
x
或
2
x
x
，
1
2
( )
0
f
x
x
x
x
，
故
( )
f x 的单调递减区间为
1
2
[
,
]
x x ，单调递增区间为
1
(0,
)
x ，
2
(
,
)
x ，
当
0
，即0
4
k
时，
( )
0
f
x
恒成立，
( )
f x 是增函数，
综上可知：
4
k
时，
( )
f x 是增函数，
4
k
时，
( )
f x 的单调递减区间为
2
2
16
16
,
4
4
k
k
k
k
，单调
递增区间为
2
16
0,
4
k
k
，
2
16 ,
4
k
k
4.已知函数
ln
2
a
f
x
x
x
x
．讨论当
0
a
时，
f
x 单调性．
【答案】答案见解析
【详解】由题意可知
2
2
2
1
2
0,
2
a
x
x
a
x
f x
x
x
x
对于二次函数
2
2
,
1 8
y
x
x
a
a
．
当
1
8
a
时，
0,
0
f
x
恒成立，
f
x 在
0
x
上单调递减；
当
1
0
8
a
时，二次函数
2
2
y
x
x
a
有2 个大于零的零点，分别是
1
2
1
1 8
1
1 8
,
4
4
a
a
x
x
，
当
1
1 8
1
1 8
,
4
4
a
a
x
时
( )
0
f
x
¢
>
，
f
x 在
1
1 8
1
1 8
,
4
4
a
a
x
单调递增；
当
1
1 8
1
1 8
0,
,
4
4
a
a
x
时
0
f
x
，
f
x 在
1
1 8
0,
4
a
x
和1
1 8
,
4
a
单调
递减
综上：当
1
8
a
时
f
x 在（0，＋∞）单调递减
当
1
0
8
a
时
f
x 在
1
1 8
1
1 8
,
4
4
a
a
x
单调递增；在
1
1 8
0,
4
a
x
和1
1 8
,
4
a
上单
调递减．
题型十：原函数与导函数的关系
1.已知函数
y
xf
x
的图象如图所示（其中
f
x
是函数
f
x 的导函数），则
y
f x
的图象大致是
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
y
xf
x
的图象可知当0
1
x
时
0
xf
x
，则
0
f
x
，
当
1
x 时
0
xf
x
，则
( )
0
f
x
¢
>
，
当1
0
x
时
0
xf
x
，则
0
f
x
，
当
1
x 时
0
xf
x
，则
( )
0
f
x
¢
>
，
所以
f
x 在
, 1
上单调递增，在
1,0
上单调递减，
在
0,1 上单调递减，在
1,上单调递增，
故符合题意的只有C.故选：C.
2.设函数
f
x 在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数
f
x
的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由函数
( )
f x 的图象，知
当
0
x
时，
( )
f x 是单调递减的，所以
( )
0
f
x
；
当
0
x
时，
( )
f x 先递减，后递增，最后递减，所以
( )
f
x
先负后正，最后为负．故选：B．
3.若函数
y
f x
的导函数
y
f
x
的图象如图所示，则函数
f
x 的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设导函数图像与x 的交点横坐标分别为
1
x 和
2
x ，
1
2, 1
x
，
2
1,2
x
，
根据图像：
1
,
x
x
和
2
0,
x
x
时，
0
f
x
；
1,0
x
x
和
2,
x
x
时，
( )
0
f
x
¢
>
；
则函数在
1
, x
和
2
0, x
上单调递减，在
1,0
x
和
2,
x 上单调递增.
对比图像知C 满足.故选：C.
4.（多选）已知函数
,
y
f x
y
g x
的导函数图象如图，那么
,
y
f x
y
g x
的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【解析】从导函数的图象可知两个函数在
0x 处切线斜率相同，可以排除C，
再由导函数的函数值反映的是原函数的切线斜率大小，
可明显看出
y
f x
的导函数的值在减小，
∴原函数切线斜率应该慢慢变小，排除A，
选项BD 中的图象，都符合题意.故选:BD．
5.函数
y
f x
的图象如图，则导函数
y
f
x
的图象可能是下图中的（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由函数图象知
( )
f x 为偶函数，则
( )
(
)
f x
f
x
，
因为
( )
f x 的导数存在，两边取导数可得
( )
[ (
)]
f
x
f
x
，
由复合函数的求导公式可得[ (
)]
(
) (
)
(
)
f
x
f
x
x
f
x
，故
( )
(
)
f
x
f
x
，
即
( )
f
x
为奇函数，排除CD，
由原函数图象可知当
0
x
时，
( )
f x 先递增再递减，
故
( )
f
x
在
0
x
时，函数值先正后负，故排除B，故选：A
6.已知函数
( )
y
f x
，其导函数
( )
y
f
x
的图像如图所示．以下四个选项中，可能表示函数
( )
y
f x
图像
的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】从
( )
f
x
的图象可以看出，在区间[ 1
,1]内，导函数大于0，且在区间[ 1
, 0]内，
导函数单调递增，在区间(0 ,1]内，导函数单调递减，
所以函数
( )
f x 在区间[ 1
,1]内单调递增，且
( )
f x 的图象在区间内[ 1
, 0]越来越陡峭，
在区间(0 ,1]内越来越平缓，故B 选项符合题意．故选：B．
7.
f
x
是函数
f x 的导函数，
y
f
x
的图象如图所示，则
y
f x
的图象最有可能是下列选项中的
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由导函数的图象可知：当
0
x
时，
( )
0
f
x
¢
>
，函数
f x 单调递增，
当0
2
x
时，
0
f
x
，函数
f x 单调递减，
当
2
x
时，
( )
0
f
x
¢
>
，函数
f x 单调递增，只有选项C 符合，故选：C
8.已知
f
x
是函数
f x 的导函数，函数.
y
xf
x
的图象如图所示，则
y
f x
的大致图象可能是
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】当1
0
x
时，由图象可得
0
xf
x
，则
0
f
x
，
故
f x 在
1,0
上单调递减，可知A、D 错误；
当0
1
x
时，由图象可得
0
xf
x
，则
0
f
x
，
故
f x 在
0,1 上单调递减，可知B 错误；故选：C.
9.（多选）设
f
x
是函数
f x 的导函数，将
y
f x
和
y
f
x
的图象画在同一直角坐标系中，可能正
确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【解析】对选项A，若图中的直线为
f
x
的图象，曲线为
f x 的图象，
因为
f
x
的图象先负后正，
f x 的图象先减后增，故A 可能正确.
对选项B，若图中上面的曲线为
f x 的图象，下面曲线为
f
x
的图象，
因为
f
x
的图象在
0
x
处先负后正，
f x 的图象在
0
x
处先减后增，故B 可能正确.
对选项C，若图中上面的曲线为
f
x
的图象，下面曲线为
f x 的图象，
因为
( )
0
f
x
¢
>
恒成立，
f x 的图象为增函数，故C 可能正确.
对选项D，若图中上面的曲线为
f
x
的图象，下面曲线为
f x 的图象，
因为
f
x
的图象先负后正，
f x 的图象为增函数，不符合，
若图中上面的曲线为
f x 的图象，下面曲线为
f
x
的图象，
因为
0
f
x
恒成立，
f x 的图象为增函数，不符合，故D 错误.故选：ABC
题型九：利用单调性解不等式
1.已知定义域为R 的奇函数
f
x 的图象是一条连续不断的曲线，当
2,
x
时，
0
f
x
，当
0,2
x
时，
0
f
x
，且
3
0
f
，则关于x 的不等式
1
0
x
f x
的解集为（
）
A．
3, 1
1,3
B．
3,0
0,3
C．
3, 1
0,3
D．
3,0
1,3
【答案】D
【解析】因为当
2,
x
时，
0
f
x
，所以
f
x 在
2,
x
单调递减；
当
0,2
x
时，
0
f
x
，所以
f
x 在
0,2
x
单调递增，
因为定义域为R 的奇函数
f
x ，则过点
0,0 ，且
3
0
f
，则过点
3,0 ，
由奇函数的图象关于原点对称，画出示意图如下：
( )
0
1
0
1
0
f x
x
f x
x
或
( )
0
1
0
f x
x
3,0
1,3
x
，故选：D.
2.设函数
e
e
2sin
x
x
f
x
x
，则关于t 的不等式
2
1
0
f t
f
t
的解集为（
）
A．
, 1
B．
1
,
3
C．
1,
D．
1 ,
3
【答案】D
【解析】因为
e
e
2sin
x
x
f
x
x
，其定义域为R ，
所以
e
e
2sin
e
e
2sin
x
x
x
x
f
x
x
x
f x
，故
f
x 为奇函数，
又
e
e
2cos
2 e
e
2cos
0
x
x
x
x
f
x
x
x
，
当且仅当e
e
,cos
1
x
x
x
，即
0
x
时等号成立，所以
h x 在R 上单调递增，
故由
2
1
0
f t
f
t
得
2
1
f t
f
t
，即
1 2
f t
f
t
，
所以
1 2
t
t
，解得
1
3
t
.故选：D.
3.已知定义在R 上的函数
f
x 的导函数为
f
x
，且
0
f
x
f x
，
1
e
f
，则不等式
1 ln
2
f
x
x
的解集为（
）
A．
0,e
B．
2
0,e
C．
e,
D．
2e ,
【答案】B
【解析】令
x
f
x
g x
e
，则
0
x
f
x
f
x
g
x
e
，所以函数
g x 在R 上单调递减，
不等式
1 ln
2
f
x
x
，即为不等式
ln
1
f
x
x
，
因为
1
e
f
，所以
1
1
g
，不等式
ln
1
f
x
x
，即为不等式
ln
1
g
x
g
，
所以ln
1
x ，所以0
e
x
，所以
2
0
e
x
，
即不等式
1 ln
2
f
x
x
的解集为
2
0,e
.故选：B.
4.已知
f
x 是定义在
π,π
上的奇函数，其导函数为
f
x
，
π
2
4
f
，且当
0, π
x
时，
sin
cos
0
f
x
x
f
x
x
，则不等式
1
sin
f x
x
的解集为
．
【答案】
π
π
π,
0,
4
4
．
【解析】由题意知当
0, π
x
时，
sin
cos
0
f
x
x
f
x
x
，
π
2
4
f
，
故令
( )
( )sin ,(0
)
π
F x
f x
x
x
，则
( )
0
F x
，
即
( )
F x 在(0, π) 上单调递增，且
π
π
π
sin
1
4
4
4
F
f
，
故由
π
sin
1
4
F x
f x
x
F
可解得
π
0
4
x
，
即当
π
(
)
0,
x
时，sin
0
x
，则
1
sin
f x
x
即
sin
1
f
x
x ；
此时
1
sin
f x
x
的解集为
π
0, 4
；
当
( π,0)
x
时，sin
0
x
，则
1
sin
f x
x
即
sin
1
f
x
x ，
因为
f
x 是定义在
π,π
上的奇函数，
故
sin
F x
f
x
x
为
π,π
上的偶函数，
则
( )
F x 在
π,0
上单调递减，且
π
π
1
4
4
F
F
，
故由
π
sin
1
4
F x
f x
x
F
可解得
π
π
4
x
，
当
0
x
时，
1
sin
f x
x
无意义，
综合可得不等式
1
sin
f x
x
的解集为
π
π
π,
0,
4
4
，
故答案为：
π
π
π,
0,
4
4
5.已知函数
2
1
( )
ln
2
2
f x
x
x
x
满足
2
(2
)
(4
12)
f
a
a
f
a
，则实数a 的取值范围是
.
【答案】
3
1
[
,0)
( ,4]
2
2
【解析】由函数
2
1
( )
ln
2
2
f x
x
x
x
，可得函数
f x 的定义域为(0,
)
，
且
2
2
1
2
1
(
1)
( )
2
0
x
x
x
f
x
x
x
x
x
，
所以函数
f x 在区间(0,
)
上为单调递增函数，
又由不等式
2
(2
)
(4
12)
f
a
a
f
a
，
可得
2
2
2
0
4
12
0
2
4
12
a
a
a
a
a
a
，即
2
2
1
0
3
0
2
5
12
0
a
a
a
a
a
，解得
3
0
2
a
或1
4
2
a
，
即实数a 的取值范围是
3
1
[
,0)
( ,4]
2
2
.
6.已知函数
2023
1
sin
e
e
x
x
f x
x
x
，其中e是自然对数的底数，若
2
1
2
0
f a
f
a
，则实数a 的取
值范围是（
）
A．
1 ,1
2
B．
1
1, 2
C．
1
, 1
,
2
D．
1
,
1,
2
【答案】B
【解析】由函数
2023
1
sin
e
e
x
x
f x
x
x
的定义域为R ，
且
2023
2023
1
1
(
)
sin(
)
e
(
sin
e
)
e
e
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
f
x
，
所以函数
f x 为奇函数，
所以不等式
2
1
2
0
f a
f
a
，可化为
2
2
1
1
f
a
f a
f
a
，
又由
2022
1
2023
cos
e
e
x
x
f
x
x
x
，
因为
2022
1
e
2, 1
cos
1
0
e
,
x
x
x
x
，所以
0
f
x
，
f x 为单调递增函数，
由
2
2
1
f
a
f
a
，可得
2
2
1
a
a
，即
2
2
1
0
a
a
，解得
1
1
2
a
，
所以实数a 的取值范为
1
1, 2
.故选：B.
7.已知
f x 是定义在R 上的偶函数，当
0
x
时，
e
sin
x
f x
x
，则不等式
π
3
1
e
f
x
的解集是（
）
A．1
π 1
π
,
3
3
B．
1
π
0,
3
C．
π
1 e
0,
3
D．1
π ,
3
【答案】A
【解析】当
0
x
时，
e
sin
x
f x
x
，
e
cos
x
f
x
x
，
因为e
1
x ，
cos
1,1
x
，所以
e
cos
0
x
f
x
x
恒成立，
所以
f x 在
0,
单调递增，
又因为
f x 是定义在R 上的偶函数，所以
f x 在
,0
单调递减，
所以
π
π
π
e
f
f
，
所以由
π
3
1
e
f
x
，可得π
3
1
π
x
，解得1
π
1
π
3
3
x
.故选：A
题型十：利用单调性比较大小
1.设
2
ln 2
1
ln 6
,
,
4
e
12
a
b
c
，则（
）
A．a
c
b
B．a
b
c
C．b<c<a
D．c<a<b
【答案】C
【解析】设
2
ln
,
0,
x
f x
x
x
，则
2
4
3
1
ln
2
1
2ln
x
x
x
x
x
f
x
x
x
，
令
0
f
x
，解得
1
2
e
e
x
，根据函数
ln
y
x
的单调性，
则当
0, e
x
时，
0
f
x
；当
e,
x
时，
0
f
x
，
可得
f
x 在
0,
e 上单调递增，在
e,上单调递减.
而
2
ln 2
ln 2
2
4
2
a
f
，
2
2
1
lne
e
e
e
b
f
，
1
2
2
ln 6
ln 6
ln 6
ln
6
6
12
2 6
6
6
c
f
，
因为
e
2
6
e
，所以a
c
b
.故选：C.
2.已知实数：a ，b ，
(0.1)
c
，且
2023
2023ea
a
，
2024
2024eb
b
，
2025
2025ec
c
，则（
）
A．a
b
c
B．b
c
a
C．c
a
b
D．c
b
a
【答案】D
【解析】由
2023
2024
2025
2023e
2024e
2
,
,
20 5e
a
b
c
a
b
c
，得
2023
2024
2025
e
e
e
e
e
e
,
,
2023
2024
2025
a
b
c
a
b
c
，
令
e
( )
,
0
x
f x
x
x
，则
2
e (
1)
( )
x x
f
x
x
，
当0
1
x
时，
( )
0
f
x
，当
1
x 时，
( )
0
f
x
，
于是函数
( )
f x 在(0,1)上单调递减，在(1,
)
上单调递增，
则
(2023)
(2024)
(2025)
f
f
f
，即
2023
2024
2025
e
e
e
2023
2024
2025
，
因此e
e
e
a
b
c
a
b
c
，即
( )
( )
( )
f a
f b
f c
，
又, ,
(0,1)
a b c
，所以c
b
a
．故选：D
3.（多选）已知定义在R 上的函数
f
x 满足
f x
f
x
，在下列不等关系中，一定成立的是（
）
A．
e
1
2
f
f
B．
e
1
2
f
f
C．
e 2
e
2
e
f
f
D．
e 2
e
e
2
f
f
【答案】AD
【解析】令
x
f
x
g x
e
，则
ex
f
x
f
x
g
x
，
因为
f
x
f
x
，则
0
f
x
f x
，
且e
0
x
，可得
0
g
x
恒成立，所以
g x 在R 上单调递减，
可得
1
2
e
g
g
g
，即
2
e
1
2
e
e
e
e
f
f
f
，
整理得
e
1
2
f
f
，
e 2
e
e
2
f
f
，故A、D 正确，B、C 错误.故选：AD.
4.已知函数
2
2
ln e
e
x
f x
x
，若
3e
a
f
，
1
2
b
f
，
4
3
c
f
，则（
）
A．a
b
c
B．b
a
c
C．c
a
b
D．c
b
a
【答案】A
【解析】由题意
2
2
2
2
2
2
2
ln e
e
ln e
e
1
2
ln e
1
x
x
x
f x
x
x
x
，
一方面有
2
2
2
2
2
2
2
2
2e
e
1
1
e
1
e
1
x
x
x
x
f
x
，令
0
1
f
x
x
，所以有以下表格：
,1
1,
f
x
f
x
所以
f
x 在
,1
上单调递减，在
1,上单调递增，且有极小值
1
1 ln 2
f
；
另一方面注意到
2
1
2
1
2
ln e
1
1
x
f
x
x
2
ln e
1
1
x
x
，
且有
2 1
2
1
2
ln e
1
1
x
f
x
x
2
ln e
1
1
x
x
2
2
2
ln e
e
1
lne
1
x
x
x
x
2
ln e
1
1
x
x
因此
1
1
f
x
f
x
，这表明了
f
x 的对称轴是直线
1
x ；
所以有
1
1
1
1
2
1
2
3
2
2
f
f
f
f
，
又
3
4
3
e
3
2
，且
f
x 在
1,上单调递增，
所以
3
4
3
1
e
3
2
2
f
f
f
f
，所以a
b
c
.故选：A.
5.已知
ln2
ln6
ln7
2
6
7
a
b
c
，
，
，则（
）
A．c
b
a
B．b
a
c
C．b
c
a
D．a
b
c
【答案】D
【解析】令
ln
,
0
x
f
x
x
x
，则
2
1
ln
( )
x
f
x
x
，
当
(0,e)
x
时，
( )
0,
( )
f
x
f x 单调递增，
当
(e,
)
x
时，
( )
0,
( )
f
x
f x 单调递减，
因为
ln 2
ln 4
ln 6
ln 7
(4),
(6),
(7)
2
4
6
7
a
f
b
f
c
f
，
所以
(4)
(6)
(7)
f
f
f
，即a
b
c
.故选：D.
6.已知
1
97
ln 98
98
a
，
1
98
ln 99
99
b
，
1
99
ln100
100
c
，则a，b，c 的大小关系是（
）
A．a
c
b
B．a
b
c
C．c
a
b
D．c
b
a
【答案】B
【解析】构造函数
ln
1
f x
x
x
，
1
1
1
x
f
x
x
x
，
当0
1
x
时，
0
f
x
，
f x 单调递增，
所以
1
1
1
98
99
100
f
f
f
，即a
b
c
．故选：B．
7.已知定义在R 上的函数
f x ，其导函数为
f
x
，当
0
x
时，
0
xf
x
f x
，若
2
1
a
f
，
2
b
f
，
1
4
2
c
f
，则a ，b ，c 的大小关系是（
）
A．c
b
a
B．c<a<b
C．a
b
c
D．b
a
c
【答案】D
【解析】令
( )
( )
f x
g x
x
，
,0
0,
x
，则
2
( )
( )
( )
xf
x
f x
g x
x
，
∵当
0
x
时，
0
xf
x
f x
，即
0
g x
，
g x 在
0,
单调递减，
∴
1
(2)
(1)
2
g
g
g
，∴
(2)
(1)
1
2
2
1
2
f
f
f
，即
1
(2)
2 (1)
4
2
f
f
f
，
∴b
a
c
.故选：D.
8.已知函数
f x 的导函数为
f
x
，且
f
x
f x
对任意的xR 恒成立，则（
）
A．
ln3
3
0
f
f
B．
2
2
e
0
f
f
C．
ln 2
2
0
f
f
D．
2
2
e
0
f
f
【答案】B
【解析】由题意得构造函数
ex
f x
g x
，则
0
ex
f
x
f x
g
x
对任意的xR 恒成立，
所以
g x 在R 上是减函数，
对A：因为ln 3
0
，所以
3
0
g
g
，即
0
ln3
0
0
3
e
1
f
f
f
，得
ln3
3
0
f
f
，故A 错误；
对B、C、D：因为ln2
0
，所以
0
ln 2
0
0
2
e
1
f
f
f
，即
ln 2
2
0
f
f
，故C 错误；
因为
2
ln 2
ln e
2
，所以
2
ln 2
2
2
e
f
f
，所以
2
2
0
e
1
f
f
，
即
2
2
e
0
f
f
，故D 错误，故B 正确.故选：B.
9.已知函数
y
f x
是定义在R 上的奇函数，且当
,0
x
时不等式
0
f x
xf
x
成立，若
0.3
0.3
3
3
a
f
，
π
π
log 3
log 3
b
f
，
1
1
3
3
log 9
log 9
c
f
，则a ，b ，c 的大小关系是（
）
A．c
b
a
B．c
a
b
C．a
c
b
D．b
a
c
【答案】B
【解析】构造函数
( )
( )
F x
xf x
，则由题意可知当
,0
x
时
( )
( )
( )
0
F x
f x
xf
x
，
所以函数
( )
( )
F x
xf x
在区间
,0
上单调递减，
又因为
( )
y
f x
是定义在R 上的奇函数，所以
( )
( )
F x
xf x
是定义在R 上的偶函数，
所以
( )
F x 在区间
0,
上单调递增，
又
0.3
(3
)
a
F
，
π
(log 3)
b
F
，
1
3
log 9
2
(2)
c
F
F
F
，
因为
0.3
1
3
3
，
π
0
log 3
1
，所以
0.3
π
0
log 3
3
2
，
所以
0.3
π
(log 3)
(3
)
(2)
F
F
F
，即b
a
c
，B 正确.故选：B .
模块三：综合巩固
1．.函数
(
e
3
)
(
) x
f x
x
的单调递减区间是（
）
A．(, 2]
B．[0 , 3]
C．[1, 4]
D．[2 ,
)
【答案】A
【详解】函数的导数
'
e
3 e
2 e
x
x
x
f
x
x
x
，由
0
f
x
得
2 e
0
x
x
，
即
2
x
，
所以函数的单调递减区间为
,2
；
故选：A.
2.函数
2
5ln
4
f x
x
x
的单调递增区间是（
）
A．
0,3
B．
,0
和5 ,
2
C．
5
0,2
D．5 ,
2
【答案】D
【详解】
f x
的定义域为
0,
，
5
2
5
2
x
f
x
x
x
，
当
5
0, 2
x
时，
0
f
x
；当
,
2
5
x
时，
( )
0
f
x
¢
>
；
( )
f
x
\
的单调递增区间为5 ,
2
.
故选：D.
3.已知函数
( )
y
f x
的导函数
f
x
的图象如图所示，那么函数y
( )
f x （
）
A．在(
, 1)
上单调递增
B．在(1,
)
上单调递减
C．在(
,2)
上单调递增
D．在(2,
)
上单调递减
【答案】D
【详解】根据导函数的图象可知，
f
x 在区间
, 1 , 2,
上
0,
f
x
f
x
递减，
在区间(
)
1,2
-
上，
0,
f
x
f x
递增，
所以D 选项正确，ABC 选项错误.
故选：D
4.已知函数
2 ,0
,
ln
,
,
x
a
x
f x
x x
a
x
若
f
x 在
0,
上单调递减，则实数a 的取值范围是（
）
A．
2
1,e
B．
e,2e
C．
2
,e e
D．
e,
【答案】C
【详解】令函数
2
g x
x
，
ln x
h x
x
.
要满足条件，必须
g x 在
0,a 上单调递减，
h x 在
,a 上单调递减，且
g a
h a
.
易知
g x 在
0,
上单调递减.
2
1
ln x
h
x
x
，
令
0
h x
,即1 ln
0
x
,解得0
e
x
,
令
0
h x
,即1 ln
0
x
,解得
e
x,
可得
h x 在
0,e 上单调递增，在
e,上单调递减，所以
e
a
.
2
ln x
g x
h x
x
，
令2
0
ln x
x
,即2
ln
0
x
,解得
2
0
e
x
,
令2
0
ln x
x
,即2
ln
0
x
,解得
2e
x
,
则当
2
0
e
x
时，
g x
h x
，
当
2e
x
时，
g x
h x
，
要使
g a
h a
，则
2
0
e
a
.
所以a 的取值范围是
2
,e e
.
故选:C.
5.若函数
3
3
1
f x
x
kx
在区间
1,上单调递增，则实数k 的取值范围是（
）
A．
,1
B．
,1
C．
1,
D．
1,
【答案】B
【详解】由题意得，
2
2
( )
3
3
3(
)
0
f
x
x
k
x
k
在区间(1,
)
上恒成立，
即
2
k
x
在区间(1,
)
上恒成立，
又函数
2
y
x
=
在(1,
)
上单调递增，得
2
1
x ，
所以
1
k ，即实数k 的取值范围是(
,1]
.
故选：B
6.已知函数
3
2
1
f x
x
x
ax
在R 上为单调递增函数，则实数a 的取值范围为（
）
A．
1
,
3
B．
1
,
3
C．
1 ,
3
D．
1 ,
3
【答案】A
【详解】
2
3
2
f
x
x
x
a
，
因为
f
x 在R 上为单调递增函数，故
( )
0
f
x
¢
³
在R 上恒成立，
所以
4
12
0
a
即
1
3
a
，
故选：A.
7.若函数
ln
f x
x
a x
在区间
1,2 内存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是（
）
A．(
, 1)
B．(
, 1]
C．(
, 2)
D．(
, 2]
【答案】A
【详解】因为
1
a
f
x
x
，
由题意可知：存在
1,2
x
，使得
1
0
a
f
x
x
，整理得a
x
，
且y
x
在
1,2 上单调递减，则
1
x
，可得
1
a ，
所以实数a 的取值范围是(
, 1)
.
故选：A.
8.已知函数
ln
1
a
f
x
x
x
在
1 ,1
2
上单调递增，则实数a 的取值范围是（
）
A．
9
2
a
B．
9
2
a
C．
4
a
D．
4
a
【答案】C
【详解】由于
ln
1
a
f
x
x
x
在
1 ,1
2
上单调递增，所以
2
1
0
1
a
f
x
x
x
=
在
1 ,1
2
上恒成立，故
2
1
1
2
x
a
x
x
x
在
1 ,1
2
上恒成立，
由于
1
2
4
x
x
当且仅当
1
x
时取等号，所以
4
a
，
故选：C
9．(多选)设
f
x ，
g x 都是单调函数，其导函数分别为
f
x
，
g
x
，
h x
f x
g x
，下列命题
中，正确的是（
）
A．若
( )
0
f
x
¢
>
，
0
g
x
，则
h x 单调递增；
B．若
( )
0
f
x
¢
>
，
0
g x
，则
h x 单调递增；
C．
0
f
x
，
0
g
x
，则
h x 单调递减；
D．若
0
f
x
，
0
g x
，则
h x 单调递减；
【答案】BC
【详解】( )
0
f
x
¢
>
，函数为增函数，
0
f
x
时，函数为减函数，同理
0
g
x
时，函数为增函数，
0
g x
时，函数为减函数，
不妨取
2x
f x
，
1
2x
g x
，则满足
( )
0
f
x
¢
>
，
0
g
x
，
2 (1 2)
2
x
x
h x
f x
g x
，显然( )
h x 是减函数，排除A 选项；
取
f x
x
，
2
g x
x
，满足
0
f
x
，
0
g
x
，
则
h x
f x
g x
x
，故( )
h x 是增函数，排除选项D；
当
( )
0
f
x
¢
>
，
0
g x
时，函数
f
x 为增函数，
g x 为减函数，则
g x
为增函数，
所以
h x
f x
g x
为增函数，故B 正确；
当
0
f
x
，
0
g
x
时，
f
x 为减函数，
g x 为增函数，
g x
为减函数，
所以
h x
f x
g x
为减函数，故C 正确.
故选：BC
10．若函数
cos
f
x
ax
x
在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是
．
【答案】
, 1
【详解】由函数
cos
f
x
ax
x
，可得
sin
f
x
a
x
，
因为函数
f
x 在R 上单调递减，则
0
f
x
在R 上恒成立，即
sin
a
x
在R 恒成立，
因为sin
[ 1,1]
x
，所以
1
a ，即实数a 的取值范围为
, 1
.
故答案为：
, 1
.
11．已知函数
2
2
ln
f x
x
x
，若
f
x 在区间
2 ,
1
m m
上单调递增，则实数m 的取值范围是
.
【答案】1
[ ,1)
4
【详解】由
2
2
ln
f x
x
x
得
2
1
4
1
4
x
f
x
x
x
x
，
由于函数
f
x 的定义域为
0,
，故令
0
f
x
,解得
1
2
x
，故
f
x 的单调递增区间为1 ,
2
，
若
f
x 在区间
2 ,
1
m m
上单调递增，则
1
2
2
1
2
m
m
m
，解得1
1
4
m
，
故答案为：1
[ ,1)
4
12．已知函数
2
ln
a
g x
x
x
x
在区间
1,2 上不单调，则实数a 的取值范围是
.
【答案】
10, 3
【详解】
2
2
2
1
2
2
a
x
x
a
g
x
x
x
x
=
∵函数
g x 在区间
1,2 上不单调，
∴
0
g
x
在区间
1,2 内有解，
则
2
2
1
1
2
2
4
8
a
x
x
x
在
1,2 内有解，
易知函数
2
2
y
x
x
在
1,2 上是减函数，
∴
2
2
y
x
x
的值域为
10, 3
，
因此实数a 的取值范围为
10, 3
.
故答案为：
10, 3
13.已知定义在R 上的函数
f x 的导函数为
f
x
，且对任意
R
x
都有
2
f
x
，
2
0
f
，则不等式
2
4
0
f x
x
的解集为（
）
A．
2,
B．
1,
C．
,1
D．
,2
【答案】A
【解析】令
2
4
g x
f x
x
，则
2
0
g
x
f
x
，所以
g x 在R 上递增，
又
2
2
2 2
4
0
g
f
，
则不等式
2
4
0
f x
x
等价于
2
g x
g
，所以
2
x
，故选：A
14.定义在
0,
上的函数
f x 满足：
0
x
有
0
f x
xf
x
成立且
2
2
f
，则不等式
4
f x
x
的
解集为
.
【答案】
0,2
【解析】设
'
,
h x
xf x
h x
xf x
f x
xf
x
.
又
0
x
有
0
f x
xf
x
成立，
函数
0
h x
，即
h x 是
0,
上的增函数.
则
4
0,
4
x
f
x
xf
x
x
，即
4
2
2
2 ,
0
2
h x
f
h
x
.
15.已知函数
2
2
1
2
ln
2
f x
a
x
x
ax a
R ．
(1)当
1
a 时，求曲线
y
f x
在
1,
1
f
处的切线方程；
(2)讨论函数
f
x 的单调性；
【答案】(1)
3
2
y
(2)答案见解析
【详解】（1）当
1
a 时，
2
1
2ln
2
f
x
x
x
x
，
'
2
( )
1
f
x
x
x
，所以
'
3
(1)
2
1 1
0,
(1)
2
f
f
，曲线
y
f x
在
1,
1
f
处的切线方程为
3
2
y
.
（2）
2
2
'
2
(
2 )(
)
( )
x
ax
a
x
a x
a
f
x
x
x
，
①当
0
a
时，
'( )
0
f
x
x
，所以函数在(0,
)
上单调递增；
②当
0
a
时，令
'( )
0
f
x
，则
1
2
x
a
(舍)或
2x
a
，
'( )
0,0
f
x
x
a
，当
(0, )
x
a
时，函数
f
x 单调递减；
'( )
0,
f
x
x
a
，当
( ,
)
x
a
时，函数
f
x 单调递增.
③当
0
a
时，令
'( )
0
f
x
，则
1
2
x
a
或
2x
a
(舍)，
'( )
0,0
2
f
x
x
a
，当
(0, 2 )
x
a
时，函数
f
x 单调递减；
'( )
0,
2
f
x
x
a
，当
( 2 ,
)
x
a
时，函数
f
x 单调递增.
综上所述：当
0
a
时，函数在(0,+∞)上单调递增；
当
0
a
时，当
(0, )
x
a
时，函数
f
x 单调递减
当
( ,
)
x
a
时，函数
f
x 单调递增；
当
0
a
时，当
(0, 2 )
x
a
时，函数
f
x 单调递减；
当
( 2 ,
)
x
a
时，函数
f
x 单调递增
16.已知函数
3
2
1
1
1
3
2
a
f
x
x
x
a
x
.
(1)若曲线
y
f x
在点
2
2
f,
处的切线与直线6
1
0
x
y
平行，求出这条切线的方程；
(2)讨论函数
f
x 的单调性.
【答案】(1)18
3
5
0
x
y
(2)答案见解析
【详解】（1）
2
1
f
x
x
ax
a
，
2
3
3
f
a
由已知
2
6
f
，
∴3
3
6
a
得
3
a
又
31
2
3
f
∴曲线
f
x 在点
2
2
f,
处的切线方程为
31
6
2
3
y
x
化简得：18
3
5
0
x
y
（2）
3
2
1
1
1
3
2
a
f
x
x
x
a
x
定义域为R，
1
1
f
x
x
a
x
，令
0
f
x
得
1
x
a
或= 1
x
①当1
1
a
即
2
a
时，
令
( )
0
f
x
¢
>
得
1
x 或
1
x
a
，令
0
f
x
得1
1
a
x
，
故
f
x 在
1
, 1
a
单调递减，在
,1 a
，
1,
上单调递增；
②当1
1
a
即
2
a
时，
2
1
0
f
x
x
恒成立，
故
f
x 在R 上单调递增；
③当1
1
a
即
2
a
时，
令
( )
0
f
x
¢
>
得
1
x
a
或
1
x ，令
0
f
x
得1
1
x
a
，
f
x 在
1,1
a
上单调递减，在
, 1
，
1
,a
上单调递增；
综上，当
2
a
时，
f
x 在
1
, 1
a
单调递减，在
,1 a
，
1,
上单调递增；
当
2
a
时，
f
x 在R 上单调递增；
当
2
a
时，
f
x 在
1,1
a
上单调递减，在
, 1
，
1
,a
上单调递增；
