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2025第八章
定积分的应用第二部分、题型解析
题型一：求函数的平均值(★)
b
f (x)dx
解题思路——利用公式 f (x) = a 计算.
b − ax2 1 3
【例8.1】 函数 y = 在区间 , 上的平均值为 .
1 − x2 2 2
2
Ex
dX
i 3
= She
x Set
1- X
-lostdt
~
Th - -2
-
J 1 Sht
↑
-2
I 3 1-1032t
=
2 at &
-
T
2
5 - 1 ⑤ E
E
=题型二：求平面图形的面积(★★★)
解题思路：平面图形面积根据图形的不同类型，选择相应的计算方法
来计算。
类型 1 直角坐标系下求曲边梯形的面积 f (x), x [a,b]与 x 轴所围面积
b
S = | f (x) | dx.
a类型 2 参数方程型曲线求面积（仅数一、数二）若曲线方程为
x = x(t)
,且当 x = a时,t =;当 x = b时,t = . 则该曲线在 x [a,b]内与
y = y(t)
t
b x=x(t) co
x 轴所围面积为 y(x)dx y(t)x(t)dt .
E
a
"
tid To
X=C
类型 3 极坐标系下平面图形面积 由曲线= ()及射线=,= 围
1
成的曲边扇形的面积为S = 2()d.
P pa
2 =
·类型 4 两曲线所围图形面积
思路——设平面图形由曲线 y = f (x)与 y = f (x)所围成，则两曲线所
1 2
fa
Y=
-
围面积计算如下：
-
&
1. 解两曲线的交点 A(x , y )和B(x , y )的坐标.
A A B B
f,(x)
4
=
2. 分析图形，确定切割方法，以不分块为妙.
&
x
3. 如果选用竖向切割，则S = B | f (x) − f (x) | dx. 如果选用横向切
1 2
x
A
割，需要把曲线中分别解出 x = ( y)与 x = ( y)，于是
1 2
y
S = B |( y) −x ( y) | dy.
①
1 2
y
A【例8.2】 曲线 y = − x 3 + x 2 + 2x与 x 轴所围成的图形的面积 A =
________.
x x (x 2) (x
u = - + + 2x = - X . - x - = - X . - 2)(X + 1)
( &
2
A x 2
= 2xax
- + +
_ 11/1111,
.
+
- Y x ((
%( + + 2x)dX x x
= - + - + +2x) ax
-
= 1
【例8.3】 求曲线 y 2 = 2x在点 ,1 处法线与曲线所围成图形的面积.
2
y = =5 X5 A ↑ (1)
2x
-
&
y
y . =
>
decicito
9
B(z -3)
Kis -1 .
= =
·
3
(1) 35 4-1 (X 2) y
· = - - = = -x+z
y
2x
E S = Bl
3)
=> -
.
=
y
= - x+
z
42
= yy
3
1 = - x + = X = - = 2x = X = z
SC-y-Say 10
=
S
3【例8.4】 双纽线(x 2 + y 2 ) 2 = x 2 − y 2 所围成的区域面积为________.
# P " Posa-pShoce P 10520 El P 10120
: = = =
N
+
4/
S 4S = do
= ,
=
/loSi
I /
10s20 do
=题型三：求旋转体的体积(★★★★★)
二、求旋转体的体积
1.求 f (x)绕 x 轴旋转所得的旋转体的体积 由曲线 y = f (x)， x = a,
x = b及 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积为
b
V = f 2(x)dx.
a
I推广：由曲线 y = f (x)，直线 x = a, x = b及 y = y 所围成的图形绕
0
b
y = y 旋转一周所得的旋转体的体积为V = [ f (x) − y ]2dx.
0 0
a
n2. x =( y)绕 y轴旋转所得的旋转体的体积 由曲线 x =( y), 直线
y = c, y = d 及 y轴所围成的平面图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积
d
为V = 2( y)dy.
c
d
y
= ---
x(x ay)
=
y = c -- ----
>3. y = f (x)绕 y轴旋转所得体积 由曲线 y = f (x)，直线 x = a， x = b
及 x 轴所围成的平面图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积为
b
V = 2 | xf (x) | dx.
a
#
f 2xxfixax
u
=
↑
R
27X
ax
-
-
fM[
-推广：由曲线 y = f (x)，直线 x = a， x = b及 x 轴所围成的平面图形绕
b
x = x 轴旋转一周所得旋转体的体积为V = 2 | (x − x ) f (x) | dx.
0 0
a
#/) wwy) axay (Xx Y)
V 2 ,
= O
T⑧ rexry)
D
x()
V 9 axay
X = 2
:
X
y f(x)
2)bax)f =
yay
=
in
·
D
2(b)f
dX
=
a
O
fin
hi I Co fin
= ax = ax& X=Xo GE X= Vo
/
f(x)
Y
=
x (r(x7)
axay
V = -
!
"
13
x/(X-
Xo) axay
S
=
b
a
fix
C I
.
= 2.77 dX (x-200) d
2/a"
fix
= (x-x0) ax解题思路：如果要求某区域绕 x 轴(或某水平线)、 y 轴(或某铅直线)的
体积，则
思路 1——如果该区域边界由一条曲线及 x 轴或 y 轴构成，则可用相应
公式直接计算.
思路 2——如果该区域边界由两条曲线所围成，则往往采取“大减
小”这种间接法，将两条曲线分别代入公式计算再相减.
【例8.5】 设曲线 y = sin x 0 x , y = 1及 x = 0所围平面图形为
2
D .
E
X=
(I)求D绕直线 x = 旋转一周所得体积V ; N
1
2 Y
-
#25 V ((E X) fixax (x - y) · D r &i
- = = -
E
X
= -
&
- E
xix)
V Vy- Vsmx -X1 Suxax *
= = .
x
= +2x
-
2)(E
/ vexy) axay x) axey
15 V = 2x = -
= =
Fax I I x(
SmyE-Xay
x) (15mx)ax
= 27 = -(II)求D绕 x 轴旋转一周所得体积V .
2
-
E Y f(x) xETaib] N
35 =
- : - . M
Chi fix
v = ax ↳ D i
Ex-
smax T
Un -Vsmx
Un = z
= =
=
2/ 221
Vixylaxay
Y axay
35 V =
== =
max) I
=
x)
Sux/dx
C
= yay ax = -
sux
=【例8.6】 设平面图形 D 由 x 2 + y 2 2x与 y x围成，求图形 D 绕直线
xty2X
y = −1及 x = −1旋转一周所成的旋转体的体积.
↑ (1)
x
( 1) Y= - x + y = 2x) Y = 2xx- ↑ I
cors
D
- y =x
35 - i
Caz(fix
11ax)
(E Y = 4m5Y = 1 V = + - >
-
Y
1)
(ok(2x (! =-
V V Vy -x 1)
+ ax x(x
= - = - + ax
=x
32 2
Th
- 5 - 5
2))rexylaxay 2)) 2) ! ax **
(4T1axay
15 V
= = = = = ge my
(x-x
x) ) x))))2x 1)
! 1))ax
= (4+ ax = - x + - (x +
X【例8.6】 设平面图形 D 由 x 2 + y 2 2x与 y x围成，求图形 D 绕直线
y = −1及 x = −1旋转一周所成的旋转体的体积.
xty2X
= -
X
↑ (1)
-
Ve Vyx (02(x (2x(x
Vn 1
= - = + 1) 2x - x ax - + 1)xax
,
5
= -
2/jax/tymy
2 rexiylaxay 2/(xlaxay
55
Va
= = = = =
2x)
! ))2x - x 54
x)dX
x
(x+
= - = -题型四：求弧长（仅数学一、二要求）(★★)
解题思路——求弧长的题目一般比较基础，看清楚曲线类型，代入相
应公式计算即可.
( )
1.直角坐标系求弧长 设曲线方程为 y = f (x) a x b ，则弧长为
b Meet
s = 1 + f 2(x)dx. dS = It fix dX
a
x = x(t)
2.参数方程求弧长 设曲线方程 ( t )，则弧长
y = y(t)
s = x2(t) + y2(t)dt . is
as +yes
= at
( )
3. 极坐标求弧长 设曲线= () ，则弧长为
s = 2() + 2()dt.
as piose plas
= do
3
2
【例8.7】 曲线 y = x2 上相应于
3
x 从 3 到 8 的一段弧的长度为( ).
38 25
(A) (B) (C)
3 3
9 (D) 6
A
11t 10
1
s 10 H + yrax = ( ***** dx = ax
=
.
38
= 3【例8.8】 设曲线 L
↑
t 2
x = 1 + udu
0
由 确定，则该曲线对应于0 t 1
2
t
y = 1 − udu
0
的弧长为 .
So
16 (H 2t) (1 2t)
= XE + is at = + + · + - + 2 - at
fo'zt
If +Y 4t ) 4t
= C + + C - + at = at
25/d
E
+ dt .
=
=【例8.9】 求心形线r = a(1+ cos)的全长，其中 a 0 是常数
x varia
% 1
E (0 0) ! Xo = 2 = 2 +
.
E
THE 4
: : =
=S Sy + Sy
= =
2)
2)
E Hax ,
+ Gax
= X-1 .
= 1)
(115
-
.
