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2025第十一章
二重积分第二部分、题型解析
题型一：二重积分的概念与性质(★★★)
一、二重积分的定义
1. 二重积分的几何意义
D
f ( x , y ) d 为曲顶柱体体积的代数和.
2. 二重积分的物理意义 设区域D为一平面薄片，其面密度为
f ( x , y ) ，则
D
f ( x , y ) d 表示平面薄片质量的代数和.二、二重积分的性质：
性质 3 二重积分的比较定理
定理 1 ( x , y ) D 若 f ( x , y ) g ( x , y ) 则
D
f ( x , y ) d
D
g ( x , y ) d .
定理 2 如果在 D 内 f ( x , y ) 0 且 D
1
D
2
则
D
1
f ( x , y ) d
D
2
f ( x , y ) d .
性质 4
D
1 d S
D
= , 其中S 为区域
D
D 的面积.
性质 7 二重积分的积分中值定理 设函数 f (x, y)在闭区域 D上连续
则在 D上至少存在一点(,)使得 f (x, y)d = f (,)S
D
D三、二重积分的对称性质
1. 奇偶对称性
(1)若 D 关于 x 轴对称，D 为
1
D 的上半部分，则
D
f ( x , y ) d
2
D
1
f (
0
x
,
, y ) d
f
,
(
f
x
(
,
x ,
y )
y )
f
f
(
(
x
x
,
,
y
y
)
)
=
−
−
= −
=
.
(2)若 D 关于 y 轴对称， D
1
为D的右部分，则
D
f ( x , y ) d
2
D
1
f (
0
x
,
, y ) d
f
,
(
f (
x ,
x
y
,
)
y )
f
f
(
(
x
x
,
,
y
y
)
)
=
−
−
= −
=
．(3)若 D 关于原点对称，设 D
1
为 D 的上半平面或右半平面，则
D
f
(
x , y
)
d
2
D
1
f
(
0
x
,
, y
)
d
f
,
(
f
(
x ,
x ,
y
)
y
)
f
f
(
(
x
x
,
,
y
y
)
)
.
=
−
−
−
−
=
=
−2. 轮换对称性 如果D关于 y = x对称，则
D
f ( x , y ) d
D
f ( y , x ) d = .
解题思路——小题居多，往往利用二重积分的概念、性质、对称性、
二重积分中值定理等方法解决.【例11.1】 设 D
k
是圆域 D = { ( x , y ) | x 2 + y 2 1 } 的第 k 象限的部分，记
I
k
= D
k
( y − x ) d x d y ,则( ).
(A)I 0 (B)
1
I
2
0 (C) I
3
0 (D) I
4
0【例11.2】 设 D = { ( x , y ) | − l n x y l n x , 1 x e } ， f ( x ) 是连续的奇
函数， g(x)是连续的偶函数，下列正确的选项是( ).
(A)
D
f ( y ) g ( x ) d x d y = 0 (B)
D
f ( x ) g ( y ) d x d y = 0
(C) [ f ( x) + g( y)]dxdy = 0 (D) [ f ( y) + g( x)]dxdy = 0.
D D( ) 2 2
【例11.3】 设I = ln 1 + x 2 + y 2 dxdy,I = (e x + y − 1)dxdy,
1 2
D D
I
3
=
D
a r c t a n ( x 2 + y 2 ) d x d y 2 2 ,且D = {(x, y) | x + y 1}，则( ).
(A)I I I (B)
3 2 1
I
1
I
3
I
2
(C) I
2
I
3
I
1
(D)I I I
1 2 3【例11.4】 设区域 D = { ( x , y ) x 2 + y 2 4 , x 0 , y 0 } ， f (x)为D上的
正值连续函数， a , b 为常数，则
D
a f
f
(
(
x
x
)
)
b
f
f
(
(
y
y
)
)
d
+
+
= ( ).
(A)ab. (B)
a
2
b
. (C) ( a b ) + . (D)
a
2
b
+
.【例11.5】 设函数 f ( x , y ) 在 D
r
= { ( x , y ) | x 2 + y 2 r 2 } 上连续，且
f ( 0 , 0 ) = 2 .那么 l
r
i
→
m
0
D
r
f ( x
r
,
2
y ) d x d y
= .题型二：交换积分次序(★★★)
解题思路——当题目要求将累次积分换序，或者累次积分在当前积
分次序下计算不出来时，要想到交换积分次序，其步骤为：
1. 画出积分区域：先画后积的累次积分的区域，再画先积的累次积
分的区域，两者相交部分即为积分区域 D .
2. 交换积分次序之后，重新写出累次积分.【例11.6】 设 f ( x , y ) 是连续函数，则二次积分
−
2
1
d x
x
x
2
+ 2
f ( x , y ) d y 等于
( ).
(A)
−
2
1
d y
y
y
2
+ 2
f ( x , y ) d x (B)
0
1
d y
−
y
y
f ( x , y ) d x +
1
4
d y
y −
y
2
f ( x , y ) d x
(C)
0
2
d y
0
y
f ( x , y ) d x +
2
4
d y
y −
y
2
f ( x , y ) d x
2 y 4 y−2
(D) dy f (x, y)dx + dy f (x, y)dx
1 1 2 1【例11.7】 计算
0
1
d y
1
y
x 3 + 1 d x = _________.题型三：二重积分的计算(★★★★★)
1. X −型区域下二重积分的计算
第一步(先积 y )作一条直线自下而上穿过 D ，穿入作
(x)
下限，穿出作上限得 2 f (x, y)dy.
(x)
1
第二步(再积 x )再继续从 a 到 b 积分对 x 积分，则
D
f ( x , y ) d
a
b
d x
1
2
(
(
x
x
)
)
f ( x , y ) d y
= .2. Y −型区域下二重积分的计算
第一步(先积 x )作一条直线自左向右穿过D，穿入作
( y)
下限，穿出作上限得 2 f (x, y)dx.
( y)
1
第二步(再积 y )再继续从 c 到 d 积分对 y 积分，即
D
f ( x , y ) d
c
d
d y
1
2
(
(
y
y
)
)
f ( x , y ) d x
= .3. 利用极坐标计算二重积分 当积分区域为圆形区域或者环形区域
2 2
时，或被积函数为 f (x + y )时，考虑用极坐标系积分. 在极坐标下，
x c o s , y s i n , d d d = = = .
第一步(先积)：从极点引一条射线穿过 D ，穿入作下限，穿出作上
限得
1
2
(
(
)
)
f ( c o s , s i n ) d
.
第二步(再积)：再继续从到对积分，
于是
D
f ( x , y ) d d
1
2
(
(
)
)
f ( c o s , s i n ) d
= 4.平面薄片的质心 设平面薄片的质心坐标为(x, y)，面密度为
(x, y)，则质心公式：
x D
D
x
(
(
x
x
,
,
y
y
)
)
d
d
=
y D
D
y
(
(
x
x
,
,
y
y
)
)
d
d
=
5.平面薄片的形心 设平面薄片的形心坐标为(x, y)，则平面薄片的形
心公式：
x D
D
x
1
d
d
D
S
x d
D
=
=
yd yd
y = D = D
1d S
D
D解题思路——二重积分的计算步骤如下：
1. 先画出积分区域.
2. 根据积分区域的特点，利用奇偶对称性、轮换对称性或者换元进行
化简.
3. 选用合适的坐标系及积分次序进行积分. 如果是 X − 型区域或 Y − 型
区域可以选用直角坐标系积分，注意选择积分序是先考虑积分区域积
分的便利性，再考虑被积函数积分的便利性；如果积分区域由圆或圆
2 2
环类曲线组成或被积函数为 f (x + y )，则可用极坐标积分.【例11.8】 设 D 是由曲线 y s i n x , y 1 , x
2
= = = − 围成的闭区域, 计算
D
(
1 + y e − x
2
− y
2
)
s i n x d x d y ..【例11.9】 已知平面区域 D =
( x , y ) | y − 2 x 4 − y 2 , 0 y 2
, 计算
(x − y)2
I = dxdy.
x2 + y2
D【例11.10】 设有界区域由直线 y = 1 , y = x , y = − x 围成，计算二重积分
D
x
2
x
−
2
x
+
y −
y
2
y
2
d x d y .题型四：分段函数的二重积分(★★★)
解题思路——如果被积函数 f ( x , y ) =
f
f
1
2
(
(
x
x
,
,
y
y
)
)
,
,
(
(
x
x
,
,
y
y
)
)
D
D
1
2
为二元分段
函数，其中D D = D，则
1 2
f (x, y)d= f (x, y)d+ f (x, y)d. 这种分段函数的二重积分
1 2
D D D
1 2
关键在于要在 D 内找到 f ( x , y ) 的分界线，从而对 D 正确的划分成 D
1
和
D
2
然后分别积分.2 2
【例11.11】 计算二重积分 e max{x ,y } dxdy，其中
D
D = { ( x , y ) | 0 x 1 , 0 y 1 }【例11.12】 设 D = { ( x , y ) | x 2 + y 2 2 , x 0 , y 0 } ， [ 1 + x 2 + y 2 ] 表示
不超过 1 + x 2 + y 2 的最大整数，计算
D
x y [ 1 + x 2 + y 2 ] d x d y .
