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2025二轮复习专项训练6
导数的几何意义及函数的单调
[考情分析] 1.此部分内容是高考命题的热点内容．在选择题、填空题中多考查导数的计算、
几何意义，难度较小.2.应用导数研究函数的单调性多在选择题、填空题靠后的位置考查，
难度中等偏上，属综合性问题．
【练前疑难讲解】
一、导数的计算和几何意义
1．导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
(3)′＝(g(x)≠0)．
2．导数的几何意义
(1)f′(x)的几何意义：曲线y＝f(x)在点(x ，f(x))处的切线的斜率，该切线的方程为y－f(x)
0 0 0 0
＝f′(x)·(x－x)．
0 0
(2)切点的两大特征：①在曲线y＝f(x)上；②在切线上．
二、利用导数研究函数的单调性
求可导函数单调区间的一般步骤
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)求导函数f′(x)；
(3)由f′(x)>0的解集确定函数f(x)的单调递增区间，由f′(x)<0的解集确定函数f(x)的单调
递减区间．
三、由单调性求参数范围
由函数的单调性求参数的取值范围
(1)若可导函数f(x)在区间M上单调递增，则f′(x)≥0(x∈M)恒成立；若可导函数f(x)在区间
M上单调递减，则f′(x)≤0(x∈M)恒成立；
(2)若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，则f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解
集；
(3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，则I是
其单调区间的子集．
一、单选题
1．（2024·广东·模拟预测）若函数 是偶函数，则曲线 在
处的切线斜率为（ ）
A． B．0 C． D．
学科网（北京）股份有限公司2．（24-25高三上·安徽·开学考试）已知函数 的图象在点 处的切线
方程为 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
3．（2023·陕西榆林·模拟预测）若函数 在其定义域内单调递增，则实
数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·云南大理·模拟预测）若函数 在 为增函数，则实数
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、解答题
5．（2024·浙江金华·一模）已知函数 ， .
(1)若 ，求 的单调区间；
(2)若 ，求 的取值范围.
6．（2024·江西新余·模拟预测）已知函数 .
(1)若 ，求 在 处的切线方程.
(2)讨论 的单调性.
(3)求证：若 ， 有且仅有一个零点.
【基础保分训练】
一、单选题
1．（2023·山东潍坊·模拟预测）设 为 上的可导函数，且 ，
学科网（北京）股份有限公司则曲线 在点 处的切线斜率为（ ）
A．2 B．-1 C．1 D．
2．（2023·河南郑州·二模）已知曲线 在点 处的切线方程为 ，
则 （ ）
A．－1 B．－2 C．－3 D．0
3．（2023·山东·二模）已知直线 与曲线 相切，则实数a的值为（ ）
A． B． C．0 D．2
4．（2023·贵州贵阳·模拟预测）若 在 和 处有极值，则函数
的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·重庆·一模）已知函数 ，则“ ”是“ 在 上单
调递增”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2024·重庆·模拟预测）已知函数 ， 为实数， 的导函数为 ，
在同一直角坐标系中， 与 的大致图象不可能是（ ）
A． B．
学科网（北京）股份有限公司C． D．
二、多选题
7．（2023·湖南·模拟预测）已知函数 和 分别为奇函数和偶函数，且
，则（ ）
A．
B． 在定义域 上单调递增
C． 的导函数
D．
8．（22-23高三上·江苏南京·阶段练习）已知函数 ， ，则下列结论正确
的是（ ）
A．函数 在 上单调递增
B．存在 ，使得函数 为奇函数
C．任意 ，
D．函数 有且仅有2个零点
三、填空题
9．（2022·全国·高考真题）若曲线 有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围
是 ．
10．（2023·广西·一模）若曲线 与 有一条斜率为2的公切线，则
学科网（北京）股份有限公司.
11．（2022·全国·模拟预测）曲线 在 处的切线与直线
平行，则 .
四、解答题
12．（22-23高二下·四川资阳·期末）已知函数 ．
(1)求曲线 在 处的切线方程；
(2)若 时， 单调递增，求 的取值范围．
13．（23-24高三上·湖北·期中）已知函数 .
(1)若曲线 在点 处的切线与直线 平行，求出这条切线的方程；
(2)讨论函数 的单调性.
【能力提升训练】
一、单选题
1．（2023·山东潍坊·模拟预测）已知函数 ， 及其导函数 ， 的定义域
均为 ， 为奇函数， 关于直线 对称，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·北京西城·模拟预测）已知函数 ，若存在 ，使得
成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
学科网（北京）股份有限公司3．（2023·广东佛山·二模）若斜率为1的直线 与曲线 和圆 都相切，
则实数 的值为（ ）
A． B．0 C．2 D．0或2
4．（2023·陕西宝鸡·二模）若过点 可作曲线 的三条切线，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全国·二模）若曲线 有三条过点 的切线，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·辽宁·模拟预测）已知 是定义在 上的奇函数， 也是
定义在 上的奇函数，则关于 的不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·北京海淀·一模）函数 是定义在 上的偶函数，其图象如图所示，
.设 是 的导函数，则关于x的不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
学科网（北京）股份有限公司二、多选题
8．（2025·四川巴中·模拟预测）已知函数 的图象关于 对称，下列
结论中正确的是（ ）
A． 是奇函数
B．
C．若 在 上单调递增，则
D． 的图象与直线 有三个交点
9．（2024·河南·模拟预测）已知函数 ，下列说法正确的是（ ）
A． 的最小正周期为
B．点 为 图象的一个对称中心
C．若 在 上有两个实数根，则
D．若 的导函数为 ，则函数 的最大值为
三、填空题
10．（22-23高二下·浙江杭州·期中）若直线 与曲线 相切，直线
与曲线 相切，则 的值为 .
11．（2023·广东佛山·一模）已知曲线 与曲线 （ ）相交，且在
交点处有相同的切线，则 .
四、解答题
12．（2020·四川成都·模拟预测）已知函数 （ ）.
学科网（北京）股份有限公司（1）若f(x)是定义域上的增函数，求a的取值范围；
（2）若 ，若函数f(x)有两个极值点 ， （ ），求 的取值范围.
13．（2024·江苏徐州·一模）已知函数 ， ．
(1)若函数 在 上单调递减，求a的取值范围：
(2)若直线 与 的图象相切，求a的值．
14．（22-23高二下·天津红桥·阶段练习）已知函数 .
(1)若 是 的极值点，求 的值；
(2)求函数 的单调区间；
(3)若函数 在 上有且仅有 个零点，求 的取值范围.
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