5.4 函数的极值与最值
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：导数的极值................................................................... 2
考点二：函数的最大（小）值....................................................... 3
考点三：函数的最值与极值的关系..................................................3
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：求函数极值与极值点....................................................... 3
题型二：已知极值（点）求参数.................................................... 5
题型三：导函数图象与极值的关系................................................10
题型四：求函数的最值（不含参）................................................14
题型五：求函数的最值（含参）...................................................19
题型六：根据函数的最值求参数...................................................22
题型七：函数的极值与最值综合应用.............................................26
模块三：综合巩固....................................................................... 33
5.4 函数的极值与最值
模块一：基础知识
考点一：导数的极值
1.极值的概念：极大值与极小值统称为极值
（1）函数的极大值：一般地，设函数y＝f(x)在点x0及附近有定义，如果对x0附近的所有的点，
都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数y＝f(x)的一个极大值，记作y 极大值＝f(x0)，x0是极大值点．
（2）函数的极小值：一般地，设函数y＝f(x)在点x0及附近有定义，如果对x0附近的所有的点，
都有f(x)＞f(x0)，就说f(x0)是函数y＝f(x)的一个极小值，记作y 极小值＝f(x0)，x0是极小值点．
2.极值与导数的关系
如图（1），若x0是极大值点，则在x0的左侧附近f(x)只能是增函数，即f′(x)>0，在x0的右侧附近f(x)
只能是减函数，即f′(x)<0.
如图（2），若x0是极小值点，则在x0的左侧附近f(x)只能是减函数，即f′(x)<0；在x0的右侧附近f(x)
只能是增函数，即f′(x)>0.
综合以上情形，可以得到：
若x0满足f′(x0)＝0，且在x0的两侧f(x)的导数异号，则x0是f(x)的极值点，f(x0)是极值．
若f′(x)在x0的两侧满足“左正右负”，则x0是f(x)的极大值点，f(x0)是极大值；
若f′(x)在x0的两侧满足“左负右正”，则x0是f(x)的极小值点，f(x0)是极小值．
【注意】（1）可导函数的极值点．必须是导数为0 的点，但导数为0 的点不一定是极值点．
即“点x0是可导函数f(x)的极值点”是“f′(x0)＝0”的充分不必要条件．
不可导的点可能是极值点也可能不是极值点．
例如：①导数为0 的点是极值点：y＝x
2，y′|x＝0＝0，x＝0 是极值点．
②导数为0 的点不是极值点：y＝x
3，y′|x＝0＝0，x＝0 不是极值点．
③不可导的点是极值点：y＝|sinx|，x＝0 不可导，但x＝0 是极值点．
（2）函数的极值只是一个局部性的概念，是仅对某一点及左、右两侧区域而言的．在函数的整个定义区
间内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大，如图，
点x1、x3是极大值点，x2、x4是极小值点，且在点x1处的极大值小于在点上x4处的极小值．
（3）极值点是自变量的值，极值指的是函数值．
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．
（5）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝对不会是单调函数，即在区间上的单调函数没有
极值．
3.利用导数求函数极值的方法步骤
（1）求导数f′(x)；
（2）求方程f′(x)＝0 的所有实数根；
（3）观察在每个根x0附近，从左到右导函数f′(x)的符号如何变化．
①如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；
②如果由负变正，则f(x0)是极小值．
③如果在f′(x)＝0 的根x＝x0的左右侧f′(x)的符号不变，则不是极值点．
考点二：函数的最大（小）值
一般地，如果在区间[ , ]
a b 上函数
y
f x
的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.
设函数
f x 在[ , ]
a b 上连续，在( , )
a b 内可导，求
f x 在[ , ]
a b 上的最大值与最小值的步骤为：
（1）求
f x 在( , )
a b 内的极值；
（2）将函数
f x 的各极值与端点处的函数值
( )
f a ，
( )
f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的
一个是最小值.
考点三：函数的最值与极值的关系
（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间[ , ]
a b 的整体而言；
（2）在函数的定义区间[ , ]
a b 内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个
（或者没有）；
（3）函数
f x 的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；
（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.
模块二：题型分类
题型一：求函数极值与极值点
1.函数
3
2
2
y
x
x
的极值情况是（
）
A．有极大值，无极小值
B．有极小值，无极大值
C．既无极大值也无极小值
D．既有极大值又有极小值
【答案】D
【解析】∵
3
2
2
y
x
x
，∴
2
2
3
y
x
x
，
由
0
y
，得
0
x
或
2
3
x
，
2
,
3
x
时，
0
y
；
2 ,0
3
x
时，
0
y
；
0,
x
时，
0
y
，
∴函数
2
3
2
y
x
x
的递减区间是
2
,
3
，
0,
；递增区间是
2 ,0
3
，
∴当
2
3
x
时，函数取得极小值，当
0
x
时，函数取得极大值，
∴函数
2
3
2
y
x
x
既有极大值又有极小值.故选：D.
2.设函数
2
2ln
f x
x
x
，则（
）
A．
e
x为极大值点
B．
1
x 为极大值点
C．
1
x 为极小值点
D．无极值点
【答案】B
【解析】函数
2
2ln
f x
x
x
定义域为
0,
，
则
2
2 1
1
2
2
2
2
x
x
x
f
x
x
x
x
x
，
当0
1
x
时
( )
0
f
x
¢
>
，当
1
x 时
0
f
x
，
所以
f x 在
0,1 上单调递增，在
1,上单调递减，
则
f x 在
1
x 处取得极大值，即
1
x 为极大值点.故选：B
3.求下列函数的极值.
（1）
3
2
( )
3
9
5
f x
x
x
x
；
（2）
ln
( )
x
f x
x
.
【答案】（1）极小值为－22，极大值为10；（2）极大值为1
e ，无极小值
【解析】（1）函数
3
2
( )
3
9
5
f x
x
x
x
的定义域为R，且
2
3
6
9
f
x
x
x
.
令
( )
0
f
x
，得
1
2
1,
3
x
x
.
当x 变化时，
( )
f
x
与
( )
f x 的变化情况如下表：
x
(
1)
,
-1
( 1,3)
3
(3,
)
( )
f
x
+
0
-
0
+
( )
f x
增
10
减
-22
增
由表可知，= 1
x 是函数
( )
f x 的极大值点，极大值为
( 1)
10
f
；
3
x 是函数
( )
f x 的极小值点，极小值为
(3)
22
f
.
（2）函数
ln x
y
x
的定义域为(0,
)
，且
2
1
ln x
y
x
，
令
0
y
，即
2
1 ln
0
x
x
，得
e
x，
当x 变化时，y，y 的变化情况如下表：
x
(0,e)
e
(e,
)
y
＋
0
-
y
增
1
e
减
由表可知，当
e
x时，函数的极大值是1
e ，无极小值.
4.已知函数
ln
f
x
x
x
．
(1)求曲线
y
f x
在点
1,
1
f
处的切线方程；
(2)求
f
x 的单调区间和极值．
【答案】(1)
1
0
x
y
(2)单调递减区间为
1
0, e
，单调递增区间为1,
e
；极小值为
1
e
，无极大值.
【详解】（1）
1
0
f
，
1
ln
f
x
x
，
1
1 ln1 1
f
，
故曲线
y
f x
在点
1,
1
f
处的切线方程为
1
y
x
，即
1
0
x
y
；
（2）
ln
f
x
x
x
的定义域为
0,
，
故
1
ln
f
x
x
，
当
1
e
x
时，
0
f
x
，
当
1
0
e
x
时，
0
f
x
，当
1
e
x
时，
( )
0
f
x
¢
>
，
故
ln
f
x
x
x
的单调递减区间为
1
0, e
，单调递增区间为1,
e
，
f
x 的极小值为
1
1
1
1
ln
e
e
e
e
f
，无极大值.
5.若函数
3
1
4
3
f x
x
bx
，
2
x
为函数
f
x 的极值点.
(1)求b 的值；
(2)求函数的极值.
【答案】(1)4
(2)
( )
f x 的极小值为
4
3
，
( )
f x 的极大值为28
3
【详解】（1）因为
3
1
4
3
f x
x
bx
，所以
2
( )
f
x
x
b
.
因为
2
x
是
( )
f x 的一个极值点，所以
2
0
f
，即
2
2
0
b
，则
4
b
，
当
4
b
时，
2
( )
4
2
2
f
x
x
x
x
，
令
( )
0
f
x
，得<
2
x
或
2
x
；令
( )
0
f
x
，得2
2
x
；
所以
f
x 在
, 2 , 2,
上单调递增，在
2,2
上单调递减，
所以
2
x
是
( )
f x 的极小值点，满足题意，故
4
b
.
（2）由（1）知
3
1
4
4
3
f x
x
x
，且
2
x
是
( )
f x 的极小值点，
2
x 是
( )
f x 的极大值点，
所以
( )
f x 的极小值为
3
1
4
2
2
4 2
4
3
3
f
，
( )
f x 的极大值为
3
1
28
2
2
4
2
4
3
3
f
.
题型二：已知极值（点）求参数
1.已知函数
3
2
2
3
f x
x
mx
nx
m
在=
1
x 处有极值0，则实数m
n
的值为（
）
A．4
B．4 或11
C．9
D．11
【答案】D
【解析】
2
3
6
f
x
x
mx
n
，则
1
0
1
0
f
f
，
即
3
6
0
1
3
0
m
n
m
n
m
，解得
1
3
m
n
或
2
9
m
n
.
当
1
3
m
n
时，
2
2
3
6
3
3(
1)
0
f
x
x
x
x
，不符合题意，舍去；
当
2
9
m
n
时，
2
3
12
9
3
3
1
x
x
x
x
f
x
，
令
( )
0
f
x
¢
>
，得
3
x 或
1
x ；令
0
f
x
，得3
1
x
．
所以
f x 在
, 3 ,
1,
上单调递增，
在
3, 1
上单调递减，符合题意，则
2 9
11
m
n
．故选：D
2.已知函数
3
2
f x
x
ax
x
b
在
1
x 处取得极值5，则a b
（
）
A．7
B．3
C．3
D．7
【答案】A
【解析】函数
3
2
f x
x
ax
x
b
，则
2
( )
3
2
1
f
x
x
ax
，
因为
( )
f x 在
1
x 处取极值5，
所以
(1)
3
2
1
0
(1)
1
1
5
f
a
f
a
b
，解得：
2
5
a
b
，经检验满足题意.
故
7
a
b
.故选：A
3.已知函数
3
3
1
f x
ax
x
的极小值为1
，则
a
（
）
A．1
B．2
C．1
D．2
【答案】C
【解析】因为
3
3
1
f x
ax
x
，所以
2
( )
3
3
f
x
ax
；
当
0
a
时，
( )
0
f
x
，
( )
f x 为减函数，没有极值.
当
0
a
时，由
2
( )
3
3
0
f
x
ax
得
a
x
a
；
,
a
x
a
时，
( )
0
f
x
，
( )
f x 为增函数；
,
a
a
x
a
a
时，
( )
0
f
x
，
( )
f x 为减函数；
,
a
x
a
时，
( )
0
f
x
，
( )
f x 为增函数；
所以当
a
x
a
时，
( )
f x 有极小值，
2
1
1
a
a
f
a
a
，解得
1
a .故选：C.
4.已知函数
2
f
x
x x
m
在
1
x 处有极大值，则m 的值为（
）
A．1
B．2
C．3
D．1 或3
【答案】C
【详解】
3
f
x
x
m
x
m
，
1
1
3
0
f
m
m
，
∴
1
m 或
3
m
，
当
1
m 时，
1 3
1
f
x
x
x
，
令
( )
0
f
x
¢
>
，得
1
3
x
或
1
x ；令
0
f
x
，得1
1
3
x
；
从而
f
x 在
1
, 3
单调递增，在1,1
3
单调递减，在
1,单调递增，
所以
f
x 在
1
x 处有极小值，不合题意，
当
3
m
时，经检验，满足题意；
综上，
3
m
.
故选：C
5.若函数
4
f x
x
x
与函数
e
x
g x
a
x有相等的极小值，则实数
a
（
）
A．1
2
B．
3e
C．2
D．
2
1
e
【答案】B
【解析】由对勾函数可知：
4
f x
x
x
在
2
x
时取到极小值
4
2
2
4
2
f
，
对于
e
x
g x
a
x，则有：当
0
a
时，
g x 在定义域内单调递减，无极值，不合题意；
当
0
a
时，
e
1
x
g
x
a
，
令
0
g x
，解得
ln
x
a
；令
0
g
x
，解得
ln
x
a
；
则
g x 在
, ln a
上单调递减，在
ln ,a
上单调递增，
所以
g x 的极小值为
ln
1 ln
4
g
a
a
，解得
3e
a
.故选：B.
6.已知
ex
f x
x
在区间
2
,6
m
m
上有极小值，则实数m 的取值范围是（
）
A．
, 5
B．
2, 5
C．
2, 5
D．
5,1
【答案】D
【解析】函数
ex
f x
x
定义域为
|
0
x x
，
2
1 ex
x
f
x
x
，
所以
1
x 时
( )
0
f
x
¢
>
，当
0
x
或0
1
x
时
0
f
x
，
所以
f x 在
1,上单调递增，在
,0
，
0,1 上单调递减，
所以
f x 在
1
x 处取得极小值，
因为
ex
f x
x
在区间
2
,6
m
m
上有极小值，
所以
2
1
6
1
m
m
，解得
5
1
m
，即实数m 的取值范围是
5,1
.故选：D
7.已知函数
( )
e
3
ax
f x
x
有大于零的极值点，则实数a 的取值范围是（
）
A．
1
3
a
B．
1
3
a
C．
3
a
D．
3
a
【答案】D
【解析】因为
e
3
ax
f
x
x
，所以
3
eax
f
x
a
，
函数在xR 上有大于零的极值点，
3
e
0
ax
f
x
a
有正根，
①当
0
a
时，由
3
e
0
ax
f
x
a
，
3
e
0
ax
f
x
a
无实数根，函数
e
3
ax
y
x
在R 上无极值点，不合题意；
②当a<0时，由
3
e
0
ax
f
x
a
，解得
1
3
ln
x
a
a
，
则当
1
3
ln
x
a
a
时，
0
f
x
；当
1
3
ln
x
a
a
时，
0
f
x
，
1
3
ln
x
a
a
为函数的极值点，
1
3
ln
0
a
a
，
因为a<0，所以
3
3
ln
0,0
1
a
a
，解得
3
a ，
实数的a 取值范围是
3
a .故选：D.
8.设函数
2
1
e
(
)(
R)
2
x
f
x
a
x
x a
有两个极值点
1
2
,
x x ，则实数a 的取值范围是（
）
A．
e,
B．
2e ,
C．
e,
D．
1,e
【答案】B
【解析】由函数
2
1
e
(
)
2
x
f
x
a
x
x
的定义域为R ，且
e
(
1)
x
f
x
a x
因为函数
f x 有两个极值点
1
2
,
x x ，所以函数
f
x
有两个零点
1
2
,
x x ，
令
e
(
1)
x
g x
a x
，可得
ex
g
x
a
，
当
0
a
时，在R 上
0
g
x
，
g x 单调递增，
g x 不能有两个零点；
当
0
a
时，令
0
g
x
，可得
ln
x
a
，
当
(
,ln )
x
a
时，
0
g x
，
g x 单调递减；
当
(ln ,
)
x
a
时，
0
g
x
，
g x 单调递增，
且当x 时，
g x
，当x 时，
g x
，
若
g x 有两个零点，则
ln
ln
e
(ln
1)
ln
2
ln
(2
ln )
0
a
g
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
，
所以ln
2
a
，解得
2e
a
，所以实数a 的取值范围是
2
(e ,
)
.故选：B.
9.已知函数
3
2
6
1
f x
x
mx
m
x
既存在极大值，又存在极小值，则实数m 的取值范围是（
）
A．(
)
1,2
-
B．
, 3
6,
C．
3,6
D．
, 1
2,
【答案】B
【解析】∵
3
2
6
1
f x
x
mx
m
x
，
∴
2
3
2
6
x
x
m
f
x
m
，
∵函数
f x 既存在极大值，又存在极小值，
∴导函数
f
x
有两个不相等的变号零点，
∴
2
4
12
6
0
m
m
，即
2
3
18
0
m
m
，解得
3
m 或
6
m ．
∴实数m 的取值范围是
, 3
6,
，故选：B．
10.若函数
( )
ex
f x
ax
b
在R 上有小于0 的极值点，则实数a 的取值范围为
.
【答案】0
1
a
【解析】函数
( )
ex
f x
ax
b
的定义域为R，求导得
( )
e
x
f
x
a ，
当
0
a
时，
( )
0
f
x
恒成立，函数
( )
f x 在R 上单调递增，无极值点；
当
0
a
时，由
( )
0
f
x
，解得
ln
x
a
，当
(
,ln )
x
a
时，( )
0
f
x
，当
ln ,
x
a
时，( )
0
f
x
，
因此
ln
x
a
为
( )
f x 的极值小点，于是ln
0
a
，解得0
1
a
，
所以实数a 的取值范围是0
1
a
.
11.函数
ln
1
x
f x
ax
b
在
1
x 处取得极值0，则a
b
（
）
A．0
B．
1
2
C．1
D．2
【答案】A
【详解】
1
f
x
a
bx
，
所以
1
1
0
1
1
0
f
a
f
a
b
，解得
1,
1
a
b
，
经检验，
1,
1
a
b
满足题意，
所以
0
a
b
.
故选：A
12.已知函数
3
2
2
3
f x
x
ax
bx
a
在= 1
x 时有极值0，求常数a ，b 的值.
【答案】
2,
9
a
b
【详解】因为
3
2
2
3
f x
x
ax
bx
a
，所以
2
( )
3
6
f
x
x
ax
b ，
由题意可知，
( 1)
0
( 1)
0
f
f
，即
2
3
6
0
1 3
0
a
b
a
b
a
，解得
1
3
a
b
或
2
9
a
b
，
当
1,
3
a
b
时，
2
2
( )
3
6
3
3(
1)
f
x
x
x
x
0 ，函数
( )
f x 为(
,
)
上的递增函数，此时函数
( )
f x 无
极值，不合题意；
当
2,
9
a
b
时，
2
( )
3
12
9
3(
1)(
3)
f
x
x
x
x
x
，
令
( )
0
f
x
，得
3
x 或
1
x ，令
( )
0
f
x
，得3
1
x
，
所以函数
( )
f x 在(
, 3)
和( 1,
)
上递增，在( 3, 1)
上递减，
所以
( )
f x 在= 1
x 时取得极大值，符合题意.
所以
2,
9
a
b
.
题型三：导函数图象与极值的关系
1.如图是导函数
y
f
x
的图象，则下列说法不正确的是（
）
A．函数
y
f x
在区间
1,3 上单调递减
B．函数
y
f x
在区间
0,1 上单调递减
C．函数
y
f x
在
1
x 处取得极大值
D．函数
y
f x
在
2
x 处取得极小值
【答案】B
【解析】由图可知，导函数
y
f
x
在区间
1,3 上满足
0
f
x
，
所以
y
f x
在区间
1,3 上单调递减，故A 正确；
导函数
y
f
x
在区间
0,1 上满足
( )
0
f
x
¢
>
，
所以函数
y
f x
在区间
0,1 上单调递增，故B 错误；
在
1
x 附近，当
1
x 时，导函数
y
f
x
满足
( )
0
f
x
¢
>
，
当
1
x 时，导函数
y
f
x
满足
0
f
x
，
所以函数
y
f x
在
1
x 处取得极大值，故C 正确；
在
2
x 附近，当<
2
x
时，导函数
y
f
x
满足
0
f
x
，
当
2
x 时，导函数
y
f
x
满足
( )
0
f
x
¢
>
，
所以函数
y
f x
在
2
x 处取得极小值，故D 正确.故选：B.
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 137
2.如图是函数
y
f x
的导函数
f
x
的图象，则下面判断正确的是（
）
A．在区间
2,1
上
f x 是增函数
B．在
1,3 上
f x 是减函数
C．当
4
x
时，
f x 取极大值
D．在
4,5 上
f x 是增函数
【答案】D
【解析】由导函数
f
x
的图象可得，
当
( 2,
)
A
x
x
时，
0
f
x
，函数
f x 单调递减，所以A 不正确；
当
(1,2)
x
时，
( )
0
f
x
¢
>
，函数
f x 单调递增，所以B 不正确；
当
(3,4)
x
时，
0
f
x
,函数
f x 单调递减，当
(4,5)
x
时，
( )
0
f
x
¢
>
，函数
f x 单调递增，
所以
4
x
是函数
f x 的极小值点，
4
f
为极小值，所以C 不正确；
当
(4,5)
x
时，
( )
0
f
x
¢
>
，函数
f x 单调递增，所以D 正确，故选：D.
3.（多选）函数
f x 的导函数
y
f
x
的图象如图所示，则下列结论正确的是（
）
A．函数
f x 在区间
2
4
,
x x
上单调递减
B．
6
x
x
是函数
f x 的极小值点
C．函数
f x 在
4
x
x
处取得极小值
D．函数
f x 在
2
x
x
处取得极大值
【答案】ACD
【解析】由
f
x
的图象可知：
当
2
a
x
x ，
4
x
x
b 时，
( )
0
f
x
¢
>
；当
2
4
x
x
x
时，
0
f
x
，
所以
f x 在
2
,a x
，
4,
x b 上单调递增，在
2
4
,
x x
上单调递减，故A 正确，B 错误；
当
2
x
x
时，函数
f x 取得极大值，
当
4
x
x
时，函数
f x 取得极小值，故CD 正确.故选：ACD.
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 137
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 137
4.（多选）已知定义域为R 的函数
( )
f x ，且函数
( )
f
x
y
x
的图象如图，则下列结论中正确的是（
）
A．
( 1)
(1)
0
f
f
B．函数
( )
f x 在区间(
, 1)
上单调递减
C．当= 1
x 时，函数
( )
f x 取得极小值
D．当
1
x 时，函数
( )
f x 取得极小值
【答案】AD
【解析】由图知：
( 1)
(1)
0
1
1
f
f
，即
( 1)
(1)
0
f
f
，A 对；
由
(
, 1)
x
上
( )
0
f
x
x
，故
( )
0
f
x
，则
( )
f x 在区间(
, 1)
上单调递增，B 错；
( 1,0)
x
和(1,
)
上
( )
0
f
x
x
，
(
, 1)
x
和(0,1)上
( )
0
f
x
x
，
所以
(
, 1)
x
、
(1,
)
x
上
( )
0
f
x
，
( 1,0)
x
、
(0,1)
x
上
( )
0
f
x
，
故
( )
f x 在(
, 1)
、(1,
)
上递增，( 1,0)
、(0,1)上递减，
则
( 1)
f
为极大值，
(1)
f
为极小值，C 错，D 对.故选：AD
5.（多选）如图所示是
y
f x
的导数
y
f
x
的图象，下列结论中正确的有（
）．
A．
f
x 的单调递增区间是
1,2
4,
B．= 1
x 是
f
x 的极小值点
C．
f
x 在区间
2,4 上单调递减，在区间(
)
1,2
-
上单调递增
D．
2
x
是
f
x 的极小值点
【答案】BC
【详解】由导函数的图象可知，当3
1
x
或2
4
x
时，
0
f
x
；当1
2
x
或>4
x
时，
( )
0
f
x
¢
>
；
所以
f
x 的单调递增区间为(
)
1,2
-
和
4,，单调递减区间为
3, 1
和
2,4 .故A 错误，C 正确；
所以
1
x = 或
4
x
是
f
x 的极小值点；故B 正确；
所以
2
x
是
f
x 取得极大值点；故D 错误.
故选：BC.
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 137
6.已知函数
3
2
f x
ax
bx
cx
，其导函数
y
f
x
的图象经过点
1,0 ，
2,0 ，如图所示，则下列说法
中正确结论的序号为
．
①当
3
2
x
时函数取得极小值；
②
f
x 有两个极值点；
③当
2
x
时函数取得极小值；
④当
1
x 时函数取得极大值．
【答案】②③④
【详解】由图象可知，当
,1
x
时，
( )
0
f
x
¢
>
；当
1,2
x
时，
0
f
x
；当
2,
x
时，
( )
0
f
x
¢
>
.
所以函数
f
x 在
,1
上单调递增，在
1,2 上单调递减，在
2,上单调递增，
所以函数
f
x 有两个极值点，当
1
x 时函数取得极大值，当
2
x
时函数取得极小值，
故①错误，②③④正确.
故答案为：②③④
题型四：求函数的最值（不含参）
1.求下列函数的最值．
（1）
3
]
( )
2
12 ,
,3
[ 2
f x
x
x x
；
（2）
]
1
( )
sin
[
,
0,2π
2
f x
x
x x
.
【答案】（1）最小值8 2
；最大值18；（2）最小值0；最大值π.
【解析】（1）函数
3
]
( )
2
12 ,
,3
[ 2
f x
x
x x
，求导得
2
( )
6
12
6(
2)(
2)
f
x
x
x
x
，
当
2
)
[
,
2
x
或
( 2,3]
x
时，
( )
0
f
x
，函数
( )
f x 在[ 2,
2)
，( 2,3] 上单调递增，
当
(
2, 2)
x
时，
( )
0
f
x
，函数
( )
f x 在(
2,
2)
上单调递减，
而
( 2)
8,
( 2)
8 2
f
f
，
(
2)
8 2,
(3)
18
f
f
，
所以函数
( )
f x 在
2
x
处取得最小值8 2
，在
3
x 取得最大值18.
（2）函数
]
1
( )
sin
[
,
0,2π
2
f x
x
x x
，求导得
1
( )
cos
2
f
x
x
，
当
2π
0, 3
x
或
4π ,2π
3
x
时，
( )
0
f
x
，函数
( )
f x 在
2π
0, 3
，4π ,2π
3
上单调递增，
当
2π 4π
,
3
3
x
时，
( )
0
f
x
，函数
( )
f x 在2π 4π
(
,
)
3
3
上单调递减，
而
4π
2π
3
(0)
0,
(
)
3
3
2
f
f
，
2π
π
3
(
)
,
(2π)
π
3
3
2
f
f
，
所以函数
( )
f x 在
0
x
处取得最小值0 ，在
2π
x
取得最大值π.
2.函数
2
3
27ln
2
f x
x
x
在区间
1,2 上的最大值是（
）
A．0
B．
1
2
C．1
D．3
2
【答案】D
【详解】
3
3
3
27
3
x
x
f
x
x
x
x
，定义域为
0,
，
令
( )
0
f
x
¢
>
，解得
3
x
，令
0
f
x
，解得0
3
x
，
所以
f
x 在
3,上单调递增，
0,3 单调递减，
所以
f
x 在区间
1,2 上的最大值为
3
1
2
f
.
故选：D.
3.已知函数
2
( )
3
1 ex
f x
x
x
．
(1)求曲线
y
f x
在
0,
0
f
处的切线方程；
(2)求
f
x 在区间
2,0
上的最大值和最小值．
【答案】(1) 2
1
0
x
y
(2)最大值为5
e ，最小值为1
【详解】（1）对函数
2
( )
3
1 ex
f x
x
x
求导得，
2
2
( )
3
1 2
2
3
e
e
x
x
x
x
f
x
x
x
x
，
所以
(0)
1,
0
2
f
f
，
所以曲线
y
f x
在
0,
0
f
处的切线方程为
1
2
0
y
x
，
化简并整理得该切线方程为2
1
0
x
y
.
（2）由（1）可知
2
e
( )
2
1
2 e
x
x
x
x
x
x
f
x
，
当
2,0
x
时，
( ),
f
x
f
x
随x 的变化情况如下表：
x
2, 1
1
1,0
( )
f
x
0
f
x
极大值
由上表可知函数
2
( )
3
1 ex
f x
x
x
在
2, 1
上单调递增，在
1,0
上单调递减，且在= 1
x 时
f
x 取
得极大值，
所以
f
x 在区间
2,0
上的最大值
5
1
e
f
，
而
f
x 在区间
2,0
上的最小值为
0 ,
2
f
f
中的较小者，
又0
e
3
，所以
2
11
11
0
1
2
9
e
f
f
，
所以
f
x 在区间
2,0
上的最小值为
0
1
f
.
4.设函数
3
4ln
f
x
x
x
x
．
（1）求
f x 的单调区间；
（2）求
f x 在1,e
e
上的最大值与最小值．
【答案】（1）
f x 在
0,1 ，
3,单调递增，在
1,3 单调递减
（2）最小值为1
3e
4
e
，最大值为2
．
【解析】（1）
f x 定义域为
2
1
3
0,
,
x
x
f
x
x
．
当
0,1
3,
x
时，
( )
0
f
x
¢
>
；当
1,3
x
时，
0
f
x
．
所以
f x 的单调递增区间为
0,1 ，
3,，单调递减区间
1,3 ．
（2）令
0
f
x
，得
1
x 或
3
x ．
因为
1
1
1
,e ,3
,e
e
e
，
由（1）知
f x 在1,1
e
上单调递增，在
1,e 上单调递减，
故
f x 的最大值为( )
1
2
f
= - ．
又
1
1
3
3e
4,
e
e
4
e
e
e
f
f
，
因为
1
1
e
8
4 e
0
e
e
f
f
，
所以
f x 在1,e
e
上的最小值为
1
1
3e
4
e
e
f
．
5.已知函数
2
3 ex
f
x
x
.
（1）求函数
f x 的单调区间；
（2）求
f x 在
1,2
上的最值.
【答案】（1）函数
f x 递增区间为
, 3
和
1,，递减区间为
3,1
；（2）最大值
2e ，最小值2e
．
【解析】（1）函数
2
3 ex
f
x
x
，
2
2
3 e
3
1 e
x
x
x
f
x
x
x
x
．
当
3
x 或
1
x 时，
( )
0
f
x
¢
>
；当
3
1,
0
x
f
x
，
故函数
f x 递增区间为
, 3
和
1,，递减区间为
3,1
.
（2）由（1）可得函数
f x 在
1,1
上单调递减，在
1,2 上单调递增，
且
1
2
1
2e
e
f
，
2
2
e
f
，
则
f x 在
1,2
上的最大值
2
max
2
e
f x
f
，最小值
min
1
2e
f x
f
．
6.函数
e
1
x
f x
x
在区间
1,1
上的最大值是
.
【答案】e
【详解】因为
e
1
x
f x
x
，所以
e
1
x
f
x
，
令
0
f
x
，得1
0
x
；令
( )
0
f
x
¢
>
，得0
1
x
；
故函数
f
x 在
1,0
上单调递减，在
0,1 上单调递增，
所以
max
1
max
1 ,
1
max
2,e
e
e
f x
f
f
．
故答案为：e.
7.函数
( )
2
sin
f x
x
x
在区间
0,π 上的（
）
A．最小值为0，最大值为π+1
B．最小值为0，最大值为2π
C．最小值为π+1，最大值为2π
D．最小值为0，最大值为2
【答案】B
【解析】
( )
2
cos
0
f
x
x
，所以
f x 在区间
0,π 上单调递增，
因此
( )
f x 的最小值为
(0)
0
f
，最大值为
π
2π
f
.故选：B
8.设函数( )
2
1
1 ln
2
f
x
x
x
=
+ -
.
（1）求
( )
f x 的单调区间;
（2）求函数
( )
( )
2
g x
f x
x
在区间1 ,3
2
上的最大值和最小值.
【答案】（1）单调递增区间为
1,，递减区间为
0,1
（2）最大值
1
ln 2
8
+
，最小值
(
)
1
2
ln 1
2
2 -
-
+
【解析】（1）由题意可得
2
1
1
x
f
x
x
x
x
，定义域
0
x
，
令
( )
0
f
x
¢
>
，即
2
1
0
x
，所以
1
x ；
故
( )
f x 的单调递增区间为
1,，递减区间为
0,1 .
（2）因为
2
1
1 ln
2
2
( )
( )
2
x
x
x
g x
f x
x
-
-
+
=
-
=
，
故
2
1
2
1
2
1
2
1
2
x
x
x
x
g
x
x
x
x
x
，定义域
0
x
，
令
0
g
x
，即
1
2
1
2
0
1
2
x
x
x
，
故
g x 在
0,1
2
单调递减，在
1
2,
上单调递增，
故最小值为(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
1
1
1
2
1
2
1 ln 1
2
2 1
2
2
ln 1
2
2
2
g
+
=
+
+ -
+
-
+
=
-
-
+
，
又因为
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1 ln
2
ln
ln 2
2
2
2
2
2
8
2
8
g
，
2
1
1
3
3
1 ln3
2 3
ln3
2
2
g
，
故最大值为
1
1
ln 2
2
8
g
9.已知函数
3
2
3
2
1
2
2
a
f
x
x
x
ax
．
（1）当
2
a 时，求
f x 极值：
（2）当
0,2
a
时，求函数
f x 在
2 ,a a
上的最大值．
【答案】（1）
f x 的极大值为16
3 ，极小值为
16
3
；（2）
3
2
max
5
3
6
f
x
a
a
【解析】（1）当
2
a 时，
3
1
4
3
f x
x
x
，
2
4
2
2
f
x
x
x
x
，
当<
2
x
或
2
x
时，
( )
0
f
x
¢
>
，
f x 单调递增，
当2
2
x
时，
0
f
x
，
f x 单调递减，
故
f x 在
2
x 处取得极大值
3
8
2
3
16
8
f
，
在
2
x
处取得极小值
16
8
3
8
2
3
f
，
综上，
f x 的极大值为16
3 ，极小值为
16
3
；
（2）
3
2
2
1
2
3
2
a
f x
x
x
ax
，
2 ,
x
a a
，
故
2
2
2
2
f
x
x
a
x
a
x
x
a
，
2 ,
x
a a
，
令
0
f
x
得x
a
或2
，
因为
0,2
a
，当2
2
a
，即0
1
a
时，
f x 在
2 ,a
a
上单调递减，在
,a a
上单调递增，
所以
max
max
2
,
f x
f
a
f a
，
因为
3
3
2
2
3
8
2
2
2
4
4
0
3
3
f
a
a
a
a
a
a
，
3
3
2
2
3
2
1
5
2
3
0
3
2
6
a
f a
a
a
a
a
a
，
所以
2
f
a
f a
，所以
3
2
max
5
3
6
f
x
a
a
；
当2
2
a
，即1
2
a
时，
f x 在
2 , 2
a
上单调递增，
在
2, a
上单调递减，在
,a a
上单调递增，
所以
max
max
2 ,
f x
f
f a
，
因为
8
4
2
2
2
4
4
2
3
3
3
f
a
a
a
，
3
3
2
2
3
2
1
5
23
2
3
3
2
6
6
a
f a
a
a
a
a
a
，
所以
3
2
max
5
3
6
f
x
a
a
；
综上：
3
2
max
5
3
6
f
x
a
a
10.已知函数
2
2ln
f x
x
ax
b
在
1
x 处取得极值1.
(1)求a 、b 的值；
(2)求
f
x 在
1
e ,e
上的最大值和最小值.
【答案】(1)
1
a ，
2
b
(2)最大值为1，最小值为
2
4
e
【详解】（1）因为
2
2ln
f x
x
ax
b
，该函数的定义域为
0,
，
则
2
2
f
x
ax
x
，
因为函数
2
2ln
f x
x
ax
b
在
1
x 处取得极值1，
则
1
2
2
0
(1)
1
f
a
f
b
a
，解得
1
a ，
2
b
，则
2
2ln
2
f
x
x
x
，
所以，
2
2 1
2
2
x
f
x
x
x
x
，令
0
f
x
，可得
1
x ，列表如下：
x
0,1
1
1,
( )
f
x
+
0
f
x
增
极大值
减
所以，函数
f
x 在
1
x 取得极大值，合乎题意，故
1
a ，
2
b
.
（2）由（1）可知，函数
f
x 在1,1
e
上单调递增，在[1,e]上单调递减，
所以，
max
1
2ln1 1 2
1
f x
f
，
又因为
2
2
1
1
1
1
2ln
2
e
e
e
e
f
，
2
2
e
2lne
e
2
4
e
f
，
因为
2
2
2
2
2
2
2
2
e
2
5
e
2
5
e
2
5
1
4
e
0
e
e
e
，
所以
2
2
1
4
e
e
，故
2
min
e
4
e
f x
f
.
题型五：求函数的最值（含参）
1.设函数
( )
e x
f x
ax
(1)当
1
a 时，求函数
( )
f x 在
0
x
处的切线方程；
(2)当
2
a
时，求证：
( )
0
f x
(3)当
1
a 时，求函数
( )
f x 在[0,1] 上的最小值
【答案】(1)
1
y
(2)证明过程见解析
(3)答案见解析
【详解】（1）当
1
a 时，
e
( )
x
x
f x
，
0
(0)
e
0
1
f
，
又
( )
e
1
x
f
x
，故
0
(0)
e
1
0
f
，
所以函数
( )
f x 在
0
x
处的切线方程为
1
y ；
（2）当
2
a
时，
( )
e
2
x
f x
x
，
( )
e
2
x
f
x
，
当
ln 2
x
时，
( )
0
f
x
，当
ln 2
x
时，
( )
0
f
x
，
故
( )
e
2
x
f x
x
在
,ln 2
上单调递减，在
ln 2, 上单调递增，
故
( )
e
2
x
f x
x
在
ln 2
x
上取得极小值，也是最小值，
且
ln2
(
)
e
2ln 2
2 1 ln 2
0
ln 2
f
，
故
( )
0
f x
在R 上恒成立.
（3）
( )
e x
f x
ax
，
( )
e
x
f
x
a ，
1
a ，
令
( )
e
0
x
f
x
a
，解得
ln
x
a
，令
( )
e
0
x
f
x
a
，解得
ln
x
a
，
当1
e
a
时，
ln
0,1
a
，故
f
x 在
0,ln a 上单调递减，在
ln ,1
a
上单调递增，
此时
f
x 在
ln
x
a
上取得极小值，也是最小值，
故
( )
f x 在[0,1] 上的最小值为
ln
ln
f
a
a
a
a
，
当
e
a
时，ln
1
a ，故
f
x 在[0,1] 上单调递减，
此时
( )
f x 在[0,1] 上的最小值为
1
e
f
a
综上：当1
e
a
时，
( )
f x 在[0,1] 上的最小值为
ln
a
a
a
，
当
e
a
时，
( )
f x 在[0,1] 上的最小值为e
a
.
2.已知函数
3
2
f
x
x
ax
，求函数
f
x 在区间
0,2 上的最大值．
【详解】由题意可得：
3
2
f
x
x
ax
，则
2
3
2
3
2
f
x
x
ax
x
x
a
，
∵
0,2
x
，则有：
当
0
a
时，则
0
f
x
当
0,2
x
时恒成立，
则函数
f
x 在区间
0,2 上单调递增，则
2
8
4
f x
f
a
；
当
3
a
时，则
0
f
x
当
0,2
x
时恒成立，
则函数
f
x 在区间
0,2 上单调递减，则
0
0
f x
f
；
当0 <
< 3
a
时，则
2
0
2
3
a
，
令
0
f
x
，解得
2
0
3
a
x
，令
( )
0
f
x
¢
>
，解得2
2
3
a
x
，
故函数
f
x 在区间
2
0, 3
a
上单调递减，在2 ,2
3
a
上单调递增，且
0
0,
2
8
4
f
f
a
，
①当0
8
4a
，即0
2
a
时，则
f
x 在区间
0,2 上的最大值为
2
8
4
f
a
；
②当0
8
4a
，即
2
a
时，则
f
x 在区间
0,2 上的最大值为
0
2
0
f
f
；
③当0
8
4a
，即2
3
a
时，则
f
x 在区间
0,2 上的最大值为
0
0
f
；
综上所述：当
2
a
时，则
f
x 在区间
0,2 上的最大值为
2
8
4
f
a
；
当
2
a
时，则
f
x 在区间
0,2 上的最大值为
0
2
0
f
f
；
当
2
a
时，则
f
x 在区间
0,2 上的最大值为
0
0
f
.
3.已知函数
( )
ln
2
f x
x
x
x
，求：
(1)求函数
( )
f x 的单调区间；
(2)求函数
( )
f x 在[1, ]
a 的最小值.
【答案】(1)单调递减区间为(0,e)，单调递增区间为(e,
)
；
(2)答案见解析.
【详解】（1）由题设，
( )
ln
1,
0
f
x
x
x
，
令
( )
0
f
x
，解得
e
x；
令
( )
0
f
x
，解得0
e
x
.
( )
f x
的单调递减区间为(0,e) ，单调递增区间为(e,
)
.
（2）由（1）知，当1
e
a
时
( )
f x 在[1, ]
a 上单调递减，
min
( )
( )
ln
2
f x
f a
a
a
a
，
当
e
a 时，
( )
f x 在[1,e) 上单调递减，在[e, ]
a 上单调递增，
min
( )
(e)
eln e
2e
e
f x
f
.
4.已知函数
3
2
2
3
1
f x
x
ax
a
R ．
(1)讨论
f
x 的单调性；
(2)当a<0 时，求
f
x 在区间
0,2 上的最小值．
【答案】(1)当
0
a
时，
f
x 在R 上单调递增；当
0
a
时，
f
x 在
, a
，
0,
上单调递增，在
,0
a
上单调递减；当a<0 时，
f
x 在
,0
，
,a
上单调递增，在
0, a
上单调递减．
(2)①当2
0
a
时，
f
x 在
0,2 上的最小值为
3
1
f
a
a
；当
2
a 时，
f
x 在
0,2 上的最小值
为
2
17 12
f
a
．
【详解】（1）因为
3
2
2
3
1
f x
x
ax
，所以
2
6
6
6
f
x
x
ax
x x
a
．
①当
0
a
时，
2
6
0
f
x
x
，则
f
x 在R 上单调递增；
②当
0
a
时，令
6
0
x
f
x
x
a
，解得
0
x
或x
a
，
则
f
x 在
, a
，
0,
上单调递增，在
,0
a
上单调递减；
③当a<0 时，令
6
0
x
f
x
x
a
，解得
0
x
或x
a
，
则
f
x 在
,0
，
,a
上单调递增，在
0, a
上单调递减．
（2）由（1）知，当
0
f
x
时，
0
x
或x
a
．
①当0
2
a
，即2
0
a
时，
f
x 在
0, a
上单调递减，在
,2
a
上单调递增，
此时
f
x 在
0,2 上的最小值为
3
1
f
a
a
；
②当
2
a
，即
2
a 时，
f
x 在
0,2 上单调递减，
此时
f
x 在
0,2 上的最小值为
2
17 12
f
a
．
题型六：根据函数的最值求参数
1.函数
3
( )
3
f x
x
x
a
，
[ 2,0]
x
的最小值为1，则实数a 的值为（
）
A．1
B．4
C．3
D．1
【答案】C
【解析】
2
( )
3
3
f
x
x
，
[ 2,0]
x
，
令
( )
0
f
x
，解得
2, 1
x
，令
( )
0
f
x
，解得
1,0
x
，
故
3
( )
3
f x
x
x
a
在
2, 1
x
上单调递增，在
1,0
x
上单调递减，
又
( 2)
8
6
2
f
a
a
，
(0)
f
a
，
2
a
a
，
所以
3
( )
3
f x
x
x
a
的最小值为
2
a
，令
2
1
a
，解得
3
a
.故选：C
2.函数
3
3
,
0,2
f x
x
x
a x
的最大值为1，则实数a 的值为（
）
A．1
B．4
C．3
D．1
【答案】D
【解析】
( )
2
3
3
f
x
x
¢
=
-
，
0
1
2
0
0
1
,
f
x
x
f
x
x
.
则
f x 在
0,1 上单调递减，在
1,2 上单调递增，则
max
max
0 ,
2
f x
f
f
2
2
1
1
max
,
a
a
a
a
.故选：D
3.已知函数
( )
ln
(
R)
f x
a
x
x a
在区间(e,
)
内有最值，则实数a 的取值范围是（
）
A．(e,
)
B．e ,
2
C．(
,e]
D．(
, e)
【答案】A
【解析】
1
a
a
x
f
x
x
x
，其中
e
x，
当
e
a
时，
( )
0
f
x
，故
( )
f x 在(e,
)
上单调递减，此时
( )
f x 在(e,
)
内无最值，
当
e
a 时，若
e,
x
a
，则
( )
0
f
x
，若
,
x
a
，则
( )
0
f
x
，
故
( )
f x 在
e,a 上为增函数，在
,a 上为减函数，故
( )
f x 在x
a
处取最大值，
综上所述，实数a 的取值范围是(e,
)
.故选：A.
4.已知函数
3
2
( )
6
9
f x
x
x
x
．
(1)求函数
( )
f x 的单调区间；
(2)若
( )
f x 在区间[1,
]
m 上的最小值为0 ，求m 的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间为(
,1)
，(3,
)
，单调递减区间为(1,3)
(2)
3
m
【详解】（1）由题可知
2
3
12
9
f
x
x
x
，
令
0
f
x
，即
2
3
12
9
0
x
x
，解得
1
x 或
3
x
，
当x 变化时，
f
x
，
( )
f x 的变化情况如下表：
x
(
,1)
1
(1,3)
3
(3,
)
'( )
f
x
0
0
( )
f x
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
所以
( )
f x 的单调递增区间为(
,1)
，(3,
)
，单调递减区间为(1,3).
（2）因为
( )
f x 在区间(1,3)上单调递减，在区间(3,
)
上单调递增，
又有
(1)
4
f
，
(3)
0
f
，要使
( )
f x 在区间[0,
]
m 上的最小值为0 ，则
3
m
.
5.已知函数
3
f x
x
ax
b
，且满足
f
x 的导数
y
f
x
的最小值为
3
4
.
(1)求a 值；
(2)若函数
y
f x
在区间
1,2
上的最大值与最小值的和为7，求b 值.
【答案】(1)
3
4
a
(2)
3
8
b
【详解】（1）∵
2
3
f
x
x
a
，则
f
x
的最小值为
0
f
a
，
由题意可得：
3
4
a
.
（2）由（1）可得：
3
3
,
4
1,2
f x
x
x
b x
，则
2
3
3
,
1,2
4
f
x
x
x
，
令
( )
0
f
x
¢
>
，解得1
2
2
x
或
1
1
2
x
；令
0
f
x
，解得
1
1
2
2
x
；
则
f
x 在
1
1
1,
,
,2
2
2
单调递增，在
1 1
,
2 2
上单调递增，
且
3
1
1
3
1
1
2
2
4
2
4
f
b
b
，
3
1
1
3
1
1
2
2
4
2
4
f
b
b
，
3
1
1
1
1
4
4
f
b
b
，
3
3
13
2
2
2
4
2
f
b
b
，
且
1
1
13
4
4
2
b
b
b
，
所以函数
y
f x
在区间
1,2
上的最大值
max
13
2
f
x
b
，最小值
min
1
4
f
x
b
，
又∵函数
y
f x
在区间
1,2
上的最大值与最小值的和为7，
则13
1
25
2
7
2
4
4
b
b
b
，解得
3
8
b
.
6.已知函数
ln
a
f
x
x
x
，a R ．
(1)当
2
a
时，求曲线
y
f x
在点
1,
1
f
处的切线方程；
(2)若函数
f
x 在
1,e 上的最小值是3
2 ，求a 的值．
【答案】(1)
3
0
x
y
(2)
e
a
【详解】（1）当
2
a
时，
2
ln
f
x
x
x
，
1
2
f
，
所以切点为
1,2 ，
2
1
2
f
x
x
x
，则
1
1 2
1
f
，
所以切线方程为
2
(
1)
y
x
，即
3
0
x
y
.
（2）
2
2
1
a
x
a
f
x
x
x
x
，
0
x
，
若
1
a ，则
0
f
x
在
1,e 上恒成立，
所以
f
x 在
1,e 上单调递增，
所以
min
3
(1)
2
f
x
f
a
，不满足题意；
若1
e
a
，令
0
f
x
，解得1
x
a
≤
，令
( )
0
f
x
¢
>
，解得
e
a
x
，
所以函数
f
x 在
1,a 单调递减，
,e
a
单调递增，
所以
min
3
( )
ln
1
2
f
x
f a
a
，解得
e
a
，满足题意；
若
e
a
，则
0
f
x
在
1,e 上恒成立，
所以
f
x 在
1,e 上单调递减，
所以
min
3
(e)
1
e
2
a
f
x
f
，解得
e
2
a
，不满足题意，
综上，
e
a
.
7.若函数
2e x
f x
x
在区间1 ,
4 a
上的最小值为2e，则a 的取值范围是（
）
A．1
1
4
2
a
B．
1
2
a
C．1
1
2
a
≤
≤
D．
1
a
【答案】B
【解析】
2
2
(2 -1)e x
x
f
x
x
，令
0
f
x
，得
1
2
x
，
1 1
[
,
)
4 2
x
时，
0
f
x
，
f x 单调递减，
1
( ,
)
2
x
时，
( )
0
f
x
¢
>
，
f x 单调递增，
而
1
2e
2
f
，所以函数
2e x
f x
x
在区间1 ,
4 a
上的最小值为2e，
必有1
1 ,
2
4 a
，即
1
2
a
.故选：B
8.已知函数
3
1
4
4
3
f x
x
x
．
（1）求曲线
y
f x
在点(3,1)处的切线方程；
（2）若
f x 在区间
,
5
a a
上既有最大值又有最小值，求a 的取值范围．
【答案】（1）5
14
0
x
y
；（2）3
2
a
.
【解析】（1）函数
3
1
( )
4
4
3
f x
x
x
，求导得
2
( )
4
f
x
x
，则
(3)
5
f
，
所以所求切线方程为
1
5(
3)
y
x
，即5
14
0
x
y
.
（2）由（1）知，
( )
(
2)(
2)
f
x
x
x
，
当<
2
x
或
2
x
时，
( )
0
f
x
，当2
2
x
时，
( )
0
f
x
，
则函数
( )
f x 在(
, 2),(2,
)
上单调递增，在( 2,2)
上单调递减，
当
2
x 时，函数
( )
f x 取得极大值
28
( 2)
3
f
，
当
2
x
时，函数
( )
f x 取得极小值
4
2
3
f
，
由
28
( )
3
f x
，即
3
3
1
4
8
4
3
2
x
x
，得
3
12
16
0
x
x
，
即
2
(
2) (
4)
0
x
x
，解得
2
x 或
4
x
，
由
4
( )
3
f x
，即
3
3
1
4
4
4
3 x
x
，得
3
12
16
0
x
x
，
即
2
(
2) (
4)
0
x
x
，解得
2
x
或
4
x ，
作出函数
f x 的部分图象，如图，
因为
f x 在区间
,
5
a a
上既有最大值又有最小值，则有
4
2
2
5
4
a
a
，解得3
2
a
，
所以a 的取值范围是3
2
a
.
题型七：函数的极值与最值综合应用
1.已知函数
( )
ln (
R)
x
a
f x
x a
x
.
（1）讨论
( )
f x 的极值；
（2）求
( )
f x 在1 ,e
e
上的最大值( )
g a .
【答案】（1）答案见解析；（2）
,
e
e
1
ln ,
e
e
1
2
e ,
e
a a
g a
a
a
a a
【解析】（1）定义域(0,
)
，
2
( )x
x
a
x
f
①
0
a
时，
( )
0
f
x
成立，所以
( )
f x 在(0,
)
上递减，所以
( )
f x 无极值；
②
0
a
时，当x
a
时，
( )
0
f
x
，当0
x
a
时，
( )
0
f
x
，
所以
( )
f x 在(0, )
a 上单调递增，( ,
)
a 单调递减，
所以
( )
f x 的极大值为
( )
ln
f a
a
，无极小值；
（2）
1
e
a
时，
( )
f x 在1,e
e
单调递减，所以
max
1
( )
2
e
e
f x
f
a
；
1
e
e
a
时，
( )
f x 在1,
e a
上单调递增，[ ,e]
a
单调递减，
所以
max
( )
( )
ln
f x
f a
a
；
e
a
时，
( )
f x 在1,e
e
单增，所以
max
( )
(e)
e
a
f x
f
；
综上：
,
e
e
1
( )
ln ,
e
e
1
2
e ,
e
a a
g a
a
a
a a
.
2.已知函数
2
1
2
2ln
2
f
x
ax
a x
x
，
（1）当
0
a
，求曲线
y
f x
在
1,
1
f
处的切线方程；
（2）若a<0，证明：
6
4
f x
a
．
【答案】（1）4
2
0
x
y
；（2）证明见解析
【解析】（1）当
0
a
时，
2
2ln
f x
x
x
，
2
2
f
x
x
，
1
2
f
，
1
4
f
，
曲线
y
f x
在
1,
1
f
处的切线方程为
2
4
1
y
x
，即4
2
0
x
y
．
（2）因为
2
1
ax
x
f
x
x
，
当a<0时，由
( )
0
f
x
¢
>
，解得
2
0
x
a
，由
0
f
x
，解得
2
x
a
，
所以
f x 在
2
0,
a
上单调递增，在
2 ,
a
上单调递减，
max
2
2
2
2ln
2
f x
f
a
a
a
，
要证
6
4
f x
a
，即证
2
2
6
2ln
2
4
a
a
a
，即
2
2
ln
1
0
a
a
，
令函数
ln
1
h x
x
x
，
1
x
h
x
x
，
当0
1
x
时，
0
h x
，当
1
x 时，
0
h x
，
所以
h x 在
0,1 上单调递增，在
1,上单调递减，
1
0
h x
h
，所以ln
1
0
x
x
，即
2
2
ln
1
0
a
a
得证，
故
6
4
f x
a
得证．
3.已知有数
2
ln
1
f x
ax
x
．
（1）若
1
2
a
，判断
f x 的单调性；
（2）若
f x 在
1,e 上有零点，求实数a 的取值范围．
【答案】（1）
f x 在
0,1 上单调递减，在
1,上单调递增；（2）
2
2 ,1
e
【解析】（1）
2
ln
1
f x
ax
x
定义域为
0,
，
当
1
2
a
时，
2
1
ln
1
2
f
x
x
x
，
2
1
1
0
x
f
x
x
x
x
x
，
0,1
x
时
0
f
x
，
f x 单调递减，
1,
x
时，
( )
0
f
x
¢
>
，
f x 单调递增，
所以
f x 在
0,1 上单调递减，在
1,上单调递增．
（2）由
0
f
x
得
2
ln
1
x
a
x
，
设
2
ln
1
x
g x
x
，
1,e
x
，则
3
2ln
1
0
x
g
x
x
，
g x 在
1,e 上单调递减，所以
2
2
1
e
g x
，所以
2
2
1
e
a
，
所以实数a 的取值范围是
2
2 ,1
e
．
4.设a 为实数，函数
3
2
3
f x
x
x
a
，
ln
g x
x
x
.
（1）求
f x 的极值；
（2）对于
1
1,3
x
，
2
1,e
e
x
，都有
1
2
f x
g x
，试求实数a 的取值范围.
【答案】（1）极大值a ，极小值
4
a
；（2）
e
4
a
【解析】（1）函数
3
2
3
f x
x
x
a
的定义域为R ，
2
3
6
3
2
f
x
x
x
x x
，
令
0
f
x
，可得
0
x
或2 ，列表如下：
x
,0
0
0,2
2
2,
f
x
0
0
f x
增
极大值
减
极小值
增
故函数
f x 的极大值为
0
f
a
，极小值为
2
4
f
a
.
（2）对于
1
1,3
x
，
2
1,e
e
x
，都有
1
2
f x
g x
，则
1
2
min
max
f
x
g x
.
由（1）可知，函数
f x 在
1,2 上单调递减，在
2,3 上单调递增，
故当
1,3
x
时，
min
2
4
f x
f
a
，
因为
ln
g x
x
x
，且
1,e
e
x
，则
1 ln
0
g
x
x
且
g
x
不恒为零，
故函数
g x 在1,e
e
上单调递增，故
max
e
e
g x
g
，
由题意可得
4
e
a
，故
e
4
a
5.已知函数
ex
f x
kx
，xR ，k 为常数，e 是自然对数的底数．
（1）当
e
k
时，求
f x 的极值；
（2）若
0
k
，且对于任意
0
x
，
0
f x
恒成立，试确定实数k 的取值范围．
【答案】（1）极小值为0，无极大值；（2）0
e
k
【解析】（1）当
e
k
时，
e
e
x
f x
x
，∴
e
e
x
f
x
，
由
( )
0
f
x
¢
>
得
1
x ，故
f x 的单调递增区间为
1,；由
0
f
x
得
1
x ，
故
f x 的单调递减区间为
,1
；
所以函数有极小值为
1
e
e
0
f
，无极大值．
（2）当
0
x
时，不等式化简为
ex
k
x
，令
ex
g x
x
，则
2
e
1
( )
x x
g x
x
；
令
( )
0
g x
得
1
x ，
∴
g x 在
0,1 上单调递减，在
1,上单调递增；
因为
min
1
e
g x
g
，所以
e
k ，
又
0
k
，所以0
e
k
．
6.已知函数
( )
ln
2(
0)
f x
x
ax
a
，若
( )
f x 的最大值为2.
（1）求a 的值；
（2）若
( )
f x
bx
在[1,
)
上恒成立，求b 的取值范围.
【答案】（1）
1
e
；（2）
1
2
,
e
【解析】（1）易知函数
( )
f x 的定义域为
0,
，
根据题意可得
1
1
( )
ax
f
x
a
x
x
，令
( )
0
f
x
，得
1
x
a
，
当
1
0,
x
a
时，
( )
0
f
x
，即
( )
f x 在
1
0,
a
上单调递增，
当
1 ,
x
a
时，
( )
0
f
x
，即
( )
f x 在
1 ,
a
上单调递减；
所以
max
1
1
( )
ln
1
2
f x
f
a
a
，解得
1
a
e
（2）由（1）知
( )
ln
2
e
x
f x
x
，
因为
1
x ，所以ln
2
e
x
x
bx
可化为
ln
1
2
e
x
b
x
x
，
设
ln
1
2
( )
e
x
g x
x
x
，
所以
2
2
2
1
ln
2
ln
1
( )
x
x
g x
x
x
x
，则
( )
0
g x
在[1,
)
上恒成立，
即可得( )
g x 在[1,
)
上单调递减，
max
1
( )
(1)
2
e
b
g x
g
，
因此b 的取值范围是
1
2
,
e
7.已知函数
2
( )
2ln
f x
x
x
kx
．
（1）讨论
( )
f x 的单调性；
（2）若对于任意正实数x，不等式
2
( )
(ln
1)
f x
x
x
恒成立，求实数k 的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）
2
e
,
e
【解析】（1）定义域为(0,
)
，
2
2
2
2
2
x
kx
f
x
x
k
x
x
，
令
2
2
2
h x
x
kx
，
①当
0
k
时，( )
0
h x
恒成立，
( )
0
f
x
，
( )
f x 是增函数；
②
0
k
时，
2
16
k
，
当
0
，即
4
k
时，由( )
0
h x
得
2
1
16
4
k
k
x
，
2
2
16
4
k
k
x
，
由
1
( )
0
0
f
x
x
x
或
2
x
x
，
1
2
( )
0
f
x
x
x
x
，
故
( )
f x 的单调递减区间为
1
2
[
,
]
x x
，单调递增区间为
1
(0,
)
x ，
2
(
,
)
x ，
当
0
，即0
4
k
时，
( )
0
f
x
恒成立，
( )
f x 是增函数，
综上可知：
4
k
时，
( )
f x 是增函数，
4
k
时，
( )
f x 的单调递减区间为
2
2
16
16
,
4
4
k
k
k
k
，
单调递增区间为
2
16
0,
4
k
k
，
2
16 ,
4
k
k
（2）不等式
2
( )
(ln
1)
f x
x
x
恒成立，即
2
2
2ln
(ln
1)
x
x
kx
x
x
恒成立，
整理得
2ln
2
ln
0
x
k
x
x
x x
x
恒成立，
令
2ln
2
ln
0
x
g x
x
x
x x
x
，
则
2
2
1 ln
1
g
x
x
x
，易知
(e)
0
g
，
当0
e
x
时，
( )
0
g x
，( )
g x 单调递增，
e
x时，
( )
0
g x
，( )
g x 单调递减，
故
max
2
( )
(e)
e
e
g x
g
，
故
2
e
e
k
即为所求，故k 的取值范围是
2
e
,
e
.
8.已知函数
1 ex
f x
a
ax
，其中
0
a
．
（1）讨论
f x 的单调性；
（2）若
0
x
，
2
1
f x
x
x
，求实数a 的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；（2）
1,0
【解析】（1）函数
1 ex
f x
a
ax
定义域为R，
1 ex
f
x
a
a
，
令
1 ex
g x
f
x
a
a
，则
1 ex
g
x
a
，
当
1
0
a
，即
1
a 时
0
g
x
，
1
f
x
，所以
f x 在定义域R 上单调递增；
当
1
0
a
，即
1
a 时
0
g
x
恒成立，所以
f
x
在定义域上单调递增，
令
0
f
x
，则
1 e
0
x
a
a
，即
1
e
1
1
x
a
，
当
1
1
0
1
a
，即1
0
a
，此时
0
f
x
恒成立，所以
f x 在R 上单调递增，
当
1
0
a
，即
1
a 时，
( )
0
g x
恒成立，所以
f
x
在定义域上单调递减，
令
0
f
x
，则
1 e
0
x
a
a
，即
1
e
1
0
1
x
a
，解得
ln
1
a
x
a
，
所以当
ln
1
a
x
a
时
0
f
x
，当
ln
1
a
x
a
时，
( )
0
f
x
¢
>
，
所以
f x 在ln
,
1
a
a
上单调递减，在
,ln
1
a
a
上单调递增，
综上可得：当
1
a 时
f x 在R 上单调递增；当1
0
a
时
f x 在R 上单调递增；
当
1
a 时
f x 在ln
,
1
a
a
上单调递减，在
,ln
1
a
a
上单调递增．
（2）当
0
x
时
2
1
f x
x
x
，即
2
1 e
1
x
a
ax
x
x
，即
2
e
e
1
x
x
a
x
x
x
，
令
ex
h x
x
，
,0
x
，则
e
1
0
x
h x
，
所以
h x 在
,0
上单调递减，则
0
1
h x
h
，所以e
1
x
x
，
则
2
2
e
1
1 1
e
e
2
x
x
x
x
x
x
x
a
x
x
，
令
2
1 1
e
2
x
x
x
m x
x
，
,0
x
，
则
2
2
2
2
2
2
2
e
e
1
1
e
1
1
e
e
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
m
x
x
x
，
因为e
1
0
x
，所以当
1
x 时，
0
m x
，当1
0
x
时，
0
m x
，
即
m x 在
, 1
上单调递增，在
1,0
上单调递减，
所以
max
1
1
m x
m
，所以
1
a ，即
1,0
a
．
9.已知函数
ln
2
f
x
x
mx
．
（1）求
f x 的极值；
（2）若
f x 在区间
2
1 ,e
e
有2 个零点，求m 的取值范围．
【答案】（1）当
0
m
时，
f x 在
1
x
m
处取极大值1 lnm
；（2）3
e
e
m
【解析】（1）因为
ln
2
f
x
x
mx
，定义域为
0,
，所以
1
f
x
m
x
，
当
0
m
时，由于1
0
x
，则
( )
0
f
x
¢
>
恒成立，
所以
f x 在
0,
上单调递增，
f x 无极值，
当
0
m
时，令
0
f
x
，解得
1
x
m
，
当
1
0
x
m
时，
( )
0
f
x
¢
>
，则
f x 在
1
0, m
上单调递增；
当
1
x
m
时，
0
f
x
，则
f x 在
1 ,
m
上单调递减：
所以当
0
m
时，
f x 在
1
x
m
处取极大值1 lnm
，无极小值；
（2）
ln
2
f
x
x
mx
，
令ln
2
0
x
mx
，得ln
2
x
m
x
，
令
ln
2
x
g x
x
，
f x 在区间
2
1 ,e
e
有2 个零点，
即y
m
与
y
g x
在区间
2
1 ,e
e
有2 个交点，
ln
2
x
g x
x
，
2
1
lnx
g
x
x
，
2
1
ln
0
x
g
x
x
，
1
e
x
当
1
0, e
x
，
0
g
x
，
g x 在
1
0, e
上单增，
当
1,
e
x
，
0
g x
，
g x 在1 ,
e
上单减，
2
1
0
e
g
，
y
g x
的最大值为
1
e
e
g
，
3
e
e
g
，
y
m
与
y
g x
在区间
2
1 ,e
e
有2 个交点，则
3
e
e
m
模块三：综合巩固
1．已知函数
f
x ，其导函数
f
x
的图象如图所示，则（
）
A．
f
x 有2 个极值点
B．
f
x 在
1
x 处取得极小值
C．
f
x 有极大值，没有极小值
D．
f
x 在
,1
上单调递减
【答案】C
【详解】由题意及图得，
f
x 在
,3
上单调递增，在
3,上单调递减，
∴
f
x 有一个极大值，没有极小值，
∴A，B，D 错误，C 正确，
故选：C.
2．设函数
1
ln
0
3
f x
x
x x
，则
y
f x
（
）
A．在区间1 ,1
e
递减
B．在区间
0,3 上递增
C．在点
3
x
处有极大值
D．在区间
3,上递减
【答案】A
【详解】
1
1
3
3
3
x
f
x
x
x
，
令
( )
0
f
x
¢
>
，解得
3
x
，令
0
f
x
，解得0
3
x
，
所以函数
( )
f x 在(0,3)单调递减，(3,
)
单调递增，
所以
y
f x
在区间1 ,1
e
递减，A 正确；
y
f x
在区间
0,3 递减，B 错误；
y
f x
在点
3
x
处有极小值，C 错误；
y
f x
在区间
3,递增，D 错误；
故选:A.
3．若函数
3
2
3
f x
ax
x
b
在
2
x
处取得极值1，则a
b
（
）
A．-4
B．-3
C．-2
D．2
【答案】D
【详解】由题意，xR ，
在
3
2
3
f x
ax
x
b
中，
2
3
6
f
x
ax
x
，
在
2
x
处取得极值1，
∴
3
2
2
2
2
3 2
1
2
3 2
6 2
0
f
a
b
f
a
，解得：
1
3
a
b
，经经验满足题意，
∴
1
3
2
a
b
，
故选：D.
4．已知函数
( )
(ln
1)
(
)
f x
a
x
x a
R 在区间(e,
)
内有最值，则实数a 的取值范围是（
）
A．(e,
)
B．e ,
2
C．(
,e]
D．(
, e)
【答案】A
【详解】
( )
1
a
a
x
f
x
x
x
，其中
e
x
当
e
a
时，
( )
0
f
x
，故
( )
f x 在(e,
)
上单调递减，
此时
( )
f x 在(e,
)
内无最值.
当
e
a 时，若
e,
x
a
，则
( )
0
f
x
，若
,
x
a
，则
( )
0
f
x
，
故
( )
f x 在
e,a 上为增函数，在
,a 上为减函数，
故
( )
f x 在x
a
处取最大值，
故选：A.
5．已知函数
2
1,
2
3,
x
x
a
f x
ax
x
x
a
，若
( )
f x 有且只有1 个极值点，则a 的取值范围是（
）
A．(
,0)
B．(0,1]
C．(0,
)
D．[1,
)
【答案】C
【详解】函数
2
1,
2
3,
x
x
a
f x
ax
x
x
a
有且只有1 个极值点，
当
0
a
时，没有极值点；
当
0
a
时，
1,
2
2,
x
a
f
x
ax
x
a
，取2
2
0
ax
，得到
1
x
a
，
当x
a
时，函数为二次函数，则
1
a
a
，故
0
a
，
综上所述：
0,
a
.
故选：C.
6．若函数
3
2
( )
f x
x
x
a
在[ 1,1]
上的最小值是1，则实数a 的值是（
）
A．1
B．3
C．31
27
D．1
【答案】B
【详解】解：令
2
( )
3
2
(3
2)
0
f
x
x
x
x
x
，
解得
0
x
或
2
3
x
，
当
2
(0,
)
3
x
时，
( )
0
f
x
，
2
( ,1)
( 1,0)
3
x
时，
( )
0
f
x
，
又
2
4
( )
3
27
f
a
，
( 1)
2
f
a
，
显然
4
2
27
a
a
，
所以
2
1
a
，
所以
3
a
，
故选：B
7．已知直线y
ax
b
与曲线
ln e
y
x
相切，则a
b
的最小值为（
）
A．
1
2
B．1
C．
2
D．
3
【答案】B
【详解】由
ln e
y
x
，知定义域为(0,
)
，
设切点为
0
0
0
0
,
,ln e
x
y
x
x
，
( )
e e
f
x
x
x
1
1 ，
k
x
0
1
，
所以
,a
x
x
a
0
0
1
1
，故切点为
e
(
,ln
)
a
a
1
，代入直线方程y
ax
b
，
则
e
ln
,
ln
a
b
b
b
a
a
a
1
1
，
ln
ln
ln(
)
ln
a
b
a
a
x
x
x
x
x
x
1
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
，
令
1
( )
ln
g x
x
x
，
2
2
1
1
1
( )
x
g x
x
x
x
，
令
( )
0
g x
，解得
1
x ，
当0
1
x
时，
( )
0
g x
，( )
g x 单调递减，
当
1
x 时，
( )
0
g x
，( )
g x 单调递增，
则
min
( )
(1)
1
g x
g
，
故a
b
的最小值为1.
故选：B
8．当
2
x
时，函数
3
2
12
f x
x
bx
x
取得极值，则
f
x 在区间
4,4
上的最大值为（
）
A．8
B．12
C．16
D．32
【答案】C
【详解】因为
3
2
12
f x
x
bx
x
，所以
2
( )
3
2
12
f
x
x
bx
，
又
( )
f x 在
2
x
取极值，所以
(2)
12
4
12
0,
0
f
b
b
，
所以
3
( )
12
f x
x
x
，
2
( )
3
12
f
x
x
，
4,4
x
，
令
( )
0
f
x
，得4
2
x
或2
4
x
；令
( )
0
f
x
，得2
2
x
；
所以
( )
f x 在[ 4, 2]
和[2,4] 上单调递增，在[ 2,2]
上单调递减，故
0
b
满足题意，
又
( 2)
8
24
16,
(4)
64
48
16
f
f
，故
max
( )
16
f x
，
故选：C．
9．(多选)已知函数
3
2
1
2
2
3
3
f x
x
x
ax
，若函数
f
x 在
0,2 上有极值，则实数a 可以为（
）
A．0
B．1
C．3
2
D．2
【答案】BC
【详解】由题意知，
2
4
2
f
x
x
x
a
在
0,2 上有变号零点，
又易知
2
4
2
f
x
x
x
a
在
0,2 上单调递减，故
2
4,2
f
x
a
a
，
可得
2
0,
2
4
0,
a
a
解得0
2
a
.
故选：BC.
10．(多选)若函数
e
2
3
x
f x
x
，则（
）
A．函数
f
x 只有极大值没有极小值
B．函数
f
x 只有最大值没有最小值
C．函数
f
x 只有极小值没有极大值
D．函数
f
x 只有最小值没有最大值
【答案】CD
【详解】
e
2
x
f
x
，单调递增，由
0
ln 2
f
x
x
，
则
(
)
( )
( )
(
)
( )
( )
,ln 2 ,
0,
;
ln 2,
,
0,
x
f
x
f
x
x
f
x
f
x
Î -¥
<
Î
+¥
>
.
∴函数
f
x 有唯一极小值，即最小值，没有极大值、最大值.
故选：CD.
11．已知
3
2
3
,
f x
x
ax
bx
a b
R 的两个极值点分别为1
，2，则函数
f
x 在区间
2 2
, 上的最大
值为
．
【答案】13
2 /6.5
【详解】
2
3
2
f
x
x
ax
b
，因为
f
x 的两个极值点分别为1
，2，
所以
1
3
2
0
2
12
4
0
f
a
b
f
a
b
，所以
3
2
6
a
b
，
所以
3
2
3
6
3
2
f
x
x
x
x
，
2
3
3
6
f
x
x
x
，
令
( )
0
f
x
¢
>
，解得：
2
x
或
1
x ；
令
0
f
x
，解得：1
2
x
.
所以
f
x 在
, 1
和
2,上单调递增，在(
)
1,2
-
上单调递减，
所以1
，2 是
f
x 的两个极值点，则
3 ,
6
2
a
b
，
所以函数
f
x 在区间
2, 1
上单调递增，在
1,2
上单调递减，
所以函数
f
x 在区间
2 2
, 上的最大值为
3
13
1
1
6
3
2
2
f
.
故答案为：13
2 .
12．若函数
3
2
( )
2
3
2
f x
x
ax
x
在
1
x 处取得极小值，则函数
( )
f x 的极大值为
．
【答案】
9
8
【详解】
2
( )
6
2
3
f
x
x
ax
，由题意得
(1)
6
2
3
0
f
a
，解得
3
2
a
，
故
3
2
2
3
( )
2
3
2
f x
x
x
x
，
2
( )
6
3
3 2
1
1
3
f
x
x
x
x
x
，
当
1
1
2
x
时，
( )
0
f
x
，
( )
f x 单调递减，
当
1
2
x
或
1
x 时，
( )
0
f
x
，
( )
f x 单调递增，
故
( )
f x 在
1
2
x
处取得极大值，
故极大值为
1
1
3
9
2
2
8
4
2
3
2
2
8
1
f
.
故答案为：
9
8
13．已知函数
3
f x
ax
bx
在
1
x 处有极值2.
(1)求a ，b 的值；
(2)求函数
f
x 在区间
2,3
上的最值.
【答案】(1)
1
a ，
3
b
(2)最小值是18
，最大值是2.
【详解】（1）
3
f x
ax
bx
，
2
3
f
x
ax
b
.
∵函数
3
f x
ax
bx
在
1
x 处取得极值2，
∴
1
2
f
a
b
，
1
3
0
f
a
b
，
解得
1
a ，
3
b
，
∴
3
3
f x
x
x
，
经验证在
1
x 处取得极大值2，
故
1
a ，
3
b
.
（2）
3
1
1
f
x
x
x
，
令
( )
0
f
x
¢
>
，解得1
1
x
，
令
0
f
x
，解得
1
x 或
1
x ，
因此
f
x 在
2, 1
上单调递减，在
1,1
上单调递增，在
1,3 上单调递减，
3
18
1
f
f
，
故函数
f
x 的最小值是18
，
2
2
1
f
f
，故函数
f
x 的最大值是2.
14．设函数
3
2
1
( 1)
( )
2
(1)
3
4
f
f x
x
x
x
f
，
(1)求
( 1)
f ¢ -
、
(1)
f
的值；
(2)求
( )
f x 在[0,2] 上的最值．
【答案】(1)
( 1)
6
f
，
5
(1)
12
f
(2)
max
5
( )
12
f x
，
min
5
( )
12
f x
【详解】（1）因为
3
2
1
( 1)
( )
2
(1)
3
4
f
f x
x
x
x
f
，
所以
2
( 1)
( )
2
2
f
f
x
x
x
，取= 1
x ，则有
( 1)
( 1)
3
2
f
f
，即
( 1)
6
f
；
所以
3
2
1
3
( )
2
(1)
3
2
f x
x
x
x
f
，取
1
x ，则有
5
(1)
(1)
6
f
f
，即
5
(1)
12
f
．
故
( 1)
6
f
，
5
(1)
12
f
．
（2）由（1）知
3
2
1
3
5
( )
2
3
2
12
f x
x
x
x
，
0,2
x
，
则
2
( )
3
2
(
1)(
2)
f
x
x
x
x
x
，
所以x 、
f
x
与
f
x ，
0,2
x
的关系如下表：
x
0
(0,1)
1
(1,2)
2
( )
f
x
0
( )
f x
5
12
单调递增
极大值5
12
单调递减
1
4
故
max
5
( )
(1)
12
f x
f
，
min
5
( )
(0)
12
f x
f
．
15.已知函数
2
ln
,
,
1
x
f
x
a
x
x
a
b a b
a
R
，e是自然对数的底数.
(1)当
e
a ，
4
b
时，求整数k 的值，使得函数
f
x 在区间
,
1
k k
上存在零点；
(2)若
1,1
x
，且
0
b
，求
2
ln
,
,
1
x
f
x
a
x
x
a
b a b
a
R
的最小值和最大值.
【答案】(1)
1, 2
k
(2)
min
1
f x
，
max
1 ln
f x
a
a
.
【详解】（1）解：当
e
a ，
4
b
时，
2
e
4
x
f x
x
x
，
∴
e
2
1
x
f
x
x
，∴
0
0
f
当
0
x
时，e
1
x ，∴
( )
0
f
x
¢
>
，故
f
x 是
0,
上的增函数，
同理
f
x 是
,0
上的减函数，
2
2
e
2
0,
f
1
1
e
4
0,
f
0
3
0
f
，
1
e
4
0
f
，
2
2
e
2
0
f
，
故当
2
x
时，
0
f x
，当<
2
x
时，
0
f x
，
故当
0
x
时，函数
f
x 的零点在
1,2 内，∴
1
k 满足条件.
同理，当
0
x
时，函数
f
x 的零点在
2, 1
内，∴
2
k 满足条件，
综上
1, 2
k
.
（2）由已知
ln
2
ln
2
1 ln
x
x
f
x
a
a
x
a
x
a
a
①当
0
x
时，由
1
a ，可知
1
0,ln
0
x
a
a
，∴
( )
0
f
x
¢
>
；
②当
0
x
时，由
1
a ，可知
1
0,ln
0
x
a
a
，∴
0
f
x
；
③当
0
x
时，
0
f
x
，∴
f
x 在
1,0
上递减，
0,1 上递增，
∴当
1,1
x
时，
min
0
1
f x
f
，
max
max
1 ,
1
f
x
f
f
而
1
1
1
2ln
f
f
a
a
a
，设
1
2ln
0
g t
t
t t
t
，
∵
2
2
1
2
1
1
1
0
g t
t
t
t
（仅当
1
t 时取等号），
∴
g t 在
0,
上单调递增，而1
0
g
，
∴当
1
t 时，
0
g t
，即
1
a 时，
1
2ln
0
a
a
a
，∴
1
1
f
f
即
max
1
1 ln
f
x
f
a
a
.
16.已知函数
2
1
log
1
log e
2
a
a
f
x
x
x
x
，
1
a ．
(1)当
e
a 时，求曲线
y
f x
在
1
x 处的切线方程；
(2)若
1
x 为
f
x 的极小值点，求a 的取值范围．
【答案】(1)
3
2
y
(2)
e,
【详解】（1）当
e
a 时，
2
1
ln
2
2
f
x
x
x
x
，
3
1
2
f
，
1
2
f
x
x
x
，
1
0
f
，
所以切线方程为
3
0
1
2
y
x
，即
3
2
y
．
（2）
f
x 的定义域为
0,
，
2ln
1 ln
1
ln
1
1
1
1 ln
ln
ln
ln
ln
x
a
a x
x a
x
a
f
x
x
x a
a
x a
x a
，
0
x
，
令
0
f
x
，则
1
x 或
1
ln
x
a
．
①当1
e
a
时，1
1
lna ，
令
( )
0
f
x
¢
>
，解得0
1
x
或
1
ln
x
a
，令
0
f
x
，解得
1
1
ln
x
a
，
可知
f
x 在
0,1 单调递增，在
1
1, lna
单调递减，在
1 ,
lna
单调递增，
故
1
x 为
f
x 的极大值点，不符合条件；
②当
e
a
时，
0
f
x
，
f
x 在
0,
单调递增，故无极值点；
③当
e
a
时，1
1
lna ，
令
( )
0
f
x
¢
>
，解得
1
0
ln
x
a
或
1
x ，令
0
f
x
，解得1
1
ln
x
a
，
可知
f
x 在
1
0, lna
单调递增，在
1 ,1
lna
单调递减，在
1,单调递增，
故
1
x 为
f
x 的极小值点，符合条件．
综上，a 的取值范围为
e,．
17.已知
2
ln
f x
x
ax
x
，
R
a
．
(1)若函数
f
x 在1 ,1
2
上是增函数，求实数a 的取值范围；
(2)令
2
g x
x
f x
，
0,e
x
（e 是自然对数的底数）.求当实数a 等于多少时，可以使函数
g x 取得
最小值为3？
【答案】(1)
,2 2
(2)
2e
a
【详解】（1）函数
f
x 在1 ,1
2
上是增函数，∴
1
2
0
f
x
x
a
x
，在1 ,1
2
上恒成立，
即
1
2
a
x
x
，在1 ,1
2
上恒成立，
令
1
1
2
2 2
2 2
h x
x
x
x
x
，当且仅当
2
2
x
时，取等号，
∴
2 2
a
，∴a 的取值范围为
,2 2
．
（2）
2
ln
g x
x
f
x
ax
x
，
0,e
x
．
∴
1
1 0
e
ax
g
x
a
x
x
x
，
①当
0
a
时，
g x 在
0,e 上单调递减，
min
e
e 1
3
g x
g
a
，解得
4
e
a
（舍去）；
②当
0
a
且1
e
a
时，即
1
e
a
，
g x 在
1
0, a
上单调递减，在1 ,e
a
上单调递增，
∴min
1
1 ln
3
g x
g
a
a
，解得
2e
a
，满足条件；
③当
0
a
，且1
e
a
时，即
1
0
e
a
，
g x 在
0,e 上单调递减，
min
e
e 1
3
g x
g
a
，解得
4
e
a
（舍去）；
综上，存在实数
2e
a
，使得当
0,e
x
时，
g x 有最小值3．
