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2025第十章
多元函数微分学第三 节
多元函数的极值与最值第二部分、题型解析
题型一：求多元函数的无条件极值(★★★)
1.(无条件)极值的定义 如果对于该邻域内任何异于 ( x
0
, y
0
) 的点 ( x , y )
都有 f (x, y) f (x , y )(或
0 0
f ( x , y ) f ( x
0
, y
0
) ) 则称函数在点 ( x
0
, y
0
) 有
极大值(或极小值).2.求 z = f ( x , y ) 的(无条件)极值的方法
第一步：求出 f x ( x , y ) , f y ( x , y ) ，并解方程组 f x ( x , y ) = 0 , f y ( x , y ) = 0
求出所有驻点 ( x
i
, y
i
) .
第二步：每个驻点(x , y )求出 3 个二阶偏导数
i i
A = f x x ( x
i
, y
i
) , B = f x y ( x
i
, y
i
) , C = f y y ( x
i
, y
i
) .
第三步：用求出的 A, B,C 来判断每个驻点 ( x
i
, y
i
) 是否为极值点：
情形 1：若 A C − B 2 0 则 f ( x
i
, y
i
) 为极值，且当 A 0 时是极大值 当
A 0 时是极小值
2
情形 2：若 AC − B 0，则 f (x , y )不是极值
i i
情形 3：若 A C − B
2
= 0 时 f ( x
i
, y
i
) 可能是极值 也可能不是，改用极值
定义判断解题思路 1—— f ( x , y ) 为具体函数且二阶可偏导时，用偏导数求极值
解题思路 2——上述方法判断不了时，尤其是 f ( x , y ) 为抽象函数时，
可用定义判断.【例10.3.1】 已知函数 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 的某个邻域内连续，且
x →
l i0 m,
y → 0
f
(
(
x
x
2
,
+
y )
y
−
2 )
x
2
y
= 1 ，则( ).
(A)点(0,0)不是 f (x, y)的极值点 (B)点(0,0)是 f (x, y)的极大值点
(C)点 ( 0 , 0 ) 是 f (x, y)的极小值点 (D)根据条件无法判断(0,0)是否为
f ( x , y ) 的极值点【例10.3.2】 求函数 z = x 4 + y 4 − x 2 − 2 x y − y 2 的极值.【例10.3.3】 求由方程 x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 2 y − 4 z − 1 0 = 0 确定的函数
z = f ( x , y ) 的极值.题型二：条件极值与最值的问题(★★★★)
1. 条件极值 函数z = f (x, y)在条件(x, y) = 0下的极值，称为条件
极值，其中 f (x, y)称为目标函数， ( x , y ) 称为条件函数.
2. 条件最值 函数 z = f ( x , y ) 在条件(x, y) = 0下的最大、最小值，
称为条件最值.3.条件极值的求法
法一、条件代入法：如果(x, y) = 0可解出 y = y(x)或 x = x( y)或化成
参数方程
x
y
=
=
x
y
(
(
t
t
)
)
，则可将其代入到 z = f ( x , y ) 变成一元函数，然后利
用一元函数求极值的方法求解.
法二、拉格朗日乘数法：构造辅助函数 F ( x , y , ) f ( x , y ) ( x , y ) , = +
F(x, y) = f (x, y) + ( x, y) = 0
x x x
其中为某一常数 然后解方程组 F(x, y) = f ( x, y) + ( x, y) = 0 ，
y y y
(x, y) = 0
解出驻点 ( x
0
, y
0
,
0
) 则其中( x , y )就是所要求的极值点 条件极值问
0 0
题的难点往往在于求解方程组。解题思路：条件极值的求法
思路 1——条件代入法
思路 2——拉格朗日乘数法【例10.3.4】 求函数 u = x m y n z p 在条件 x + y + z = a ( m 0 , n 0 , p 0 ,
x 0, y 0, z 0)下的极大值.【例10.3.5】 已知曲线 C :
x
x
2
+
+
y
y
+
2 −
3 z
2
=
z 2
5
= 0
，求 C 上距离 x O y 平面最远
点与最近点．题型三：求区域 D 的最值(★★)
解题思路——z = f (x, y)最值可能在 D 内也有可能在边界之上，求法如
下：
第一步：令 f x ( x , y ) = 0 , f y ( x , y ) = 0 ，解出 D 内的驻点；
第二步：在区域 D 的边界(x, y) = 0上求出条件极值点；
第三步：比较以上所有点的函数值大小，最大的即为最大值，最小的
就为最小值.【例10.3.6】 设 f ( x , y ) 在有界闭区域 D 上有二阶连续偏导数，且
2
x
f
2
+
2
y
f
2
= 0 ，
x
2
f
y
0 ，则( )．
(A) f (x, y)在D的内部取得最值
(B) f ( x , y ) 在 D 的边界取得最大值与最小值
(C) f ( x , y ) 在D的内部取最大值，在 D 的边界上取最小值
(D) f ( x , y ) 在 D 的内部取最小值，在 D 的边界上取最大值【例10.3.7】 求二元函数 z = f ( x , y ) = x 2 y ( 4 − x − y ) 在直线 x + y = 6 与
x 轴、 y 轴所围成的闭区域 D 上的最大值与最小值．CASE 01
