5.10 y=Asin(ωx+φ)的图像
模块一：基础知识 .........................................................................2
考点一：φ、ω、A 对y=Asin(ωx+φ)图象的影响 .............................2
考点二：五点法作图 ....................................................................2
考点三：三角函数图象变换 ...........................................................2
考点四：根据图象求解析式 ...........................................................3
模块二：题型分类 .........................................................................4
题型一：利用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象 ......................4
题型二：三角函数的图象变换 .......................................................10
题型三：由部分图象求函数的解析式 ..............................................14
题型四： 三角函数模型在匀速圆周运动中的应用 ..............................22
题型五：函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的综合应用 .....................27
题型六：函数y=Asin(ωx+φ)的图象与三角恒等变换 .......................35
模块三：综合巩固 .......................................................................39
5.10 y=Asin(ωx+φ)的图像
模块一：基础知识
考点一：φ、ω、A 对y=Asin(ωx+φ)图象的影响
1. 对
的图象的影响
函数
（其中
）的图象，可以看作是把正弦曲线
上所有的点向左(当>0 时)
或向右(当<0 时)平移| |个单位长度而得到(可简记为“左加右减”).
2、
对
的图象的影响
函数
的图象，可以看作是把
的图象上所有点的横坐标缩短(当
>1 时)或
伸长(当0<
<1 时)到原来的
倍(纵坐标不变)而得到.
3、
对
的图象的影响
函数
的图象，可以看作是把
图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1 时)
或缩短(当0<A<1 时)到原来的A 倍(横坐标不变)而得到.
考点二：五点法作图
必备方法：
sin(
)
y
A
x
五点法步骤
③
x
2
3
2
2
①
x
0
2
3
2
2
②
sin(
)
y
A
x
0
A
0
A
0
对于复合函数
sin(
)
y
A
x
，
第一步：将
x
看做一个整体，用五点法作图列表时，分别令
x
等于0，2
，，3
2
，2，
对应的y 则取0，A ，0，
A
，0。，（如上表中，先列出序号①②两行）
第二步：逆向解出x （如上表中，序号③行。）
第三步：得到五个关键点为：(
,0)
，2
(
, )
A
,(
,0)
,
3
2
(
,
)
A
, 2
(
,0)
考点三：三角函数图象变换
参数A ,,对函数
sin(
)
y
A
x
图象的影响
1.对函数
sin(
)
y
x
, x
R
的图象的影响
2、(
0
)对函数
sin(
)
y
x
图象的影响
3、A (
0
A
)对
sin(
)
y
A
x
的图象的影响
4、由
sin
y
x
的图象变换得到
sin(
)
y
A
x
(
0
A
，
0
)的图象的两种方法
考点四：根据图象求解析式
形如
( )
sin(
)
f x
A
x
B
的解析式求法：
1、
,
A B 求法：
①观察法：A 代表偏离平衡位置的最大距离；B 平衡位置.
②代数法：记
( )
sin(
)
f x
A
x
B
的最大值为M ,最小值为m ；则：
A
B
M
A
B
m
，联立求解.
2、求法：通过观察图象，计算周期T ，利用公式
2
|
|
T
，求出.
3、求法：
①第一关键点法：通过观察图象找出第一关键点
0
(
, )
x B ，将第一关键点
0
(
, )
x B 代入
0
0
x
求解.
（第一关键点判断方法：图象呈上升状态与平衡位置的交点,且该点离y 轴最近）
②最值代入法：通过观察图象的最高点
1
( ,
)
x M （或者最低点
2
(
,
)
x m ）代入解析式
( )
sin(
)
f x
A
x
B
求解.
③特殊点法：当图象给出的信息缺乏①②中的条件，可以寻找图象的其它特殊点
0
0
(
,
)
x
y
代入解析式
( )
sin(
)
f x
A
x
B
求解，但用此法求解，若有多个答案注意根据条件取舍答案.
模块二：题型分类
题型一：利用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象
1.用五点法作函数𝑦= 𝐴sin(𝜔𝑥+ 𝜑) 𝐴> 0,𝜔> 0,|𝜑| < π
2 的图像时，得到如下表格：
x
π
6
2π
3
𝜔𝑥+ 𝜑
0
π
2
π
3π
2
2π
y
0
4
0
0
则A，ω，φ 的值分别为（ ）
A．4，2，−
π
3
B．4，
1
2，
π
3
C．4，2，
π
6
D．4，
1
2，−
π
6
【解题思路】利用𝑦= sin𝑥的图像与性质，再结合图表中的数据即可求出结果.
【解答过程】根据图像表格，易知𝐴= 4,
𝑇
2 =
π
|𝜔| =
2π
3 −
π
6 =
π
2，又𝜔> 0，得到𝜔= 2，
又由图像表格及𝑦= sin𝑥的图像与性质知，2 ×
π
6 + 2π
3
2
+𝜑=
π
2，得到𝜑= −
π
3.
故选：A.
2.用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数
π
2sin 2
6
f x
x
在
0,π 上的大致图像.
【答案】答案见解析
【详解】列表：
x
0
π
6
5π
12
2π
3
11π
12
π
π
2
6
x
π
6
π
2
π
3π
2
2π
13π
6
y
1
2
0
2
0
1
描点，连线，画出
f x 在
0,π 上的大致图像如图：
3.已知函数
π
sin 2
6
f x
x
(1)请用“五点法”画出函数
f x 在一个周期上的图象（先在所给的表格中填上所需的数字，再画图）；
x
π
3
5π
6
π
2
6
x
0
2π
f x
0
(2)求
f x 在区间
π
12
π
, 2
上的最大值和最小值及相应的x 值.
【答案】(1)答案见解析；
(2)
π
12
x
时，
f x 取最小值0；
π
3
x
时，
f x 取最大值1.
【详解】（1）分别令
π
π
3π
2
0,
,π,
,2π
6
2
2
x
，可得：
x
π
12
π
3
7π
12
5π
6
13π
12
π
2
6
x
0
π
2
π
3π
2
2π
f x
0
1
0
1
0
画出函数
f x 在一个周期的图像如图所示：
（2）因为
2
π
π
,
12
x
，所以
π
5π
2
0,
6
6
x
，
所以当2
6
π
0
x
，即
π
12
x
时，
f x 取最小值0；
当
π
π
2
6
2
x
，即
π
3
x
时，
f x 取最大值1.
4.已知函数
π
sin 2
4
f x
x
，xR ．
(1)列表，并在所给坐标系中用五点法作出一个周期内的函数图像．
x
f x
(2)写出
f x 的单调区间，对称轴，对称中心．
【答案】(1)答案见解析
(2)单调递增区间为：
3π
π
π
, π
8
8
k
k
，
Z
k
，单调递减区间为：
π
5π
π
, π
8
8
k
k
，
Z
k
，对称轴为
1
π
π
2
8
x
k
，
Z
k
，对称中心为1
π
π
,0
2
8
k
，
Z
k
【详解】（1）列表：
x
π
8
π
8
3π
8
5π
8
7π
8
π
2
4
x
0
π
2
π
3π
2
2π
f x
0
1
0
1
0
描点、连线如图所示：
（2）令
π
π
π
2 π
2
2 π
2
4
2
k
x
k
，
Z
k
，解得
3π
π
π
π
8
8
k
x
k
，
Z
k
，
从而可求得
f x 的单调递增区间为：
3π
π
π
, π
8
8
k
k
，
Z
k
，
令
π
π
3π
2 π
2
2 π
2
4
2
k
x
k
，
Z
k
，解得
π
5π
π
π
8
8
k
x
k
，
Z
k
，
从而可求得
f x 的单调递减区间为：
π
5π
π
, π
8
8
k
k
，
Z
k
，
由
π
π
2
π
4
2
x
k
，
Z
k
，解得
1
π
π
2
8
x
k
，
Z
k
，
可得
f x 的对称轴方程为
1
π
π
2
8
x
k
，
Z
k
，
令
π
2
π
4
x
k
，
Z
k
，解得：
1
π
π
2
8
x
k
，
Z
k
，
则函数
π
sin 2
4
y
x
的图象的对称中心的坐标是1
π
π
,0
2
8
k
，
Z
k
．
5.已知函数
π
( )
2 sin 2
4
f x
x
.
(1)利用“五点法”，完成如下表格，并画出函数
( )
f x 在一个周期上的图象；
π
2
4
x
_____
_____
_____
_____
_____
x
_____
_____
_____
_____
_____
( )
f x
_____
_____
_____
_____
_____
(2)若2
且
2
( )
3
f
，求cos2的值.
【答案】(1)答案见解析
(2) 4
2
6
【详解】（1）
π
2
4
x
0
π
2
π
3π
2
2π
x
π
8
3π
8
5π
8
7π
8
9π
8
( )
f x
0
2
0
2
0
( )
f x 在一个周期上的图象如图所示，
（2）因为
π
2
( )
2 sin(2
)
4
3
f
，解得
π
1
sin(2
)
4
3
，
因为2
，所以
π
7π
2
4
4
4
，
又因为
π
sin(2
)
0
4
，
所以
π
2
π
4
4
，
所以
2
π
π
2 2
cos(2
)
1 sin (2
)
4
4
3
，
所以
π
π
π
π
π
π
2 2
2
1
2
4
2
cos2
cos[(2
)
]
cos(2
)cos
sin(2
)sin
4
4
4
4
4
4
3
2
3
2
6
，
故cos2的值为4
2
6
.
6.已知函数
π
( )
sin(2
)
6
f x
x
．
(1)请用“五点法”画出函数
( )
f x 在一个周期上的图像（先在所给的表格中填上所需的数字，再画图）；
x
π
2
6
x
( )
f x
(2)求
(
)
6
π
f
x
的单调递增区间．
【答案】(1)答案见解析
(2)
5π
[ π
, π
]
3
π
6
k
k
，
Z
k
．
【详解】（1）分别令2
6
π
0
x
，π
2 ，π ，3π
2 ，2π，可得：
x
π
12
π
3
7π
12
5π
6
13π
12
π
2
6
x
0
π
2
π
3π
2
2π
( )
f x
0
1
0
1
0
画出在一个周期的图像如图所示：
（2）
(
)
sin[2(
)
]
sin( 2
)
sin(2
)
6
π
π
π
6
6
π
6
6
π
f
x
x
x
x
，
若求单调递增区间，需满足
π
π
3π
2 π
2
2 π
2
6
2
k
x
k
，
Z
k
，
π
5π
π
π
3
6
k
x
k
，
Z
k
，
则
(
)
6
π
f
x
的单调递增区间为
5π
[ π
, π
]
3
π
6
k
k
，
Z
k
．
题型二：三角函数的图象变换
1.为了得到函数
cos2
g x
x
的图象，可以将函数
π
cos 2
3
f x
x
的图象（ ）
A．向左平移π
3 个单位长度
B．向右平移π
3 个单位长度
C．向左平移π
6 个单位长度
D．向右平移π
6 个单位长度
【答案】D
【详解】对于A，
π
π
π
cos 2
cos 2
π
cos2
3
3
3
f
x
x
x
x
g x
，A 错误；
对于B，
π
π
π
π
cos 2
cos 2
3
3
3
3
f
x
x
x
g x
，B 错误；
对于C，
π
π
π
2π
cos 2
cos 2
6
6
3
3
f
x
x
x
g x
，C 错误；
对于D，
π
π
π
cos 2
cos2
6
6
3
f
x
x
x
g x
，D 正确.
故选：D.
2.已知曲线C1：
2sin
y
x
，C2：
π
2sin(2
)
3
y
x
，则错误的是（ ）
A．把
1
C 上各点的横坐标缩短到原来的
1
2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平行移动π
6 个单位长度，
得到曲线
2
C
B．把
1
C 上各点的横坐标缩短到原来的
1
2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平行移动5π
6 个单位长
度，得到曲线
2
C
C．把
1
C 向左平行移动π
3 个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的
1
2 倍，纵坐标不
变，得到曲线
2
C
D．把
1
C 向左平行移动π
6 个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的
1
2 倍，纵坐标不
变，得到曲线
2
C
【答案】D
【详解】对于A.
1
C 上各点横坐标缩短到原来的
1
2 倍，得到
2sin2
y
x
，再向左平移π
6 个单位长度，得到
π
π
2sin2
+
=2sin 2 +
6
3
y
x
x
，正确；
对于B.
1
C 上各点的横坐标缩短到原来的
1
2 倍，得到
2sin2
y
x
，再向右平移5π
6 个单位长度，得到
5
5π
5π
π
2sin 2
=2sin 2
=2sin 2
+2π
2sin 2
6
3
3
3
y
x
x
x
x
，正确；
对于C.
1
C 向左平移π
3 个单位长度，得到
π
2sin
+ 3
y
x
，再把各点横坐标缩短到原来的
1
2 倍，得到
π
2sin 2 + 3
y
x
，正确；
对于D.
1
C 向左平移π
6 个单位长度，得到
π
2sin
+ 6
y
x
，再把各点横坐标缩短到原来的
1
2 倍，得到
π
2sin 2 + 6
y
x
，错误.
故选：D
3.已知函数
2sin
f x
x
的图象向左平移π
6 个单位长度后得到函数
sin 2
3 cos2
y
x
x
的图象，则
φ 的可能值为（ ）
A．0
B．π
6
C．π
3
D．π
12
【答案】A
【详解】
π
sin 2
3 cos2
2sin 2
3
y
x
x
x
，
函数
2sin
f x
x
的图象向左平移π
6 个单位长度后得到函数的图象解析式为：
π
π
2sin
6
6
f
x
x
，
所以有
2
2 π
Z
π
π
2 π
Z
6
3
k
k
k
k
，
显然只有选项A 符合，
故选：A
4.将函数𝑦= cos 2𝑥+ 4π
5 的图象上各点向右平移
π
2个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸
长为原来的4 倍，则所得到的图象的函数解析式是（ ）.
A．𝑦= 4cos 4𝑥−π
5
B．𝑦= 4cos 4𝑥+ π
5
C．𝑦= 4sin 4𝑥+ 4π
5
D．𝑦= −4sin 4𝑥+ 4π
5
【解题思路】结合𝐴,𝜔,𝜑对函数𝑦= 𝐴sin(𝜔𝑥+ 𝜑)(𝐴> 0,𝜔> 0)图象的影响可得.
【解答过程】将函数𝑦= cos 2𝑥+ 4π
5 的图象上各点向右平移
𝜋
2个单位长度，得到函数𝑦= cos 2 𝑥−π
2 + 4π
5
即𝑦= cos 2𝑥−π
5 的图象，
再把函数𝑦= cos 2𝑥−π
5 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半，就得到函数𝑦= cos 4𝑥−π
5 的图象，
然后再把函数𝑦= cos 4𝑥−π
5 的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的4 倍，就得到函数𝑦= 4cos 4𝑥−π
5 的
图象.
故选：A.
5.把函数
π
cos 3
4
y
x
的图像适当变动就可以得到
sin
3
y
x
图像，这种变动可以是（ ）
A．向右平移π
4
B．向左平移π
4
C．向右平移π
12
D．向左平移π
12
【答案】D
【详解】
π
π
sin( 3 )
cos 3
cos3
2
6
y
x
x
x
，
π
π
cos 3
cos3
4
12
y
x
x
，
函数
π
cos 3
4
y
x
的图象向左平移π
12 可以得到
sin( 3 )
y
x
的图象.
故选：D
6.（多选）要得到函数
π
sin 2
6
f x
x
的图象，可以将函数
π
cos
2
6
g x
x
的图象（ ）
A．向左平移π
4 个单位长度
B．向右平移π
4 个单位长度
C．向左平移3π
4 个单位长度
D．向右平移3π
4 个单位长度
【答案】BC
【详解】由
π
π
π
2π
π
π
cos
2
sin
2
sin 2
sin 2
6
2
6
3
4
6
g x
x
x
x
x
，
可知将函数
g x 的图象向右平移π
4 个单位长度，
可得
π
π
π
π
sin 2
sin 2
4
4
6
6
f x
x
x
，即可得函数
f x 的图象，
又由函数
g x 的最小正周期为
2π
π
2
T
，可知向右平移π
4 个单位长度与向左平移3π
4 个单位长度效果相同；
所以选项BC 正确.
若向左平移π
4 个单位长度，可得
π
π
π
π
sin 2
sin 2
4
4
6
6
f x
x
x
，故A 错误；
若向右平移3π
4 个单位长度，可得
π
3π
π
π
sin 2
sin 2
4
4
6
6
f x
x
x
，故D 错误；
故选：BC.
7.为了得到函数
π
sin 2
4
f x
x
的图象，只需将函数
cos2
g x
x
的图象向右平移
个单位长
度．
【答案】3π
8 (答案不唯一).
【详解】
π
cos2
sin 2
2
g x
x
x
图象向右平移3π
π,
Z
8
k
k
个单位长度，
可得到
3π
π
3π
π
π
sin 2
π
sin 2
2 π
sin 2
8
2
4
2
4
y
x
k
x
k
x
的图象.
当
0
k
时，函数
cos2
g x
x
的图象向右平移3π
8 个单位长度．
故答案为：3π
8 (答案不唯一).
8.为了得到函数
π
sin
3
y
x
的图象，只需把函数
cos
y
x
的图象向
（填“左、右”）平移
个
单位长度．
【答案】
右（或左）
π
6 （或π
2 π
6
k
，
Z
k
中的任何一个值）（或11π
6 （或11π
2 π
6
k
，
Z
k
中的任何一个值））
【详解】函数
π
cos
sin
2
y
x
x
，而
π
π
π
sin
sin
3
2
6
y
x
x
，
所以
cos
y
x
的图象向右平移π
6 个单位长度，或是向右平移π
2 π
6
k
，
Z
k
中的任何一个值，即可得到函
数
π
sin
3
y
x
的图象.
或是
3π
cos
sin
2
y
x
x
，而
π
3π
11π
sin
sin
3
2
6
y
x
x
，
所以
cos
y
x
的图象向左平移
11π
6 个单位长度，或是向左平移11π
2 π
6
k
，
Z
k
中的任何一个值，即可得到
函数
π
sin
3
y
x
的图象.
故答案为：右； π
6 （或π
2 π
6
k
，
Z
k
中的任何一个值）；或左；11π
6 （或11π
2 π
6
k
，
Z
k
中的任何一
个值）
题型三：由部分图象求函数的解析式
1.（多选）已知函数
π
2sin
0,
2
f x
x
的部分图象，则（ ）
A．
2
B．
π
3
C．点π ,0
6
是
f x 图象的一个对称中心
D．
f x 的图象向左平移5π
12 个单位后所对应的函数为偶函数
【答案】ACD
【详解】A 选项，由图象可得到函数最小正周期1
5π
π
π
2
12
12
2
T
，故
π
T
，
因为
0
，所以2π
π
，解得
2
，A 正确；
B 选项，将5π ,2
12
代入解析式得
5π
2sin 2
2
12
，
因为
π
2
，解得
π
3
，B 错误；
C 选项，
π
2sin 2
3
f x
x
，故
π
π
π
2sin
0
6
3
3
f
，
故点π ,0
6
是
f x 图象的一个对称中心，C 正确；
D 选项，
f x 的图象向左平移5π
12 个单位后得到
5π
π
π
2sin 2
2sin 2
2cos2
6
3
2
g x
x
x
x
，
因为
2cos2
g x
x
的定义域为R，且
2cos
2
2cos2
g
x
x
x
g x
，
故
2cos2
g x
x
为偶函数，D 正确.
故选：ACD
2.已知函数𝑓(𝑥) = 𝐴sin(𝜔𝑥+ 𝜑) 𝑥∈𝑅,𝐴> 0,𝜔> 0,|𝜑| < π
2 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是
（ ）
A．𝑓(0) =
2
3
B．直线𝑥= π是𝑓(𝑥)图象的一条对称轴
C．𝑓(𝑥)图象的对称中心为−π
6 + 𝑘π
2 ,0 ,𝑘∈𝑍
D．将𝑓(𝑥)的图象向左平移
π
6个单位长度后，得到函数𝑦= 3cos2𝑥的图象
【解题思路】对A，根据图最大值为3 可得𝐴= 3，再根据周期求得𝜔= 2，再根据最高点判断可得𝑓(𝑥) = 3
sin 2𝑥+ π
3 ，即可判断；
对B，代入𝑥= π判断函数是否取最值即可；
对C，根据正弦函数对称中心的公式求解即可；
对D，根据三角函数图象平移性质判断即可.
【解答过程】对A，由最大值为3 可得𝐴= 3，由图知
𝑇
4 =
π
12−−π
6 =
π
4，故𝑇= π =
2π
𝜔，故𝜔= 2，
由图象最高点可得2 ×
π
12 +𝜑=
π
2 +2𝑘π,(𝑘∈Z)，即𝜑=
π
3 +2𝑘π,(𝑘∈Z)，
又|𝜑| <
π
2，故𝜑=
π
3，故𝑓(𝑥) = 3sin 2𝑥+ π
3 .
故𝑓(0) = 3sin
π
3 = 3 3
2 ，故A 错误；
对B，𝑓(π) = 3sin 2π + π
3 = 3 3
2 ，不为函数最值，故直线𝑥= π不是𝑓(𝑥)图象的一条对称轴，故B 错误；
对C，令2𝑥+
π
3 = 𝑘π,(𝑘∈Z)，解得𝑥=
𝑘
2π−
π
6,(𝑘∈Z)，故对称中心为−π
6 + 𝑘π
2 ,0 ,𝑘∈𝑍，故C 正确；
对D，𝑓(𝑥) = 3sin 2𝑥+ π
3 的图象向左平移
π
6个单位长度后，得到函数𝑓(𝑥) = 3sin 2 𝑥+ π
6 + π
3 = 3sin
2𝑥+ 2π
3 的图象，故D 错误；
故选：C.
3.已知函数
sin
0,
0,
2
π
f x
A
x
A
的部分图象如图所示，为了得到函数
sin
g x
A
x
的图象，只需要将
y
f x
的图象（ ）
A．向左平移π
3 个单位长度
B．向右平移π
3 个单位长度
C．向左平移π
6 个单位长度
D．向右平移π
6 个单位长度
【答案】D
【详解】由图像知，
2
A ，1
π
π
π
4
3
12
4
T
，
π
T
，即
2π
2
T
，
由图可知，
π
2sin 2
2
12
，
π
π
2 π
Z
6
2
k
k
，
π
2 π
Z
3
k
k
，又
π
2
，
π
3
，
π
π
2sin 2
2sin 2
3
6
f x
x
x
，
f
x
向右平移π
6 可得函数
sin
g x
A
x
.
故选：D.
4.已知函数
π
sin
0,
0,
2
f x
A
x
A
的部分图象如图所示.
(1)求
f x ；
(2)将函数
y
f x
图象向左平移π
12 个单位，得到函数
y
g x
的图象，求
g x 在
π
0, 3
上的值域.
【答案】(1)
π
2sin 2
3
f x
x
(2)
1,2
【详解】（1）由最大值可确定
2
A ，
因为
7π
π
π
2
12
12
2
T
，所以
2π
2
T
，
此时
2sin 2
f x
x
，函数
f x 图象过点
π ,2
12
，
可得：
π
sin
φ
1
6
，从而
π
π
2 π
Z
6
2
k
k
，
结合
π
2
，可得
π
3
，
所以
π
2sin 2
3
f x
x
.
（2）由题意，
π
π
π
π
2sin 2
2sin 2
2cos2
12
12
3
2
g x
f
x
x
x
x
，
当
π
0, 3
x
时，
2π
2
0, 3
x
，则有
1
cos2
,1
2
x
，
所以
g x 在区间
π
0, 3
上的值域为
1,2
.
5.已知函数
( )
sin(
)
,
0,
0,|
|
2
π
f x
A
x
x
R A
的部分图象如图所示.
(1)求
( )
f x 的最小正周期及解析式；
(2)将函数
( )
y
f x
的图象向右平移π
6 个单位长度得到函数
( )
y
g x
的图象，求函数( )
g x 在区间
π
0, 2
上的最
大值和最小值.
【答案】(1)
π
T
，
π
sin 2
6
f x
x
(2)
1
1, 2 .
【详解】（1）由图象可知
( )
y
f x
的最大值为1，最小值-1，故
1
A ；
又
2π
5π
π
2π
4
3
12
4
4
T
∴
2
，
将点2π , 1
3
代入
( )
y
f x
，
2π
4π
(
)
sin
1
3
3
f
∴4π
3π
π
2 π, =
2 π
3
2
6
k
k
，
∵
π
2
∴
π
6
故答案为：
π
T
，
π
sin 2
6
f x
x
.
（2）由
( )
y
f x
的图象向右平移π
6 个单位长度得到函数
π
π
π
( )
sin 2
sin 2
6
6
6
g x
x
x
∵
π
0, 2
x
∴
π
π 5π
2
,
6
6
6
x
∴当
π
π
2
6
6
x
时，即
0
x
，
min
π
1
sin 2
6
2
x
；
当
π
π
2
6
2
x
时，即
π
3
x
，
max
π
sin 2
1
6
x
故答案为：
1
1, 2
6.（多选）如图所示的曲线为函数
cos
f
x
A
x
（
0
A
，
0
，
π
2
）的部分图象，将
y
f x
图象上的所有点的横坐标伸长到原来的3
2 ，再将所得曲线向右平移π
8 个单位长度，得到函数
y
g x
的图
象，则（ ）
A．函数
g x 在5π 13π
,
24
24
上单调递减
B．点3π ,0
8
为
g x 图象的一个对称中心
C．直线
π
4
x
为
g x 图象的一条对称轴
D．函数
g x 在3π ,π
4
上单调递增
【答案】CD
【详解】由图象知
2
A ,
∵
π
2π
5π
6
3
2
12
,
∴
( )
f x 的一个最低点为
5π , 2
12
,
∵
( )
f x 的最小正周期为
2π
2π
0
3
3
T
,
∴
2π
3
T
.
∵
5π
5π
2cos 3
2
12
12
f
, 则
5π
cos 3
1
12
,
∴5π
π
2 π(
Z)
4
k
k
, 即
π
2 π(
Z)
4
k
k
,
∵
π
|
|
2
,
∴
π
4
,
∴
π
( )
2cos 3
4
f x
x
.
将函数
( )
y
f x
图象上的所有点的横坐标伸长到原来的3
2 得：
π
2cos 2
4
y
x
的图象, 再把所得曲线
向右平移π
8 个单位长度得 ：
π
2cos 2
2sin 2
2
y
x
x
，即
( )
2sin 2
g x
x
.
由
π
π
2 π
2
2 π(
Z)
2
2
k
x
k
k
得 ,
π
π
π
π(
)
4
4
k
x
k
k
Z ,
由 π
3π
2 π
2
2 π(
Z)
2
2
k
x
k
k
得, π
3π
π
π(
Z)
4
4
k
x
k
k
，
∴( )
g x 在
π
π
π,
π (
Z)
4
4
k
k
k
上单调递增, 在π
3π
π,
π (
Z)
4
4
k
k
k
上单调递减，
∴当
5π 13π
,
24
24
x
时, 可知
( )
g x 在5π π
,
24 4
上单调递增, 在π 13π
,
4
24
上单调递减，
∴A 错误；
B 项，
∵
3π
3π
3π
2sin 2
2sin
2
8
8
4
g
,
∴
3π ,0
8
不是( )
g x 图象的一个对称中心, 故B 错误；
C 项，
∵
π
π
2sin 2
2
4
4
g
,
∴直线
π
4
x
是( )
g x 图象的一条对称轴，故C 正确；
D 项，
∵( )
g x 在3π 5π
,
4
4
上单调递增, C
∴函数( )
g x 在3π ,π
4
上单调递增, 故D 正确.
故选：CD.
7.已知函数
( )
sin(
)
0,
0,|
|
2
f x
A
x
A
的部分图象如图所示．
(1)求函数
( )
f x 的解析式；
(2)将
( )
y
f x
图象上所有点先向右平移6
个单位长度，再将纵坐标变为原来的2 倍，得到函数
( )
y
g x
，
求
( )
y
g x
在0, 2
上的值域．
【答案】(1)
( )
sin 2
6
f x
x
(2)[ 1,2]
【详解】（1）由图形可得
1
A ，2π
π
1 2π
3
6
2
2
T
，解得
2
，
∵
( )
y
f x
过点π ,1
6
，∴
π
sin 2
1
6
，即π
π
2 π(
)
3
2
k
k
Z ，
∴
π
2 π(
)
6
k
k
Z ．又∵|
|
2
，∴
π
6
．
∴
π
( )
sin 2
6
f x
x
．
（2）解：由（1）知
π
( )
sin 2
6
f x
x
，
将
( )
y
f x
图像上所有点向右平移π
6 个单位长度，再将纵坐标变为原来的2 倍，
得到
π
π
π
( )
2sin 2
2sin 2
6
6
6
g x
x
x
，
∵
π
0, 2
x
，∴
π
π 5π
2
,
6
6
6
x
，∴
π
1
sin 2
,1
6
2
x
∴( )
[ 1,2]
g x
所以( )
g x 的值域为[ 1,2]
8.已知函数
π
3sin
0,
2
f x
x
的部分图像，如图所示．
(1)求函数
f x 的解析式；
(2)将函数
f x 的图像向右平移π
3 个单位长度，再将得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的
1
2 ，纵坐标
不变，得到函数
g x 的图像，当
π
0, 3
x
时，求函数
g x 的值域．
【答案】(1)
π
3sin 2
3
f x
x
(2)
3 , 3
2
【详解】（1）根据函数
π
3sin
0,
2
f x
x
的部分图像，
得
5
2
6
3
2
T
，
π
T
，所以
2π
2
T
．
根据图像可得，
π
2
π+π
Z
3
k
k
，
所以
π
π
Z
3
k
k
，又因为
π
2
，所以
π
0,
3
k
，
所以
π
3sin 2
3
f x
x
.
（2）将函数
f x 的图像向右平移π
3 个单位后，可得
π
π
π
3sin 2
3sin 2
3
3
3
y
x
x
的图像，
再将得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的
1
2 ，纵坐标不变，得到函数
π
3sin 4
3
g x
x
的图像．
由
π
0, 3
x
，可得
π
π
4
,π
3
3
x
，
所以
π
π
π
3sin
3sin 4
3sin
3
3
2
x
g x
，
所以
3
π
3sin 4
3
2
3
x
g x
.
所以函数
g x 在
π
0, 3
的值域为
3 , 3
2
.
9.函数
sin
f x
A
x
（A ，，为常数，且
0
A
，
0
，
π
2
）的部分图象如图所示．
(1)求函数
f x 的解析式及图中b 的值；
(2)将
f x 的图象向左平移π
6 个单位后得到函数
y
g x
的图象，求
g x 在
π
0, 2
上的单调减区间.
【答案】(1)
( )
2sin(2
)
6
f x
x
，1
(2)
π
0, 2
【详解】（1）由题意知，
2
A ， 3
5π
π
3π
(
)
4
12
3
4
T
，
2π
π,
2
π
T
，当
5
12
x
时，
由
π
5π
,2
π,
Z
2
12
k k
，
π
6
， 所以
π
( )
2sin(2
)
6
f x
x
.
所以
π
(0)
2sin
1
6
b
f
.
（2）
π
π
( )
2sin[2(
)
]
2cos2
6
6
g x
x
x
，
由2 π
2
π
2 π
k
x
k
，k Z ，解得
π
π
π
2
k
x
k
，k Z .
因此，函数
g x 在
π
0, 2
的单调递减区间为
π
0, 2
.
题型四：三角函数模型在匀速圆周运动中的应用
1.一半径为3m 的水轮如图所示，水轮圆心O 距离水面2m，已知水轮每分钟逆时针转动4 圈，且当水轮上
点P 从水中浮现时（图中点𝑃0）开始计算时间.
(1)将点P 距离水面的高度z（单位：m）表示为时间t（单位：s）的函数；
(2)点P 第一次到达最高点大约要多长时间？（参考数据：sin(−0.73) = −
2
3，π ≈3.14，第二问精确到0.1）
【解题思路】设角𝜑（−
π
2 < 𝜑< 0）是以𝑂𝑥为始边，𝑂𝑃0为终边的角，可知以Ox 为始边，OP 为终边的角
为
2π
15𝑡+ 𝜑，结合进而𝑡= 0时求得𝜑的值，则函数的表达式可得；
（2）令最大值为5，即𝑧= 3sin 2π
15 𝑡−0.73 +2 = 5可求得时间；
【解答过程】（1）如图，建立平面直角坐标系，
设角𝜑（−
π
2 < 𝜑< 0）是以𝑂𝑥为始边，𝑂𝑃0为终边的角，
由𝑂𝑃在𝑡s内所转过的角为4 × 2π
60
𝑡=
2π
15𝑡，
可知以𝑂𝑥为始边，𝑂𝑃为终边的角为
2π
15𝑡+ 𝜑，
故P 点纵坐标为3sin 2π
15 𝑡+ 𝜑，则𝑧= 3sin 2π
15 𝑡+ 𝜑+2，
当𝑡= 0时，𝑧= 0，可得sin𝜑= −
2
3，
因为−
π
2 < 𝜑< 0且sin(−0.73) = −
2
3，所以𝜑= −0.73，
故所求函数关系式为𝑧= 3sin 2π
15 𝑡−0.73 +2；
（2）令𝑧= 3sin 2π
15 𝑡−0.73 +2 = 5，得sin 2π
15 𝑡−0.73 = 1，
取
2π
15𝑡−0.73 =
π
2，解得𝑡≈5.5，
故点P 第一次到达最高点大约需要5.5s.
2.如图，一个半径为3m 的筒车按逆时针方向每分转1.5 圈，筒车的轴心O 距离水面的高度为2.2m.设筒车
上的某个盛水筒P 到水面的距离为d（单位：m）（在水面下则d 为负数），若以盛水筒P 刚浮出水面时开
始计算时间，则d 与时间t（单位：s）之间的关系为𝑑= 𝐴sin(𝜔𝑥+ 𝜑) + 𝐾𝐴> 0,𝜔> 0,−𝜋
2 < 𝜑< 𝜋
2 .
（1）求𝐴,𝜔,𝜑,𝐾的值（𝜑精确到0.0001）；
（2）盛水筒出水后至少经过多少时间就可到达最高点（精确到0.01s）？
【解题思路】（1）根据实际含义分别求𝐴,𝜔,𝜑,𝐾的值；
（2）根据题意列方程，解简单三角方程得结果
【解答过程】（1）振幅𝐴即为半径，即𝐴= 3；
因为逆时针方向每分转1.5 圈，所以𝜔=
1.5 × 2𝜋
60
=
𝜋
20；
𝐾=
𝑑max + 𝑑min
2
=
3 + 2.2 + (2.2−3)
2
= 2.2；
∵𝑡= 0,𝑑= 0 ∴0 = 3sin𝜑+ 2.2 ∴sin𝜑= −
2.2
3 ∵−
𝜋
2 < 𝜑<
𝜋
2 ∴𝜑≈−0.8332；
（2）令3 + 2.2 = 3sin(
𝜋
20𝑥+ 𝜑) + 2.2 ∴sin(
𝜋
20𝑥+ 𝜑) = 1,
𝜋
20𝑥+ 𝜑=
𝜋
2 +2𝑘𝜋,(𝑘∈𝑍)，
∴𝑥= 10−
20𝜑
𝜋+40𝑘,(𝑘∈𝑍)，
∵𝑥≥0 ∴𝑥min = 10 +
20 × 0.8332
𝜋
≈15.30（s）.
3.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四
周的景色（如图1）某摩天轮的最高点距离地面的高度为90 米，最低点距离地面10 米，摩天轮上均匀设
置了36 个座舱（如图2）．开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座
舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周需要30 分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开
始计时．
(1)经过t 分钟后游客甲距离地面的高度为H 米，求𝐻(𝑡)的解析式．
(2)问：游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为30 米？
【解题思路】（1）利用正弦型函数的一般式𝑦= 𝐴sin(𝜔𝑡+ 𝜑) + 𝐵结合题意，求出𝐴,𝜔,𝜑,𝐵；
（2）根据（1）求出的表达式，将𝐻(𝑡) = 30化简求得𝑡.
【解答过程】（1）设𝐻(𝑡) = 𝐴sin(𝜔𝑡+ 𝜑) + 𝐵
由题意知：𝐴+ 𝐵= 90
−𝐴+ 𝐵= 10 ⇒𝐴= 40
𝐵= 50 ，
𝑇=
2𝜋
𝜔= 30⇒𝜔=
𝜋
15，故𝐻(𝑡) = 40sin
𝜋
15 𝑡+ 𝜑+50，
∵𝐻(0) = 10
∴sin𝜑= −1
可取𝜑= −
π
2，
∴𝐻(𝑡) = 40sin
𝜋
15 𝑡−
𝜋
2 + 50 = −40cos 𝜋
15 𝑡+ 50
故解析式为：𝐻(𝑡) = −40cos
𝜋
15𝑡+ 50，𝑡∈[0,30].
（2）令𝐻(𝑡) = 30，则−cos
𝜋
15𝑡= −
1
2，即cos
π
15𝑡=
1
2．
因为𝑡∈[0,30]，则
π
15𝑡∈[0,2𝜋]，所以
π
15𝑡=
π
3或
5π
3 ，
解得𝑡= 5或𝑡= 25，
故游客甲坐上摩天轮5 分钟或25 分钟时，距离地面的高度恰好为30 米.
4.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四
周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置有48 个座舱，开启后按逆
时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min.
（1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin 后距离地面的高度为Hm，求在转动一周的过程中，H 关
于t 的函数解析式；
（2）求游客甲在开始转动5min 后距离地面的高度；
（3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h（单位：
m）关于t 的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到0.1）.
【解题思路】（1）如图，设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心O 为原点，与地面平行的直线为x 轴
建立直角坐标系，座舱转动的角速度约为
𝜋
15rad/𝑚𝑖𝑛，计算得到答案.
（2）将数据代入解析式计算得到答案.
（3）计算𝐻1 = 55sin
𝜋
15 𝑡−𝜋
2 +65，𝐻2 = 55sin
𝜋
15 𝑡−13𝜋
24
+65，相减得到
ℎ= 110|sin 𝜋
48 sin
𝜋
15 𝑡−𝜋
48 |，计算最值得到答案.
【解答过程】（1）如图，设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心O 为原点，与地面平行的直线为x 轴
建立直角坐标系，
设𝑡= 0min时，游客甲位于点𝑃(0,−55)，以OP 为终边的角为−
𝜋
2；
根据摩天轮转一周大约需要30min，可知座舱转动的角速度约为
𝜋
15rad/𝑚𝑖𝑛，
由题意可得𝐻= 55sin
𝜋
15 𝑡−𝜋
2 +65，0 ≤𝑡≤30.
（2）当𝑡= 5时，𝐻= 55sin
𝜋
15 × 5−𝜋
2 +65 = 37.5.
所以游客甲在开始转动5min 后距离地面的高度约为37.5m.
（3）如图，甲、乙两人的位置分别用点A，B 表示，则∠𝐴𝑂𝐵=
2𝜋
48 =
𝜋
24.
经过tmin 后甲距离地面的高度为𝐻1 = 55sin
𝜋
15 𝑡−𝜋
2 +65，
点B 相对于点A 始终落后
𝜋
24rad，
此时乙距离地面的高度为𝐻2 = 55sin
𝜋
15 𝑡−13𝜋
24
+65.
则甲、乙距离地面的高度差h = |𝐻1−𝐻2| = 55|sin
𝜋
15 𝑡−𝜋
2 −sin
𝜋
15 𝑡−13𝜋
24 |，
= 55|sin
𝜋
15 𝑡−
𝜋
2 + sin
13𝜋
24 −
𝜋
15 𝑡|
利用sin𝜃+ sin𝜑= 2sin
𝜃+ 𝜑
2 cos
𝜃−𝜑
2 ，
可得ℎ= 110|sin 𝜋
48 sin
𝜋
15 𝑡−𝜋
48 |，0 ≤𝑡≤30.
当
𝜋
15𝑡−
𝜋
48 =
𝜋
2
3𝜋
2 ，即𝑡≈7.8（或22.8）时，h 的最大值为110sin
𝜋
48 ≈7.2.
所以甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为7.2m.
题型五：函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的综合应用
1.已知函数
π
sin
0,
0,
2
f x
A
x
A
在一个周期内的图象经过
π ,2
3
A
，
π , 2
6
B
，且
f x 的图象关于直线
π
3
x
对称．
(1)求
f x 的解析式；
(2)若存在
3π 7π
,
4
6
x
，使得不等式
2
3
f x
a
成立，求a 的取值范围．
【答案】(1)
π
2sin 2
6
f x
x
(2)
5 ,
2
【详解】（1）由题意可得
2
A ，
π
π
2
π
3
6
T
，
0
，
因为
2π
T
，所以
2
．
因为
π ,2
3
A
在
f x 的图象上，所以
π
π
2sin 2
2
3
3
f
，
所以
2
2
Z
2
π
π
3
π
k
k
，所以
π
2 π
Z
6
k
k
．
因为|
|
2
，所以只有
π
6
满足要求，故
π
2sin 2
6
f x
x
；
（2）因为
3π 7π
,
4
6
x
，所以
4
13
2
π
,
6
6
π
π
3
x
．
当
π
3π
2
6
2
x
，即
5π
6
x
时，
f x 取得最小值，最小值为
5π
2
6
f
．
因为存在
3π 7π
,
4
6
x
，使得不等式
2
3
f x
a
成立，所以
min
2
3
f x
a
，
即2
3
2
a
，解得
5
2
a
，即a 的取值范围为
5 ,
2
．
2.函数
( )
sin(
) 1(
0,0
π)
f x
x
的图象两相邻对称轴之间的距离是π
2 ，若将
( )
f x 的图象上每个
点先向左平移π
12 个单位长度，再向上平移1 个单位长度，所得函数( )
g x 为偶函数．
(1)求
( )
f x 的解析式；
(2)若对任意
π
0, 3
x
，
2
[ ( )]
(2
) ( )
2
0
f x
m f x
m
恒成立，求实数m 的取值范围；
【答案】(1)
π
sin 2
1
3
f x
x
(2)
5
,
2
【详解】（1）由2π
π
2
2
，得
2
，则
sin 2
1
f x
x
，
则
π
π
sin 2
1 1
sin 2
12
6
g x
x
x
为偶函数，所以
0
1
g
，
又0
π
，所以
π
3
，故
π
sin 2
1
3
f x
x
；
（2）因为
π
0, 3
x
，所以
π
π ,π
2
3
3
x
，
π
sin 2
0,1
3
x
，
故
1
0
f x
，
2
1
1
f x
，
而
2
2
2
0
f x
m f x
m
恒成立，
即
2
2
2
1
f x
f x
f x
m
，
整理可得
1
1
1
m
f x
f x
，令
1
t
f x
，
2, 1
t
，
设
1
n t
t
t
，
2, 1
t
，
设1t ，
2
2, 1
t
且1
2
t
t
，
则
1 2
1
2
1
2
1
2
1
2
1 2
1
1
1
t t
n t
n t
t
t
t
t
t
t
t t
，
由于1
2
0
t
t
，1 2
1
t t ，则
1
2
0
n t
n t
，所以
1
2
n t
n t
，
即
1
n t
t
t
在区间
2, 1
上单调递增，故
min
5
2
2
n t
n
，
故
5
2
m
，即实数m 的取值范围是
5
,
2
．
3.已知函数
π
π
sin
0,
0,
2
2
f x
A
x
A
的部分图像如图所示，且
0, 1
D
，ABC
的面积
等于π
2 .
(1)求函数
f x 的解析式；
(2)将
f x 图像上所有的点向左平移π
4 个单位长度，得到函数
y
g x
的图像，若对于任意的
1
2
,
π
,
x x
m m
，当
1
2
x
x
时，
1
2
1
2
f x
f x
g x
g x
恒成立，求实数m 的最大值.
【答案】(1)
π
2sin 2
6
f x
x
(2)13π
24
【详解】（1）由题意可得
2
A ，
1
1
π
2
2
2
2
ABC
A
S
BC
y
BC
，
所以
2π
π
2
2
2
T
BC
，由
0
解得
2
，所以
2sin 2
x
x
f
，
图像过点
0, 1
D
，则
2sin
1
f x
，又因为
π
π
2
2
，所以
π
6
，
所以
π
2sin 2
6
f x
x
，
（2）由题意可得
π
π
π
2sin 2
2cos 2
4
6
6
g x
x
x
，
设
π
π
2sin 2
2cos 2
6
6
h x
f x
g x
x
x
π
π
5π
2 2sin 2
2 2sin 2
,
6
4
12
x
x
1
2
,
π
,
x x
m m
，当
1
2
x
x
时，
1
2
1
2
f x
f x
g x
g x
恒成立，
即
1
1
2
2
f
x
g x
f
x
g x
恒成立，即
1
2
h x
h x
恒成立，
h x
在区间
π
,
m m
上单调递减，
令π
5π
3π
2 π
2
2 π
2
12
2
k
x
k
，解得11π
23π
π
π,
Z
24
24
k
x
k
k
，
因为π
m
m
，所以
π
2
m
，则
π
π
2
m
，
故
11π
π
24
23π
24
m
m
，解得π
13π
2
24
m
，
所以m 最大值为13
24
.
4.已知函数
π
( )
4sin
(
0)
4
f x
x
的部分图象如图所示，矩形OABC 的面积为9π
2 ．
(1)求
( )
f x 的最小正周期和单调递增区间．
(2)先将
( )
f x 的图象向右平移5π
24 个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2 倍，纵坐标缩
小为原来的
1
2 ，最后得到函数( )
g x 的图象．若关于x 的方程
2
[ ( )]
(1
) ( )
0
g x
m g x
m
在区间[0, ]
上仅有
3 个实根，求实数m 的取值范围．
【答案】(1)
π
T
，
3π
π
π
, π
8
8
k
k
，k Z ．
(2)[1,2) ．
【详解】（1）由
( )
f x 的解析式可知|
| 4
OC
，
矩形OABC 的面积为
9π
|
| |
|
2
OC
OA
，所以
9π
|
|
8
OA
．
根据点B 在
( )
f x 的图象上的位置知
9π
π
5π
8
4
2
，得
2
．所以
π
( )
4sin 2
4
f x
x
．
( )
f x 的最小正周期为
2π
2π
π
2
T
．
令
π
π
π
2 π
2
2 π
2
4
2
k
x
k
，k Z ，得
3π
π
π
π
8
8
k
x
k
，k Z ，
所以
( )
f x 的单调递增区间为
3π
π
π
, π
8
8
k
k
，k Z ．
（2）将
( )
f x 的图象向右平移5π
24 个单位长度，
所得曲线对应的函数为
5π
π
(
)
4sin 2
24
6
y
f x
x
，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2 倍，
纵坐标缩小为原来的
1
2 ，所得曲线对应的函数为
π
2sin
6
y
x
，即( )
g x
π
2sin
6
x
．
由
2
[ ( )]
(1
) ( )
0
g x
m g x
m
得[ ( ) 1][ ( )
]
0
g x
g x
m
，即( )
1
g x 或( )
g x
m
．
作出( )
g x 在[0, ]
上的大致图象如图所示：
易知方程( )
1
g x 在[0, ]
上仅有一个实根．
要使原方程在[0, ]
上仅有3 个实根，则须方程( )
g x
m
在[0, ]
上有2 个实根，
即直线y
m
与曲线
( )
y
g x
在[0, ]
上有2 个公共点，结合图象可知须1
2
m
．即m 的取值范围是
[1,2) ．
5.已知函数
π
( )
2 cos(
)(
0,
)
2
f x
x
的部分图象如图所示．
(1)求函数
( )
f x 的解析式；
(2)将函数
( )
f x 的图象向左平移1
4 个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变）得到
函数( )
g x 的图象，若关于x 的方程( )
0
g x
a
在区间[0,1] 上有两个不同的实数解，求实数a 的取值范
围．
【答案】(1)
π
( )
2 cos(2π
)
4
f x
x
(2)[1,
2)．
【详解】（1）由图可知
1
2
2
T
，
1
T ．因为
0
，所以2π
1
，
2π
．
代入1
( , 2)
8
有
1
1
2 cos(2π
)
2
cos(2π
)
1
8
8
，
∴
π
π
2 π
Z
2 π
Z
4
4
k
k
k
k
，
又∵
π
|
|
2
，∴
π
4
，∴
π
( )
2 cos(2π
)
4
f x
x
；
（2）由题意知变换后
π
( )
2 cos(π
)
4
g x
x
当
[0,1]
x
时，令
π
π 5
π
[
,
π]
4
4 4
t
x
，即( )
2 cos
h t
t
，
函数( )
h t 在
π
[
,π]
4
t
时单调递减，此时
π
π
( )
2
( )
1
4
h
h t
h
h t
，
函数( )
h t 在
5π
(π,
]
4
t
时单调递增，此时
5π
π
( )
2
( )
1
4
h
h t
h
h t
，
( )
0
g x
a
等价于
( )
a
h t
有两解．
所以当
(
2, 1]
a
时符合题意，即a 的取值范围为[1,
2)．
6.已知函数
2
1
( )
3sin
cos
sin
2
f x
x
x
x
（其中常数
0
）的最小正周期为π ．
(1)求函数
( )
y
f x
的表达式；
(2)作出函数
( )
y
f x
，
[0,π]
x
的大致图象，并指出其单调递减区间；
(3)将
( )
y
f x
的图象向左平移(0
π)
个单位长度得到函数
( )
y
g x
的图象，若实数
1
2
,
x x 满足
1
2
1
f
x
g x
，且
1
2
x
x
的最小值是π
6 ，求的值．
【答案】(1)
( )
sin 2
6
π
f x
x
；
(2)图象见解析；单调递减区间为π 5π
,
3
6
；
(3) π
3 ，或2π
3 .
【详解】（1）
2
1
3
1 cos2
1
( )
3sin
cos
sin
sin 2
2
2
2
2
x
f x
x
x
x
x
π
sin 2
6
x
，
因为
( )
y
f x
的最小正周期为π ，且
0
，
所以有2π
π
1
2
，即
( )
sin 2
6
π
f x
x
；
（2）列表如下：
π
2
6
x
π
6
0
π
2
π
3π
2
11π
6
x
0
π
12
π
3
7π
12
5π
6
π
y
1
2
0
1
0
1
1
2
函数
( )
y
f x
，
[0,π]
x
的大致图象如下图所示：
单调递减区间为π 5π
,
3
6
；
（3）由题意可知：
π
(
)
sin 2
2
6
g x
f x
x
，
因为
1
2
1
2
1,
1,
1
f x
g x
f x
g x
，
所以
1
2
,
f x
g x
中有一个为1，另一个为1
，
因为
( )
y
f x
的图象向左平移(0
π)
个单位长度得到函数
( )
y
g x
的图象，且
1
2
x
x
的最小值是π
6 ，
所以1 2π
π
π
2
2
6
3
，或
2π
3
，
因此的值为π
3 ，或2π
3 .
7.已知函数
π
( )
2sin(
)
0,|
|
2
f x
x
的两个相邻零点之间的距离为π
2 ，且（在下面两个条件中任选择
其中一个，完成下面两个问题）.条件①：
( )
f x 的关于
π
6
x
对称；条件②：函数
π
12
f
x
为奇函数.
(1)求
( )
f x 的解析式；
(2)将
( )
f x 的图象向右平移π
4 个单位，然后再将横坐标伸长到原来2 倍（纵坐标不变），得到函数( )
g x 的图
象，若当
,
6
x
m
时，( )
g x 的值域为[ 1,2]
，求实数m 的取值范围.
【答案】(1)条件选择见解析，
π
( )
2sin 2
6
f x
x
(2) 5π 3π
,
6
2
【详解】（1）因为函数
( )
f x 的两个相邻零点之间的距离为π
2 ，
所以
( )
f x 的周期
π
T
，由
2π
π
T
，得
2
，
选①：由π
π
π+
,
Z
3
2
k
k
，解得：
π
π(
Z)
6
k
k
，
因为
π
π
2
2
，所以
π
6
，故
π
( )
2sin 2
6
f x
x
.
选②：因为
π
12
f
x
是奇函数，即
π
0
0
12
f
，
所以
π ,0
12
是
( )
f x 的一个对称中心，
由
π
π
6
k
，解得：
π
π,(
Z)
6
k
k
，
因为
π
π
2
2
，所以
π
6
，故
π
( )
2sin 2
6
f x
x
.
（2）根据题意得，( )
2sin
π
g x
x
3
，
当
,
6
x
m
时，
π
π
π
,
3
6
3
x
m
因为( )
g x 的值域为[ 1,2]
，则π
π
7π
2
3
6
m
，
解得：5π
3π
6
2
m
，故实数m 的取值范围是5π 3π
,
6
2
.
8.如图，函数
sin
0,
0,0
π
f x
A
x
A
的图象经过
2
0, 2
P
，
π ,0
4
M
，
3
0
π ,
4
N
三
点.
(1)求函数
f x 的解析式；
(2)将函数
f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的
1
2 ，纵坐标缩短到原来的
1
2 ，得到
g x 图象.若
2
8
π
h x
f
x
g x
，求函数
h x 的单调增区间.
【答案】(1)
π
sin
4
f x
x
(2)
π
π
π,
π
4
4
k
k
，
Z
k
.
【详解】（1）由图可得函数
f x 的最小正周期
π
π
3
2
2
4
π
4
T
∴
2π
1
T
又函数
f x 过点
π ,0
4
，且图象在该点附近单调递增，
∴
2
Z
4
π
π
k
k
，即
π
2 π
Z
4
k
k
，
又∵0
π
，∴
π
4
，
∵
f x 过点
2
0, 2
，
∴
π
2
sin 4
2
A
，即
1
A
∴
π
sin
4
f x
x
；
（2）将函数
f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的
1
2 ，纵坐标缩短到原来的
1
2 得到
1
π
sin 2
2
4
g x
x
.
∴
2
π
1 cos 2
π
1
π
1
π
4
sin
sin 2
sin 2
8
2
4
2
2
4
x
h x
x
x
x
2
1
sin2
2
2
x
令
π
π
2 π
2
2 π
2
2
k
x
k
，
Z
k
得：
π
π
π
π
4
4
k
x
k
，
Z
k
所以
h x 的单调增区间为
π
π
π,
π
4
4
k
k
，
Z
k
.
题型六：函数y=Asin(ωx+φ)的图象与三角恒等变换
1.函数
π
sin 2
0,
0
2
f x
A
x
A
，
的部分图象如图所示.
(1)求A，，的值；
(2)将函数
f x 的图象向右平移π
6 个单位长度，得到函数
g x 的图象，若
0,π
，且
2
g
，求
的值.
【答案】(1)
2
A ，
1
，
π
6
(2) 5π
24 或11π
24
【详解】（1）解：由图可知，
2
A ，3
5π
π
4
12
3
T
，所以
π
T
，即2π
2
，所以
1
.
将点5π ,0
12
代入
2sin 2
f x
x
得5π
2 π+π
6
k
，
Z
k
，
又
π
2
，所以
π
6
；
（2）解：由（1）知
π
2sin 2
6
f x
x
，
由题意有
π
π
π
2sin 2
2sin 2
6
6
6
g x
x
x
，
所以
π
6
2
2sin 2
g
，即sin 2
2
2
π
6
，
因为
0,π
，所以
π
π 11π
2
,
6
6
6
，
所以
π
π
2
6
4
或3π
4 ，即
5π
24
或
11π
24
，
所以的值为5π
24 或11π
24 .
2.函数
π
sin
0,
0,
2
f x
A
x
A
的部分图象如图所示．
(1)求函数
f x 的解析式；
(2)将函数
f x 的图象先向右平移π
4 个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的
1
2 （纵坐标不变），得到
函数
g x 的图象，若关于x 的方程
0
g x
m
在
π
0, 4
x
上有两个不等实根
1
2
,
x x ，求实数m 的取值范围，
并求
1
2
g x
x
的值．
【答案】(1)
π
2sin 2
6
f x
x
(2) 3
2
m
，
3
【详解】（1）由图可知，
2
A ，
∵11
1
3
π
π
12
6
4T
，
∴
π
T
，∴
2π
2
T
，
又
π
2
6
f
，
∴
π
π
2
2 π
6
2
k
，
Z
k
，∴
π
2 π
6
k
，
由
π
2
可得
π
6
，
∴
π
2sin 2
6
f x
x
；
（2）将
f x 向右平移π
4 个单位得到
π
π
π
2sin 2
2sin 2
4
6
3
y
x
x
，
再将所有点的横坐标缩短为原来的
1
2 ，得到
π
2sin 4
3
g x
x
，
令
3
π
4
t
x
，则
π
2π
3
3
t
，
易知函数
2sin
y
t
在
π π
,
3 2
上单调递增，在π 2π
,
2
3
上单调递减，
又
π
2sin
3
3
，
π
2sin
2
2
，
2π
2sin
3
3
，∴3
2
m
；
由对称性可知1
2
π
2
2
t
t
，
∴1
2
1
2
π
π
4
4
π
3
3
t
t
x
x
，∴
1
2
5π
12
x
x
，
∴
1
2
5π
π
4π
2sin 4
2sin
3
12
3
3
g x
x
．
3.已知函数
π
sin
0,
0,
0,
2
f x
A
x
B A
B
在一个周期内的图象如图所示.
(1)求函数
f x 的表达式；
(2)把
y
f x
的图象上所有点的横坐标缩短到原来的2
3 （纵坐标不变），再把得到的图象向下平移一个单
位，再向左平移π
36 个单位，得到函数
y
g x
的图象，若
1
g 且
π
π
3
3
，求角的值.
【答案】(1)
4
5
2sin
π
1
3
18
f x
x
(2)
π
12
或π
4 .
【详解】（1）解：根据函数
f x 的图象可得
2
3
1
4
A
，且
3
1
2B
，
所以
2
A ，
1
B ，
因为
11
π
9
3
π
π
π
2
12
6
12
4
T
，可得
3 π
2
T
，所以
2π
4
3
T
，
又因为
π
3
6
f
，可得
4
π
2sin
1
3
3
6
，所以
2
sin
π
1
9
，
所以2
π
π
2 π,
Z
9
2
k
k
，可得
5π
2 π,
Z
18
k k
，
又因为
π
2
，所以
5 π
18
，所以
4
5π
2sin
1
3
18
f x
x
.
（2）解：把
y
f x
的图象上所有点的横坐标缩短到原来的2
3 ，得到
5π
2sin 2
1
18
y
x
，
再向下平移一个单位得到
5π
2sin 2
18
y
x
，
再向左平移π
36 个单位得到
π
5
π
2sin 2
π
2sin 2
36
18
3
y
x
x
，
即
π
2sin 2
3
g x
x
，
若
1
g ，即
π
1
sin 2
3
2
，可得
π
π
2
2 π
3
6
k
或
π
5π
2
2 π,
Z
3
6
k
k
，
即
π
π
12
k
或
π
π,
Z
4
k
k
，
因为
π
π
3
3
，所以角的值为
π
12
或π
4 .
4.已知函数
π
3
sin sin
6
4
f x
x
x
.
(1)当
0,π
x
时，求函数
f x 的单调递增区间；
(2)将函数
f x 的图象先向左平移π
6 个单位长度后，再把横坐标伸长为原来的2 倍纵坐标不变，得到函数
y
g x
的图象.若
1
11
,cos
3
14
g
，且为锐角，
+
0,π
，求cos的值.
【答案】(1)
5π
11π
0,
,
,π
12
12
(2)10 3
11 5
42
【详解】（1）
π
π
3
sin
sin cos
cos sin
6
6
4
f x
x
x
x
2
3
1
3
3
1 cos2
1
3
sin
sin cos
sin2
2
2
4
2
2
4
4
x
x
x
x
x
1
3
1 1
3
1
π
sin2
cos
sin2
cos
sin 2
4
4
2 2
2
2
3
x
x
x
x
x
，
由
π
π
π
2 π
2
2 π,
Z
2
3
2
k
x
k
k
，得
π
5π
2 π
2
2 π
6
6
k
x
k
，
即
π
5π
π
π,
Z
12
12
k
x
k
k
.
因为
0,π
x
，所以函数
f x 的单调递增区间为
5π
11π
0,
,
,π
12
12
.
（2）先将函数
1
π
sin 2
2
3
f x
x
的图象向左平移π
6 个单位得函数
1 sin2
2
y
x
，
再横坐标伸长为原来的2 倍得函数
1 sin
2
g x
x
.
因为
1
1
sin
2
3
g
，所以
2
5
sin
,cos
3
3
.
又
11
cos
14
，且为锐角，
+
0,π
，所以
5 3
sin
14
.
所以
cos
cos
cos
cos
sin
sin
11
5
5 3
2
10 3
11 5
14
3
14
3
42
.
模块三：综合巩固
1.用“五点法”作函数𝑦= cos 4𝑥−𝜋
6 在一个周期内的图像时，第四个关键点的坐标是
A．5𝜋
12 ,0
B．−5𝜋
12 ,1
C．5𝜋
12 ,1
D．−5𝜋
12 ,0
【解题思路】利用余弦函数的五点作图求解即可
【解答过程】令4𝑥−
𝜋
6 =
3𝜋
2 ，得𝑥=
5𝜋
12.∴该点坐标为5𝜋
12 ,0 .
故选A.
2.要得到函数
π
cos
6
y
x
的图象，只要将函数
cos
y
x
的图象（ ）
A．向左平移π
3 个单位长度
B．向右平移π
3 个单位长度
C．向左平移π
6 个单位长度
D．向右平移π
6 个单位长度
【答案】D
【详解】由三角函数图象的相位变换可知，将函数
cos
y
x
的图象向右平移π
6 个单位长度所得图象的解析
式为
π
cos
6
y
x
.
故选：D
3.已知函数
π
2sin
(
0)
3
f x
x
的最小正周期为π ，把函数
f x 的图象向右平移π
6 个单位长度，所
得图象对应函数解析式为（ ）
A．
2sin2
y
x
B．
2cos2
y
x
C．
2π
2sin 2
3
y
x
D．
π
2sin 2
6
y
x
【答案】A
【详解】因为
0
，所以2π
π
，故
2
，
则
π
2sin 2
3
f x
x
，
则向右平移π
6 个单位长度后得到
π
π
2sin 2
2sin 2
6
3
y
x
x
.
故选：A
4.若函数
π
( )
sin(
)(
0)
6
f x
x
在
2π
0, 3
上恰有两个零点，且在
π
π
,
12 12
上单调递增，则的取值范围是
（ ）
A．11,4
4
B．11,4
4
C．11 17
,
4
4
D．11 17
,
4
4
【答案】B
【详解】解：由题意得：
函数
π
( )
sin(
)(
0)
6
f x
x
在
2π
0, 3
上恰有两个零点，
2π
π
2π
3π
3
6
，
解得：11
17
4
4
①，
又
( )
f x
在
π
π
,
12 12
上单调递增，
π
π
π
12
6
2
π
π
π
12
6
2
0
，解得：0
4
②，
由①②式联立可知的取值范围是11,4
4
.
故选：B
5.已知函数𝑓(𝑥) = sin 𝜔𝑥+ π
3 (𝜔> 0)的图象向左平移
π
12后所得的函数为奇函数，则𝜔的最小值为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【解题思路】平移后的解析式为奇函数得到
π
12𝜔+
π
3 = 𝑘π(𝑘∈𝑍)，求出𝜔的最小值.
【解答过程】因为𝑓𝑥+ π
12 = sin 𝜔𝑥+ π
12 𝜔+ π
3 为奇函数，则
π
12𝜔+
π
3 = 𝑘π(𝑘∈𝑍)，
所以𝜔= 12𝑘−4(𝑘∈𝑍)，又𝜔> 0，所以12𝑘−4 > 0，解得𝑘>
1
3，
因为𝑘∈𝑍，所以𝑘= 1时，𝜔取得最小值，最小值为8.
故选：D.
6.已知𝑓(𝑥) = sin(𝜔𝑥+ 𝜑)(𝜔> 0,|𝜑| < π)是奇函数，将𝑓(𝑥)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵
坐标不变），所得图象对应的函数为𝑔(𝑥)．若𝑔(𝑥)的最小正周期为2π，则𝑓
π
12 = （ ）
A．
1
2
B．2
2
C．3
2
D．1
【解题思路】根据函数的奇偶性及图象变换规律求出三角函数表达式，即可求出𝑓
π
12 的值.
【解答过程】由题意，
在𝑓(𝑥) = sin(𝜔𝑥+ 𝜑)(𝜔> 0,|𝜑| < π)中，函数是奇函数，
∴𝑓(0) = sin𝜑= 0，𝜑= 𝑘π，𝑘∈Z，
∵|𝜑| < π，
∴𝜑= 0，𝑓(𝑥) = sin𝜔𝑥，𝑔(𝑥) = sin
𝜔𝑥
2 ．
2π
𝜔
2 = 2π，解得：𝜔= 2，
∴𝑓(𝑥) = sin2𝑥，𝑓
π
12 = sin
π
6 =
1
2，
7.已知函数
1
3
sin2
cos2
2
2
f x
x
x
，则将函数
f x 的图像向左平移
π
0
2
个单位后得到函数
g x 的图像，
g x 图像关于原点对称，则（ ）
A．
π
12
B．
π
6
C．
π
3
D．
5π
12
【答案】C
【详解】
1
3
sin2
cos2
2
2
f x
x
x
3
π
sin2
cos2
s n
2
2
1
3
i
2
f x
x
x
x
，
将函数
f x 的图像向左平移
π
0
2
个单位后得到函数
g x 的图像，
即
π
π
sin 2
sin 2
2
3
3
g x
x
x
，
又
g x 图像关于原点对称，可得
π
2
π,
Z
3
k
k
，即
π
π
2
6
k
，
Z
k
，
π
0
2
，
π
3
.
故选：C.
8.把函数
sin 2
0
f x
x
的图象向左平移π
6 个单位后，得到一个偶函数的图像，则（ ）
A．π
6
B．π
3
C．2π
3
D．5π
6
【答案】A
【详解】函数
sin 2
0
f x
x
的图象向左平移π
6 个单位后，
得函数
π
π
sin 2
sin 2
6
3
y
x
x
的图像，
由函数为偶函数，则有
π
π
π
Z
3
2
k
k
，即
π
π
Z
6
k
k
，
又0
，所以
π
6
.
故选：A
9.将函数𝑦= sin𝑥+ cos𝑥的图象向右平移
π
2个单位，所得图象的函数解析式为𝑦= （ ）
A．−sin𝑥+ cos𝑥
B．−cos𝑥+ sin𝑥
C．−sin𝑥−cos𝑥
D．sin𝑥+ cos𝑥
【解题思路】利用两角和的正弦公式化简，结合图像平移得出结果.
【解答过程】由𝑦= sin𝑥+ cos𝑥得𝑦=
2sin 𝑥+ π
4 ，
图象向右平移
π
2个单位，得到𝑦=
2sin 𝑥−π
2 + π
4 ，即𝑦=
2sin 𝑥−π
4 ，
展开得𝑦= −cos𝑥+ sin𝑥.
故选：B.
10.将函数
π
2sin 2
4
f x
x
的图象向左平移5 π
6
个单位长度，得到函数
y
g x
的图象，则函数
g x 在
π 3π
,
8
8
x
时的值域为（ ）
A．
2,1
B．
1,2
C．
2, 3
D．
3,2
【答案】D
【详解】函数
π
2sin 2
4
f x
x
的图象向左平移5 π
6
个单位长度，
得到函数
5
π
23
π
2sin 2
π
2sin 2
π
2sin 2
6
4
12
12
y
g x
x
x
x
,
因为
π 3π
,
8
8
x
,所以
π
π 2π
2
,
12
3
3
x
,
所以
π
2sin 2
3,2
12
x
,
故选:D.
11.将函数
π
cos
(
0)
4
f x
x
的图象向左平移π
3 个单位长度后得到函数
sin
y
x
的图象，则正实数
的最小值为（ ）
A．21
4
B．15
4
C．9
4
D．2
【答案】B
【详解】由题意
π
π
π
π
π
cos
cos
sin
3
3
4
3
4
f
x
x
x
x
．
所以
π
π
π
2 π
3
4
2
k
k
Z ，得
9
6 ,
4
k k
Z ．又
0
，所以正实数的最小值为
9
15
6
4
4
．
故选：B．
12.已知函数
2sin
1
f x
x
（
1
，
π
2
），其图像与直线
1
y 相邻两个交点的距离为π ，若
1
f x 对于任意的
π
π
,
12 3
x
恒成立，则的取值范围是（ ）
A．
π
π
,
12 3
B．
π
12
π
, 2
C．π π
,
6 3
D．π π
,
6 2
【答案】C
【详解】
函数
( )
2sin(
) 1
f x
x
，令
( )
1
f x ，可得sin(
)
1
x
，
由于
( )
f x 的图象与直线
1
y 相邻两个交点的距离为π ，
2π
π
T
，
2
，
( )
2sin(2
)
1
f x
x
．
若
( )
1
f x 对任意
π
π
,
12 3
x
恒成立，则当
π
π
,
12 3
x
时，sin(2
)
0
x
，
因此，
π
2 (
)
2 π
12
,
Z
π
2
2 π
π
3
k
k
k
，解得
3
π
2
2
π
π
π
6
k
k
，
Z
k
，
因为
π
2
，所以π
π
6
3
，即
π π
,
6 3
．
故选：C.
13.(多选)已知函数
2
2sin
cos
2 3sin
f x
x
x
x
，则（ ）
A．
f x 的最小正周期为π
B．
3
π ,
12
是曲线
f x 的一个对称中心
C．
π
12
x
是曲线
f x 的一条对称轴
D．
f x 在区间π 5π
,
6 12
上单调递增
【答案】ACD
【详解】A 选项，
2
π
2sin
cos
2 3sin
sin 2
3 cos2
3
2sin 2
3
3
f x
x
x
x
x
x
x
，
故
f x 的最小正周期为2π
π
2
，A 正确；
B 选项，当
π
12
x
时，
3
π
π
π
2sin
3
2
12
6
3
f
，
故
3
π ,
12
不是曲线
f x 的一个对称中心，B 错误；
C 选项，当
π
12
x
时，
π
π
2sin 2
s
2
π
in
3
6
2
3
x
，故
π
12
x
是
π
2sin 2
3
y
x
的一条对称轴，
也是
f x 的一条对称轴，C 正确；
D 选项，
12
π 5π
,
6
x
时，
π
π
2
0,
3
2
x
，由于
sin
y
z
在
π
0, 2
z
上单调递增，
故
f x 在区间π 5π
,
6 12
上单调递增，D 正确.
故选：ACD
14.(多选)已知π ,0
3
是函数
π
sin
0
3
3
f x
x
的一个对称中心，则（ ）
A．
2
B．
π
6
x
是函数
f x 的一条对称轴
C．将函数
f x 的图像向右平移π
6 单位长度后得到的图像关于原点对称
D．函数
f x 在区间
π ,0
2
上的最小值是
3
2
【答案】AC
【详解】A 选项，由题意得
π
π
sin
0
3
3
，故π
π
π,
Z
3
3
k
k
，
解得
3
1,
Z
k
k
，又0
3
，故0
3
1
3
k
，解得1
4
3
3
k
，
又
Z
k
，故
1
k ，所以
2
，A 正确；
B 选项，
π
sin 2
3
f x
x
，当
π
6
x
时，
π
π
π
3
sin 3
3
2
6
f
，
故
π
6
x
不是函数
f x 的一条对称轴，B 错误；
C 选项，将函数
f x 的图像向右平移π
6 个单位长度后得到
π
π
sin 2
sin 2
6
3
x
g
x
x
，
由于
g x 的定义域为R，且
sin
2
sin 2
g
x
x
x
g x
，
故
g x 为奇函数，其图象关于原点对称，C 正确；
D 选项，
π ,0
2
x
时，
π
2π π
2
,
3
3
3
x
，
由于
sin
y
z
在
π
, 3
2π
3
z
的最小值为1
，当且仅当
2
π
z
时，等号成立，
故
f x 在区间
π ,0
2
x
的最小值是1
，D 错误.
故选：AC
15.函数𝑓(𝑥) = 𝐴sin(𝜔𝑥+ 𝜑) 𝐴> 0,𝜔> 0,|𝜑| < π
2 的部分图象如图所示，则函数𝑓(𝑥)的解析式为（ ）
A．𝑓(𝑥) =
2sin 𝑥−π
3
B．𝑓(𝑥) =
2sin 2𝑥+ π
3
C．𝑓(𝑥) =
2sin 𝑥−π
6
D．𝑓(𝑥) =
2sin 2𝑥+ π
6
【解题思路】由函数图象得到𝐴、
𝑇
4，即可求出𝜔，再根据函数过点7π
12 ,−2 及𝜑的取值范围，求出𝜑，即可
得解.
【解答过程】解：由函数图象可得𝐴=
2，
𝑇
4 =
7π
12−
π
3 =
π
4，所以𝑇= π，又𝑇=
2π
𝜔，解得𝜔= 2，
所以𝑓(𝑥) =
2sin(2𝑥+ 𝜑)，由函数过7π
12 ,−2 ，所以𝑓7π
12 =
2sin 7π
6 + 𝜑= −2，
所以
7π
6 +𝜑=
3π
2 +2𝑘π，𝑘∈Z，所以𝜑=
π
3 +2𝑘π，𝑘∈Z，
又|𝜑| <
π
2，所以𝜑=
π
3，
所以𝑓(𝑥) =
2sin 2𝑥+ π
3 .
故选：B.
16.已知函数𝑓(𝑥) = 𝐴sin(𝜔𝑥+ 𝜑)（其中𝐴> 0，𝜔> 0，|𝜑| <
𝜋
2）的部分图象如图所示，将函数𝑓(𝑥)图象上
所有点的横坐标伸长到原来的6 倍后，再向左平移
𝜋
4个单位，得到函数𝑔(𝑥)的图象，则函数𝑔(𝑥)的解析式
为（ ）
A．𝑔(𝑥) = 2sin 1
3 𝑥−𝜋
4
B．𝑔(𝑥) = 2sin 1
3 𝑥+ 𝜋
4
C．𝑔(𝑥) = 2sin 6𝑥+ 5𝜋
12
D．𝑔(𝑥) = 2sin 1
6 𝑥−𝜋
4
【解题思路】先根据函数图像求出函数𝑓(𝑥)的解析式，再由三角函数的变换过程求解𝑔(𝑥)即可
【解答过程】由图知：𝐴= 2且
3𝑇
4 =
11𝜋
12 −
𝜋
6 =
3𝜋
4 ，则𝑇= 𝜋，故𝜔= 2，
则𝑓(𝑥) = 2sin(2𝑥+ 𝜑)，
由𝑓𝜋
6 = 2sin 𝜋
3 + 𝜑= 2，则
𝜋
3 +𝜑=
𝜋
2 +2𝑘𝜋，𝑘∈Z，
所以𝜑=
𝜋
6 +2𝑘𝜋，𝑘∈Z，
又|𝜑| <
𝜋
2，故𝜑=
𝜋
6，
综上，𝑓(𝑥) = 2sin 2𝑥+ 𝜋
6 ，
将函数𝑓(𝑥)图象上所有点的横坐标伸长到原来的6 倍得到𝑦= 2sin 𝑥
3 + 𝜋
6 ，再向左平移
𝜋
4个单位得到𝑔(𝑥)
= 2sin 1
3 𝑥+ π
4 + 𝜋
6 = 2sin 𝑥
3 + 𝜋
4 ，
故选：B.
17.函数
sin
(
0,
0,0
2π)
f x
A
x
A
一个周期的图象如图所示，则函数
f x 的解析式
为
.
【答案】
1
5π
4sin 2
4
f x
x
【详解】由图象可知
7π
π
4,
4π
2
2
A
T
，
又
0
，则
2π
2π
1
4π
2
T
，所以
1
4sin 2
f x
x
，
又3π ,0
2
在该曲线上，所以
3π
4sin
0
4
，
则3π
2 π,
Z
4
k
k
，即
3π
2 π,
Z
4
k
k
，
又0
2π
，则
5π
4
，故
1
5π
4sin 2
4
f x
x
.
故答案为：
1
5π
4sin 2
4
f x
x
.
18.设函数
sin
f x
A
x
（A，，是常数，
0
A
，
0
）.若
f x 在区间
,
12 4
上具有单调
性，且
π
5π
π
4
12
12
f
f
f
，则
f x 的最小正周期是
．
【答案】2
3
/ 2
3
【详解】由于
f x 在区间
,
12 4
上具有单调性，
则π
π
1
4
12
2T
，所以
π
3
T
，
由
π
5π
4
12
f
f
可知函数
f x 的一条对称轴为
π
5π
π
4
12
2
3
x
，
又
π
π
4
12
f
f
，则
f x 有对称中心π ,0
6
，
从而
π
π
2π
4 3
6
3
T
．
故答案为：2π
3 ．
19.已知函数
π
sin
,
0,
0,
2
f x
A
x
A
的图像上相邻两条对称轴的距离是π
4 ，
f x 的最大
值与最小值之差为1，且
f x 的图像的一个对称中心是3π ,0
16
．
(1)求函数
f x 的解析式；
(2)若方程
f x
m
在区间
π
0, 4
上有解，求实数m 的取值范围．
【答案】(1)
1
π
( )
sin 4
2
4
f x
x
(2)
2 1
,
4
2
【详解】（1）因为函数
f x 图象上相邻两条对称轴的距离为π
4 ，所以
π
2
4
T
.
又
0
，故π
π
4
，
4
ω=
.
因为
f x 的最大值与最小值之差为1，故2
1
A ，
1
2
A
，
又由
f x 的图像的一个对称中心是3π ,0
16
，故
3π
4
π
Z
16
k
k
，
则
3π
π
,
Z
4
k
k
，又
π
2
，
故当
1
k 时，
π
4
，
故
1
π
sin 4
2
4
f x
x
.
（2）
π
0, 4
x
，
π
π 5π
4
,
4
4
4
x
，
π
2
sin 4
,1
4
2
x
，
2 1
,
4
2
f x
，若方程
f x
m
在区间
π
0, 4
上有解，则
2 1
,
4
2
m
，
故实数m 的取值范围是
2 1
,
4
2
20.已知函数
π
( )
2sin(
) 1 0
3,0
2
f x
x
，满足______．
(1)求
( )
f x 的解析式，并写出
( )
f x 的单调递减区间；
(2)把
( )
y
f x
的图象向右平移π
6 个单位，再向上平移
1
2 个单位，得到函数
( )
y
g x
的图象，若( )
g x 在区间
π ,
3 m
上的最大值为3
2 ，求实数m 的最小值．
在①函数
( )
f x 的一个零点为0；②函数
( )
f x 图象上相邻两条对称轴的距离为π
2 ；
③函数
f x 图象的一个最低点的坐标为2π , 2
3
，这三个条件中任选两个，补充在上面问题中，并给出
问题的解答．
【答案】(1)任选两条件，解析式为
π
2sin 2
1
6
f x
x
，单调递减区间为
π
2π
π,
π
Z
6
3
k
k
k
(2) π
3
【详解】（1）若选①②：
因为函数
f x 的一个零点为0 ，所以
0
0
f
，所以2sin
1
0
，
所以
1
sin
2
，因为
π
0
2
，所以
π
6
．
因为函数
f x 图象上相邻两条对称轴的距离为π
2 ，所以
π
2
π
2
T
．
因为0
3
，所以
2
，所以函数
f x 的解析式为
π
2sin 2
1
6
f x
x
，
由π
π
3π
2 π
2
2 π
2
6
2
k
x
k
，
Z
k
，解得π
2π
π
π
6
3
k
x
k
，
Z
k
，
所以
f x 的单调递减区间为
π
2π
π,
π
Z
6
3
k
k
k
．
若选①③：
因为函数
f x 的一个零点为0 ，所以
0
0
f
，所以2sin
1
0
，
所以
1
sin
2
，因为
π
0
2
，所以
π
6
．
因为函数
f x 图象的一个最低点的坐标为2π , 3
3
，
所以
2π
π
2sin
2
3
6
，所以
2π
π
sin
1
3
6
，
所以2π
π
π
2 π
3
6
2
k
，即
3
1
k
k
Z ，因为0
3
，所以
2
．
所以函数
f x 的解析式为
π
2sin 2
1
6
f x
x
，
由π
π
3π
2 π
2
2 π
2
6
2
k
x
k
，
Z
k
，解得π
2π
π
π
6
3
k
x
k
，
Z
k
，
所以
f x 的单调递减区间为
π
2π
π,
π
Z
6
3
k
k
k
．
若选②③：
因为函数
f x 图象上相邻两条对称轴的距离为π
2 ，所以
π
2
π
2
T
．
因为0
3
，所以
2
，因为函数
f x 图象的一个最低点的坐标为2π , 3
3
，
所以
2π
2sin 2
2
3
，所以
4π
sin
1
3
，
所以4π
π
2 π
3
2
k
即
11π
2 π
6
k
k
Z ．
因为
π
0
2
，所以
π
6
，
所以函数
f x 的解析式为
π
2sin 2
1
6
f x
x
，
由π
π
3π
2 π
2
2 π
2
6
2
k
x
k
，
Z
k
，解得π
2π
π
π
6
3
k
x
k
，
Z
k
，
所以
f x 的单调递减区间为
π
2π
π,
π
Z
6
3
k
k
k
．
（2）把
( )
y
f x
的图象向右平移π
6 个单位得到
π
π
2sin 2
1
2sin 2
1
6
π
6
6
y
x
x
，
再将
1
π
2sin 2
6
y
x
向上平移
1
2 个单位得到
1
2sin 2
6
2
π
y
x
，
即
2
π
1
2sin 2
6
g x
x
，
由
π
3
x
m
得
5π
π
π
2
2
6
6
6
x
m
，
因为
g x 在区间
π ,
3 m
上的最大值为3
2 ，
所以
π
sin 2
6
x
在区间
π ,
3 m
上的最大值为1．
所以
π
π
2
6
2
m
，所以
π
3
m
，所以m 的最小值为π
3 ．
