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专题 3.5 导数与函数的极值、最值-重难点题型精讲
1．函数的极值与导数
f′(x)＝0
0
条件 x 附近的左侧f′(x)>0，右侧 x 附近的左侧f′(x)<0，右侧
0 0
f′(x)<0 f′(x)>0
图象
极值 f (x)为极大值 f (x)为极小值
0 0
极值点 x 为极大值点 x 为极小值点
0 0
2．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f (x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f (x)在[a，b]上单调递增，则f (a)为函数的最小值，f (b)为函数的最大值；若函数f (x)在[a，
b]上单调递减，则f (a)为函数的最大值，f (b)为函数的最小值．【题型1 根据函数图象判断极值】
【方法点拨】
由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：
(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数 y＝f(x)的可能极值点；
(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性．两者结合可得极
值点.
【例1】（2022春•杨浦区校级期末）已知函数y＝f（x）（a＜x＜b）的导函数是y＝f'（x）（a＜x＜b），
导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）在（a，b）内有（ ）
A．3个驻点 B．4个极值点
C．1个极小值点 D．1个极大值点
【变式1-1】（2022春•纳雍县期末）已知函数f（x）的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（
）
A．﹣1是f（x）的极小值点
B．曲线y＝f（x）在x＝2处的切线斜率小于零
C．f（x）在区间（﹣∞，3）上单调递减
D．﹣3是f（x）的极小值点
【变式1-2】（2022春•朝阳区校级月考）如图，可导函数y＝f（x）在点P（x ，f（x ））处的切线方程为
0 0
y＝g（x），设h（x）＝g（x）﹣f（x），h'（x）为h（x）的导函数，则下列结论中正确的是（ ）A．h'（x ）＝0，x 是h（x）的极大值点
0 0
B．h'（x ）＝0，x 是h（x）的极小值点
0 0
C．h'（x ）≠0，x 不是h（x）的极大值点
0 0
D．h'（x ）≠0，x 是h（x）的极值点
0 0
【变式1-3】（2022春•南阳期末）函数f（x）的导函数是f'（x），下图所示的是函数y＝（x+1）•f'（x）
（x R）的图像，下列说法正确的是（ ）
∈
A．x＝﹣1是f（x）的零点
B．x＝2是f（x）的极大值点
C．f（x）在区间（﹣2，﹣1）上单调递增
D．f（x）在区间[﹣2，2]上不存在极小值
【题型2 求已知函数的极值（点）】
【方法点拨】
求函数f (x)极值的一般解题步骤：
①确定函数的定义域；
②求导数f′(x)；
③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；
④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x 左右两侧值的符号．
0
1 π
【例2】（2022•扬中市校级开学）已知函数f(x)= x−sinx在[0， ]上的极小值为（ ）
2 2π √3 π 1 π 1 π √3
A． − B． − C． − D． −
12 2 12 2 6 2 6 2
【变式2-1】（2022春•资阳期末）函数f（x）＝x3﹣3x的极大值为（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．1 D．2
【变式2-2】（2022春•平谷区期末）函数f（x）＝x+2cosx在[0， ]上的极小值点为（ ）
π π 5π π 2π
A． B． C． D．
3 6 6 3
【变式 2-3】（2022春•新乡期末）已知函数 f（x）＝（x﹣1）2（2﹣x）3，则 f（x）的极大值点为
（ ）
7
A．1 B． C．﹣1 D．2
5
【题型3 由函数的极值（点）求参数】
【方法点拨】
根据函数极值情况求参数的两个要领：
①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
②验证：求出参数后，验证所求结果是否满足题意．
【例3】（2022春•龙海市校级期末）函数f（x）＝4x3﹣ax2﹣2bx+2在x＝1处有极大值﹣3，则a﹣b的值
等于（ ）
A．0 B．6 C．3 D．2
1
【变式3-1】（2022春•哈尔滨期末）若函数f(x)=6alnx+ x2−(a+6)x有2个极值点，则实数a的取值
2
范围是（ ）
A．（﹣∞，6）∪（6，+∞） B．（0，6）∪（6，+∞）
C．{6} D．（0，+∞）
【变式3-2】（2022春•淄博期末）已知x＝2是函数f（x）＝ax3﹣3x2+a的极小值点，则f（x）的极大值为
（ ）
A．﹣3 B．0 C．1 D．2
【变式3-3】（2022春•赣州期末）已知函数f（x）＝x3+a2x2+（2b2﹣7）x+1（a＞0，b＞0）在x＝1处取得
极值，则a+b的最大值为（ ）
A．1 B．√2 C．2 D．2√2
【题型4 利用导数求函数的最值】【方法点拨】
(1)若函数f (x)在闭区间[a，b]上单调递增或单调递减，f (a)与f (b)一个为最大值，一个为最小值．
(2)若函数f (x)在闭区间[a，b]内有极值，要先求出[a，b]上的极值，与f (a)，f (b)比较，最大的是最大值，
最小的是最小值，可列表完成．
(3)函数f (x)在区间(a，b)上有唯一一个极大(或极小)值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导
数的实际应用中经常用到．
8
【例4】（2022•河南开学）函数f(x)=x2−2x+ 在（0，+∞）上的最小值为（ ）
x
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式4-1】（2022春•中山市校级月考）函数y＝x﹣2sinx在区间[0，2]上的最小值是（ ）
π π π π
A． −√3 B．− −√3 C．− −√3 D． −√3
6 3 6 3
【变式 4-2】（2022春•乐山期末）已知函数 f（x）＝x2﹣lnx，则函数 f（x）在[1，2]上的最小值为
（ ）
√2 1 1 1 1
A．1 B． C． + ln2 D． + ln2
2 8 2 2 2
1 1
【变式4-3】（2022•绿园区校级开学）函数f（x）＝lnx+ − 与g（x）＝xex﹣lnx﹣x的最小值分别为
x 2
a，b，则（ ）
A．a＝b B．a＞b
C．a＜b D．a，b的大小不能确定
【题型5 由函数的最值求参数】
3a
【例5】（2022春•烟台期末）若函数f(x)=x3− x2+4在区间[1，2]上的最小值为0，则实数a的值为
2
（ ）
10
A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．
3
2022
【变式5-1】（2022春•贵阳期末）若函数f(x)=ex+lnx+x√x−1+a在x≤ 上的最小值为e+1，则a
2021
的值为（ ）
2020 2021
A．0 B．1 C． D．
2021 2020
【变式5-2】（2022春•江北区校级期末）若函数f（x）＝x3﹣3x在区间（2a，a+3）上有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
1 1
A．(−2， ) B．（﹣2，1） C．[−1， ) D．（﹣2，﹣1]
2 2
【变式5-3】（2022春•公安县校级月考）已知函数f（x）＝x2eax+1﹣2lnx﹣ax﹣2，若f（x）的最小值为0
对任意x＞0恒成立，则实数a的最小值为（ ）
2 2 1
A．− B．− C．− D．√e
√e e √e
【题型6 极值和最值的综合问题】
【方法点拨】
解决函数极值、最值综合问题的策略：
(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小．
(2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论．
(3)函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值．
3
【例6】（2022春•城厢区校级期末）已知函数f(x)=x3− (k+1)x2+3kx+1，其中k R．
2
∈
（1）当k＝3时，求函数f（x）在（0，3）内的极值点；
（2）若函数f（x）在[1，2]上的最小值为3，求实数k的取值范围．
1
【变式6-1】（2022春•德州期末）已知函数f(x)=x3−3ax+1(a＞ )．
2
（1）若函数f（x）在x＝﹣1处取得极值，求实数a的值；
（2）当x [﹣2，1]时．求函数f（x）的最大值．
∈
t
【变式6-2】（2022春•漳州期末）已知函数f(x)=(x−1)ex− x2−2x，f'（x）为f（x）的导函数，函
2
数g（x）＝f'（x）．
（1）当t＝1时，求函数g（x）的最小值；5
（2）已知f（x）有两个极值点x ，x （x ＜x ）且f(x )+ −1＜0，求实数t的取值范围．
1 2 1 2 1 2e
【变式6-3】（2022春•潞州区校级期末）有三个条件：
①函数f（x）在x＝1处取得极小值2；
②f（x）在x＝﹣1处取得极大值6；
③函数f（x）的极大值为6，极小值为2．
这三个条件中，请任意选择一个填在下面的横线上（只要填写序号），并解答本题．
题目：已知函数f（x）＝x3﹣3ax+b（a＞0），并且 _____．
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x [﹣3，1]时，求函数f（x）的最值．
∈
