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第 11 讲 导数与函数的极值、最值
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1.函数的极值
一般地，设函数f(x)在x 处可导，且f′(x )＝0.
0 0
(1)如果对于x 左侧附近的任意 x，都有 f ′( x )>0 ；对于x 右侧附近的任意 x，都
0 0
有 f ′( x )<0 ，那么此时x 是f(x)的极大值点.
0
(2)如果对于x 左侧附近的任意 x，都有 f ′( x )<0 ；对于x 右侧附近的任意 x，都
0 0
有 f ′( x )>0 ，那么此时x 是f(x)的极小值点.
0
(3)如果f′(x)在x 的左侧附近与右侧附近均为正号(或均为负号)，则x 一定不是y
0 0
＝f(x)的极值点.
(4)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.
2.函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在[a，b]上的最值
如果函数y＝f(x)的定义域为[a，b]且存在最值，函数y＝f(x)在(a，b)内可导，那
么函数的最值点要么是区间端点a或b，要么是极值点.
(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值 f ( a ) ， f ( b ) 比较，其中最大的一个是
最大值，最小的一个是最小值.
1.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，
不可想当然认为极值就是最值.
2.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之
间没有必然的大小关系.
二、考点和典型例题
1、利用导数求函数的极值
【典例1-1】（2022·全国·高三专题练习）函数 的定义域为开区间 ，导函数
在 内的图像如图所示，则函数 在开区间 内有极小值点（ ）A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】A
【详解】
由导函数 在区间 内的图象可知，
函数 在 内的图象与 轴有四个公共点，
在从左到右第一个点处导数左正右负，在从左到右第二个点处导数左负右正，
在从左到右第三个点处导数左正右正，在从左到右第四个点处导数左正右负，
所以函数 在开区间 内的极小值点有 个，
故选：A.
【典例1-2】（2022·陕西商洛·一模（文））已知函数 ，则 的
极大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
函数 的定义域为 ，
,
令 ，解得 或 ，
故单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以 的极大值为 ，
故选：B.
【典例1-3】（2022·新疆·三模（文））若函数 在 处有极值
10，则 （ ）
A．6 B． C． 或15 D．6或
【答案】B
【详解】
，
又 时 有极值10
，解得 或
当 时，
此时 在 处无极值，不符合题意
经检验， 时满足题意
故选：B
【训练1-1】（2022·河南新乡·二模（文））已知 ，函数 的极小值为
，则 （ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【详解】，则 在 和 上单调递减，在 上
单调递增，所以 ，则 ，则 ．
故选：C
【训练1-2】（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（文））已知 为常数，函数
有两个极值点，其中一个极值点 满足 ，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
，由函数 有两个极值点，
则等价于 有两个解，即 与 有两个交点，
所以 .
直线 过点
由 在点 处的切线为 ，显然直线 过点
当 时，直线 与曲线 交于不同两点（如下图），且
，，
令 ，则 ，
所以 单调递增， ，即 ，
故选： D.
【训练1-3】（2021·四川省叙永第一中学校高三阶段练习（文））已知函数
在 与 时，都取得极值．
(1)求 ， 的值；
(2)若 ，求 的单调增区间和极值．
【答案】(1) ，
(2)函数的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是 ，函数的极大值是
，函数的极小值是 .
【解析】(1)
，由条件可知 和 ，
即 ，解得： ， ，
所以 ，
检验：单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
经检验 与 时，都取得极值，满足条件，所以 ， ；
(2)
，解得： ，
所以
单调递增 单调递减 单调递增
极大值 极小值
有表可知，函数的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是
，函数的极大值是 ，函数的极小值是 .
【训练1-4】（2021·福建·莆田第二十五中学高三阶段练习）已知函数
在 与 处都取得极值．
（1）求 ， 的值；
（2）若对任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ， ；（2） ．
【解析】（1）由题设， ，又 ，，解得 ， ．
（2）由 ，知 ，即 ，
当 时， ， 随 的变化情况如下表：
1
+ 0 - 0 +
递增 极大值 递减 极小值 递增
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
∴当 时， 为极大值，又 ，则 为 在
上的最大值，
要使 对任意 恒成立，则只需 ，解得 或 ，
∴实数 的取值范围为 ．
2、利用导数求函数的最值
【典例2-1】（2022·河南·模拟预测（文））当 时，函数 取
得最小值，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【详解】
解： ，
当 时， ；当 时， ．所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时， 取得最小值．
故选：A.
【典例2-2】（2022·北京通州·高二期中）设函数 ，若函数 无最
小值，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
由 得 ，
令 ,得 ，令 ，得 或 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 时， 取得极小值，为 ，
因为 无最小值，所以 ，解得 .
故选：A
【典例2-3】（2022·上海交大附中高二期中）函数 的定义域为 ，解析式
.则下列结论中正确的是（ ）
A．函数 既有最小值也有最大值 B．函数 有最小值但没有最大值
C．函数 恰有一个极小值点 D．函数 恰有两个极大值点
【答案】A【详解】
， ；
令 ，则 或 ；
当 时， ，此时函数 单调递减；
当 时， ，此时函数 单调递增；
当 时， ，此时函数 单调递减；
当 时， ，此时函数 单调递增，
在 时取得极小值，在 时取得极大值，故C，D错误；
；
， ；
函数 既有最小值也有最大值；
故答案为：A
【训练2-1】（2022·浙江省杭州第二中学高二期中）已知 ，函数
的最小值为 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
方法一：由题意得： ；
令 ，则 ， 在 上单调递增，
又 ，当 时， ， ，使得 ，
则当 时， ，即 ；当 时， ，即 ；在 上单调递减，在 上单调递增，
；
由 得： ，
即 ，
设 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增，
， .
方法二：令 ，则当 时， ，
令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
，即 .
故选：A.
【训练2-2】（2022·四川·模拟预测（理））对任意 ，存在 ，使得
，则 的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．e
【答案】C【详解】
由题 ，令 ，则 所以 ，令
，则 ，令 ，
则 ，则 即 在 时单调递增，
又 ，则 时 时 ，
所以 时 取得极小值也即为最小值，最小值 ，即 的最小值为1．
故选：C．
【训练2-3】（2022·北京市第三十五中学高二期中）已知函数 .
(1)求 的单调区间；
(2)求 在区间 上的最大值和最小值；
(3)画出 的草图(要求尽量精确).
【答案】(1)增区间为 ，减区间为 ；
(2)最小值为 ，最大值为 ；
【解析】(1)
由题设 ，
所以 、 上 ， 上 ，
所以 的单调增区间为 、 ，单调减区间为 .
(2)
由（1）可得如下列表：
4
7 递增 递减 递增当 时， 在 的最小值为 ，
当 或 时， 在 的最大值为 .
(3)
0 4
7 4
结合（1）的结论，函数图象如下：
【训练2-4】（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第八中学校高二期中）已知函数
.
(1)求 的单调区间；
(2)求 在区间 上的最大值和最小值.
【答案】(1)单调递减区间为 ，单调递增区间为 和 ；
(2)最大值为 ，最小值为 .
【解析】(1)函数 的定义域为 ， ，
由 ，可得 ，
当 或 时， ，当 时， ，
的单调递减区间为 ，单调递增区间为 和 .
(2)由（1）知 在 上单调递减，在 上单调递增.
又 ，
的最大值为 ，最小值为 .
3、综合应用
【典例3-1】（2021·陕西咸阳·高三开学考试（文））已知函数
在 处取得极值.
(1)求 在 上的最小值；
(2)若函数 有且只有一个零点，求b的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】(1)
解：因为 ，所以 ，
在 处取得极值， ，即 解得 ，
，所以 ，所以当 或 时
，当 时 ，
在 上单调递增，在 上单调递减，又 ，
在 上的最小值为 .
(2)解：由（1）知， ，
若函数 有且只有一个零点，
则方程 有唯一解，即 有唯一解，
由（1）知， 在 上单调递增，在 上单调递减，
又 ，函数图象如下所示：
或 ，得 或 ，
即b的取值范围为 .
【典例3-2】（2021·天津市第一0二中学高三期中）设函数 ．
(1)求 在 处的切线方程；(2)求 的极大值点与极小值点；
(3)求 在区间 上的最大值与最小值．
【答案】(1) ；(2)极小值点为 ，极大值点为 ；
(3) ， .
【解析】(1)
由题意得： ，则 ，
又 ，
在 处的切线方程为 ，即 ；
(2)令 ，解得： 或 ，
则 变化情况如下表：
极小值 极大值
的极小值点为 ，极大值点为 ；
(3)由（2）知： 在 上单调递减，在 上单调递增；
又 ， ， ，
， .
【训练3-1】（2021·河南·高三阶段练习（理））已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， .
(1)求 的值及 在 上的解析式；
(2)若 在区间 上有极值，求 的取值范围.
【答案】(1) ， (2)
【解析】(1)
解：因为 是定义在 上的奇函数，
所以 ，取 得 ，
即 ，所以 ，
所以 时 .
设 ，则 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 .
(2)
解：由 可知 在 处取得极值，
所以 或 ，
解得 或 ，即 ，
所以 的取值范围是 .
