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专题 10 利用导数研究函数的单调性、极值和最值
【考纲要求】
1、了解函数的单调性与导数的关系；
2、能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).
3、了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值；
4、会求闭区间上函数的最大值、最小值
一、利用导数研究函数的单调性
【思维导图】
【考点总结】
1．函数的导数与单调性的关系
函数y＝f(x)在某个区间内可导，则
(1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内单调递增。
(2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内单调递减。
(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数。
二、利用导数研究函数的极值与最值
【思维导图】
【考点总结】
1、函数的极小值
若函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，且f′(a)＝0，而且在
点x＝a附近的左侧 f ′( x ) ＜ 0 ，右侧 f ′( x ) ＞ 0 ，则x＝a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值。
2、函数的极大值
若函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，且f′(b)＝0，而且在
点x＝b附近的左侧 f ′( x ) ＞ 0 ，右侧 f ′( x ) ＜ 0 ，则x＝b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值，极大值
和极小值统称为极值。
3、函数的最值与导数
(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件：
一般地，如果在区间[a，b]上，函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小
值。
(2)求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤为：
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是
最小值。
三、利用导数研究零点与不等式恒成立问题【思维导图】
【题型汇编】
题型一：利用导数研究函数的单调性
题型二：利用导数研究函数的极值
题型三：利用导数研究函数的最值
题型四：导数中的极值点偏移问题
【题型讲解】
题型一：利用导数研究函数的单调性
一、单选题
1．（2022·全国·高考真题）设 ，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江西赣州·二模（理））已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·上海松江·二模）下列函数中，与函数 的奇偶性和单调性都一致的函数是（ ）A． B．
C． D．
4．（2022·四川省泸县第一中学二模（文））下列函数中为奇函数且在 单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·北京·首都师范大学附属中学三模）下列函数中，既是偶函数又在 上单调递减的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·江西师大附中三模（理））下列函数中既是奇函数又是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·云南曲靖·二模（文））设 是函数 的导函数， 是函数 的导函数，若对任意
恒成立，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
1．（2022·湖南·长沙市明德中学二模）已知 ，若 （ 为自然对数的底数），
则（ ）
A． B．C． D．
三、解答题
1．（2022·北京·高考真题）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)设 ，讨论函数 在 上的单调性；
2．（2022·浙江·高考真题）设函数 ．
(1)求 的单调区间；
题型二：利用导数研究函数的极值
一、单选题
1．（2022·陕西商洛·一模（文））已知函数 ，则 的极大值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·甘肃平凉·二模（文））已知函数 的导函数的图象如图所示，则 的极值点的个数为
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2022·陕西西安·二模（理））函数 的定义域为 ，其导函数 的图像如图所示，则函数
极值点的个数为（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2022·宁夏·吴忠中学三模（理））下列函数中，既是奇函数又存在极值的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·内蒙古包头·一模（理））设 ，若 为函数 的极小值点，则
（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·内蒙古呼伦贝尔·二模（文））已知 是函数 的极值点，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．
7．（2022·江西南昌·一模（理））已知函数 ，若不等式 的解集
为 ，且 ，则函数 的极大值为（ ）
A． B． C．0 D．
二、多选题
1．（2022·重庆八中模拟预测）设函数 的定义域为 ， 是 的极小值点，以下结论一定正
确的是（ ）
A． 是 的最小值点
B． 是 的极大值点C． 是 的极大值点
D． 是 的极大值点
2．（2022·湖南怀化·一模）下列函数中，存在极值点的是（ ）
A． B． C． D．
三、解答题
1．（2022·天津·耀华中学二模）已知函数 .
(1)若 ，求函数 的单调区间；
(2)若 存在两个极小值点 ，求实数 的取值范围.
2．（2022·北京市第十二中学三模）已知函数 .
(1)当 时，求函数 的单调递增区间；
(2)设函数 ，若 在 上存在极值，求a的取值范围.
题型三：利用导数研究函数的最值
一、单选题
1．（2022·河南郑州·三模（文）） 在区间 上的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．
2．（2022·广西南宁·二模（文））已知函数 ， ，则函数 的最大
值是（ ）
A． B． C．-1 D．
3．（2022·江西萍乡·三模（理））已知定义在 上的函数 ，对任意 ，当 时，都有，若存在 ，使不等式 成立，则实数 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心三模（文））设直线 与函数 的图像分
别交于点 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·山西晋城·三模（理））已知函数 ，若对任意 ， ，
恒成立，则m的最大值为（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．e
二、解答题
1．（2022·天津·二模）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)求函数 的单调区间；
(3)当 时，求函数 在区间 上的最小值．
2．（2022·北京房山·二模）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)求函数 在 上的最小值.
题型四：导数中的极值点偏移问题
一、解答题
1．（2022·天津河东·二模）已知函数 （ 且 ）．(1) ，求函数 在 处的切线方程．
(2)讨论函数 的单调性；
(3)若函数 有两个零点 ，且 ，证明： ．
2．（2022·天津·二模）设函数 为 的导函数.
(1)求 的单调区间；
(2)讨论 零点的个数；
(3)若 有两个极值点 且 ，证明： .
3．（2022·黑龙江·哈尔滨三中三模（理））已知 .
(1)讨论 的单调性；
(2)设 、 为两个不相等的正数，且 ，其中 .“以直代曲”是微积分的基本思想和重要
方法.请你在①、②两种方法中选择一种（也可以同时选择①②）来证明： .
①用直线 代替曲线 在 之间的部分；②用曲线 在 处的切线代替其在
之间的部分.
