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第3讲 导数与函数的极值与最值
复习要点 1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.能
利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大
值、最小值.3.体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系．
一 函数的极值
1．函数的极小值与极小值点
若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，且f′(a)
＝0，而且在x＝a附近的左侧 f ′( x ) ＜ 0 ，右侧 f ′( x ) ＞ 0 ，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫
做函数的极小值．
2．函数的极大值与极大值点
若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，且f′(b)
＝0，而且在x＝b附近的左侧 f ′( x ) ＞ 0 ，右侧 f ′( x ) ＜ 0 ，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫
做函数的极大值．
3．函数的极值与极值点
极小值点和极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
二 函数的最大(小)值
1．函数f(x)在[a，b]上有最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和
最小值．
2．求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤
(1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值．
(2)将函数y＝f(x)的各极值与 端点处的函数值 f ( a ) ， f ( b ) 比较，其中最大的一个是最大值，
最小的一个是最小值．
常/用/结/论
1． 对于可导函数 f ( x ) ， f ′( x ) ＝ 0 是函数 f ( x ) 在 x ＝ x 处有极值的必要不充分条件．
0 0
若x 是f(x)的极值点，则必有f′(x )＝0，反过来，若f′(x ) ＝0，但x 不一定是极值点.
0 0 0 0
通俗讲：只有y＝f′(x)穿透x轴的零点，才是f(x)的极值点．
2．若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值．
3．若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．
4．若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．
1．判断下列结论是否正确．
(1)函数f(x)在区间(a，b)上不存在最值．()
(2)函数的极小值一定是函数的最小值．()
(3)函数的极小值一定不是函数的最大值．(√)(4)三次函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c最多有两个极值点．(√)
2．(课本习题改编)函数f(x)＝(x2－1)2＋2的极值点是( )
A．1 B．－1
C．1，－1,0 D．0
解析：∵f(x)＝x4－2x2＋3，由f′(x)＝4x3－4x＝4x(x＋1)(x－1)＝0，得x＝0或x＝1或x
＝－1.又当x＜－1时，f′(x)＜0，当－1＜x＜0时，f′(x)＞0，当0＜x＜1时，f′(x)＜0，当x＞
1时，f′(x)＞0，∴x＝0,1，－1都是f(x)的极值点．故选C.
答案：C
3．(2024·甘肃兰州模拟)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则以下命题错
误的是( )
A．－3是函数y＝f(x)的极值点
B．－1是函数y＝f(x)的最小值点
C．y＝f(x)在区间(－3,1)上单调递增
D．y＝f(x)在x＝0处切线的斜率大于零
解析：根据导函数图象可知当x∈(－∞，－3)时，f′(x)＜0，当x∈(－3,1)时，f′(x)≥0，
所以函数y＝f(x)在(－∞，－3)上单调递减，在(－3,1)上单调递增，故C正确；易知－3是
函数y＝f(x)的极小值点，故A正确；因为y＝f(x)在(－3，1)上单调递增，所以－1不是函数
y＝f(x)的最小值点，故B错误；因为函数y＝f(x)在x＝0处的导数大于0，所以切线的斜率
大于零，故D正确．故选B.
答案：B
4．若函数f(x)＝x3－4x＋m在[0,3]上的最大值为4，则m＝________.
解析：f′(x)＝x2－4，x∈[0,3]，当x∈[0,2)时，f′(x)<0，当x∈(2,3]时，f′(x)>0，所以f(x)
在[0,2)上是减函数，在(2,3]上是增函数，又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m，所以在[0,3]上，f(x)
max
＝f(0)＝4，所以m＝4.
答案：4
题型 函数极值问题的多维研讨
维度1 根据函数图象判断极值
典例1(多选)(2024·辽宁锦州模拟)函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f′
(x)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )A． f ( － 2) ＞ f ( － 1)
判断f(x)在[－2，－1]上的单调性．
B．x＝1是f(x)的极小值点
C． 函数 f ( x ) 在 ( － 1,1) 上有极大值
极值点一定是导函数y＝f′(x)穿透x轴的零点．
D．x＝－3是f(x)的极大值点
解析：由y＝f′(x)的图象可知，当x∈(－∞，－3)时，f′(x)＞0，所以函数f(x)单调递增；
当x∈(－3，－1)时，f′(x)＜0，所以函数f(x)单调递减，因此有f(－2)＞f(－1)，x＝－3是
f(x)的极大值点，所以A，D正确；当x∈(－1,1)或x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，所以函数f(x)
单调递增，因此函数f(x)在(－1,1)上没有极大值，且x＝1不是f(x)的极小值点，所以B，C
不正确．故选AD.
由图象判断函数y＝f(x)的极值要抓住的两点
(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点．
(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调
性．两者结合可得极值点．
对点练1设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(x－1)f′(x)的图象如图所
示，则下列结论中正确的是( )
A．函数f(x)有极大值f(－3)和f(3)
B．函数f(x)有极小值f(－3)和f(3)
C．函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(－3)
D．函数f(x)有极小值f(－3)和极大值f(3)
解析：由题图知，当x∈(－∞，－3)时，y＞0，x－1＜0 f′(x)＜0，f(x)单调递减；
当x∈(－3,1)时，y＜0，x－1＜0 f′(x)＞0，f(x)单调递增；
⇒
当x∈(1,3)时，y＞0，x－1＞0 f′(x)＞0，f(x)单调递增；
⇒
当x∈(3，＋∞)时，y＜0，x－1＞0 f′(x)＜0，f(x)单调递减．
⇒
所以函数f(x)有极小值f(－3)和极大值f(3)．
⇒
答案：D维度2 求函数的极值问题
典例2设函数f(x)＝(a＜0)，求函数f(x)的极值．
解：函数f(x)的定义域为R，
f′(x)＝.
令f′(x)＝＝0，
即－ 2 ax 2 ＋ 2( a 2 － 1) x ＋ 2 a ＝ 0 ，
解得 x ＝ a ， x ＝－ .
1 2
f′(x)＝0的两个不等实根，是两个极值点，依据二次函数开口方向，与x轴相交的位置，
判断出是极大值点还是极小值点．
又因为a＜0，则x＜x.
1 2
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，a) a －
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 极大值 极小值
所以函数f(x)在x＝a处取得极大值f(a)，且f(a)＝1，在x＝－处取得极小值f，且f＝－
a2.
运用导数求函数f(x)极值的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域．
(2)求导数f′(x)．
(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根．
(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x 左右两侧导数值的符号．
0
(5)求出极值．
对点练2(2024·江西赣州五校协作体联考)已知函数f(x)＝(xex－m)x－2ex(x∈R)，若m＝
0，则f(x)的极大值点为________．
解析：当m＝0时，f(x)＝(x2－2)ex，f′(x)＝(x2＋2x－2)ex，令f′(x)＝0，解得x＝－1－，
1
x＝－1＋，所以f(x)在(－∞，－1－)和(－1＋，＋∞)上单调递增，在(－1－，－1＋)上单调
2
递减，所以f(x)的极大值点为－1－.
答案：－1－
维度3 已知极值(点)求参数
典例3(1)(2024·黑龙江大庆模拟)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2 在 x ＝ 1 处有
极小值 10 ，则a＋b＝( )
条件中的一句话蕴含着两个方程
A．－7 B．0
C．－7或0 D．－15或6(2)(2024·安徽芜湖模拟)函数 f ( x ) ＝ ln x ＋ x 2 － ax ( x ＞ 0) 有极值 ，则实数a
有极值⇔y＝f′(x)有穿透x轴的零点，而非与x轴相切的零点．
的取值范围是________．
解析：(1)由函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2有f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
函数f(x)在x＝1处有极小值10，
所以即
解得或
当时， f ′( x ) ＝ 3 x 2 ＋ 8 x － 11 ＝ ( x － 1)(3 x ＋ 11) ，求出参数后，仍需回代检验x＝1处是不是
极小值点．
令f′(x)＞0得x＞1或x＜－，
令f′(x)＜0得－＜x＜1，
所以函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
显然满足函数f(x)在x＝1处有极小值10.
当时， f ′( x ) ＝ 3 x 2 － 6 x ＋ 3 ＝ 3( x － 1) 2 ≥0 ，
此时x＝1处显然并不是极值点．
所以函数f(x)在R上单调递增，不满足函数f(x)在x＝1处有极小值10.
所以a＋b＝4－11＝－7.故选A.
(2)∵f(x)＝ln x＋x2－ax(x＞0)，
∴f′(x)＝＋x－a.
∵函数f(x)＝ln x＋x2－ax(x＞0)有极值，
∴ y ＝ f ′( x ) 有变号零点 ．理解此句话的含义．
令f′(x)＝＋x－a＝0，得 a ＝＋ x .
此时要求y＝a和y＝＋x相交，而非相切，即a≠2.
设g(x)＝＋x，
则g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴g(x) ＝g(1)＝2，∴a＞2，即实
min
数a的取值范围是(2，＋∞)．故答案为(2，＋∞)．
已知函数极值点或极值求参数的两个要领
(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)验证：因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系
数法求解后必须验证根的合理性．
对点练3(1)(2024·云南民族大学附中模拟)已知函数f(x)＝x3－mx2＋mx＋9在R上无极
值，则实数m的取值范围为________．
(2)(2024·黑龙江牡丹江高三第一次段考)若函数y＝ax2－ln x在x＝处取得极值，则a＝
________.
解析：(1)函数f(x)＝x3－mx2＋mx＋9在R上无极值⇔f′(x)＝x2－2mx＋m在R上无变号
零点⇔Δ＝4m2－4m≤0 0≤m≤1.
(2)∵y′＝2ax－，∴y′x＝＝a－2.∵函数y＝ax2－ln x在x＝处取得极值，∴a－2＝0，故
⇔
a＝2.经检验符合题意．答案：(1)[0,1] (2)2
题型 函数最值问题的多维研讨
维度1 求函数的最值
典例4(2022·全国乙卷，文)函数f(x)＝cos x＋(x＋1)sin x＋1在区间 [0,2π] 的
最小值、最大值分别为( )
欲解最值，先求极值点．
A．－， B．－，
C．－，＋2 D．－，＋2
解析：因为f(x)＝cos x＋(x＋1)sin x＋1，所 以 f ′( x ) ＝－ sin x ＋ sin x ＋ ( x ＋ 1)cos x ＝ ( x
＋ 1)cos x ，
求导后，因式分解，极值点迅速暴露，x＝和x＝.
因为x∈[0,2π]，所以x＋1>0.当f′(x)>0时，解得x∈∪；当f′(x)<0时，解得x∈.所以
f ( x ) 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增 ．
由单调性可知x＝为极大值点，x＝为极小值点．
又 f (0) ＝ 2 ， f ＝＋ 2 ， f ＝－， f (2π) ＝ 2 ，所以f(x)的最大值为＋2，最小值为－.故选D.
最值点的最终确定，要把极值和端点值作比较．
求函数f(x)在[a，b]上的最值的方法
(1)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增或单调递减，则f(a)与f(b)一个为最大值，一个
为最小值．
(2)若函数f(x)在区间[a，b]上有极值，则先求出函数在[a，b]上的极值，再与f(a)，f(b)
比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．
(3)函数f(x)在区间[a，b]上有唯一一个极值点，这个极值点就是最值点，此结论在导数
的实际应用中经常用到．
对点练4已知函数g(x)＝aln x＋x2－(a＋2)x(a∈R)，求g(x)在区间[1，e]上的最小值
h(a)．
解：g(x)的定义域为(0，＋∞)，
g′(x)＝＋2x－(a＋2)＝＝.
①当≤1，即a≤2时，g(x)在[1，e]上单调递增，h(a)＝g(1)＝－a－1；
②当1＜＜e，即2＜a＜2e时，g(x)在上单调递减，在上单调递增，
h(a)＝g＝aln －a2－a；
③当≥e，即a≥2e时，g(x)在[1，e]上单调递减，
h(a)＝g(e)＝(1－e)a＋e2－2e.
综上，
h(a)＝
维度2 已知最值求参数
典例5(1)(2022·全国甲卷，理) 当 x ＝ 1 时，函数 f ( x ) ＝ a ln x ＋取得最大值－ 2 ，
则f′(2)＝( )条件转化为两个方程
A．－1 B．－ C. D．1
(2)(2024·湖北黄冈模拟)设函数f(x)＝若 f ( x ) ＝ f ( x )( x < x ) ，且 2 x － x 的最小值为 ln 2 ，
1 2 1 2 2 1
则a的值为
条件读到这里，需要构造函数2x－x＝g(t). 这里的参数t＝f(x) ＝f(x)．( )
2 1 1 2
A．－ B．－
C. D．－
解析：(1)由题意，得f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ －＝ . 由于定义域为 (0 ，＋∞ ) ，
而 f(x) ＝f(1)，说明函数y＝f(x)为单峰函数，暗含a＜0.
max
又当x＝1时，f(x)取得最大值－2，
所以即
所以a＝b＝－2，则f′(x)＝，
所以f′(2)＝＝－.故选B.
(2)令f(x)＝f(x)＝t，由图象可得t∈(－∞，－2a]，∵x
