2025第六章
不定积分第一部分 知识点解析
一、原函数与不定积分的概念
1. 原函数 对 x I ，都有 F ( x ) = f ( x ) ，那么 F ( x ) 就称为 f ( x ) 在区
间 I 上的原函数.
2.原函数存在定理 连续函数必然存在原函数F(x). 如果函数 f ( x ) 在某
区间内存在第一类间断点及无穷间断点，则 f ( x ) 必不存在原函数；如
果 f (x)存在振荡间断点，则 f (x)可能存在原函数，也可能不存在原函
数.3.不定积分 求 f ( x ) 的全体原函数称为 f ( x ) 的不定积分，记作
f ( x ) d x = F ( x ) + C .二、基本积分表
(1) kdx = kx + C(k是常数)
(3)
1
x
d x = l n x + C
(5) a x d x =
l
a
n
x
a
+ C
(7) sin xdx = −cos x + C
(9)
s i n
1
2 x
d x = c s c 2 x d x = − c o t x + C
(2)
1
(11) dx = arcsin x + C
1− x2
(13)csc xcot xdx = −csc x + C ,
(15) cot xdx = ln | sin x | +C
x d x
1
1
x 1 C , ( 1 )
=
+
+ + −
(4) e x d x = e x + C
(6) c o s x d x = s i n x + C
1
(8) dx = sec2 xdx = tan x + C
cos2 x
1
(10) dx = arctan x + C
1+ x2
(12) s e c x t a n x d x = s e c x + C
(14) tan xdx = −ln | cos x | +C
(16) sec xdx = ln | sec x + tan x | +C(17) c s c x d x = l n | c s c x − c o t x | + C
1 1 x − a
(19) dx = ln | | +C
x2 − a2 2a x + a
(21)
x
d
2
x
+ a 2
= l n ( x + x 2 + a 2 ) + C
(18)
a 2
1
+ x 2
d x =
1
a
a r c t a n
x
a
+ C
(20)
a 2
1
− x 2
d x = a r c s i n
x
a
+ C
dx
(22) = ln | x + x2 − a2 | +C
x2 − a2三、不定积分的性质
性质 1
f ( x ) g ( x )
d x = f ( x ) d x g ( x ) d x .
性质 2 k f ( x ) d x = k f ( x ) d x .四、凑微分法
f [ ( x ) ] ( x ) d x f [ ( x ) ] d ( x )
u ( x )
f ( u ) d u F ( u ) C F [ ( x ) ] C
=
=
= + = +五、换元积分法 f (x)dx = f [(t)]d(t) = f [(t)](t)dt .
常见的几种换元积分法
(1)如果 f ( x )
ax + b
含 n ,
cx + d
n a x + b , n e a x + b 时，应将整个无理根式换元
成 t .
(2)如果 f ( x ) 同时含 m a x + b 和 n a x + b
p
，则应令t = ax + b ， p 为 m , n 的
最小公倍数.(3).设 a 0 ，则
若 f ( x ) 有 a 2 − x 2 , 则令 x = a s i n t ,
2
t
2
− ；
若 f ( x ) 有 x 2 + a 2 , 则令 x = a t a n t
, − t ；
2 2
若 f ( x ) 有 x 2 − a 2 , 当 x a 时，令 x = asect,其中 0 t
2
; 当 x a
时，先令 u = − x ，则 u a ，再令u = asect 换元即可.
若有 ax2 + bx + c , 则应先配方成上述三种情形再做三角换元.六、分部积分法
u v d x = u v − u v d x 或 u v d x = u d v = u v − v d u .
v类函数(积分) 中间类函数 u 类函数(求导)
e a x , s i n a x , c o s a x ,
f (x)(在已知
f ( x )
幂函数 x a ,
多项式函数
时) P
n
( x )
l n x , a r c t a n x , a r c s i n x ,
变限积分类函数
x
f (t)dt
a表格法：七、有理函数积分法
1.定义 形如积分
Q
P
n
m
(
(
x
x
)
)
d x =
b
a
m
n
x
x
n
m
+
+
a
b
n
m
−
−
1
1
x
x
n
m
− 1
− 1
+
+
+
+
a
b
1
1
x
x
+
+
a
b
0
0
d x ，称为
有理函数的积分，如果 n m
P ( x)
，则 n 称为假分式；如果
Q ( x)
m
n m ，则
Q
P
n
m
(
(
x
x
)
)
称为真分式.二、有理函数的积分方法
核心思想——“拆”：
step1. 如果
Q
P
n
m
(
(
x
x
)
)
为假分式，先分解成“多项式+真分式”，分解方
法有两个：一个方法是拼凑法——分子拼凑出分母的因式后直接分
解；一个是利用多项式的长除法来进行分解.step2. 如果
Q
P
n
m
(
(
x
x
)
)
为真分式，且分母 Q
m
( x ) 可因式分解，则可将
Q
P
n
m
(
(
x
x
)
)
继续分解成几个最简真分式之和，分解方法有两个，
一个方法是拼凑法；一个是用待定系数法按照如下拆分原则进行拆分：
(1) 若Q (x)含因式
m
( a x + b ) ，则可分解出一项
a x
A
+ b
；
(2) 若Q (x)含因式
m
( a x + b ) k ，则可分解出 k 项
a x
A
+
1
b
+
( a x
A
+
2
b ) 2
+ +
( a x
A
+
k
b ) k
；
(3) 若Q (x)含因式
m
( a x 2 + b x + c ) ，则可分解出一项
a x
A
2
x
+
+
b x
B
+ c
；
(4) 若Q (x)含因式(ax2 + bx + c)k ，则可分解出
m
k 项：
A x + B A x + B A x + B
1 1 + 2 2 + + k k .
ax2 + bx + c (ax2 + bx + c)2 (ax2 + bx + c)k
然后解出待定系数，即可得到原真分式拆分的最简形式.第二部分、题型解析
题型一：关于原函数与不定积分的概念性质(★★)
解题思路——根据原函数、不定积分的概念求解.【例6.1】 设 f ( x ) =
c
s
o
i n
s x
x
,
,
x
x
0
0
, g ( x ) =
x s i n
0 ,
1
x
,
x
x
=
0
0
在区间(−1,1)
内( ).
(A) f ( x ) 与 g(x)都存在原函数 (B) f ( x ) 与 g(x)都不存在原函数
(C) f ( x ) 存在原函数, g(x)不存在原函数 (D) f ( x ) 不存在原函数, g ( x ) 存
在原函数【例6.2】 已知函数 f ( x ) =
2 (
l n
x −
x ,
1 ) ,
x
x
1
1
，则 f ( x ) 的一个原函数为
( ).
(A) F ( x ) =
(
x
x
( l
−
n
1
x
) 2
−
,
1 ) ,
x
x
1
1
(B) F ( x ) =
(
x
x
( l
−
n
1
x
) 2
+
,
1 ) + 1
x
, x
1
1
(C) F ( x ) =
(
x
x
( l
−
n
1
x
) 2
+
,
1 ) , x
x
1
1
(D) F ( x ) =
(
x
x
( l
−
n
1
x
) 2
−
,
1 ) + 1 ,
x
x
1
1题型二：不定积分的计算(★★★★)
解题思路——考研试题一般不出技巧性很强的不定积分计算题目，而
是爱出综合计算题，即一道题中可能会涉及到凑微分法、换元积分
法、分部积分法、有理函数积分法中的多种计算方法，并且有一定的
计算量，所以务必要务必熟悉各种积分法及其适用的积分.【例6.3】 求不定积分
e
x e
x
x
− 1
d x【例6.4】 求不定积分 l n ( 1 +
1 +
x
x
) d x【例6.5】 计算不定积分
(
x
1
e
+
a r c
x
t a
2
n
)
x
3
2
d x .【例6.6】 计算 3
2
2
−
+
x
x
( 2 −
1
x ) 2
d x .【例6.7】 计算不定积分
(
2
2
x
x
3
+
+
1
3
)
x
( x
2
2
+
+
4 x
x
+
+ 1
3
)
d x .【例6.8】 计算
( 2 x + 1 )
d
3
x
+ 4 x − 4 x 2
