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2025二轮复习专项训练7
函数的极值、最值
[考情分析] 应用导数研究函数的极值、最值问题，以及利用极值、最值的应用考查函数
的零点、能成立、恒成立、实际生活中的最值问题等，多在选择题、填空题靠后的位置考
查，难度中等偏上，属综合性问题．
【练前疑难讲解】
一、利用导数研究函数的极值
求可导函数f(x)的极值的步骤
(1)求定义域；(2)求导；(3)令f′(x)＝0；
(4)列表，检查f′(x)在方程根左、右值的符号；
(5)得出结论：如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在
这个根处取得极小值．
注意：只有极大值无极小值时，要指出“无极小值”．
二、利用导数研究函数的最值
求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤
(1)求函数在(a，b)内的极值．
(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)．
(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
三、由极值、最值求参数问题
已知函数极值求参数时需注意的问题
(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验．
一、单选题
1．（2023·陕西·一模）函数 在 上有唯一的极大值，则
（ ）
A． B． C． D．
2．（21-22高三·北京西城·开学考试）如图所示，已知直线 与曲线 相切于两
点，函数 ，则对函数 描述正确的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．有极小值点，没有极大值点 B．有极大值点，没有极小值点
C．至少有两个极小值点和一个极大值点 D．至少有一个极小值点和两个极大值点
3．（2022·全国·高考真题）函数 在区间 的最小值、最大
值分别为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．（24-25高三上·广东·开学考试）设函数 ，则（ ）
A．当 时， 有三个零点
B．当 时， 无极值点
C． ，使 在 上是减函数
D． 图象对称中心的横坐标不变
5．（2022·山东泰安·二模）已知函数 ， ，则下列结论正确的是
（ ）
A．对任意的 ，存在 ，使得
B．若 是 的极值点，则 在 上单调递减
C．函数 的最大值为
D．若 有两个零点，则
三、填空题
学科网（北京）股份有限公司6．（22-23高三下·山东·开学考试）写出曲线 过点 的一条切线方程
．
7．（2024·上海·三模）若函数 在 上存在最小值，则实数a的取值
范围是 ．
四、解答题
8．（2021·北京·高考真题）已知函数 ．
（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 在 处取得极值，求 的单调区间，以及其最大值与最小值．
9．（2022·全国·高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，求 的最大值；
(2)若 恰有一个零点，求a的取值范围．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5
答案 C C D BD BD
1．C
【分析】由题知函数 在 上有唯一极大值，进而得 ，再解不等
式即可得答案.
【详解】解：方法一：当 时， ，
因为函数 在 上有唯一的极大值，
所以函数 在 上有唯一极大值，
学科网（北京）股份有限公司所以， ，解得 .
故选：C
方法二：令 ， ，则 ， ，
所以，函数 在 轴右侧的第一个极大值点为 ，第二个极
大值点为 ，
因为函数 在 上有唯一的极大值，
所以， 解得 .
故选：C
2．C
【分析】由题设 ，令 与 切点横坐标为 且 ，由图
存在 使 ，则 有三个不同零点 ，结合图象判断 的
符号，进而确定 单调性，即可确定答案.
【详解】由题设， ，则 ，
又直线 与曲线 相切于两点且横坐标为 且 ，
所以 的两个零点为 ，由图知：存在 使 ，
综上， 有三个不同零点 ，
由图： 上 ， 上 ， 上 ， 上 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 在 上递减， 上递增， 上递减， 上递增.
故 至少有两个极小值点和一个极大值点.
故选：C.
3．D
【分析】利用导数求得 的单调区间，从而判断出 在区间 上的最小值和最
大值.
【详解】 ，
所以 在区间 和 上 ，即 单调递增；
在区间 上 ，即 单调递减，
又 ， ， ，
所以 在区间 上的最小值为 ，最大值为 .
故选：D
4．BD
【分析】利用导数求出函数的极大值判断A；由 恒成立判断B；由 的解集
能否为R判断C；求出 图象的对称中心判断D.
【详解】对于A，当 时， ，求导得 ，
令 得 或 ，由 ，得 或 ，由 ，
得 ，于是 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
在 处取得极大值 ，因此 最多有一个零点，A错
学科网（北京）股份有限公司误；
对于B， ，当 时， ，即 恒成立，
函数 在R上单调递增， 无极值点，B正确；
对于C，要使 在R上是减函数，则 恒成立，
而不等式 的解集不可能为R，C错误；
对于D，由 ，
得 图象对称中心坐标为 ，D正确.
故选：BD
5．BD
【分析】先求导得 ，分 和 讨论函数的单调性及最值，
依次判断4个选项即可.
【详解】由题意知： ， ，当 时， ， 单增，
无最大值，故C错误；
当 时，在 上， 单增；在 上， 单减；
故 ，当 ，即 时， 无零点，故A错误；
若 是 的极值点，则 ， ，故在 单减，B正确；
若 有两个零点，则 ，且 ，解得 ，
又 时， ， 时， ，此时 有两个零点，D正确.
故选：BD.
学科网（北京）股份有限公司6． 或 （写出其中的一个答案即可）
【分析】首先判断点 在曲线上，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出
切线方程，再说明函数的单调性，即可得到函数的极大值，从而得到曲线的另一条切线方
程.
【详解】解：因为点 在曲线 上，所以曲线 在点 处的切线方
程符合题意．
因为 ，所以 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ．
因为当 或 时， ；当 时， ，
所以函数 在 处取得极大值 ，又极大值恰好等于点 的纵坐标，所以
直线 也符合题意．
故答案为： 或 （写出其中的一个答案即可）
7．
【分析】根据题意，函数 的极小值点在 内，再结合
即可求出实数 的取值范围.
【详解】因为 ，所以 ，
令 得， ，
当 时，f'(x)<0， 单调递减，
当 时，f'(x)>0， 单调递增，
学科网（北京）股份有限公司当 时，f'(x)<0， 单调递减，
所以当 时， 有极小值，
因为函数 在 上存在最小值，
又 ，
所以 ，解得 ，
所以实数a的取值范围是 .
故答案为： .
8．（1） ；（2）函数 的增区间为 、(4,+∞)，单调递减区间为
，最大值为 ，最小值为 .
【分析】（1）求出 、 的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；
（2）由 可求得实数 的值，然后利用导数分析函数 的单调性与极值，由此
可得出结果.
【详解】（1）当 时， ，则 ， ， ，
此时，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ；
（2）因为 ，则 ，
由题意可得 ，解得 ，
学科网（北京）股份有限公司故 ， ，列表如下：
(4,+∞)
增 极大值 减 极小值 增
所以，函数 的增区间为 、(4,+∞)，单调递减区间为 .
当 时， ；当 时， .
所以， ， .
9．(1)
(2)
【分析】（1）由导数确定函数的单调性，即可得解；
（2）求导得 ，按照 、 及 结合导数讨论函数的单调
性，求得函数的极值，即可得解.
【详解】（1）当 时， ，则 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
所以 ；
（2） ，则 ，
当 时， ，所以当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
学科网（北京）股份有限公司所以 ，此时函数无零点，不合题意；
当 时， ，在 上， ， 单调递增；
在 上， ， 单调递减；
又 ，
由（1）得 ，即 ，所以 ，
当 时， ，
则存在 ，使得 ，
所以 仅在 有唯一零点，符合题意；
当 时， ，所以 单调递增，又 ，
所以 有唯一零点，符合题意；
当 时， ，在 上， ， 单调递增；
在 上， ， 单调递减；此时 ，
由（1）得当 时， ， ，所以 ，
此时
存在 ，使得 ，
所以 在 有一个零点，在 无零点，
学科网（北京）股份有限公司所以 有唯一零点，符合题意；
综上，a的取值范围为 .
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点
问题转化为函数的单调性与极值的问题.
【基础保分训练】
一、单选题
1．（21-22高二下·四川雅安·阶段练习）下列函数中，既是奇函数又存在极值的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·上海黄浦·一模）已知 ，且函数 恰有两个极
大值点在 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，过点 可作曲线 的切线
条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知函数 在 处有极值 ，则
等于（ ）
A． B．16 C． 或16 D．16或18
5．（2023·广东汕头·二模）给出定义：设 是函数 的导函数， 是函数
的导函数.若方程 有实数解 ，则称 为函数 的
“拐点”.经研究发现所有的三次函数 都有“拐点”，且该
学科网（北京）股份有限公司“拐点”也是函数 的图象的对称中心.若函数 ，则
（ ）
A．-8088 B． C． D．
6．（2021·四川遂宁·二模）若 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．（2023·安徽·一模）已知函数 ，则（ ）
A． 是奇函数
B． 的单调递增区间为 和
C． 的最大值为
D． 的极值点为
8．（2021·广东潮州·二模）已知函数 的导函数 的图象如图所示，则下列
结论正确的是（ ）
A． B．
学科网（北京）股份有限公司C． 时， 取得最大值 D． 时， 取得最小值
9．（2022·重庆·三模）已知函数 （e为自然对数的底数， ），则
关于函数 ，下列结论正确的是（ ）
A．有2个零点 B．有2个极值点 C．在 单调递增 D．最小值为1
三、填空题
10．（23-24高二上·吉林长春·期末）若函数 存在极值点，则实数a
的取值范围为 ．
11．（2024·安徽·二模）已知函数 ，当 时 的最
大值与最小值的和为 ．
四、解答题
12．（23-24高三上·山东青岛·期中）已知函数 ．
(1)若 是函数 的极值点，求 在 处的切线方程．
(2)若 ，求 在区间 上最大值．
13．（22-23高二下·陕西宝鸡·期末）已知函数 ，若 的最大值
为
(1)求 的值；
(2)若 在 上恒成立，求b的取值范围.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 D B B A B C AB AB BC
1．D
【分析】利用基本初等函数的奇偶性及函数的极值与导数的关系可判断各选项.
【详解】对于A选项，函数 为奇函数，且该函数在 上单调递增，A项不满足条件；
学科网（北京）股份有限公司对于B选项，函数 的定义域为 ，该函数为非奇非偶函数，B选项不满足条
件；
对于C选项，函数 的导数为 ，该函数在 上单调递增，C选项不满
足条件；
对于D选项，令 ，该函数的定义域为 ，
，即函数 为奇函数，
，当 时， ，当 时， ，
所以， 为函数 的极小值点，D选项满足条件.
故选：D.
2．B
【分析】运用整体思想法，求得 的范围，再运用正弦函数图象分析即可.
【详解】∵ ， ，
∴ ，
又∵ 在 恰有2个极大值点，
∴由正弦函数图象可知， ，解得： .
故选：B.
3．B
【分析】求出 的导函数，设切点坐标为 ，写出切线方程，把(2,1)代入，
得到关于 的方程，根据方程解的个数即可得出切线的条数．
【详解】解法一 由 ，得 ．设切点坐标为 ，
学科网（北京）股份有限公司则切线方程为 ，
把(2,1)代入可得 ，即 ，
因为 ，所以该方程有2个不同的实数解，故切线有2条．
解法二 由 ，得 ，令 ，得 ．
当 时，f'(x)<0，当 时，f'(x)>0，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 的极小值为 ，且 ，则点 在曲线y=f (x)的下方，
数形结合可知，过点 可作曲线y=f (x)的2条切线．
故选：B
4．A
【分析】求导，即可由 且 求解 ，进而代入验证是否满足极值点即可.
【详解】 ，
若函数 在 处有极值8，
则 且 ，即 ，
解得： 或 ，
当 时， ，此时 不是极值点，故舍去，
学科网（北京）股份有限公司当 时， ，
当 或 时， ，当 ，故 是极值点，
故 符合题意，
故 ，
故 ，
故选：A
5．B
【分析】通过二次求导可得 ，求出 的图像的对称中心为 ，得
到 ，据此规律求和即可.
【详解】由 ，可得 ，
令 ，可得 ，又 ，
所以 的图像的对称中心为 ，
即 ，
所以
，
故选：B.
6．C
【分析】将原不等式化为 ，构造函数 ，由单调性
的性质可知 ，即 ，构造函数 ，利用导数得出 的最小值，即可
学科网（北京）股份有限公司得出 的最大值.
【详解】原不等式化为 ，即 ，令 ，
知f(x)在 上单调递增，原不等式转化为 ，所以 ，即 ，
设 ，则 ，当 时， ， 单调递减；当 时，
， 单调递增，故当 时 取得最小值 ，所以 的最大值为 .
故选：C
【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用函数单调性的定义以及导数证明不等式，从
而得出 的最大值.
7．AB
【分析】根据函数奇偶性定义即可判断 是奇函数，利用导数研究函数 的单调性
可知， 的单调递增区间为 和 ，单调减区间为 ，所以
无最大值，极大值点为 ，极小值点为 .
【详解】因为对 ，根据奇函数定义可知函数 是 上的
奇函数，即A正确；
令 可得 或 ，即 的单调递增区间为 和
，故B正确；
学科网（北京）股份有限公司由B可知， 在 单调递增，所以 无最大值，即C错误；
由 得 ，结合选项B可知， 是函数 的极大值点，
是函数 的极小值点，极值点不是点，所以 错误.
故选：AB
8．AB
【分析】由 图象可确定 的单调性，结合单调性依次判断各个选项即可得到结果.
【详解】由 图象可知：当 时， ；当 时，
；
在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
对于A， ， ，A正确；
对于B， ， ，B正确；
对于C，由单调性知 为极大值，当 时，可能存在 ，C错误；
对于D，由单调性知 ，D错误.
故选：AB.
9．BC
【分析】先求定义域，再求导，求出单调区间和极值，最值情况，判断BCD，A可以证明
出函数值恒正，A错误.
【详解】 定义域为R， ，
学科网（北京）股份有限公司令 得： 或1，
当 时， ，当 时， ，
如下表：
0 1
- 0 + 0 -
极大值
递减 极小值1 递增 递减
从而判断出函数有两个极值点，在 上单调递增，
BC正确，
由于 恒成立，所以函数 无零点，A错误，
当 时， ，故函数无最小值，D错误；.
故选：BC
10．
【分析】求导，根据题意知方程 有两个不等的实根，可得出 ，从而得解.
【详解】因为 ，可得 ，
因为函数 存在极值点，所以 有两不等实根，
则 ，解得 或 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为： .
学科网（北京）股份有限公司11．
【分析】求导，可得函数的单调性，即可求解极值点以及端点处的函数值，即可求解最值.
【详解】 ，
当 时， ， 递增；当 时， ， 递减；
， ， ，
故最大值与最小值的和为： ．
故答案为：
12．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据函数的导数在极值点出的函数值为零，求得 的值，继而可求得点的坐
标，及切线的斜率，即可求得切线方程；
（2）根据函数的单调性，分类讨论比较 和 的大小，即可求得.
【详解】（1） ，
又 是函数 的极值点，
∴ ，即
∴ ，
∴ ，
在 处的切线方程为 ，即 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 在 处的切线方程是
（2） ，令 ，得 ，
∴ 在 单调递减，在 单调递增
而 ，
①当 ，即 时，
②当 ，即 时，
综上，当 时， ；
当 时，
13．(1)
(2)
【分析】 先利用导数研究函数的单调性，故可得 ，可得 的方程，解
得 的值；
分离参数可得 ，故可设 ，利用导数研究函数 的极值，
故得b的取值范围
.
【详解】（1）易知函数 的定义域为 ，
根据题意可得 ，令 ，得 ，
当 时， ，即 在 上单调递增，
学科网（北京）股份有限公司当 时， ，即 在 上单调递减；
所以 ，
解得
（2）由（1）知 ，
因为 ，所以 可化为 ，
设 ，
所以 ，则 在 上恒成立，
即可得 在 上单调递减，
，
因此 的取值范围是
【能力提升训练】
一、单选题
1．（23-24高三上·北京昌平·期末）已知函数 ，则（ ）
A．
B． 不是周期函数
C． 在区间 上存在极值
D． 在区间 内有且只有一个零点
2．（24-25高三上·浙江·阶段练习）将函数 的图象上所有点的
学科网（北京）股份有限公司横坐标变为原来的 ，纵坐标变为原来的2倍，得到函数 的图象，若 在 上
只有一个极大值点，则ω的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数 的导函数 ，若函数
有一极大值点为 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·安徽马鞍山·模拟预测）已知函数 的导函数f'(x)的部分图象如图，则下列
说法正确的是（ ）
A． B．
C． 有三个零点 D． 有三个极值点
5．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）函数 ，若存在 ，
使得对任意 ，都有 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
6．（2023·重庆·一模）已知函数 ，则（ ）
A． 有两个零点 B．过坐标原点可作曲线 的切线
学科网（北京）股份有限公司C． 有唯一极值点 D．曲线 上存在三条互相平行的切线
7．（2024·重庆·一模）已知函数 ，则 在 有两个不同零
点的充分不必要条件可以是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024·浙江·三模）已知函数 ，则（ ）
A． 的最小正周期为 B． 的图象关于 对称
C． 在 上单调递减 D．当 时，
三、填空题
9．（2024·江苏·二模）如果函数 在区间[a，b]上为增函数，则记为 ，函数
在区间[a，b]上为减函数，则记为 .如果 ，则实数m的最小值为
；如果函数 ，且 ， ，则实数 .
10．（2024·广西南宁·一模）已知函数 的最小值为 ，则实数 的取
值范围为 .
四、解答题
11．（2024·全国·高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
12．（2023·北京·模拟预测）已知函数 ．
学科网（北京）股份有限公司(1)若 在 处的切线与x轴平行，求a的值；
(2) 是否存在极值点，若存在求出极值点，若不存在，请说明理由；
(3)若 在区间 上恒成立，求a的取值范围．
13．（2024·山东威海·二模）已知函数 ．
(1)求 的极值；
(2)证明： ．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B D A B ACD BCD CD
1．D
【分析】对于A，由诱导公式即可判断；对于B，由三角函数周期可得 ，
由此即可判断；对于C，由复合函数单调性即可判断；对于D，令
，解方程即可得解.
【详解】对于A，
，
所以 ，故A错误；
对于B， ，所以 是以 为周期的函
数，故B错误；
对于C，由复合函数单调性可知 在区间 上分别单调递增、单调递减，
学科网（北京）股份有限公司所以 在区间 上单调递增，所以不存在极值，故C错误；
对于D，令 ，得 ，所以 ，即该方程有唯
一解（函数 在 内有唯一零点） ，故D正确.
故选：D.
2．B
【分析】根据伸缩变换规则可得 ，再由余弦函数图象性质
以及极值点个数解不等式可得结果.
【详解】由题可知 ，
当 时， ，
若 在 上只有一个极大值点，
则由 的图像可得 ，
解得 ，
因为 ，所以 的最大值为3.
故选：B.
3．D
【分析】令 且 恒成立，根据 的极值点得到矛盾， 有两
个不同的零点，利用三次函数性质判断 单调性，进而求参数范围.
学科网（北京）股份有限公司【详解】由题意 ，令 ，
若 恒成立，易知：当 时 ，当 时 ，
所以 是 的极小值点，不合题意，故 有两个不同零点．
设 的两个零点分别为 ，则 ，
结合三次函数的图象与性质知： ，
在 、 上 ， 单调递减，在 、 上 ，
单调递增， 是 的极大值点，符合题意，
此时需 ，得 ，所以实数 的取值范围为 ．
故选：D.
4．A
【分析】根据导函数图像得到单调性和极值，进而推出极值点个数，比较函数值大小即可.
【详解】根据导函数图像知道：
正 0 非正 0 正
增 极大值 减 极小值 增
对于A， ，单调递减，则 ，则A正确；
对于B，自变量 在不同区间，都比 小，但不能比较它们大小，则B错误；
对于C，不能确定零点个数，则C错误；
对于D，函数有两个极值点，则D错误.
故选：A．
5．B
【分析】因为任意 ，都有 ，所以 是函数 的最小值，也是极
学科网（北京）股份有限公司小值，又当 时， ，故只需 即可.
【详解】由 ，又 ，
因为任意 ，都有 ，
所以 是函数 的最小值，也是极小值，
故 有两实根，即 有两实根，则 ，
记二次函数 的零点为 ，
且 ，则 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
当 时， ，因为 是最小值，
所以 ，即 ，
解得 ，故 ，
故选：B．
6．ACD
【分析】利用导数研究函数 的极值，结合零点的定义即可判断A；利用反证法，根据
直线的点斜式方程求出切线方程，即可判断B；利用二次求导研究函数 的极值，结合
零点的定义即可判断C；利用函数的零点个数与方程的根个数、函数图象交点个数的关系，
结合选项C即可判断D.
【详解】A： ，
对于函数 ，
令 ，令 或 ，
所以函数 在 上单调递减，在 和 上单调递增，
学科网（北京）股份有限公司则函数 在 ， 处分别取极大值和极小值，
由 ，知 只有一个零点，所以 有两个零点，故A正确；
B：假设B成立，设切点坐标为 ，
切线方程为 ，
即 ，
∴ ，但显然 ，故B错误；
C： ，
令 ，令 或 ，
所以函数 在 上单调递减，在 和 上单调递增，
∴函数 在 处分别取到极大值和极小值，
由 知 只有一个零点， 有一个极值点，故C正确；
D：若D正确，则存在实数m使得 有三个不同的根，
即函数 与 图象有3个交点，
由选项C可知， ，故D正确.
故选：ACD.
7．BCD
【分析】将问题转化为 ，令 ，利用导数讨论 的
学科网（北京）股份有限公司单调性，求出 ，由 在 有2个不同零点的充要条件为 ，从而作出
判断.
【详解】因为 ，
令 ，则 ，
令 ，
则 ，
注意到 ，令 ，解得 ，
所以当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
则 ，且当 趋近于 或 时， 都趋近于 ，
若 在 有2个不同零点的充要条件为函数 与 图象在第一象限有2个
交点，
所以 ，即 有2个零点的充要条件为 ，
若符合题意，则对应的取值范围为 的真子集，
结合选项可知：A错误，BCD正确；
故选：BCD.
8．CD
【分析】由 ，可判定A不正确；由 ，可判定B错误；设
，得到 ，利用导数求得函数f (x)的单调性和最值，可判定C正
确、D正确.
【详解】对于A中，由 ，所以A不
学科网（北京）股份有限公司正确；
对于B中，由 ，
可得函数 不关于 对称，所以B错误；
对于C中，设 ，可得 ，
则 ，
当 时，可得 ，则 ，
又由 ，
所以函数 在(-1,1)上单调递减，
又 在 上为单调递增函数，
所以由复合函数单调性，可得函数 在 上为单调递减函数，所以C正确；
对于D中，当 时，可得 ，则 ，
又由 ， 在 为递减函数，
当 时，即 时，函数 单调递增；
当 时，即 时，函数 单调递减，
由复合函数的单调性，可得函数 在 单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以D正确.
故选：CD.
9． 4 1
学科网（北京）股份有限公司【分析】第一空：令 ,可得 ，可得函数 的单调性可求得 的最小值；
第二空由题意可得x=2是函数的极值点，可得 ,求解检验即可.
【详解】对于第一空：由题意 在 上单调递增，
因为 ，所以 ，令 ，则 ，
由对勾函数性质得当 时， 的单调递增区间为 ，
所以，即 实数的最小值为2，所以 实数的最小值为4；
对于第二空：函数 可导，所以 ，
由题意在 上单调递减，在 上单调递增，即 是函数的极值点，
所以 ，解得 或 ，
经检验 不满足题意， 符合题意，所以 .
故答案为：4；1.
10．
【分析】求出导函数，根据a的符号分类讨论研究函数的单调性，利用单调性研究函数最
值即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，
若 ，则 时，f'(x)<0，故 在 上单调递减，
x∈(0,+∞)时，f'(x)>0，故 在(0,+∞)上单调递增，
所以当 时， 有最小值 ，满足题意；
若 ，则当 无限趋近于负无穷大时， 无限趋向于负无穷大， 没有最小值，
不符合题意；
学科网（北京）股份有限公司综上， ，所以实数 的取值范围为 .
故答案为：
11．(1)
(2)
【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；
（2）解法一：求导，分析 和 两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得
，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知 有零点，可得
，进而利用导数求 的单调性和极值，分析可得 ，构建函数解不等
式即可.
【详解】（1）当 时，则 ， ，
可得 ， ，
即切点坐标为 ，切线斜率 ，
所以切线方程为 ，即 .
（2）解法一：因为 的定义域为R，且 ，
若 ，则 对任意x∈R恒成立，
可知 在R上单调递增，无极值，不合题意；
若 ，令 ，解得 ；令 ，解得 ；
可知 在 内单调递减，在 内单调递增，
则 有极小值 ，无极大值，
由题意可得： ，即 ，
学科网（北京）股份有限公司构建 ，则 ，
可知 在(0,+∞)内单调递增，且 ，
不等式 等价于 ，解得 ，
所以a的取值范围为(1,+∞)；
解法二：因为 的定义域为R，且 ，
若 有极小值，则 有零点，
令 ，可得 ，
可知 与 有交点，则 ，
若 ，令 ，解得 ；令 ，解得 ；
可知 在 内单调递减，在 内单调递增，
则 有极小值 ，无极大值，符合题意，
由题意可得： ，即 ，
构建 ，
因为则 在(0,+∞)内单调递增，
可知 在(0,+∞)内单调递增，且 ，
不等式 等价于 ，解得 ，
所以a的取值范围为(1,+∞).
12．(1)
(2)当 时，无极值点；当 时，存在极小值点为 ，无极大值点.
学科网（北京）股份有限公司(3)
【分析】（1）根据导数几何意义可得 在 处的切线斜率为0，即可得 ；
（2）利用导函数对参数 进行分类讨论，判断出函数 的单调性即可求得极值点；
（3）将不等式 在区间 上恒成立转化成函数 在 恒
成立，利用导数求得当 时， 成立，即可求得 的取值
范围.
【详解】（1）由题可得， ，
又切线与x轴平行，所以 ，即 ，解得 ．
经检验，当 时， 在 处的切线为 ，满足题意．
所以 .
（2）易知函数 的定义域为 ，又 ，
则当 时， 恒成立， 在 上单调递增，无极值点；
当 时，令 ，则 ，
和 随 的变化如下表：
x
－ 0 ＋
极小
值
此时，存在极小值点为 ，无极大值点．
学科网（北京）股份有限公司（3）设 ，则 ，
当 时， ，则 在 上单调递增， ，结论不成立；
当 时，令 ，则 ，
若 ，即 ， 和 随 的变化如下表:
x
－ 0 ＋
极小值
若 在区间 上恒成立，则只需 .
设 ， ，则 ，
所以 在 上单调递增， ，
因此 在 上无解；
若 ，即 ， ， 在 上单调递减，
所以 恒成立，
综上所述，a的取值范围是 ．
13．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导数，利用导数与函数单调性以及极值的关系，即可求得答案；
（2）根据要证明的不等式的结构特点，设 ，求出其导数，利用
导数判断其单调性，结合其最值，即可证明结论.
【详解】（1）由题意得 的定义域为 ，
学科网（北京）股份有限公司则 ，
当 时， ， 在 上单调递增，无极值；
当 时，令 ，则 ，令 ，则 ，
即 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 为函数的极大值点，函数极大值为 ，无极小值；
（2）证明：设 ，
，令 ，
则 ，即 在 上单调递增，
，
故 ，使得 ，即 ，
当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增，
故
即 ，即 ，则 .
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