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2(𝑥−1)，𝑥 < 1，
𝟏.已知函数𝑓(𝑥) = (cid:4682) 则𝑓(𝑥)的一个原函数是( )
ln𝑥，𝑥 ≥ 1，
(𝑥−1)(cid:2870)，𝑥 < 1， (𝑥−1)(cid:2870)，𝑥 < 1，
(A)𝐹(𝑥) = (cid:4682) (B)𝐹(𝑥) = (cid:4682)
𝑥(ln𝑥 −1)，𝑥 ≥ 1. 𝑥(ln𝑥 +1)−1，𝑥 ≥ 1.
(𝑥−1)(cid:2870)，𝑥 < 1， (𝑥−1)(cid:2870)，𝑥 < 1，
(C)𝐹(𝑥) = (cid:4682) (D)𝐹(𝑥) = (cid:4682)
𝑥(ln𝑥+1)+1，𝑥 ≥ 1. 𝑥(ln𝑥−1)+1，𝑥 ≥ 1.2.如图，曲线段的方程式𝑦 = 𝑓(𝑥)在区间[0,1]上有连续导数，则定积分
(cid:3028)
(cid:3505) 𝑥𝑓(cid:4593)(𝑥)d𝑥等于( )
(cid:2868)
(A)曲边梯形𝐴𝐵𝑂𝐷的面积.
(B)梯形𝐴𝐵𝑂𝐷的面积.
(C)曲边三角形𝐴𝐶𝐷的面积.
(D)三角形𝐴𝐶𝐷的面积.(cid:3038)(cid:3095)
𝟑.设𝐼 = (cid:3505) 𝑒(cid:3051)(cid:3118) sin𝑥d𝑥(𝑘 = 1,2,3)，则( )
(cid:3038)
(cid:2868)
(A)𝐼
(cid:2869)
< 𝐼
(cid:2870)
< 𝐼
(cid:2871)
. (B)𝐼
(cid:2871)
< 𝐼
(cid:2870)
< 𝐼
(cid:2869)
.
(C)𝐼 < 𝐼 < 𝐼 . (D)𝐼 < 𝐼 < 𝐼 .
(cid:2870) (cid:2871) (cid:2869) (cid:2870) (cid:2869) (cid:2871)(cid:2869)
𝟒.求极限 lim (cid:3505) 𝑥(cid:3041)(cid:3493)1+𝑥(cid:2870)d𝑥.
(cid:3041)→(cid:2998)
(cid:2868)𝟓.设𝑓(𝑥)是奇函数，除𝑥 = 0 外处处连续，且𝑥 = 0 是第一类间断点，则
(cid:3051)
(cid:3505) 𝑓(𝑡)d𝑡是( )
(cid:2868)
(A)连续的奇函数. (B)在𝑥 = 0 间断的奇函数.
(C)连续的偶函数. (D)在𝑥 = 0 间断的偶函数.𝟔.若ln(cid:4672)𝑥 +(cid:3493)1+𝑥(cid:2870)(cid:4673)为𝑓(𝑥)的一个原函数，求𝐼 = (cid:3505)𝑥𝑓(cid:4593)(𝑥)d𝑥.𝑥ln𝑥
𝟕.计算不定积分(cid:3505) d𝑥.
(cid:2871)
(𝑥(cid:2870) −1)(cid:2870)𝑥𝑒(cid:3051)
𝟖.设𝐹(𝑥)是𝑓(𝑥)的原函数，且当𝑥 ≥ 0 时，𝐹(𝑥)∙𝑓(𝑥) = .
2(1+𝑥)(cid:2870)
已知𝐹(0) = 1，𝐹(𝑥) > 0，求𝑓(𝑥).(cid:2869) 𝑥sin(cid:2870)𝑥 +𝑥(cid:2870)
𝟗.(cid:3505) d𝑥 = .
1+√1−𝑥(cid:2870)
(cid:2879)(cid:2869)(cid:3041)(cid:3095)
𝟏𝟎.(cid:3505) √1−sin2𝑥d𝑥 = .
(cid:2868)(cid:3095)
𝟏𝟏.(cid:3505) 𝑥sin(cid:3041)𝑥d𝑥 = (𝑛 ≥ 1).
(cid:2868)(cid:3095)
(cid:2870)
𝑒(cid:3051)
𝟏𝟐.计算𝐼 = (cid:3505) sin(cid:2872)𝑥d𝑥.
(cid:3095)1+𝑒(cid:3051)
(cid:2879)
(cid:2870)(cid:2869)𝑓(𝑥) (cid:3051)ln(𝑡+1)
𝟏𝟑.计算(cid:3505) d𝑥，其中𝑓(𝑥) = (cid:3505) d𝑡.
√𝑥 𝑡
(cid:2868) (cid:2869)𝑥 (cid:3095)
𝟏𝟒.若𝑓(𝑥) = −(cid:3505) 𝑓(𝑥)sin𝑥d𝑥，求𝑓(𝑥).
1+cos(cid:2870)𝑥
(cid:2879)(cid:2976)𝜆𝑒(cid:2879)(cid:3090)(cid:3051)，𝑥 ≥ 0，
(cid:2878)(cid:2998)
𝟏𝟓.设函数𝑓(𝑥) = (cid:4688) (𝜆 > 0)，则(cid:3505) 𝑥𝑓(𝑥)d𝑥 = .
0，𝑥 < 0， (cid:2879)(cid:2998)𝑥(cid:2870)𝑦
，(𝑥,𝑦) ≠ (0,0)，
𝟏.设𝑓(𝑥,𝑦) = (cid:4688)𝑥(cid:2870) +𝑦(cid:2870) 则𝑓(𝑥,𝑦)在(0,0)点处( )
0，(𝑥,𝑦) = (0,0)，
(A)不连续. (B)连续但偏导数不存在.
(C)偏导数存在但不可微. (D)可微.𝑥(cid:2871)𝑦
，(𝑥,𝑦) ≠ (0,0)，
𝟐.设𝑓(𝑥,𝑦) = (cid:4688)𝑥(cid:2870) +𝑦(cid:2870) 求𝑓(cid:4593)(cid:4593)(0,0)与𝑓(cid:4593)(cid:4593)(0,0).
(cid:3051)(cid:3052) (cid:3052)(cid:3051)
0，(𝑥,𝑦) = (0,0)，𝟑.设𝑓(𝑥,𝑦) = |𝑥−𝑦|𝜑(𝑥,𝑦)，其中𝜑(𝑥,𝑦)在点(0,0)的邻域内连续，问：
(1)𝜑(𝑥,𝑦)应满足什么条件，可使𝑓(cid:4593)(0,0)和𝑓(cid:4593)(0,0)都存在；
(cid:3051) (cid:3052)
(2)在上述条件下𝑓(𝑥,𝑦)在点(0,0)是否可微.𝜕(cid:2870)𝑧
𝟒.设二元函数𝑧 = ln(1+𝑥𝑦(cid:2870))，则 (cid:4708) = .
𝜕𝑥𝜕𝑦
((cid:2868),(cid:2869))(cid:3051)(cid:3052) 𝜕(cid:2870)𝑓
𝟓.设函数 𝑓(𝑥,𝑦) = (cid:3505) 𝑒(cid:3051)(cid:3047)(cid:3118) d𝑡，则 (cid:4708) = .
𝜕𝑥𝜕𝑦
(cid:2868) ((cid:2869),(cid:2869))∂𝑢 ∂𝑢
𝟔.设𝑢 = 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)，𝑦 = 𝜑(𝑥,𝑡)，𝑡 = 𝜓(𝑥,𝑧)，其中𝑓,𝑦,𝜓可微，求 , .
∂𝑥 ∂z𝟕.设函数𝑓(𝑢,𝑣)可微，𝑧 = 𝑧(𝑥,𝑦)由方程(𝑥+1)𝑧−𝑦(cid:2870) = 𝑥(cid:2870)𝑓(𝑥−𝑧,𝑦)确定，
则d𝑧| = .
((cid:2868),(cid:2869))𝟖.已知函数 𝑓(𝑥,𝑦)满足𝑓(cid:4593)(cid:4593)(𝑥,𝑦) = 2(𝑦+1)e(cid:3051)，𝑓(cid:4593)(𝑥,0) = (𝑥+1)𝑒(cid:3051)，𝑓(0,𝑦) = 𝑦(cid:2870) +2𝑦，求
(cid:3051)(cid:3052) (cid:3051)
𝑓(𝑥,𝑦)的极值.𝟗.设𝐷 是圆域𝐷 = {(𝑥,𝑦)|𝑥(cid:2870) +𝑦(cid:2870) ≤ 1}位于第𝑘象限的部分.
(cid:3038)
记𝐼 = (cid:3509)(𝑦−𝑥)d𝑥d𝑦 (𝑘 = 1,2,3,4)，则( )
(cid:3038)
(cid:3005)
(cid:3286)
(A)𝐼 > 0. (B)𝐼 > 0. (C)𝐼 > 0. (D)𝐼 > 0.
(cid:2869) (cid:2870) (cid:2871) (cid:2872)𝑦(cid:2871)
𝟏𝟎.计算积分(cid:3509) d𝑥d𝑦，其中𝐷是第一象限中以曲线𝑦 = √𝑥与𝑥轴
(1+𝑥(cid:2870) +𝑦(cid:2872))(cid:2870)
(cid:3005)
为边界的无界区域.𝟏𝟏.设𝐷 = {(𝑥,𝑦)|𝑥(cid:2870) +𝑦(cid:2870) ≤ 4,𝑥 ≥ 0,𝑦 ≥ 0}，𝑓(𝑥)为正值连续函数，𝑎,𝑏为常数，
𝑎(cid:3493)𝑓(𝑥)+𝑏(cid:3493)𝑓(𝑦)
则(cid:3509) d𝑥d𝑦 = .
(cid:3493)𝑓(𝑥)+(cid:3493)𝑓(𝑦)
(cid:3005)(cid:2869) (cid:2869) 𝑒(cid:3051)(cid:3118)
𝟏𝟐.二次积分(cid:3505) d𝑦(cid:3505) (cid:4678) −𝑒(cid:3052)(cid:3118) (cid:4679)d𝑥 = .
𝑥
(cid:2868) (cid:3052)𝟏𝟑.设𝐷是由直线𝑥 = −2,𝑦 = 0,𝑦 = 2 以及曲线𝑥 = −(cid:3493)2𝑦−𝑦(cid:2870)所围的平面区域，
计算二重积分(cid:3509)𝑦d𝑥d𝑦.
(cid:3005)𝟏𝟒.计算二重积分(cid:3509)|𝑥(cid:2870) +𝑦(cid:2870) −1|d𝜎，其中𝐷 = {(𝑥,𝑦)|0 ≤ 𝑥 ≤ 1,0 ≤ 𝑦 ≤ 1}.
(cid:3005)𝟏𝟓.设𝐷 = (cid:3419)(𝑥,𝑦)(cid:3627)𝑥(cid:2870) +𝑦(cid:2870) ≤ √2,𝑥 ≥ 0,𝑦 ≥ 0(cid:3423)，计算(cid:3509)𝑥𝑦[𝑥(cid:2870) +𝑦(cid:2870) +1]d𝜎，
(cid:3005)
其中[𝑥(cid:2870) +𝑦(cid:2870) +1]表示不超过𝑥(cid:2870) +𝑦(cid:2870) +1的最大整数.
