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2025第十章
多元函数微分学第一节
多元函数的基本概念第二部分、题型解析
题型一：二元函数的极限(★)
定义 当 ( x , y ) 以任意方式趋于 ( x
0
, y
0
) 时， f ( x , y ) 均趋于 A ，则
( x , y
l)
→
i m
( x
0
, y
0
)
f ( x , y ) = A .解题思路——如果要求
( x , y
l)
→
i m
( x
0
, y
0
)
f ( x , y ) ，但尚不知道其是否存在，则
应
第一步、先判断. 先取一些特殊的路径让 ( x , y ) → ( x
0
, y
0
) 判断极限是否
存在，如果(1)某种趋向下 f ( x , y ) 极限不存在；(2)存在两种不同的趋
向， f ( x , y ) 分别趋于两个不同的常数，则极限必定不存在. 如果
f (x, y)总趋于同一个数 A ，则进行下一步.第二步、再计算 用如下方法来计算函数极限：
(1)极限的四则运算法则；
(2)等价无穷小的代换法；
(3)夹逼准则；
(4)有界变量与无穷小的乘积仍为无穷小，等等.
如果题目已知
( x , y
l)
→
i m
( x
0
, y
0
)
f ( x , y ) 存在，或易由上述方法求出极限，则可
直接进行第二步计算，无需第一步判断.【例10.1.1】 讨论 l
xy
i m→→
00
x
x
2
4
|
+
y
y
|
3
2
2
是否存在.【例10.1.2】 讨论 l
xy
i m→→
00
( x
2
x
+
4
y
y
4
4
)
3
的存在性.题型二：二元函数的连续性(★)
解题思路——如果要判断 f ( x , y ) 在 ( x
0
, y
0
) 处是否连续，应先判断
( x , y
l)
→
i m
( x
0
, y
0
)
f ( x , y ) 是否存在，如果不存在则必不连续；如果存在则再判
断
( x , y
l)
→
i m
( x
0
, y
0
)
f ( x , y ) 与 f ( x
0
, y
0
) 是否相等，相等则连续，不相等则不连
续.
注：多元初等函数在有定义的区域内必然处处连续.【例10.1.3】 讨论函数 f ( x , y ) =
0
x
x
,
3
2
−
+
y
y
3
2
,
(
(
x
x
,
,
y
y
)
)
=
(
(
0
0
,
,
0
0
)
)
在(0,0)处的连
续性．题型三：多元函数的可偏导性(★★)
1.偏导数定义 对 x 的偏导数：
f (x + x, y ) − f (x , y ) f (x, y ) − f (x , y )
f (x , y ) = lim 0 0 0 0 = lim 0 0 0 ，
x 0 0
x x − x
x→0 x→x
0
0
或记作
z
x xy == xy
0
0
.
对 y 的偏导数：
f y ( x
0
, y
0
) = l iy m→
0
f ( x
0
, y
0
+
y
y
) − f ( x
0
, y
0
)
= ly i→ m
y
0
f ( x
0
, y
y
) −
−
f
y
0
( x
0
, y
0
)
，
z
或记作 .
y
x=x
0
y=y
02.高阶偏导数 f
x
( x , y ) f
y
( x , y ) 共有如下四个二阶偏导数：
z 2 z z 2z
( ) = = f (x, y) ( ) = = f (x, y)
2 xx xy
x x x y x xy
x
(
z
y
) =
y
2
z
x
= f y x ( x , y )
y
(
z
y
) =
2
y
z
2
= f y y ( x , y ) .
类似地可定义三阶、四阶 n阶偏导数. 二阶及二阶以上的偏导数统称
为高阶偏导数
混合偏导数的性质 如果 f x y ( x , y ) 及 f y x ( x , y ) 连续 那么它们必相等.解题思路—— f ( x , y ) 在 ( x
0
, y
0
) 处可偏导的充要条件是如下极限都存
在：
f
f
x
y
(
(
x
x
0
0
,
,
y
y
0
0
)
)
=
=
lx
ly
i→
i→
m
m
x
y
0
0
f
f
(
(
x
x
,
0
,
y
0
y
x
y
)
)
−
−
−
−
f
x
f
y
0
0
(
(
x
x
0
0
,
,
y
y
0
0
)
)【例10.1.4】 函数 f ( x , y ) =
x 2
x
+
0
y
,
y 2
, x
x
2
2
+
+
y
y
2
2
=
0
0
,
在点 ( 0 , 0 ) 处( ).
(A)连续, 偏导数存在 (B)连续，偏导数不存在
(C)不连续，偏导数存在 (D)不连续，偏导数不存在题型四：多元函数偏导数的计算(★★★)
解题思路——偏导数的计算的方法如下：
情形一、求 f ( x, y)时把
x
y 看作常量对 x 求导. 求 f
y
( x , y ) 时把 x 看作
常数对 y 求导.
情形二、如果求某点( x , y )处的偏导数，则常用如下几种方法：
0 0
方法 1: (先求导再代值) 先求出 f
x
( x , y ) 和 f
y
( x , y ) ，再代入 ( x
0
, y
0
) .
方法 2: (先代值再求导)求 f
x
( x
0
, y
0
) 可先将 y = y
0
代入 f ( x , y ) 得
f ( x , y
0
) ，再对 x 求导代入 x = x
0
.求 f
y
( x
0
, y
0
) 可先将 x = x
0
代入 f ( x , y )
中得 f ( x
0
, y ) ，再对 y 求导，再代入 y = y .
0
方法 3：偏导数的定义——抽象函数的偏导数与分段点的偏导数要
用定义来计算.x − y
【例10.1.5】 设z = arctan ，则
1 − xy
x
2 z
2
( 1 , 0 )
= .【例10.1.6】 设函数 f ( u )
y
一阶可导，且z(x, y) = e− y f (x + t)dt ，求
0
x
2
z
y
.【例10.1.7】 f ( x , y ) =
x
1
y
s i n
0 ,
x 2 y , x
x
y
y
=
0
0
,
,
则 f (0,1) =( )
x
(A)0 (B) 1 (C) − 1 (D)不存在题型五：偏积分(★★)
解题思路：设z = f (x, y)，且已知 f x ( x , y ) 或 f y ( x , y ) 求 f (x, y)属于偏
导数的反问题，称为偏积分问题.
思路 1——如果已知 f x ( x , y ) ，则 f ( x , y ) = f x ( x , y ) d x + C ( y ) ，同理如
果已知 f y ( x , y ) ，则 f (x, y) = f (x, y)dy + C(x).
y
思路 2(仅数一)——如果已知 f x ( x , y ) 或 f y ( x , y ) ，则可由积分与路径
无关或全微分方程求解 f ( x , y ) .【例10.1.8】 设函数 f ( x , y ) 具有一阶连续偏导数，且
y y
df (x, y) = ye dx + x(1 + y)e dy， f ( 0 , 0 ) = 0 ，则 f (x, y) = ______.题型六：多元函数的可微性与全微分的计算(★★★)
1.定义 若z = f (x + x, y + y) − f (x , y )
0 0 0 0
A x B y o ( ) = + + 其中
( x ) 2 ( y ) 2 = + ，且 A 和B不依赖于x, y 而仅与( x , y )有关 则称
0 0
z = f ( x , y ) 在点 ( x
0
, y
0
) 可微 而称 A x + B y 为 z = f ( x , y ) 在点 ( x
0
, y
0
)
的全微分 记作 d z 即 d z = A x + B y 2. 全微分的计算
dz = f (x , y )x + f (x , y )y = f (x , y )dx + f (x , y )dy.
x=x
0 x 0 0 y 0 0 x 0 0 y 0 0
y=y
0
3.多元函数可微、可偏导、连续及极限存在的关系4.全微分的形式不变性
不论函数是一元函数还是多元函数，也不论是对最终自变量求微分还
是对中间变量求全微分，其形式都是不变的.
于是可以得到如下 6 种微分法则：
① d f ( u ) = f ( u ) d u ② d f ( u , v ) =
f
u
d u +
f
v
d v
③ d ( u v ) = d u d v . ④ d ( k u ) = k d u , ( k 为 常 数 ) .
⑤d(uv) = vdu + udv. ⑥ d
u
v
=
v d u
v
−
2
u d v
.解题思路—— f ( x , y ) 在 ( x
0
, y
0
) 处是否可微的判断方法：
方法 1(充要条件)：利用定义，若
l ixy m
00
z d z
l ixy m
00
f
(
x
0
x , y
0
y
)
f
(
x
0
(
, y
0
x
)
) 2
[
(
f
x
y
(
)
x
2
0
, y
0
)
x f
y
(
x
0
, y
0
)
y ]
0
→→
−
=
→→
+ + −
−
+
+
=
则 z = f ( x , y ) 在 ( x
0
, y
0
) 处可微，否则在 ( x
0
, y
0
) 处不可微.
方法 2(充分条件)：若 f
x
( x , y ) 和 f
y
( x , y ) 在 ( x
0
, y
0
) 处连续，则
z = f ( x , y ) 在 ( x
0
, y
0
) 处可微.【例10.1.9】 设函数 f ( x , y ) =
x 2
x 2
+
0
y
,
y 2
, x
x
2
2
+
+
y
y
2
2
=
0
0
,
则在点 ( 0 , 0 ) 处函
数 f (x, y)( ).
(A)不连续 (B)连续,但偏导数不存在
(C)连续且偏导数存在,但不可微 (D)可微.【例10.1.10】 二元函数 f (x, y)在 ( 0 , 0 ) 处可微的一个充分条件是( ).
(A)
( x ,
ly i) m→
( 0 , 0 )
[ f ( x , y ) − f ( 0 , 0 ) ] = 0 .
(B) l
x
i m→
0
f ( x , 0 ) −
x
f ( 0 , 0 )
= 0 且 l
y
i m→
0
f ( 0 , y ) −
y
f ( 0 , 0 )
= 0 .
f (x, y) − f (0,0)
(C) lim = 0.
(x,y)→(0,0) x2 + y2
(D) l
x
i m→
0
[ f x ( x , 0 ) − f x ( 0 , 0 ) ] = 0 且 l
y
i m→
0
[ f y ( 0 , y ) − f y ( 0 , 0 ) ] = 0 .y
−arctan
【例10.1.11】 设z =（x2 + y2）e x ,求 d z .
