(23)-高数12、13-微分方程笔记版_08.2026考研数学高途王喆全程班_赠送2025课程_25考研数学（一、二）全年智达班_{2}--资料

2025第九章 常微分方程第 1 节 一阶微分方程与 可降阶的微分方程第二部分、题型解析 题型一：一阶微分方程的求解(★★★) 解题思路——几种一阶微分方程都不难求解，属于基础题，将微分方 程化简，判断微分方程的类型，然后用相应的方法计算即可.dy 1.可分离变量的微分方程 形如 = f ( x)g( y)称为可分离变量的微分方 dx 程. 求解步骤： dy 第一步：分离 x 和 y，写成 = f (x)dx的形式. g( y) ( ) ( ) 第二步：两端积分 g y dy =  f x dx . ( ) ( ) 第三步：求出通解G y = F x + C ，可以是显式通解也可以是隐式通 解.dy  y  2.齐次方程 形如 = f 称为齐次方程. 求解步骤：   dx x   y dy du 第一步：令u = , 即 y = ux, 则 = u + x . x dx dx y dy du 第二步：将u = 及 = u + x 代入原方程，化成可分离变量方程 x dx dx du dx = . f (u) − u x du dx 第三步：两端积分 =  ，得u = u(x). f (u) − u x y 第四步：再用 代替u，得通解 y = xu(x). xdy 3.一阶线性微分方程 形如 + P(x) y = Q(x)叫做一阶线性微分方程. dx − P(x)dx  P(x)dx 可利用通解公式来求解 y = e [ Q(x)e dx + C]. Tiax IUM UNITE O = , ② R Cdy 4. 伯努利方程(仅数一)形如 + P(x) y = Q(x) yn(n  0,1)，其求解步 dx 骤如下： dy 第一步：方程的两边同除 yn  得 y−n + P(x) y1−n = Q(x). dx 1 dy 1−n 第二步：凑微分得  + P(x) y 1−n = Q(x) 1 − n dx 第三步：换元令z = y1−n  得一阶线性方程 dz + (1 − n)P(x)z = (1 − n)Q(x) dx dz 第四步：求 + (1 − n)P(x)z = (1 − n)Q(x)的通解z = z(x). dx 第五步：将z = y1−n 回代得到原方程的通解为 y1−n = z(x).( ) 【例9.1.1】 已知函数 y = y x 在任意点 x y 处增量y = x +， 1 + x2 且当x → 0时，是比  x ( ) ( ) 的高阶无穷小. y 0 =，则 y 1 等于( D).   (A)2 (B) (C)e 4 (D)e 4 ERBE 2 15BOX , : 07 0x + = , # (i = ) = = + a cultmX+ C (a) InM arcmx- => = Ieearcmx eariax => y = = C xy10) = z = C = 7 x earstix earctual e] Y Y11) 7. = = X . = = .( )  y + x2 + y2 dx − xdy = 0(x  0)  【例9.1.2】 求初值问题 的解.  y = 0  x=1 de Y + x = y2 =+ (9 ++)ax xdY E = => H - ax X z an ax xamax itx & u+ u= = , , a nur(xax all I = M > +Xax = & + 1+ 42 => = In (n(X) In) In (I) U+ I tur = + = => => U+ Hu = =C . X = GXGX U + 1+ u = z H GX => + = CX y x y = + + = 24(x 0iG = = = x = x 84 y x y y => + +y = = x = - , / Y xx x => x + = - 2 y + = 1 = 2y x y = =3 2 dy x − (2 − 3x ) y 【例9.1.3】 求解微分方程 = ， y = 0． dx x 3 x=1 al 2-3x = + ax ()e( e( (ax - (ax1ax - c = y + = , * 31aX /e-5-blux + ., c = e . 1ax + ex ((e . c ax + = . *. + Y ( )e * 4 = e a( - ) . + . ce ex(t-e* E c = + + =3 2 dy x − (2 − 3x ) y 【例9.1.3】 求解微分方程 = ， y = 0． dx x 3 x=1 ce y = + 2y(x O = = 2 C = - . * Y -e : =【例9.1.4】 求方程 y3dx + (2xy2 − 1)dy = 0的通解. 43 y 2xy) dy an ax (1 dx => . = - = = 2xyz 1 - 2xy" dX 1 - I &x E - => + x = al y3 e) JeSd , My c) => X + = e-cy 214 (Se t c) dy + = . ((yay 4 + = i -p ((n(y) 2) + = .dy 4 【例9.1.5】 微分方程 − y = x2 y 的通解是 . dx x q x 124vy ↓ E = = - x = => 2 d E d G = = - - fedX e(ax c) x c) = m 2 . ax + = . eanX Se-nX 2 ) ax + = . - = (( = c) 2 ax = x + ( x) y " = + x(E () x) + = = +题型二：可降阶类型的微分方程求解(仅数一、数二) (★) 解题思路——可降阶的微分方程考的较少，属于较基础的题目，掌握 相应求解的方法即可. (n) 1. y = f (x)型 积分 n 次即得 y(x).( ) 2. y = f x, y 型(缺 y 型)，求解步骤如下： ( ) 第一步：设 y = p则 y = p，于是方程降阶成一阶方程 p = f x, p  ( ) ( ) 第二步：求 p = f x, p 的通解为 p = p x,C . 1 dy ( ) 第三步：将 y = p代入 p = p x,C 得 = p(x,C ) 1 1 dx dy 第四步：求 = p(x,C )的解，从而得原方程的通解为 1 dx y =  p(x,C )dx + C  1 2( ) 3. y = f y, y 型(缺 x 型)的微分方程，求解步骤如下： dp dp dy dp 第一步：设 y = p 于是 y = p = =  = p ，于是原方程化为 dx dy dx dy dp p = f ( y, p). dy dp 第二步：求出方程 p = f ( y, p)的通解为 y = p = p( y,C ). 1 dy dy 第三步：分离变量 = dx，求解该可分离变量的一阶微分方程. ( y,C ) 1 dy 第四步：解得原方程的通解为 = x + C  2 ( y,C ) 1【例9.1.6】 微分方程 xy + 3 y = 0的通解为 ． /2 Y y" P P ERY = = , , p' p => x + 3p = 0 = + 2 p = 0 . efmx * )(e( x0ax 4) p = = , + 31n.x 2 - c e = = C y = = X3 C / Gax , y C => = - 2x + =1 【例9.1.7】 微分方程 yy + y'2 = 0满足初始条件 y | = 1， y | = 的 x=0 x=0 2 特解是 ． 4, y" . &, : p EXEy P = = =B &P p y . p p 0 y p => y p . + =0 = + = ay + . =0 . al eStm ((e(tmy0ny my C 4 - e c => p + = I = . . Y y f(x Y(x y(x E t 1 C => = =0 = =0 = = = , zy y anax ty => = = =an ax ty => = ) (yay d => = q C2 + = = Z 2x4(x y 1 x + = => = =0 Cr 1 => = = = 1 + y 1 => y x+ = x+第 2 节 高阶线性微分方程的求解题型一：线性微分方程解的性质与结构(★★★) *E 解题思路——根据线性微分方程的性质来进行求解. + 二阶线性微分方程： y + P(x) y + Q(x) y = 0， ① y + P(x) y + Q(x) y = f (x). ② Ar E 定理 1 如果 y 与 y 是齐次方程 y + P(x) y + Q(x) y = 0的两个解，那么 1 2 (FEJIHE) y = C y + C y 也是该方程的解 其中C ,C 是任意常数 1 1 2 2 1 2 y y 如果 2 = k, 称 y 和 y 线性相关; 如果 2  k , 则称 y , y 线性无关 1 2 1 2 y y 1 1定理 2 如果 y 与 y 是 y + P(x) y + Q(x) y = 0两个线性无关的解 那么 1 2 y = C y + C y 即为该方程的通解 1 1 2 2 定理 3 设 y* 是 y + P(x) y + Q(x) y = f (x)的一个特解 且 Y w - YC Y = : + 1242 , 是 y + P(x) y + Q(x) y = 0的通解 那么 y = Y + y* 是 y + P(x) y + Q(x) y = f (x)的通解 FER F+E. ① = E FERT = ②定理 4 如果 y , y , , y 都是 y + P(x) y + Q(x) y = f (x)的解，那么 1 2 l k y + k y + + k y 是 y + P(x) y + Q(x) y = 0解的充分必要条件是 1 1 2 2 l l k + k + + k = 0；是 y + P(x) y + Q(x) y = f (x)解的充要条件是 1 2 l 424E-FERT 42-41 43-4 , k + k + + k = 1. 4 1 2 l . , , 542 2437 54 + + 定理 5 如果 y * 与 y * 分别是 y + P(x) y + Q(x) y = f (x)与 1 2 1 y + P(x) y + Q(x) y = f (x)的两个解 那么 y * + y * 是方程 2 1 2 y + P(x) y + Q(x) y = f (x) + f (x)的特解 1 2【例9.2.1】 已知 y , y 是微分方程 y + P(x) y = 0两个不同的特解，则 1 2 该方程的通解是( D ). X X (A) y + C( y + y ) (XB) y + Cy (C)C y + C y (D)C( y − y ) 1 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 (A)+ Y = - 4, , % : + Yz =0 JF0 (13) 42【例9.2.2】 设线性无关的函数 y , y , y 都是 y + p(x) y + q(x) y = f (x) 1 2 3 的解，C C 为任意常数，则该非齐次方程的通解是( ). 1 2 X X (A)C y + C y + C y (B)C y + C y − (C + C ) y 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 1 2 3 C C ( ) ( ) (C) 1 y + 3C y + (1 − 1 − 3C ) y (D) C +C y − C +C y + y 1 2 2 2 3 1 2 1 1 2 2 3 2 2 = 27 (A) ( + (2+ (s + /(B)( + ( - ( + (2) = 0 E () 3( (1 3() 1 + + - - = (C (2) 1 1 (b)( + (2 - + + = ,【例9.2.2】 设线性无关的函数 y , y , y 都是 y + p(x) y + q(x) y = f (x) 1 2 3 C 的解，C C 为任意常数，则该非齐次方程的通解是( ). 1 2 (A)C y + C y + C y (B)C y + C y − (C + C ) y 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 1 2 3 C C ( ) ( ) (C) 1 y + 3C y + (1 − 1 − 3C ) y (D) C +C y − C +C y + y 1 2 2 2 3 1 2 1 1 2 2 3 2 2 [ (4, 43) 3((4z 43) Us (c) - + - + H # &E 4 SEE ((y 42) (4 42) + (D) C - + , - - = , , ~ w (x (2) (4 (2) 4 ((4 42) 43 = = + · . - + = , - +【例9.2.3】 已知二阶线性微分方程 y + P(x) y + Q(x) y = f (x)的三个 特解 y = x, y = x2, y = e3x ，试求此方程满足 y(0) = 0, y(0) = 3的特 1 2 3 解． FER 4 42 43 -: . e x x x14 y 12 41 - = - : - = - , , * E C. (x-x) Cr(e x) : + - ((e*x FEFC # y C(x - x) + - x) + X = ~ 04 % 3 x y 1 %) = = 2x z(X Y X) x 3x ↓ (1 = 2(z = 0 . = - + = -题型二：二阶常系数线性微分方程求解(★★★★) 一、二阶常系数齐次线性微分方程 y + py + qy = 0的通解求法 第一步：写出特征方程r2 + pr + q = 0. 第二步：复数域内求出特征方程的根r ,r . 1 2 第三步：根据特征方程的两个根的不同情况 写出微分方程的通解 r x r x 情形 1 如果r  r  则通解为 y = C e 1 + C e 2  1 2 1 2 情形 2 如果r = r = r 则通解为 y = ( C + C x ) erx  1 2 1 2 情形 3 如果r = i时 则通解为 y = ex ( C cosx + C sinx ) 1,2 1 2 三、n阶常系数齐次线性 y(n) + p y(n−1) + p y(n−2) + + p y + p y = 0 n−1 n−2 1 0 求通解 第一步：写出特征方程rn + p rn−1 + p rn−2 + + p r + p = 0. n−1 n−2 1 0 第二步：复数域内求出特征方程的n个根r ,r , ,r  1 2 n 第三步：求出n个线性无关解 y , y , , y 后，则方程通解为 1 2 n C y + C y + + C y  1 1 2 2 n n四、二阶常系数非齐次线性微分方程 y + py + qy = f (x)的求通解 第一步：求对应的齐次方程 y + py + qy = 0的通解Y (x). 第二步：求一个 y + py + qy = f (x)的特解 y*(x)： 1.用待定系数法将设 y*(x)为一个与 f (x)同类的函数. 2.观察 y*(x)是否与Y (x)可合并，若不可合并，则 y*(x)即为一个特 解；若可合并，应在 y*(x)上多乘一个 x 2 + x Ce (e = * ex y = a . - x ；若仍冲突，应在 y*(x)上多乘 一个 x2. 3.将 y*(x)代入原方程，解出待定系数，即得原方程一个特解. 第三步： y + py + qy = f (x)通解即为 y = Y (x) + y*(x).y" + Py + &Y = f(x) = e *Y (PmIN) . coswX + Qu(N) . Smrx) * f(x) Y eY(ax Ex b) 3x + . Y ey (acos3X b sm3x) 1033X + Sm3X Caxth)10s3X (Cx d/Sm3X 210s3X + X . + +解题思路——如果方程是常系数齐次线性微分方程，则根据特征方程 求出特征根，再根据特征根得到线性无关解，进而得到齐次通解；如 果方程是常系数非齐次线性微分方程，应该先解出齐次通解，再用待 定系数法求出一个非齐次的特解即得通解.y(x) 【例9.2.4】 已知函数 y = y(x)满足 y''− 3 y'+ 2 y = 2ex 且lim = 1， x x→0 则 y(x) =______. Un UNX 0 44) 40) : = = M Y -Y % Yo Un : = X 0 - - FILE : r - 3r + 2 = 0 = (r - 1) (r -2) = 0 = v = 1 V = 2 * Ge G Ge + . = * iy * = a . eY - X , (4 = a . ex - x + a . e = a(x + 1) - ex (4 *|" a e a(x + ))e" a(x 2) eY = . + + = .Ex y" 3y' ex 14 < 24 - + = 2 . e + 2ax-b e => a (x+ 21 · - 3 . a(x+ ) - + = 2 . = 2 => - a = 2 i a et y 2x => - = + Ge y zxet => ce = + - %10) -Y(0) = = 0, Y e e-2xeY . ( 3 (2 3 i = 3 + 3 = - = . .【例9.2.5】 二阶常系数非齐次微分方程 y − 4 y + 4 y = 2e2x 的通解为 y =________. 2) EEG = V - 4r + 4 = 0 = (5 - = 0 = v = V = 2 ** + Y Ge xe : = * e : (x Y" 4414y e * i y = a . x - = 2 . = a = 1 Xe2Y * y : = ** * Y y Xie ce (xe : = + +【例9.2.6】 求微分方程 y + a2 y = sin x的通解,其中常数 a  0 . - a Va r r al V al # FEEDIE = 0 => = = = : C2Shax C cosax + : = , casel At 1AJ . AXy" iRY * AcosX BShX + any smX = + , = * a Y n SmX A B => 0 = . = = AB Y an => = C cosax+ casmax + Six ,: case2. a = 1 At Ey AcosX + BSMX) - X , xy" it + y smx +* = A z B = = - = 0 * E y 10sX => = . - Y EcosX => = C co3X + (SmX . -【例9.2.7】 微分方程 y − 4 y + 8 y = e2x cos2 x的特解可设为( C ). (A) Ae2x + e2x(Bcos2x + C sin2x) (B) Axe2x + e2x(Bcos2x + C sin2x) (C) Ae2x + xe2x(Bcos2x + C sin2x) (D) Axe2x +Ye2x(Bcos2x + C sin2x) 4 16 32 4142 - r2 4r + 8 =0 V = - 2t22 = 2 2 [2e Get cos2X * sm2x + et 105X eX 1 + 1032X de 2X te = . - + cX 2 ex y" 4y 34 z Y * A.eY + = - = - Y ze Y (B (SM2X) y" 44 - + 84 = cos2X = e . coS2X + · X * y y A e eY (BlosiX r - + = (v 2)(r 1) => - + = 0 Vz z k 2 rz = i = - = = Y ( e ( (osX + GSmX + = ,题型三：已知解，反求微分方程(★★★) 解题思路：如果题目已知微分方程的某些解，反求微分方程，则 思路 1——如果原方程是常系数线性微分方程，则由已知的解先构造 出齐次的线性无关解，然后根据齐次解还原特征根及齐次微分方程， 再代入一个非齐次解即得原方程.思路 2——如果方程是 n 阶的非常系数线性微分方程，且已知通解 y ， 则应通过定义反推微分方程. y C 4 (24 = + , , 第一步 求出 y, y, , y(n) . * y y" , 第二步 消掉 y, y, , y(n) 中的C ,C , ,C 得到F(x, y, y, , y(n)) = 0即 1 2 n 为原微分方程.1 1 【例9.2.9】 已知 y = cos2x − xcos2x, y = sin2x − xcos2x是二阶 1 2 4 4 B 常系数非齐次线性微分方程的两个解，则该方程是( ). - - (A) y − 4 y = sin2x (B) y + 4 y = sin2x : Y" 44 0 + = 1 1 (C) y − 4 y = sin2x (D) y + 4 y = sin2x 73 * Y" f(x) 4 4 : + 44 = PETAB Y 542 EF * . Y , -Fr 41 4z 102X Sm2X los2XG]B : - = - i 122 Y : FEETE V = 1 - - 10S2X = - X . COS2Y . EESE (r + zi) (0-2) = 0 = => y" + 44 = Smax = Y = C , cos2X + C2Sm2X - EX . cos2X【例9.2.10】 已知某微分方程的通解是 y = C x + C x2 ，求微分方程. 1 2 : 2T T3 E EF BIT , = Y y y" = C + 2(X => C - x . = = y 2( G = => x= # IEx * = y (4) xy X + = - . y Exy" X = . - [xy" xy = y - + = 0题型四：通过变量代换，将复杂微分方程化为易求型微分方程(★★★) 解题思路——大纲内只要求会解几种简单的微分方程，但也有题目会 出现超纲的微分方程，此时往往题目会提示通过某种变量代换的方 法，将原方程中某些变量换掉之后，转化成可求的微分方程来求解.2 d y dy 【例9.2.11】 作变量替换 x = lnt,(t  0)后，方程 − + e 2x y = 0可 2 dx dx a 化简为________ y _. =0 + aRY d FRAY d FEEXt DE X [E] = , dy/dt MayT #B t d : = = t t altt & ) = 1/t [x735 + an Ey => + = 0 = y + =0a y 0 = + V 2 r + 1 = 0 = = - ex Y Gcost CuSmt Int t = + , = Smet Close" 12 + =u 【例9.2.12】 利用代换 y = 将方程 ycos x − 2 ysin x + 3 ycos x = ex cos x 化简,并求出原方程的通解. 44" *** W'r 1 U sex 1 U = . , , . = X Y UseX sextmX + u . = seix trix Y useX 24.seX emX + U . Sel + u. = + - 7 "itx 733 *, 44 , , ! mix secx) (u" sex + zu secXtaX + U . SecX + + u . losX => . : - 2 (u secX + U . Se +ax) · SmX + 3 useX . losX = ex(u" sex + zu ! secXtaX + U . SecX + mix + u . secx) losX => . : - 2 (u secX + U . Se +ax) · SmX + 3 useX . losX = ex - => U" + 2 + mX + U . trix + U . Seix-zUemX - Du . taX + 34 = eY u" (seix-tax) et 3u => + u . + = eY u" 44 + = => 22 FE + 4 = 0 = V = 22 n = = U G 22Sm2X 10S2X + => = , * = 5 & = ae (xu" 44 ex 1 = a = u u = + = = ,-eY Ccos2X C Sm2X + : U = + et Smix C losx1 Y 1 ~ = = + ↓ 5 loSX x第 3 节 微分方程的应用题型一：积分方程(★★) 解题思路——含未知函数的变限积分，未知函数本身及 x 的方程，称 为积分方程. 求解方法如下： 第一步：先令上下限相等，看是否有初始条件存在. 第二步：如果变限积分中既含t 又含 x 先将非积分变量 x %* fitiat fix X- = + f(x fix 2x => = + 分离出积分之 外，然后方程两边同时求导，直到变限积分消失，于是积分方程就化 成微分方程. 第三步：求解微分方程，并代入初值条件，得到 f (x).x 【例9.3.1】 设 f (x) = xsin x −  (x − t) f (t)dt ，其中 f (x)连续，求 0 f (x). TB Stit fa * X = = 0 = 0 , SmX-Xo" lo fitlat i fitl + fix at + X , = . fitue-xix fio => fix smX + X - cosX - Co* +X =0 - zo = f(x) fix ·* 2loSX-XSmX- - = fix f(x => + = 2 cosX-0SmXfix f( x 2 cosX-0SmX => + = FEGE = - + 1 = 0 = r = 2 , k = - 2 Y C losX (2 SmX + = , * i Y [Cax + b) - cosX + ((x + d) . SmX] . X = * f(x) fix * y (x 20X xSmx + = - 3 = a 1 b = 0 = 0 d = = , * 2x5mX => y = -105X + + fi = = C 103X+ (nSmX Cox + X . SuX ,+ fi = = C 103X+ (nSmX Cox + X . SuX , fid fid & = 0 = o , C ( 0 .. = = = fix xsmX coX + =题型二：微分方程的几何应用(★★★) 解题思路——根据题目给定的 f (x)条件，以及导数、定积分的几何意 义可得到一个关于 f (x)的微分方程或者积分方程，则可求解出 f (x).【例9.3.2】 设曲线 y = f (x)，其中 f (x)是可导函数，且 f (x)  0，已 知曲线 y = f (x)与直线 y = 0, x = 1及 x = t(t  1)所围成的曲线梯形绕 x S M 轴 旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的t 倍，求该曲线的 方程． - ( fix / fin S ax ! ax " V = = 17 ! V t #E t = , xt) fixax (Efinax , , : = fil (i f(xax f(t) (2 f(x) 1 diz + + + = ) = = => = , , f(t) fit) 2 f(t) + + f'(t) => 2 · =2 f(t) · fitl = 2 f(t) ++ fit) = t = X , Y = fit y y 24 x 2y + . = . = 24 %' => (2 - X1 . = 2 = = 24 -X fa = Iny (featy ay . = e c : C + . = 5 I 24 (5y2 ·i X = + 5 y x 5 5 4 = · + = - + 25【例9.3.3】 设函数 f (x)在定义域 I 上的导数大于零，若对任意的 x  I ，曲线 y = f (x)在点(x , f (x ))处的切线与直线 x = x 及 0 0 0 0 x 轴所围 成区域的面积恒为 4，且 f (0) = 2,求 f (x)的表达式. A fixo) No , fN & (ACI = X Xo = LA fixd tmd L = = I 3 B C /fexos/ IACI IBC : = fixal fixd .fi ElACI Elfio SoABC IBC) 4 ~ = . = = x0find In fixo 4 4 = = fixo 2 ja Y alax (a (tax 4 = => = => = = 2xf(x) ty y E + 2 . C = - = = = - y 5 t = = - - y = = y x