文档内容
专题 15 导数与函数的极值、最值（十一大题型+模拟精练）
目录：
01 函数极值的辨析
02求已知函数的极值
03 根据极值求参数
04 函数（导函数）图像与极值的关系
05 由导数求函数的最值
06 已知函数最值求参数
07 根据极值点求参数
08 由导数求函数的最大值（含参）
09 恒成立问题
10 零点问题
11 导数的综合应用
01 函数极值的辨析
1．（2024高三·全国·专题练习）下列函数中，存在极值的函数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】根据极值的定义进行求解即可.
【解析】A：因为函数 是实数集上的增函数，所以函数 没有极值；
B：因为函数 是正实数集上的增函数，所以函数 没有极值；
C：因为函数 在区间 、 上是减函数，所以函数 没有极值；
D：因为 ，所以该函数在 上是增函数，在 上是减函数，因此 是函
数的极小值点，符合题意，
故选：D
2．（2024高三·全国·专题练习）下列结论中，正确的是（ ）
A．若 在 上有极大值，则极大值一定是 上的最大值．
B．若 在 上有极小值，则极小值一定是 上的最小值．
C．若 在 上有极大值，则极大值一定是在 和 处取得．
D．若 在 上连续，则 在 上存在最大值和最小值．
【答案】D
【分析】根据极值和最值的定义逐一分析判断即可.
【解析】函数在 上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，故AB错误；
函数 在 上的极值一定不会在端点处取得，故C错误；
若 在 上连续，则 在 上存在最大值和最小值，故D正确.
故选：D.
3．（2024高三·全国·专题练习） 如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据极值点的定义，结合导函数的图象判断即可.
【解析】由导函数f′(x)的图象知
在x＝－2处f′(－2)＝0，且其两侧导数符号为左正右负，x＝－2是极大值；
在x＝－1处f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正，x＝－1是极小值；
在x＝－3处f′(2)＝0，且其两侧导数符号为左正右负，x＝2是极大值；
所以f(x)的极小值点的个数为1，
故选：A
【点睛】本题主要考查极值点的定义以及数形结合思想的应用，属于基础题.
4．（22-23高二上·河南许昌·期末）函数 的导函数 的图象如图所示，则（ ）
A． 为函数 的零点
B． 是函数 的最小值
C．函数 在 上单调递减
D． 为函数 的极大值点
【答案】C【分析】根据 的图象，得到函数 的单调区间，结合函数的单调性，极值点和极值，以及零点的
概念，逐项判定，即可求解.
【解析】由 的图象，可得：
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
A中， 是函数 的一个极大值点，不一定是函数的零点，所以A不正确；
B中， 是函数 一个极小值，不一定是函数 的最小值，所以B错误；
C中，函数 在 上单调递减，所以C正确；
D中， 为函数 的极小值点，所以D错误.
故选：C.
02求已知函数的极值
5．（2024·黑龙江·模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，求 在点 处的切线方程；
(2)讨论 的单调性，并求出 的极小值．
【答案】(1)
(2) 在 单调递减，在 和 单调递增；0.【分析】（1）欲求曲线在点 处的切线方程，只需求出斜率 和 的值，利用直线的点
斜式方程求解切线的方程；
（2）利用函数 的导数，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可.
【解析】（1）当 时， ，
则 ，
所以 ，
又知 ，
所以 在点 处的切线方程为 ．
（2）因为 ，
令 ，
则 或 ，
所以当 时， ，
当 或 时， ．
综上， 在 上单调递减，在 和 上单调递增；
所以 ．
6．（23-24高二下·湖南·期中）已知函数 为奇函数．
(1)求 的值；
(2)当 时，求 的单调区间和极值．【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由已知结合奇函数的定义即可求解；
（2）先化简 的解析式，对其求导，结合导函数与单调性及极值的关系即可求解.
【解析】（1）定义域： ．
由已知：函数 为奇函数，所以 ，
即 ，解得 ．
（2）由（1）得： ，
当 时，因为 ，所以 ．
令 ，解得 ．
变化情况如下表：
0 ＋
单调递减 极小值 单调递增
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
因此 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，
当 时， 有极小值，并且极小值为 ，无极大值.
03 根据极值求参数7．（22-23高二下·北京·期中）若函数 恰好有两个极值，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出函数的导函数，利用函数 恰好有两个极值，说明导函数有两个不同的零点，从而求出a
的取值范围.
【解析】因为 ，所以 ，
由函数 恰好有两个极值，得 有两个不相等的零点，
故方程 有两个不相等的实根，
则 ，且 ，解得 或 ，
所以实数a的取值范围是 .
故选：D.
8．（2023·贵州遵义·三模）已知函数 在 处取得极值0，则 （ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】B
【分析】根据极值点的意义，列式求解.
【解析】 ，
有 ，得 ，
所以 .
故选：B
9．（21-22高三下·广西·阶段练习）已知函数 在其定义域的一个子区间 上有极值，则
实数a的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求导函数，分析导函数的符号，得出原函数的单调性和极值，由已知建立不等式，求解即可.
【解析】解： ，令 ，即 ，解得 ，且 ， ；
， ，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，
∴ 有极大值 ，
∴ ，
∴ ，
故选：A.
04 函数（导函数）图像与极值的关系
10．（23-24高二下·江西赣州·阶段练习）已知函数 的导函数 的图象如图所示，则下列说法错误
的是（ ）
A．函数 在 上单调递增 B．函数 至少有2个极值点
C．函数 在 上单调递减 D．函数 在 处取得极大值
【答案】D
【分析】根据 的图象判断其符号，进而可知 的单调性和极值，结合选项分析判断即可.
【解析】由 的图象可知：当 或 时， ；当 时， ；可知 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
则函数 有且仅有两个极值点 ，
结合选项可知：ABC正确；D错误；
故选：D.
11．（23-24高二下·四川广元·期中）函数 的导函数 的图象如图所示，则下列判断中
正确的是（ ）
A． 在 上单调递减 B． 在 上单调递减
C． 在 上存在极小值点 D． 在 上有最大值
【答案】B
【分析】结合导数的符号与函数单调性、极值的关系，以及题图即可得解.
【解析】 时， ， 时， ，故 在 上不单调，A选项错误；
时， ，故 在 上单调递减，B选项正确；
时， ，故 在 上单调递减，无极值点，C选项不正确；
时， ， 在 上单调递增，虽然确定了 的单调性，但没有 的解析式，
故无法确定 在 上是否有最大值，D选项不正确．
故选：B．
05 由导数求函数的最值
12．（23-24高二下·四川成都·期中）已知函数 ， ，若 ，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意，设 ，则 ，利用导数讨论函数 的性质求出
即可．
【解析】设 ，则 ，
所以 ，
令 ，则 ，
令 ，函数 单调递减，
令 ，函数 单调递增，
所以 ，
即 的最小值为 ．
故选：A
13．（2024·江西鹰潭·二模）已知函数 ， ，则下列命题不正确的是（ ）
A． 有且只有一个极值点 B． 在 上单调递增
C．存在实数 ，使得 D． 有最小值
【答案】C
【分析】由条件可得函数 可以看作为函数 与函数 的复合函数，然后求导判断其单调
性与极值，即可得到结果.
【解析】由 得 ，令 ，则函数 可以看作为函数 与函数 的复合函数，
因为 为增函数，所以 与 单调性、图象变换等基本一致， ，
由 得 ，列表如下：
－ 0 ＋
由表知， 在 上单调递减，在 上单调递增，
在 时，取得极小值（最小值） ，
所以 在 上单调递增，即B正确；
在 时，取得唯一极值（极小值，也是最小值） ，即A、D都正确，C错误.
故选：C
14．（23-24高二下·北京海淀·期中）关于函数 ，下列结论错误的是（ ）
A． 的解集是 B． 是极小值， 是极大值
C． 没有最小值，也没有最大值 D． 有最大值，没有最小值
【答案】C
【分析】解不等式判断A；利用导数探讨函数 的极值、最值判断BCD.
【解析】函数 的定义域为R，
对于A， ，解得 ，即 的解集是 ，A正确；
对于BCD， ，当 或 时， ，当 时， ，则函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
因此 是极小值， 是极大值，B正确；
显然当 时， 恒成立，当 时， ， ，
而当 时，函数 的值域为 ，而 ，因此 有最大值 ，
没有最小值，C错误，D正确.
故选：C
06 已知函数最值求参数
15．（23-24高二下·四川内江·阶段练习）已知 在区间 上有最小值，则实数 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求得 ，得出函数 的单调性，结合题意，得到 ，即可求解.
【解析】由函数 ，可得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
要使得函数 在区间 上有最小值，
则满足 ，即 ，因为 ，可得 ，即 ，解得 ，
所以 ，即实数 的取值为 .
故选：D.
16．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）若函数 在区间 上存在
最值，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】C
【分析】借助导数研究函数单调性即可得其在何处取得最值，即可得解.
【解析】 ，
则当 时， ，当 时， ，
即 在 上单调递减，在 上单调递增，
即 在 处取得最值，则有 ，
解得 .
故选：C.
17．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）设函数 ，若 ，且
的最小值为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作出 的大致图象，令 ，结合图象得到 的范围，再将所求转化为关于 的表
达式，构造函数 ，利用导数即可得解.【解析】因为 ，作出 的大致图象，如图，
令 ，由图象可得 ，
因为 ，所以 ，即 ，
则 ，
令 ，
则 ，令 ，解得 ，
当 ，即 时， ，则 ， 单调递减，
则 ，解得 ，符合；
当 ，即 时，
当 时， ；当 时， ；
故 在 单调递减，在 单调递增，
则 ，解得 ，不符合；
综上， .
故选：B.
【点睛】方法点睛：本题考查双变量问题的函数与方程的应用，解决这种题的常见方法是利用换元法将变量转化为只有1个变量，注意利用数形结合考虑变量的取值范围.
07 根据极值点求参数
18．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知函数 的导函数 ，若 是函数
的极大值点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分析得导函数必有2个零点，并且1必为小的零点，据此列不等式求解.
【解析】令 ，则 或 ，
明显函数 在 上单调递增，且值域为 ，
所以方程 必有根，设为 ，
即 的根为 或 ，
又 是函数 的极大值点，
则函数 在 上单调递增， 上单调递减， 上单调递增，
即 ，所以 ，得 .
故选：B.
19．（23-24高三上·河南南阳·期末）若函数 有两个不同的极值点，则实数a的取值范围
为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【分析】转化为 有两个变号零点，令 ，求导，分 和 两种情
况，得到其单调性，极值和最值情况，从而得到不等式 ，再构造函数
，求导得到其单调性，极值最值情况，求出答案.
【解析】由题意得 有两个变号零点，
令 ，定义域为R，
则 ，
当 时， 恒成立， 在R上单调递增，不会有两个零点，舍去，
当 时，令 得， ，令 得， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 在 处取得极小值，也是最小值，
则 ，即 ，
令 ， ，则 ，
令 得 ，令 得 ，
在 上单调递增，在 单调递减，
故 在 处取得极大值，也是最大值，
又 ，故 的解集为 ，
此时当 趋向于负无穷时， 趋向于正无穷，
当 趋向于正无穷时， 趋向于正无穷，满足 有2个变号零点.
故选：C
【点睛】结论点睛：导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值
符号，隐零点的探索、参数的分类讨论等），需要学生对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，
注意思路是通过极值的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数，较为复杂和综合的函数
零点个数问题，分类讨论是必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，
都是需要思考的地方
20．（22-23高三下·江西赣州·阶段练习）已知函数 存在两个极值点 ，则
以下结论正确的为（ ）
A． B．
C．若 ，则 D．
【答案】D
【分析】由题可得方程 有两个不相等的实数根 ，构造函数 ，利用导数研究函数
的性质画出函数的大致图象，然后结合条件逐项分析即得.
【解析】函数 的定义域为R，求导得 ，由 ，得 ，显然 ，
由函数 存在两个极值点 ，得方程 ，即 两个不相等的实数
根 ，
于是函数 的图象与直线 有两个交点，且横坐标分别为 ，
求导得 ，由 得 ，由 得 ，
因此函数 在 ， 上单调递减，在 上单调递增，且当 时， ，当 时，
，对于A，要使函数 存在两个极值点为 ，则 ，A错误；
对于B，当 时，由函数 的图象知， ，B错误；
对于C，若 ，则 ，得 ，则 ，C错误；
对于D，由 ，得 ，又 ，则 ， ，有 ，即 ，因此
，D正确．
故选：D
【点睛】函数由极值、极值点求参数的取值范围的常用方法与策略：
1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法为从
中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不
等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；
2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法
为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意
的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.
08 由导数求函数的最大值（含参）
21．（23-24高二下·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知函数 ，其中 ．
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)当 时，函数 在区间 上的最小值 ．【答案】(1)单调递增区间为 ，单调递减区间为
(2)
【分析】（1）当 时，求 ，令 ， ，求解即可；
（2）先求 ，令 ，在定义域 内解得 ，讨论 的取值范围，通过判断函数 在
的单调性，即可求得最小值.
【解析】（1）当 时， ， ，
，
因为 ， ，
所以当 时，解得 ，
当 时，解得 ，
所以函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
（2）函数 的定义域为 ，
， ，
令 ，得 或 （舍），
当 ，即 时，
当 时， ，则 在 上单调递增，所以函数 在区间 上的最小值为 ，
当 ，即 时，
当 时， ，则 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增，
所以函数 在区间 上的最小值为 ，
当 ，即 时，
当 时， ，则 在 上单调递减，
所以函数 在区间 上的最小值为 ，
综上 .
22．（2024·山西吕梁·二模）已知函数 .
(1)当 时，求 的单调区间和极值；
(2)求 在区间 上的最大值.
【答案】(1)单调递增区间是 ，单调递减区间是 ，极大值为 ，没有极小值；
(2)
【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式求出函数的单调区间与极值；（2）求出函数的导函数 ，再分 、 、 、 四种情况讨论，
得到函数 在区间 上的单调性，即可求出函数 在区间 上的最大值.
【解析】（1）当 时， ，
则 ，
当 时， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减，
故函数 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ，
函数 的极大值为 ，没有极小值.
（2）由题意得 .
若 ，当 时， ， 在区间 上单调递增，
此时 的最大值为 ；
若 ，当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
此时 的最大值为 ；
若 ，则 ，当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
此时 的最大值为 ；
若 ，则 ，当 时， ， 在区间 上单调递增，此时 的最大值为 .
综上可得， .
09 恒成立问题
23．（2024·山东烟台·一模）已如曲线 在 处的切线与直线
垂直.
(1)求 的值；
(2)若 恒成立，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据斜率关系，即可求导求解，
（2）求导判断函数的单调性，即可求解函数的最值求解.
【解析】（1）由于 的斜率为 ，所以 ，
又 ,故 ，解得 ，
（2）由（1）知 ，所以 ，
故当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
故当 时， 取最小值 ，要使 恒成立，故 ，解得 ，
故 的取值范围为
24．（2024·湖北·模拟预测）已知函数 ， 其中 为常数.
(1)过原点作 图象的切线 ，求直线 的方程；
(2)若 ，使 成立，求 的最小值.
【答案】(1)
(2) .
【分析】（1）设切点，求导得出切线方程，代入原点，求出参数即得切线方程；
（2）由题意，将其等价转化为 在 有解，即只需求 在 上的最小
值，利用导数分析推理即得 的最小值.
【解析】（1）
设切点坐标为 ，则切线方程为 ，
因为切线经过原点 ，所以 ，解得 ，
所以切线的斜率为 ，所以 的方程为 .
（2） ， ，即 成立，
则得 在 有解，
故有 时， .
令 ， ， ，令 得 ；令 得 ，
故 在 单调递减， 单调递增，
所以 ，
则 ，故 的最小值为 .
10 零点问题
25．（23-24高三下·安徽芜湖·阶段练习）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)求函数 在 上的零点个数.
【答案】(1)答案见解析
(2)2
【分析】（1）求导得到 ，令 即可求解函数的单调区间；
（2）求导得到 ，因无法轻易求得 的解，故根据导函数的性质将 的取值范围
分为 三段分别讨论，结合零点的存在性定理即可求解零点个数.
【解析】（1）∵ ，故 ，
令 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增；
（2）因为 ， ，
则 ．①当 时，因为 ，
所以 在 上单调递减．所以 ．
所以 在 上无零点．
②当 时，因为 单调递增，且 ， ，
所以存在 ，使 ．
当 时， ；当 时， ．
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，且 ．
所以 ．设 ， ，
由（1）知 在 上单调递减，在 上单调递增．
所以 ．
所以 ，得 ．
所以 ．所以 在 上存在一个零点．
所以 在 有2个零点．
③当 时， ，
所以 在 上单调递增．因为 ，所以 在 上无零点．
综上所述， 在 上的零点个数为2．【点睛】方法点睛：处理有关三角函数与导数综合问题的主要手段有：
（1）分段处理：利用三角函数的有界性与各不同区间的值域分段判断导函数符号；
（2）高阶导数的应用：讨论端点（特殊点）与单调性的关系，注意高阶导数的应用，能清楚判断所讨论
区间的单调性是关键；
（3）关注三角函数的有界性与常用不等式放缩.
26．（22-23高二下·内蒙古呼和浩特·期中）已知函数 ．
(1)函数 在 处的切线与x轴平行，求a的值；
(2)若函数 有两个零点，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出导数代入得 即可求出 值；
（2）首先排除 的情况，在 时，根据 ，解出范围，再利用零点存在性定理证明
此时有两个零点.
【解析】（1） ，则由题意得 ，
解得 .
（2） 定义域为 ， ，
令 ，解得： ，
当 时， 在 上恒成立， 在 上单调递增；
则至多有一个零点，不符合题意;
当 时，若 时， ；若 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减；若 有两个零点，则 ，解得 .
因为 ，且 ，由零点存在定理可知，
存在 使得 ，
又因为 ，设 ，
因为 ，所以 在 单调递增，
故 ，即 ，
因为 ，由零点存在定理可知，存在 ，使得 .
综上可得 的取值范围是 .
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用 ，解出 的范围，再利用零点存在性定义证明
此时满足题意即可.
11 导数的综合应用
27．（2024·江苏·二模）已知函数 .
(1)当 时，证明： ；
(2)若 在区间 上有且只有一个极值点，求实数 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）因为函数的定义域为 ，当 时， ，将问题转化为当 时，，构造函数 ，利用导数研究 的值域即可证明；
（2）求导 ，令 ，再求导 ，利用放缩可知
，得到 在 单调递增， ，分类讨论 和 时 的正负，从而
确定是否有极值点以及极值点的个数.
【解析】（1）因为函数的定义域为 ，当 时， .
要证 ，只需证：当 时， .
令 ，则 ，
则 在 单调递增，
所以 ，即 .
（2） ，
令 ，
则 .
所以 在 单调递增， ，
① 时， ， .
则 在 为增函数， 在 上无极值点，矛盾.
②当 时， .由（1）知， ，
，则 ，则 使 .
当 时， ， ，则 在 上单调递减；
当 时， ， ，则 在 上单调递增.
因此， 在区间 上恰有一个极值点，所以 的取值范围为 .
【点睛】方法点睛：利用导数求解参数的取值范围问题的三种常用方法：
1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范
围
2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；
3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.
28．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知函数 为 的极值点．
(1)求 的最小值；
(2)若关于 的方程 有且仅有两个实数解，求 的取值范围．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）求出导函数，根据极值点的定义可得 ，代入 ，构造函数，利用导函数判断单
调性，然后利用函数的单调性求出最值即可
（2）由 ，然后分离参数得 ，设 ，求出单调区间 和极值即可
【解析】（1） ，
依题意， ，所以 ，
所以 ，
设 ，则 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
当 时， 取得最小值 ，所以 的最小值为1；（2）由（1）可知， ，
令 ，则 ，
设 ，则 ，
当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
且 ，
所以 ．
29．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 恰有两个零点 ．
(1)求实数 的取值范围；
(2)若函数 ，求证： 在 上单调递减；
(3)证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导数，判断其单调性，根据函数 恰有两个零点列出不等式，求
得答案；
（2）写出 ，利用其导数证明单调性即可；
（3）采用逆推分析的方法，将证明 成立，转化为证明 成立，继而根据 在上单调递减，需证 ，结合（2）的结论，即可证明．
【解析】（1）由题意得 ，当 时， ，当 时， ，
函数 在 上单调递增，在 上单调递减，则 ，
当 时， ， 可取到负的无穷小值，
当 时， ， 也可取到负的无穷小值，
函数 恰有两个零点，则 ，即 ，
实数 的取值范围为 ；
（2） ， ，
，令 ， ，
，又 时有 ，
， 在 上单调递增，
在 上单调递增，从而 ，
在 上单调递减；
（3）由（1）知， ，要证 ，
只需证 ， 在 上单调递减，只需证 ， ，
只需证 ，其中 ，
只需证 ，其中 ，
由（2）知，当 时， ，
， ．
一、单选题
1．（2024·陕西西安·模拟预测）函数 的极小值点为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】利用导数判断单调性，进而可得极小值点.
【解析】因为 ，
所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，故极小值点为2．
故选：A
2．（2023·河南洛阳·模拟预测）已知 的一个极值点为 ，若tan ，则实数a的值
为（ ）
A．﹣3 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】由正弦函数的图像和极值点列方程求出实数a的值.
【解析】函数 的图像连续，且所以若 为 的一个极值点，由正弦函数的图像可得： ，解得：
.
而tan ，所以 ，所以 .
故选：B
3．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知函数 在区间 上的最小值为1，则实数a的值为
（ ）
A．-2 B．2 C．-1 D．1
【答案】D
【分析】先利用导函数研究函数的单调性及最值计算即可.
【解析】由题意可知： ，
所以当 时 ，则 在 上单调递增，
所以 .
故选：D.
4．（2024·云南昆明·一模）已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 为增函数 B． 有两个零点
C． 的最大值为2e D． 的图象关于 对称
【答案】D
【分析】利用导数讨论函数的单调性，结合选项依次计算，即可求解.
【解析】A： ，令 ，得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，故A错误；B：由选项A知，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
且 ，所以函数 在R上没有零点，故B错误；
C：由选项A知，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，即函数 的最小值为 ，故C错误；
D： ，所以函数 图象关于直线 对称，故D正确.
故选：D
5．（2024·山东菏泽·模拟预测）若实数 满足 ，则下列不等式错误的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】构造函数 ，利用导数探讨最值可得 ，再结合已知及不等式性质逐项判断即得.
【解析】对于A，令函数 ，求导得 ，当 时， ，当 时，
，
函数 在 上递增，在 上递减， ，即 ，
而 ，因此 ，A正确；
对于B，由 ，得 ，则 ，
显然 ，否则 ， ，于是 ，则 ，B错误；
对于C，由 ，得 ，C正确；
对于D， ，即 ，因此 ，D正确.
故选：B6．（2023·浙江金华·模拟预测）在半径为 的实心球 中挖掉一个圆柱，再将该圆柱重新熔成一个球 ，
则球 的表面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知求出球的半径，设圆柱的底面半径为 ，则高为 ，写出圆柱的体积，利用
基本不等式求最值，即可得到满足条件的 值,结合球的体积以及表面积公式即可求解.
【解析】由球的半径为 ，如图，
设圆柱的底面半径为 ，则高为 ，
．
当且仅当 ，即 ， 时，上式取等号,此时圆柱的体积为 ，
（或者令 ，当 ，
所以 在 单调递增，在 单调递减，故当 取最大值4，故当 时，
取最大值4）
要使熔成一个球 的表面积最大，则半径最大，则体积最大即可,
因此熔成的球 的体积也是 ，故球 的半径为 ,
所以球 的表面积为
故选：D．7．（2024·黑龙江·模拟预测）已知函数 ，若关于x的方程 的不
同实数根的个数为6，则a的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】方程 因式分解得 ，所以 或
，根据函数 的草图，判断 的解的个数，从而确定 解的个数，可得 的
取值范围.
【解析】当 时， ，由此可知 在 单调递减，
且当 时， ，在 上单调递增， ；
当 时， 在 单调递增，在 上单调递减，
，如图所示．
得 ，即 或
，由 与 有两个交点，则 必有四个零点，
即 ，得 .
故选：C
8．（2024·福建莆田·二模）对于函数 和 ，及区间 ，若存在实数 ，使得
对任意 恒成立，则称 在区间 上“优于” ．有以下四个结论：
① 在区间 上“优于” ；
② 在区间 上“优于” ；
③ 在区间 上“优于” ；
④若 在区间 上“优于” ，则 ．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】对于①②：根据题意结合函数图象分析判断；对于③：构建函数 ，
，利用导数判断函数单调性，可证 ；对于④：根据 结
合公切线可得 ，并检验.
【解析】对于①：若 在区间 上恒成立，
结合余弦函数的图象可知： ，
若 ，此时 与 必有两个交点，
由图象可知： 不恒成立，即不存在实数 ，使得 对任意 恒成立，故①错误；
对于②：对于 ， ，
结合正切函数图象可知，不存在在实数 ，使得 对任意 恒成立，故②错误；
对于③：构建 ，
则 ，
令 ，解得 ； ，解得 ；
可知 在 内单调递减，在 内单调递增，
则 ，即 ；
构建 ，
则 ，
令 ，解得 ； ，解得 ；
可知 在 内单调递减，在 内单调递增，则 ，即 ；
综上所述： ，
即存在实数 ，使得 对任意 恒成立，
所以 在区间 上“优于” ，故③正确；
对于④：因为 ，且 ，
若 在区间 上“优于” ，
可知符合条件的直线 应为 在 处的公切线，
则 ，可得 ，则切线方程为 ，
构建 在即 内恒成立，
可得 ；
由③可知： ，可得 ;
综上所述： .
所以 符合题意，故④正确；
故选：B
【点睛】关键点点睛：对于③：通过构建函数证明 ；
对于④：根据 ，结合题意分析可得 ，即可得 ，注意检验.
二、多选题
9．（2024·贵州安顺·一模）设函数 ，则（ ）
A． 有 个极大值点B． 有 个极小值点
C． 是 的极大值点
D． 是 的极小值点
【答案】ABD
【分析】求出函数的导函数 ，即可得到函数的单调区间与极值点.
【解析】函数 的定义域为 ，
且 ，
所以当 或 时 ，
当 或 时 ，
所以 在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增，
所以 在 处取得极小值，在 处取得极大值，在 处取得极小值.
故选：ABD
10．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则 在 上递增
B．若 为奇函数，则
C．若 是 的极值点，则
D．若 和 都是 的零点， 在 上具有单调性，则 的取值集合为
【答案】BCD【分析】用整体思想结合正弦函数的单调性判断A；由奇函数 即可判断B；根据已知条件计算出
即可判断C；由已知求出 范围，即可判断D．
【解析】对于A， ，当 时， ，
因为 时 单调递减， 时， 单调递增，故A错误；
对于B，若 为奇函数，则 ，则 ，又 ，所以 ，故B正确；
对于C，当 时， ，则 ，
又 是 的极值点，所以 ，即 ，又 ，则
，经检验 为 的极值点，
故 ，故C正确；
对于D，由 和 都是 的零点得， ，
两式相减得 ，
由 在 上具有单调性且 和 都是 的零点得， ，
解得 ，所以 的取值集合为 ，故D正确；
故选：BCD.
【点睛】关键点睛：对于D选项中求 的范围，一是根据 和 是 的零点得出 ，二
是结合在 具有单调性，即区间左端点为零点，得出 .11．（2024·广东广州·模拟预测）设函数 ，则（ ）
A．函数 的单调递增区间为
B．函数 有极小值且极小值为
C．若方程 有两个不等实根，则实数 的取值范围为
D．经过坐标原点的曲线 的切线方程为
【答案】ACD
【分析】利用导数研究函数 的单调性，结合极值、方程的根与函数图象交点个数之间的关系和导数的
几何意义，依次判断选项即可.
【解析】对A：由题意可知 的定义域为 ，
，令 ，解得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，故A正确；
对B：当 时， 取得极大值为 ，故B错误；
对C：由上分析可作出 的图象，要使方程 有两个不等实根，
只需要 与 有两个交点，由图可知， ，
所以实数 的取值范围为 ，故C正确.对D：设曲线 在 处的切线经过坐标原点，
则切线斜率 ，得 ，解得 ，
所以切线斜率 ，所以切线方程为 ，故D正确.
故选：ACD
三、填空题
12．（2023·广东汕头·一模）函数 的一个极值点为1，则 的极大值是 ．
【答案】4
【分析】由极值点定义得到 ，求出 ，进而得到 或 时， ， 时，
，得到函数单调性和极大值.
【解析】 定义域为R，
，由题意得， ，解得 ，
故 ，
令 ，解得 ，
令 得， 或 ， 单调递增，令 得， ， 单调递减，
故 在 处取得极大值，极大值为 .
故答案为：4
13．（2024·全国·模拟预测）方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围为
．
【答案】
【分析】分离参数，构造函数 ，利用导数研究其单调性与最值，作出函数大致图象，数形
结合计算即可.
【解析】由题意，得方程 有两个不相等的实数根．
令 ，则 ，
所以当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减．所以当 时， 取最大值 ．
作出函数 的大致图象，如图．
由图可知，当 时，直线 与函数 的图像有两个交点，
即方程 有两个不相等的实数根，所以实数 的取值范围为 ．
故答案为： .14．（2024·重庆·模拟预测）若函数 的图象与函数 的图象有三个不同的公共点，
则实数 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】依题意关于 的方程 恰有三个不等实数根，令 ，利用导数说明函数的单
调性，求出函数的最大值，令 ，则 （ 且 ），令 （
且 ），依题意可得 与 有两个交点，且其中一个交点的横坐标小于 ，另一个交
点的横坐标位于 之间，即可求出参数的取值范围.
【解析】令 ，则 ，即 ，
依题意关于 的方程 恰有三个不等实数根，
令 ，则 ，所以当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
又 ，当 时 ，当 时 ，
所以 ，
令 ，则 （ 且 ），
则 （ 且 ），令 （ 且 ），
因为 在定义域 上单调递增， 在 ， 上单调递增，
所以 在 ， 上单调递增，
又 ， ，
要使关于 的方程 恰有三个不等实数根，
则 与 有两个交点，且其中一个交点的横坐标小于 ，另一个交点的横坐标位于 之间，
则 ，解得 ，
综上可得实数 的取值范围为 .
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是将函数的公共点问题转化为方程的解，从而转化为常数函数的定
函数的交点问题.
四、解答题
15．（2024·湖南衡阳·二模）已知函数 ，当 时， 取得极值 ．
(1)求 的解析式；
(2)求 在区间 上的最值．
【答案】(1)
(2) 的最小值为 ，最大值为 .【分析】（1）利用极值定义可求得 ，可得解析式；
（2）利用导函数判断出函数 在区间 上的单调性，比较端点处的值可得结论.
【解析】（1）依题意可得 ，
又当 时， 取得极值 ，所以 ，即 ；
解得 ；
所以 ；
（2）由（1）可知 ，
令 ，可得 或 ，
当 变化时， 的变化情况如下表所示：
单调递
单调递增 单调递增
减
因此，在区间 上， 的最小值为 ，最大值为 .
16．（2024·河南·三模）已知函数 ，且 在 处的切线方程是 ．
(1)求实数 ， 的值；
(2)求函数 的单调区间和极值．
【答案】(1) ，(2)单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，极小值为 ，无极大值
【分析】（1）求出函数的导函数，根据导数的几何意义得到方程组，解得即可；
（2）由（1）可得 ，利用导数求出函数的单调区间，从而求出极值.
【解析】（1）因为 ，所以 ，
又 在 处的切线方程为 ，
所以 ， ，
解得 ， ．
（2）由（1）可得 定义域为 ，则 ，
当 时， ，此时函数 单调递减，
当 时， ，此时函数 单调递增，
则 在 处取得极小值，
所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，
因此极小值为 ，无极大值．
17．（2024·江苏南京·二模）已知函数 ，其中 ．
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)当 时，若 在区间 上的最小值为 ，求a的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由 ，分别求出 及 ，即可写出切线方程；（2）计算出 ，令 ，解得 或 ，分类讨论 的范围，得出 的单调性，由 在区
间 上的最小值为 ，列出方程求解即可．
【解析】（1）当 时， ，则 ， ，所以 ，
所以曲线 在 处的切线方程为： ，即 ．
（2） ，令 ，解得 或 ，
当 时， 时， ，则 在 上单调递减，
所以 ，考虑 ， ，
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
所以 的极大值为 ，所以由 得 ；
当 时， 时， ，则 在 上单调递减，
时， ，则 在 上单调递增，
所以 ，则 ，不合题意；
当 时， 时， ，则 在 上单调递减，
所以 ，不合题意；
综上， ．
18．（2024·宁夏石嘴山·三模）已知函数 ，（ 为自然对数的底数）．
(1)求曲线 在 处的切线方程；
(2)若不等式 对任意 恒成立，求实数 的最大值．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分别求出 ，即可写出切线方程；
（2）首先求出 ，再由辅助角公式及 得出 ，即可得出 的值域，根据值域分析即
可求解．
【解析】（1）函数 ， ，则 ，
， ，
所以曲线 在 处的切点坐标为 ，切线斜率为0，
故切线方程为 ．
（2）
，
因为 ，所以 ，
则 ，所以 ，
所以函数 在 上单调递减．
， ，
所以函数 的值域为 ．
若不等式 对任意 恒成立，则实数 的最小值为 ，
所以实数 的最大值为 ．
19．（2024·山东·模拟预测）法国数学家弗朗索瓦·韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，将其
推广到高次方程，并在其著作《论方程的识别与订正》中正式发表，后来人们把这个关系称为韦达定理，
即如果 是关于x的实系数一元n次方程 在复数集
C内的n个根，则
试运用韦达定理解决下列问题：
(1)已知 ， ， ，求 的最小值；
(2)已知 ，关于x的方程 有三个实数根，其中至少有一个实效根在区
间 内，求 的最大值．
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）构造函数 求导 ，根据函数的单调性求解极值，即可得
，进而可求解，（2）根据韦达定理可得 ，即可表达出 ，进而化简可得 ，即
可根据 ，利用不等式求解.
【解析】（1）根据韦达定理可设 是 的三个实数根，
令 ，
当 时， ，此时 单调递增，
当 时， ，此时 单调递减，
故 的极大值为 极小值为
由于 不可能相等，否则 ，与 矛盾，
故 有两个或者三个零点，则 且 ，故 ，
由 ，结合 ， ，
所以
由 ，
所以 ，
则 ，
故 的最小值为 ，
（2）设方程的三个实数根分别为 ，其中 ，由韦达定理可得 ，
由 和 ，得 ，当且仅当 时等号成立，
又 ，故 ，
，即 ，
由 ，得 ，
因此 ，当且仅当 时等号成立，
由 和 可得 ，
结合 可得
，
由于 以及 ，
故 ，
当 时，且 时等号成立，此时 ，符合 ，
综上可知 的最大值为4，
【点睛】方法点睛：处理多变量函数最值问题的方法有：
（1）消元法：把多变量问题转化单变量问题，消元时可以用等量消元，也可以用不等量消元.
（2）基本不等式：即给出的条件是和为定值或积为定值等，此时可以利用基本不等式来处理，用这个方
法时要关注代数式和积关系的转化.
（3）线性规划：如果题设给出的是二元一次不等式组，而目标函数也是二次一次的，那么我们可以用线
性规划来处理.
