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函数的单调性与最值
2.2
1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.
2.掌握函数单调性的简单应用．
2.2 函数的单调性与最值..........................................................1
一、主干知识................................................................1
考点1：函数的单调性.....................................................2
考点2：函数的最值.......................................................2
二、分类题型................................................................4
题型一 确定函数的单调性..................................................4
命题点1 求具体函数的单调区间........................................4
命题点2 判断或证明函数的单调性......................................4
题型二 函数单调性的应用..................................................5
命题点1 比较函数值的大小............................................5
命题点2 求函数的最值................................................5
命题点3 解不等式....................................................5
命题点4 求参数的取值范围............................................6
三、课堂总结：知识图谱......................................................7
四、分层训练：课堂知识巩固..................................................8一、主干知识
考点1：函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x，
1
x∈D
2
定义 当x<x 时，都有 当x<x 时，都有f(x)>f(x)，
1 2 1 2 1 2
f(x)<f(x)，那么就称函数f(x) 那么就称函数f(x)在区间D
1 2
在区间D上单调递增 上单调递减
图象
描述
自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，
区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
考点2：函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
(1)∀x∈I， (1)∀x∈I，
都有 f ( x )≤ M ； 都有 f ( x )≥ M ；
条件
(2)∃x∈I， (2)∃x∈I，
0 0
使得 f ( x ) ＝ M 使得 f ( x ) ＝ M
0 0
结论 M为最大值 M为最小值
函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点
的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．
【解题方法点拨】
①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+ 的最小值，有2x+ ≥2 ＝8；
②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；
③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较．
【常用结论归纳】
1．∀x，x∈D且x≠x，有>0(<0)或(x－x)[f(x)－f(x)]>0(<0)⇔f(x)在区间D上单调递增(减)．
1 2 1 2 1 2 1 2
2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数．
3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反．
4．复合函数的单调性：函数y＝f(u)，u＝φ(x)在函数y＝f(φ(x))的定义域上，如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性
相同，那么y＝f(φ(x))单调递增；如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相反，那么y＝f(φ(x))单调递减．二、分类题型
题型一 确定函数的单调性
命题点1 求具体函数的单调区间
【例题精析1】 （2023·全国·高三专题练习）函数 的单调递减区间为__________．
【例题精析2】 （2023·全国·高三专题练习）函数f(x)=lg(- )的单调增区间____________.
命题点2 判断或证明函数的单调性
【例题精析3】 已知函数 ．
（ ）判断并证明函数 在 的单调性．
确定函数单调性的四种方法
(1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法．【对点精练1】 下列函数中，定义域为 ，且在区间 上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【对点精练2】 （2022·上海·高一专题练习）函数 的单调递增区间为___________．
题型二 函数单调性的应用
命题点1 比较函数值的大小
【例题精析4】 （2023·安徽黄山·统考二模）已知 满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
命题点2 求函数的最值
【例题精析5】 已知函数 ， ，则 的最小值是_______，最大值是________.
(1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的，则用
数轴表示，此时要注意端点的情况．
(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．命题点3 解不等式
【例题精析6】 （2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，且 ，则实
数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
命题点4 求参数的取值范围
【例题精析7】 函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
(1)比较函数值的大小时，转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．
(2)求解函数不等式，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域．
(3)利用单调性求参数的取值(范围)．根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))
或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值．
【对点精练3】 （2023·福建·统考模拟预测）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【对点精练4】 （2023·全国·模拟预测）若实数 ， ， ，且满足 ， ， ，
则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．【对点精练5】 已知函数 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【对点精练6】 已知函数 ，若 在 上单调递增，则实数a的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
三、课堂总结：知识图谱四、分层训练：课堂知识巩固
1．（2022•武昌区模拟）下列函数中，定义域是 且为增函数的是
A． B． C． D．
2．（2021•甲卷）下列函数中是增函数的为
A． B． C． D．
3．（2021•锡林郭勒盟二模）已知函数 在 ， 上单调递减，则 的取值范围
是
A． ， B． C． ， D． ，
4．（2023•重庆模拟）函数 的单调减区间为 ， ．
5．（2023•泸县校级模拟）函数 满足：①定义域为 ，② ，③ ．请写出满足上述条件的一个函数 ， ．
6．（2022•鼓楼区校级模拟）若函数 对于 上的任意 都有 ，
则实数 的取值范围是 ．
7．（2021•新高考Ⅰ）函数 的最小值为 ．
8．（2021•中卫三模）已知函数 在 上存在最小值，则 的取值范围是 ．
9．（2021•浦东新区三模）函数 的单调递减区间为 ．
10．（2022•河南模拟）已知函数 ， ．
（Ⅰ）当 时，求函数 的最大值；
（Ⅱ）若对 ， ，关于 的不等式 恒成立，当 时，求 的取值范围．
1．（2023•吴忠模拟） 的最大值与最小值之差为
A． B． C． D．0
2．（2022•包头一模）设函数 ，则满足 的 的取值范围是
A． ， B． C． ， D．
3．（2019•洛阳一模）已知 是 上的增函数，那么实数 的取值范围是A． B． C． D．
4．（2019•临渭区模拟）函数 ，当 ， 时，有 恒成立，则实数
的取值范围是
A． B． C． ， D． ，
5．（2020•丰台区一模）若 ，则函数 的最小值为 ，此时 ．
6．（2018秋•南岗区校级期中）函数 的单调递减区间是
1．（2021•柳南区校级模拟）设 ．其中 ，则 的最小值为
A． B． C． D．
2．（2015•长春四模）已知函数 ，若 ，则 的最小值为
A． B． C． D．
3．（2019•青羊区校级模拟）设函数 的定义域为 ，若存在非零实数 使得对于任意 ，
有 ，且 ，则称 为 上的 高调函数．如果定义域为 的函数 是奇函数，
当 时， ，且 为 上的4高调函数，那么实数 的取值范围是 ．
