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2025第五章
导数的应用第二部分 题型解析
题型一：判断函数的单调性(★★★)
解题思路：判断函数单调性的思路如下：
思路 1——如果 f ( x ) 可导，求 f ( x ) 的单调区间，步骤如下：
1. 确定函数的定义域.
2. 求 f ( x ) ，得到函数的驻点和不可导点.
3. 用驻点和不可导点将函数的定义域分成若干个小区间，判断 f ( x )
在这些区间上的正负得到函数的单调区间.
思路 2——抽象函数或不可导函数利用单调性的定义判别.【例5.1】 若函数 f ( x ) 可导且 f ( x ) f ( x ) > 0 ，则( ).
(A) f (1) f (−1) (B) f (1) f (−1) (C) f (1) f (−1) (D) f (1) f (−1)【例5.2】 设 f ( x , y ) 具有一阶偏导数，且对任意的 ( x , y ) ，都有
f (
x
x
, y )
0 ,
f (
x
y
, y )
0 ，则( ).
(A) f (0,0) f (1,1) (B) f (0,0) f (1,1)
(C) f ( 0 , 1 ) f ( 1 , 0 ) (D) f ( 0 , 1 ) f ( 1 , 0 )【例5.3】 设函数 f ( x ) 连续，且 f ( 0 ) 0 则存在 0 ，使得( ).
(A) f (x)在(0,)内单调增加 (B) f (x)在(−,0)内单调减少
(C)对任意的 x ( 0 , ) ，有 f ( x ) f ( 0 )
(D)对任意的 x ( , 0 ) − ，有 f ( x ) f ( 0 )题型二：求函数的极值(★★★)
解题思路：如果要求函数的极值，思路如下
思路 1——已知 f ( x ) 表达式且可导，方法如下：
第一步：确定 f ( x ) 的定义域.
第二步：求出导数 f (x)，并求出可疑极值点：全部驻点和不可导点
x
1
, x
2
, , x
n
.
第三步：判断 x , x , , x 是否为极值点. 可以选用第一、第二、第三充
1 2 n
分条件三种方法来进行判断.o
极值第一充分条件：如果在U( x ,)内
0
f ( x ) 异号，那么 x
0
为极值点；
如果在 U
o
( x
0
, ) 内 f ( x ) 不变号，则 f ( x ) 在 x
0
处不取极值.
极值第二充分条件：如果 f ( x
0
) = 0 ，且当 f ( x
0
) 0 (或 f (x ) 0)
0
时，函数 f (x)在 x 处取得极大(小)值; 当
0
f ( x
0
) = 0 时，该法失效，判
断不出.极值第三充分条件：如果 f ( x
0
) = f ( x
0
) = = f ( n − 1 ) ( x
0
) = 0 ，但
f ( n ) ( x
0
) 0 ，那么当 n 为偶数时 f ( x
0
) 是极值点，且当 f ( n ) ( x
0
) 0 (或
f ( n ) ( x
0
) 0 )时函数 f ( x ) 在 x 处取得极小(大)值.
0
思路 2——用极值的定义判别极值，这种题往往适用于抽象函数 f (x)
或无法求导时.【例5.4】 求函数 f ( x ) =
1
x
2
( x 2 − t ) e − t
2
d t 的单调区间与极值.【例5.5】 已知函数 y ( x ) 由方程 x 3 + y 3 − 3 x + 3 y − 2 = 0 确定，求 y ( x )
的极值.题型三、函数的最值(值域) (★★)
解题思路
思路 1——如果求函数 f ( x ) 在区间 I 上的最值或值域，可
第一步、求 f (x)，并求出 I 内的所有驻点和不可导点 x
1
, x
2
, .
第二步、求出区间 I 两端函数值（若两端点无意义则求极限值）和所
有驻点不可导点函数值 f ( x
i
) .
第三步、比较上述值的大小，最大的即为最大值 M (或值域上限)，
最小的即为最小值 m (或值域上限)，此时 [ m , M ] (或开区间)即为值域.思路 2——通过单调性求出函数 f ( x ) 在区间 I 上的最值或值域，可用
单调性计算：
第一步、求 f (x)，并求出 I 上的所有驻点和不可导点 x , x , .
1 2
第二步、求出 f ( x ) 在 I 上的单调区间.
第三步、根据单调性判断并求出 f ( x ) 的最大值或最小值.
x+
【例5.6】 设 f (x) = 2 |sint | dt .
x
(1)证明 f ( x ) 是以为周期的周期函数;(2)求 f ( x ) 的值域.题型四、函数恒等式的证明(★★)
解题思路——如果要证明某区间 I 上一个函数等式 f (x) = g(x)成立，
只需
第一步、移项令 F ( x ) = f ( x ) − g ( x ) .
第二步、求导，证明 F ( x ) = 0 在 I 上恒成立，则 F ( x ) 为一常数 C .
第三步、 I 上取一特殊点 x
0
代入 F ( x ) ，证明C = 0即可.【例5.7】 设函数 f ( x ) 在区间 [ 0 , a ] 上单调增加并有连续的导数，且
f ( 0 ) = 0 , f ( a ) = b ， g(x)是 f (x)的反函数. 证明：
0
a
f ( x ) d x +
0
b
g ( x ) d x = a b 恒成立.题型五：不等式的证明(★★★★)
解题思路：形如证明某区间 I 上 f (x) g(x)成立的这种问题，称之为
函数不等式问题.
思路 1——利用单调性及最值(值域)证明不等式.
第一步、对不等式移项，构造辅助函数 F ( x ) = f ( x ) − g ( x ) ，或两
边含分式也可交叉相乘再移项构造 F ( x ) ，问题转化成找 F ( x ) 的最小值
(值域)问题.
第二步、求导F(x)，找驻点，进而分析出 F ( x ) 的单调区间，从而
找到F(x)的最小值.解题思路 2——若不等式出现同类函数差 f ( b ) − f ( a ) ，可用拉格朗日
中值定理证明.
解题思路 3——出现 f ( x ) 及其二阶或者二阶以上导数的信息，考虑用
泰勒公式证明.
如果不等式两端仅含 a , b 不含 x ，可考虑将 b (或 a )变为 x 后再证明不等
式.1 − x ln(1 + x)
【例5.8】 证明：当0 x 1时， .
1 + x arcsin x【例5.9】 证明 x 0 时， ( x 2 − 1 ) l n x ( x − 1 ) 2【例5.10】 设 f ( x ) 在 [ 0 , 1 ] 上连续，在 ( 0 , 1 ) 内二阶可导， f (0) = f (1)，
| f ( x ) | A . 证明： | f ( x ) |
A
2
.【例5.11】 设 0 a b ，证明不等式
a 2
2
+
a
b 2
l n b
b
−
−
l
a
n a
1
a b
.题型六：讨论方程的根的问题(★★★)
解题思路——形如求 f (x) = g(x)根有几个的问题，应用利用单调性及
零点定理解决：
第一步、先移项，令 F ( x ) = f ( x ) − g ( x ) ，即变成讨论 F ( x ) = 0 根的
个数.
第二步、求导得 F ( x ) ，求出 F ( x ) 的单调区间.
第三步、每个单调区间应用零点定理看是否有零点，可得 F ( x ) = 0
的总根数.【例5.12】 求方程 k a r c t a n x − x = 0 不同实根的个数,其中 k 为参数.【例5.13】 设 a 为常数,求方程 a e x − 1 − x −
x
2
2
= 0 不同实根的个数.题型七、凹凸性与拐点问题(★★★)
求 f ( x ) 的凹凸性与拐点的问题，解题思路有两个：
解题思路 1——利用二阶导数来求函数凹凸区间与拐点，方法如下：
第一步：确定 f ( x ) 的定义域.
第二步：求出导数 f ( x ) ，并求出可疑拐点： f ( x ) = 0 和 f ( x ) 不存
在的点 x , x , , x
1 2 n
第三步：判断 x
1
, x
2
, , x
n
是否为拐点，判断方法可用第一充分条
件、第二充分条件来进行判断.拐点第一充分条件 若 f ' ' ( x
0
) = 0 (或不存在)，当 x 经过 x
0
时 f ( x ) 变
号，则 ( x
0
, f ( x
0
) ) 为拐点.
拐点第二充分条件 设 f ( x
0
) = f ( x
0
) = = f ( n − 1 ) ( x
0
) = 0 ，但
f ( n ) ( x
0
) 0 ，那么当 n 为奇数时， ( x
0
, f ( x
0
) ) 为拐点.
解题思路 2——抽象函数利用凹凸性与拐点的定义来判断.【例5.14】 设函数 y + x y = e
−
x
2
2
满足条件 y ( 0 ) = 0 的特解.(1)求 y ( x ) .(2)求曲线 y = y ( x ) 的凹凸区间和拐点【例5.15】 设函数 f ( x ) 在 ( − , + ) 内连续，其导函数的图形如图所
示，则( ).
(A)函数 f ( x ) 有 2 个极值点，曲线 y = f ( x ) 有 2 个拐点.
(B)函数 f ( x ) 有 2 个极值点，曲线 y = f ( x ) 有 3 个拐点.
(C)函数 f ( x ) 有 3 个极值点，曲线 y = f ( x ) 有 1 个拐点.
(D)函数 f (x)有 3 个极值点，曲线 y = f ( x ) 有 2 个拐点.【例5.16】 设函数 f ( x ) 满足关系式 f (x) + [ f (x)]2 = x，且 f ( 0 ) = 0 ，
则( )
(A) f ( 0 ) 是 f ( x ) 的极大值
(B) f ( 0 ) 是 f ( x ) 的极小值
(C)点 ( 0 , f ( 0 ) ) 是曲线 y = f ( x ) 的拐点
(D) f ( 0 ) 不是 f ( x ) 的极值，点(0, f (0))也不是曲线 y = f (x)的拐点题型六：曲率(★★)（仅数一、数二考）
d
1. 定义 K = lim = .
s ds
s→0
2. 曲率的计算公式 K
d
d s ( 1
| y
y 2
|
) 3 2
= =
+
.
3.曲率圆与曲率半径 在 M 处曲线的法线上，在凹的一侧取一点 D ，使
D M =
1
K
= r 以 D 为圆心，r 为半径作圆，这个圆叫做曲线在点 M 处
的曲率圆，曲率圆的半径 r =
1
K
叫做曲线在点 M 处的曲率半径
解题思路——了解曲率的含义、曲率的计算公式、曲率圆与曲率半径
即可.【例5.17】 曲线
x
y
=
=
t
t
2
2
+
+
7
4 t + 1
上对应于 t = 1 的点处的曲率半径是( ).
10
(A) (B)
50 1
1
0
0
0
(C) 1 0 1 0 (D) 5 1 0【例5.18】 已知抛物线 y = a x 2 + b x + c 在点 M ( 1 , 2 ) 处的曲率圆的方程为
x −
1
2
2
+
y −
5
2
2
=
1
2
,试求常数 a , b , c .
