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题型五、含变限积分的定积分计算(★★)
解题思路：如果定积分的被积函数含有变限积分，则
思路 1——用分部积分法将变限部分当作u类函数求导.
思路 2——将定积分看成累次积分，交换积分次序再计算.sint
x
【例7.1.16】 设 f (x) = dt ，计算 f (x)dx.
*
0 − t 0
( x fN -
[xfinax
xf(x)-1 Smx
35 - = = - = * X dX
.
7-X
x(smtdt-XS
=
7 -x
>(Smax 1XSmXax
= -
x -V
(xXX) SmX
( .
dX
= = 2
(X)sint
x
【例7.1.16】 设 f (x) = dt ，计算 f (x)dx.
0 − t 0
= ax at
(fixax (lat
15 ax
== = .
I St I
IX
Sit
ex dt dX tX (TX)
=
=
x t
-
+
EX
D) S
Shatax
p
=
*
S
Sht
Es
= (-x t) dt 2
X=Th
& - =
T --I &题型六、定积分等式证明(★★★)
解题思路：定积分等式的主要思想是“拼凑”：从待证等式的一端出发
拼凑出另一端. 常可利用以下方法：(1)定积分换元法；(2)分部积分
法；(3)积分中值定理. (4)转化成函数恒等式的证明.【例7.1.17】 若 f (x)是连续函数，证明
x u x
f (t)dt du = ( x − u) f (u)du.
I
0 0 0
an a
fant
*
/5 finnt fin
35- : on
x fiidt to finan
= -
x( fini an-fot flance
u
=
1o(x-u) fill
= an【例7.1.17】 若 f (x)是连续函数，证明
x u x
f (t)dt du = ( x − u) f (u)du.
0 0 0
u= X
[x
10
I
35 / % fitat]. an = on . fith at · (X X)
== ,
E= U
&
↓ D
I I at
fit) fitt
atan-
an
=
u
=
O
F (I, 1 fit)
fant an (x-t) at
=
. =
Co
ful
(x-u) an
=【例7.1.17】 若 f (x)是连续函数，证明
x u x
f (t)dt du = ( x − u) f (u)du.
0 0 0
/ FN 1 . / "flat]an-xlot finan toufinlam
35 =
: = +
.
EFE F(x
0
=
x
Fan-
Fix fat X
+
= =0
F(x)
·
C
=
FI E
F10
&
= 0 i = 0
.【例7.1.18】 设 f (x)连续，证明：
f (1 + t)
1 x 1
ln f (x + t)dt = ln dt + ln f (t)dt .
0 0 f (t) 0
Mix
(i fix
e) inful an
= Infitat
35- + at
:
**
) fitide 06'In fitt 1 In fitidt
In at
+ +
=
.
& ** fitat = Inf(nu) to* In fixe
In an at
=
/'Infixtidt 16 lot flitt
to In fiat In fidt 1
+ at
: = - +
1 fat In fit
In
-
+【例7.1.18】 设 f (x)连续，证明：
f (1 + t)
1 x 1
ln f (x + t)dt = ln dt + ln f (t)dt .
0 0 f (t) 0
Xt
/ fix
e) at
= *
fill
= Infitat
35 + In an
=:
du dt
=
fin
Stat
f(x) fi
Fix In f(x (n In
1)
+ - - =
=
: FIN C
=
Colfidt
fitat
16
F(x
& F10 - = 0 : = 0
=题型七、定积分不等式证明(★★★)
解题思路：定积分不等式的证明，常可利用以下方法：
(1)函数化成函数不等式来证明；
(2)定积分换元法、分部积分法等；
(3)出现高阶导数，考虑泰勒公式.
b b
(4)用定积分的不等式： f ( x)dx | f ( x) | dx.
a a↑
【例7.1.19】 设 f (x)在[a,b]上连续，单增，证明
b b
(a + b) f (x)dx 2 xf (x)dx.
a a
E N /2 F( (a 2)
/a
fitiat 2
)
+fisat
= = + -
,
&EX > &AF FIN >O #F(al
= o
, ,
(a fitat fix f(x)
Fix Ca x) 2x
= + + -
So
fitat
(x
a) f(x)
- -
=
( fitIdt
(aIX) SEE f(3)
#F PERRIE ESE = (x-a)
, .
,
= Fix = (x - a) f(3) - (x - a)f(x) = (x - a)[f(z) - f(x)] < 0
<
70 pF(NV
: F(x) < F(a) = 0
-
il↑
a + b
【例7.1.20】 设 f (x)在[a,b]上二阶可导,且 f = 0
2
3
M(b − a)
b
M = max f (x) ,.证明: f (x)dx .
a 24
axb
f () b)
LE AD f(atD) fi+B ) (x a+b) (x a +
: f(x + -
+ . - .
=
Z
2
f) X
+b)
flath) (x-a (x-at)
+
= .
1"(x-a+b)ax If a+b)
fith) + --aX
1 ! fixax (x
·
: =
2
bpb
((x- )d(X - ) a +
(x-ax (x
= = -
a
=OCab fil +
(x a ax
(fNax
-
.
=
:
(b) (x-at)ax = f(x-
↑ fixax
= .
= xx-
lbM(x-bax
=
ap
44 xM[(b-
(a-b]
5 (x
= -
= + . -
apm(b
P
2x(b
- a
u -
*
x -
= T
4
24第二节
反常积分第一部分 知识点解析
一、无穷限反常积分
+
(1) f (x)dx；
a
b
(2) f (x)dx；
−
+ a +
(3) f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx,若右端两个反常积分都收敛，
− − a
+
则称 f (x)dx收敛，否则称为发散.
−二、无穷限反常积分的计算 设 f (x)连续, F(x)是 f (x)的一个原函
数，则
+
(1) f (x)dx = lim F(x) − F(a).
a x→+
b
(2) f (x)dx = F(b) − lim F(x).
− x→−
+ 0 +
(3) f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx, 先在 x = 0处拆开再分别计算.
− − 0三、无穷限反常积分的审敛法
[
fix
ax
收敛原则：
↑
!
U
fix) E* /1/111
A5
x +
, sin
a
1.参照物——已知敛散性的积分：.
/AF /
P
>
S
/Tax
Can
***:
P-
①
PEIA]
2.
& I AF 42/nX
finally &
ax ,
②
*.
↓ AJ 4
,
P>1 URE
d = /AJ [
,
[0xt Pax ,
2
③
.
,
&
I
(Bro)2.无穷限反常积分的比较审敛法 设 f (x)在区间[a,+)上连续，且
f (x) 0.
[ fix uX
fINED , findX 5 H*
At
& x+ + o
17/
FIN RE SHE K N
AJ
②
xt+
. ,
:)
#
2四、无界函数的反常积分 如果 f (x)在点 a 的任一邻域内都无界 那么
点a称为 f (x)的瑕点. 含有瑕点的积分称为无界函数的反常积分，又称
为瑕积分. 瑕积分分为
b
(1) f (x)dx，其中
a
a 为瑕点.
b
(2) f (x)dx，其中
a
b
"
is
为瑕点.
D
b c b
(3)c (a,b)是 f (x)的唯一瑕点， f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx，如
a a c
b
果右端都收敛，则 f (x)dx收敛，否则发散.
a五、无界函数的反常积分的计算
b
b
1.当a为瑕点时 f ( x)dx = F( x) = F(b) − lim F( x).
a
a x→a +
b
b
2.当b为瑕点时 f ( x)dx = F( x) = lim F( x) − F(a)
a
a x→b −
3.当c (a,b)为瑕点时
b c b
f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx = lim F(x) − F(a) + F(b) − lim F( x).
a a c x→c − x→c +六、无界函数的反常积分审敛法
!
I fixdX a
收敛原则
,
Af (f(x) Et Ef "
* , + 0 , 3
b
1. 已知敛散性的瑕积分
S P < 1 YFE
I
Co
P-ER' (x-ajpax -xpax
①
,
(b
P1
YFEX
I ↓
of" I
dx
↓>
& InP(X-
& (x a) a)
-
↓ ↓ t 1 > 1922
= &
O Ca
B112. 无界函数的反常积分的比较审敛法
设函数 f (x)在区间(a,b]上连续, 且 f (x) 0, a 为 f (x)的唯一瑕点，则
So fin
ax
fix-EE I R
XatAt
①
, , .
fIN LEE HE Ei NE
② xat #5
, ,
6 P **第二部分 题型解析
题型一、反常积分的计算(★★★)
解题思路——若积分有多个反常处，先拆开，然后逐个用牛顿莱布尼
兹公式计算.3
1
【例7.2.1】 求积分 2 dx.
1
x − x2
2
1
/s I
1
x-max
= + xdx
x-
I 12
I
I
ax dX
= +
2
:(x 1j I (x Ei (
- = - -
3
D
z
arcsmX-E
In 2)
(x + E E
= + - (x
- -
I
I D
z
z ((z 5)
+
+
=题型二、反常积分的敛散性判别(★★★)
解题思路：反常积分敛散性的判别方法如下：
思路 1——计算反常积分，如果算出来存在就收敛，不存在就发散.
思路 2——被积函数作等价无穷小代换或者等价无穷大代换，若可代
换到 p −积分上，则可判别其敛散性.
思路 3——如果被积函数放缩到已知敛散性的积分上，通过比较判别
法判别其敛散性.1
+
【例7.2.2】 若反常积分 dx收敛，则( C ).
0 xa (1 + x)b
(A)a 1且b 1 (B)a 1且b 1 (C)a 1且a + b 1 (D)a 1且a + b 1
FREE BETC
IIT]
[ 0
:
,
+ I
I
t x cusax dX
75
=
xmx
I I
& pybax U22 = X+o + At
x/b
ac
Xa
xa x9 (H
+
1 UX I I
ax
: b
- a+
Xb xatb
x(H【例7.2.3】
下列广义积分收敛的是( ).
1 ln2 x 1 ln(2 − x)
+ + + 2
(A) dx (B) dx (C) dx (D) dx
1 x ( 1 + ln x ) 0 x2 0 xex 1 (x − 1)2
I
1
I
Af
IPE X+ + ~ = IXX
(A) + 00 = x
(H(X) Inx
x .
xax
TBEO / xax =1 to max
FRETO
(B)
: , ,
I
150 max 1
dy
45EX
2)) #
= & -2
2 &x1
X .
I
luxax
1 = :
(x)-2aX 2
&
2 .
X【例7.2.3】
下列广义积分收敛的是( C ).
1 ln2 x 1 ln(2 − x)
+ + + 2
(A) dx (B) dx (C) dx (D) dx
1 x ( 1 + ln x ) 0 x2 0 xex 1 (x − 1)2
F
EPETR
(C) 0
,
/
/nexax Nex
live ax ax
+
=
( /-E Yax
* exax . * .
2
= X
I
I I
lovex ax 42trk
woht ~ -
, Get * xi .【例7.2.3】
下列广义积分收敛的是( ).
1 ln2 x 1 ln(2 − x)
+ + + 2
(A) dx (B) dx (C) dx (D) dx
1 x ( 1 + ln x ) 0 x2 0 xex 1 (x − 1)2
152[PEE
(D)
:
=
2(n(2 x) ) In (R - X)ax I " (n(2 - xx)
-
In +
ax 112dX
=
112
(x - 1)2 , (x - j (x -
3
I In (2 - x) kn(2 - x)(n(1 + 1-x) 1- X
I (Af
dX x+
, ~ -
1)
I (x - 11 (x - 1) (x - 1)2 (x -
I
1)
--
(x-2
I (n(2 xx)
-
112dX
3
(x
-
j
I
In (2-x) In(2 x) 472
2 - At - =
x+ ~ .
,
(x 1)2 : In
- (2-x)
2 xx
-
I
% 92
(2-4) In -x)
