(28)-高数14-多元函数微分学的基本概念空白版_08.2026考研数学高途王喆全程班_赠送2025课程_25考研数学（一、二）全年智达班_{2}--资料

2025第十章 多元函数微分学第一节 多元函数的基本概念第二部分、题型解析 题型一：二元函数的极限(★) 定义 当 ( x , y ) 以任意方式趋于 ( x 0 , y 0 ) 时， f ( x , y ) 均趋于 A ，则 ( x , y l) → i m ( x 0 , y 0 ) f ( x , y ) = A .解题思路——如果要求 ( x , y l) → i m ( x 0 , y 0 ) f ( x , y ) ，但尚不知道其是否存在，则 应 第一步、先判断. 先取一些特殊的路径让 ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) 判断极限是否 存在，如果(1)某种趋向下 f ( x , y ) 极限不存在；(2)存在两种不同的趋 向， f ( x , y ) 分别趋于两个不同的常数，则极限必定不存在. 如果 f (x, y)总趋于同一个数 A ，则进行下一步.第二步、再计算 用如下方法来计算函数极限： (1)极限的四则运算法则； (2)等价无穷小的代换法； (3)夹逼准则； (4)有界变量与无穷小的乘积仍为无穷小，等等. 如果题目已知 ( x , y l) → i m ( x 0 , y 0 ) f ( x , y ) 存在，或易由上述方法求出极限，则可 直接进行第二步计算，无需第一步判断.【例10.1.1】 讨论 l xy i m→→ 00 x x 2 4 | + y y | 3 2 2 是否存在.【例10.1.2】 讨论 l xy i m→→ 00 ( x 2 x + 4 y y 4 4 ) 3 的存在性.题型二：二元函数的连续性(★) 解题思路——如果要判断 f ( x , y ) 在 ( x 0 , y 0 ) 处是否连续，应先判断 ( x , y l) → i m ( x 0 , y 0 ) f ( x , y ) 是否存在，如果不存在则必不连续；如果存在则再判 断 ( x , y l) → i m ( x 0 , y 0 ) f ( x , y ) 与 f ( x 0 , y 0 ) 是否相等，相等则连续，不相等则不连 续. 注：多元初等函数在有定义的区域内必然处处连续.【例10.1.3】 讨论函数 f ( x , y ) =  0 x x , 3 2 − + y y 3 2 , ( ( x x , , y y ) ) =  ( ( 0 0 , , 0 0 ) ) 在(0,0)处的连 续性．题型三：多元函数的可偏导性(★★) 1.偏导数定义 对 x 的偏导数： f (x + x, y ) − f (x , y ) f (x, y ) − f (x , y )  f (x , y ) = lim 0 0 0 0 = lim 0 0 0 ， x 0 0 x x − x x→0 x→x 0 0 或记作   z x xy == xy 0 0 . 对 y 的偏导数： f y ( x 0 , y 0 ) = l iy m→ 0 f ( x 0 , y 0 +   y y ) − f ( x 0 , y 0 ) = ly i→ m y 0 f ( x 0 , y y ) − − f y 0 ( x 0 , y 0 ) ， z 或记作 . y x=x 0 y=y 02.高阶偏导数 f x  ( x , y )  f y  ( x , y ) 共有如下四个二阶偏导数：  z  2 z  z 2z ( ) = = f  (x, y) ( ) = = f  (x, y) 2 xx xy x x x y x xy   x (   z y ) =   y 2  z x = f y x ( x , y )    y (   z y ) =   2 y z 2 = f y y ( x , y ) . 类似地可定义三阶、四阶 n阶偏导数. 二阶及二阶以上的偏导数统称 为高阶偏导数 混合偏导数的性质 如果 f x y ( x , y ) 及 f y x ( x , y ) 连续 那么它们必相等.解题思路—— f ( x , y ) 在 ( x 0 , y 0 ) 处可偏导的充要条件是如下极限都存 在： f f x y   ( ( x x 0 0 , , y y 0 0 ) ) = = lx ly i→ i→ m m x y 0 0 f f ( ( x x , 0 , y 0 y x y ) ) − − − − f x f y 0 0 ( ( x x 0 0 , , y y 0 0 ) )【例10.1.4】 函数 f ( x , y ) =  x 2 x + 0 y , y 2 , x x 2 2 + + y y 2 2  = 0 0 , 在点 ( 0 , 0 ) 处( ). (A)连续, 偏导数存在 (B)连续，偏导数不存在 (C)不连续，偏导数存在 (D)不连续，偏导数不存在题型四：多元函数偏导数的计算(★★★) 解题思路——偏导数的计算的方法如下：  情形一、求 f ( x, y)时把 x y 看作常量对 x 求导. 求 f y  ( x , y ) 时把 x 看作 常数对 y 求导. 情形二、如果求某点( x , y )处的偏导数，则常用如下几种方法： 0 0 方法 1: (先求导再代值) 先求出 f x  ( x , y ) 和 f y  ( x , y ) ，再代入 ( x 0 , y 0 ) . 方法 2: (先代值再求导)求 f x  ( x 0 , y 0 ) 可先将 y = y 0 代入 f ( x , y ) 得 f ( x , y 0 ) ，再对 x 求导代入 x = x 0 .求 f y  ( x 0 , y 0 ) 可先将 x = x 0 代入 f ( x , y ) 中得 f ( x 0 , y ) ，再对 y 求导，再代入 y = y . 0 方法 3：偏导数的定义——抽象函数的偏导数与分段点的偏导数要 用定义来计算.x − y 【例10.1.5】 设z = arctan ，则 1 − xy   x 2 z 2 ( 1 , 0 ) = .【例10.1.6】 设函数 f ( u ) y 一阶可导，且z(x, y) =  e− y f (x + t)dt ，求 0   x 2  z y .【例10.1.7】 f ( x , y ) =  x 1 y s i n 0 , x 2 y , x x y y  = 0 0 , ,  则 f (0,1) =( ) x (A)0 (B) 1 (C) − 1 (D)不存在题型五：偏积分(★★) 解题思路：设z = f (x, y)，且已知 f x ( x , y ) 或 f y ( x , y ) 求 f (x, y)属于偏 导数的反问题，称为偏积分问题. 思路 1——如果已知 f x ( x , y ) ，则 f ( x , y ) =  f x ( x , y ) d x + C ( y ) ，同理如 果已知 f y ( x , y ) ，则 f (x, y) =  f (x, y)dy + C(x). y 思路 2(仅数一)——如果已知 f x ( x , y ) 或 f y ( x , y ) ，则可由积分与路径 无关或全微分方程求解 f ( x , y ) .【例10.1.8】 设函数 f ( x , y ) 具有一阶连续偏导数，且 y y df (x, y) = ye dx + x(1 + y)e dy， f ( 0 , 0 ) = 0 ，则 f (x, y) = ______.题型六：多元函数的可微性与全微分的计算(★★★) 1.定义 若z = f (x + x, y + y) − f (x , y ) 0 0 0 0 A x B y o ( )  =  +  +  其中 ( x ) 2 ( y ) 2  =  +  ，且 A 和B不依赖于x,  y 而仅与( x , y )有关 则称 0 0 z = f ( x , y ) 在点 ( x 0 , y 0 ) 可微 而称 A  x + B  y 为 z = f ( x , y ) 在点 ( x 0 , y 0 ) 的全微分 记作 d z  即 d z = A  x + B  y 2. 全微分的计算     dz = f (x , y )x + f (x , y )y = f (x , y )dx + f (x , y )dy. x=x 0 x 0 0 y 0 0 x 0 0 y 0 0 y=y 0 3.多元函数可微、可偏导、连续及极限存在的关系4.全微分的形式不变性 不论函数是一元函数还是多元函数，也不论是对最终自变量求微分还 是对中间变量求全微分，其形式都是不变的. 于是可以得到如下 6 种微分法则： ① d f ( u ) = f  ( u ) d u ② d f ( u , v ) =   f u d u +   f v d v ③ d ( u  v ) = d u  d v . ④ d ( k u ) = k d u , ( k 为 常 数 ) . ⑤d(uv) = vdu + udv. ⑥ d  u v  = v d u v − 2 u d v .解题思路—— f ( x , y ) 在 ( x 0 , y 0 ) 处是否可微的判断方法： 方法 1(充要条件)：利用定义，若 l ixy m 00 z d z l ixy m 00 f ( x 0 x , y 0 y ) f ( x 0 ( , y 0 x ) ) 2 [ ( f x y ( ) x 2 0 , y 0 ) x f y ( x 0 , y 0 ) y ] 0   →→  − =  →→  +  +  −   − +     +    = 则 z = f ( x , y ) 在 ( x 0 , y 0 ) 处可微，否则在 ( x 0 , y 0 ) 处不可微. 方法 2(充分条件)：若 f x  ( x , y ) 和 f y  ( x , y ) 在 ( x 0 , y 0 ) 处连续，则 z = f ( x , y ) 在 ( x 0 , y 0 ) 处可微.【例10.1.9】 设函数 f ( x , y ) =  x 2 x 2 + 0 y , y 2 , x x 2 2 + + y y 2 2  = 0 0 , 则在点 ( 0 , 0 ) 处函 数 f (x, y)( ). (A)不连续 (B)连续,但偏导数不存在 (C)连续且偏导数存在,但不可微 (D)可微.【例10.1.10】 二元函数 f (x, y)在 ( 0 , 0 ) 处可微的一个充分条件是( ). (A) ( x , ly i) m→ ( 0 , 0 ) [ f ( x , y ) − f ( 0 , 0 ) ] = 0 . (B) l x i m→ 0 f ( x , 0 ) − x f ( 0 , 0 ) = 0 且 l y i m→ 0 f ( 0 , y ) − y f ( 0 , 0 ) = 0 . f (x, y) − f (0,0) (C) lim = 0. (x,y)→(0,0) x2 + y2 (D) l x i m→ 0 [ f x ( x , 0 ) − f x ( 0 , 0 ) ] = 0 且 l y i m→ 0 [ f y ( 0 , y ) − f y ( 0 , 0 ) ] = 0 .y −arctan 【例10.1.11】 设z =（x2 + y2）e x ,求 d z .