5.7 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
模块一：基础知识 .........................................................................2
考点一：两角和与差的余弦公式 .....................................................2
考点二：两角和与差的正弦公式 .....................................................2
考点三：两角和与差的正切公式 .....................................................2
考点四：三角恒等变换思想-角的代换、常值代换 ................................2
考点五：辅助角公式 ....................................................................3
模块二：题型分类 .........................................................................3
题型一：两角和与差余弦公式 ........................................................3
题型二：已知两角的正弦，余弦求和差角的余弦 .................................3
题型三：用和差角的余弦公式化简、求值 ..........................................4
题型四：逆用和差角的余弦公式化简、求值 .......................................5
题型五：15°或75°的余弦值应用 ....................................................6
题型六：两角和与差正弦公式 ........................................................6
题型七：已知两角的正弦，余弦求和差角的正弦 .................................7
题型八：用和差角的正弦公式化简、求值 ..........................................7
题型九：逆用和差角的正弦公式化简、求值 .......................................8
题型十：15°或75°的正弦值应用 ....................................................8
题型十一：两角和与差正切公式 .....................................................9
题型十二：已知两角的正弦，余弦求和差角的正切 ..............................9
题型十三：15°或75°的正切值应用 ...............................................10
题型十四：用和差角的正切公式化简、求值 .....................................11
题型十五：逆用和差角的正切公式化简、求值 ..................................11
模块三：综合巩固 .......................................................................12
5.7 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
模块一：基础知识
考点一：两角和与差的余弦公式
两角和与差的余弦公式
（1）cos(
)
cos
cos
sin
sin
（2）cos(
)
cos
cos
sin
sin
①简记符号:C
,C
. ②适用条件:公式中的角, 是任意角.
考点二：两角和与差的正弦公式
（1）sin(
)
sin
cos
cos
sin
（2）sin(
)
sin
cos
cos
sin
①简记符号: S
, S
. ②适用条件:公式中的角, 是任意角.
考点三：两角和与差的正切公式
两角和与差的正切公式
（1）
tan
tan
tan(
)
1
tan
tan
（2）
tan
tan
tan(
)
1
tan
tan
①简记符号: S
, S
.
②适用条件:公式中的角, ，
，
2
k
，k
Z
.
③变形结论：
tan
tan
tan(
)(1
tan
tan
)
tan
tan
tan(
)(1
tan
tan
)
考点四：三角恒等变换思想-角的代换、常值代换
(1)角的代换
代换法是一种常用的思想方法，也是数学中一种重要的解题方法，在解决三角问题时，角的代换作用
尤为突出.
常用的角的代换形式：
①=( +
)-
；
②=
-(
- )；
③=
[( +
)+( -
)]；
④=
[( +
)-(
- )]；
⑤
=( -
)-(
-
)；
⑥- =( -
)+(
- ).
(2)常值代换
用某些三角函数值代换某些常数，使之代换后能运用相关的公式，我们把这种代换称为常值代换，其
中要特别注意的是“1”的代换.
考点五：辅助角公式
通过应用公式
[或
将形如
(a,b 都不为零)的三角函数式收缩为一个三角函数
[或
].这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩为一个
三角函数，这种恒等变换称为收缩变换，上述公式也称为辅助角公式.
模块二：题型分类
题型一：两角和与差余弦公式
1.cos17 cos43
sin17 sin223
.
2.计算cos43 cos13
sin 43 sin13
的值（ ）
A．
1
2
B．
2
2
C．
3
2
D．cos57
3.sin15 sin 45
cos15 cos45
．
4.sin 70 sin10
sin 20 cos10
（ ）
A．
1
2
B．
1
2
C．
3
2
D．
3
2
题型二：已知两角的正弦，余弦求和差角的余弦
1.已知锐角
，
，且满足
2
5
sin
cos
10
5
，
.
(1)求sin；
(2)求
.
2.已知
π
0
π
2
，
3
cos
5
，
12
sin
13
，则
cos
（ ）
A．
63
65
B．
33
65
C．33
65
D．63
65
3.已知,
都为锐角，
12
cos
13
，
4
cos
5
，则cos 等于（ ）
A．63
65
B．
63
65
C．33
65
D．
33
65
4.已知
2
3
sin
,cos
,
3
4
且,
都是第二象限角，则cos(
)
（ ）
A．
35
6
12
B．3 5
2 7
12
C．3 5
2 7
12
D．3 5
2 7
12
5.已知锐角
、
满足
5
3 10
sin
,cos
5
10
，则
等于（ ）
A．3π
4
B．π
4 或3π
4
C．π
4
D．π
2
6.已知
4
sin
5
=
，
5
cos
13
，且角，分别位于第二、四象限，求
cos
和
cos
的值．
题型三：用和差角的余弦公式化简、求值
1.cos20 cos385
cos70 sin155
（ ）
A．
1
2
B．
2
2
C．
3
2
D．1
2.化简求值：
(1) sin50
sin 20 cos30
cos20
；
(2)
sin
75
cos
45
3 cos
15
.
3.已知
π
3π
6cos
sin
2
2
8
2cos π
3sin 2π
，
π
0, 4
.
(1)求tan的值；
(2)若
π
0, 2
，且
π
5
cos 4
5
，求
的值.
4.求下列各式的值.
(1) sin 20
sin 40
cos20
cos40
；
(2)sin 20
sin 40
sin80
5.（1）求值：
cos
1020
sin
1050
tan945
.
（2）已知
1
cos
7
，
13
cos
14
，且
π
0
2
，求角cos 的值.
题型四：逆用和差角的余弦公式化简、求值
1.已知
π
3
cos
cos
3
3
，
π
0, 2
，则sin
.
2.
3
cos
cos
si
5
(
)
)
n
s n
(
i
，则cos （ ）
A．4
5
B．3
5
C．
4
5
D．
3
5
-
3.已知
π
sin
sin
1
3
，则
π
cos 3
．
4.已知是锐角，且
π
π
1
cos
cos
sin
sin
6
6
2
，则
．
题型五：15°或75°的余弦值应用
1.求75°，15°角的余弦值．
2.
5π
cos 12 的值为（ ）
A．
6
2
4
B．
2
2
C．
6
2
4
D．
3
2
4
3.求下列各式的值．
(1)cos75；(2)
7
cos 12
；(3)
cos
165
；(4)
61
cos(
)
12
4.（多选）下列各式正确的是（ ）
A．
2
1
π
2
cos
2
8
4
B．
3
2
12
12
π
π
cos
si n
C．
6
2
15
4
o
cos
D．
8π
3
sin 3
2
题型六：两角和与差正弦公式
1.求下列各式的值：
(1)sin20 cos40
cos20 sin40
；
(2)sin85 cos40
sin5 sin40
．
2.sin 74 cos14
sin16 sin14
=（ ）
A．
3
2
B．
1
2
C．
1
2
D．
3
2
3.sin160 cos40
sin 250 cos50
-
=
.
4.化简计算：sin 20 cos110
cos160 sin 70
.
题型七：已知两角的正弦，余弦求和差角的正弦
1.若，
π
(0,
)
2
且
5
cos
13
，
3
sin
5
，则sin(
)
.
2.已知
π
0, 2
，
π
0, 2
，
5
cos
13
，
3
sin
5
，则sin
．
3.已知
1
sin
3
，
cos
1
，则
sin
2
的值（ ）
A．1
B．1
C．1
3
D．
1
3
4.已知sin
,
,co
2
π
3
3π
,π
π,
s
,
,
3
2
4
2
求
cos
，sin(
)
的值.
题型八：用和差角的正弦公式化简、求值
1.已知为第二象限角，且
15
sin
4
，则
π
sin
4
的值为
.
2. sin20
2sin 40
cos20
．
3.sin 40 (tan10
3)
;
4.化简：
(1) sin(π
)
π
π
cos(
)sin(
)
cos(
π)
2
2
(2)
2(sin
cos )
x
x
题型九：逆用和差角的正弦公式化简、求值
1.cos45 sin75
sin45 cos75
的值为（ ）
A．
3
2
B．
3
2
C．
1
2
D．
1
2
2.
cos 70
sin 170
sin 70
cos 10
等于（ ）．
A．
1
2
B．
3
2
C．
3
2
D．
1
2
3.
1
1
2tan 20
2cos10
（ ）
A．
2
B．
3
2
C．
3
D．2
4.已知
,
0,π
，
5
sin
6
，tan
1
tan
4
，则
（ ）
A．5π
6
B．7π
6
C．11π
6
D．7π
6 或11π
6
题型十：15°或75°的正弦值应用
1.求75°，15°角的正弦值．
2.计算
7π
sin
12
（ ）
A．
2
6
4
B．
2
6
4
C．
6
2
4
D．
2
6
4
3.sin105的值为（ ）
A．
3
2
2
B．
6
2
4
C．1
2
2
D．
6- 2
4
题型十一：两角和与差正切公式
1.利用两角和（差）的正切公式，求1
tan15
1
tan15
的值．
2.已知
12
tan
5
，分别求下列各式的值．
(1)
π
tan
4
；
(2)
π
tan
4
．
3.化简下列各式：
(1) tan 74
tan 76
1
tan 74 tan 76
；
(2)
3
tan15
1
3 tan15
．
4.已知角的终边上一点
4,3
A
，且
tan
2
，则
tan 3
（ ）
A．
1
2
B．
1
2
C．5
2
D．
5
2
题型十二：已知两角的正弦，余弦求和差角的正切
1.已知tan
tan
3
，
sin
2sin
sin
，则
tan
（ ）
A．4
B．6
C．
3
2
D．6
2.已知为锐角，
3
sin
5
，角的终边上有一点
2,1
P
，则
tan
（ ）
A．2
B．10
11
C．11
10
D．
11
12
3.若
1
tan
3
，
1
tan
2
，,
(0,π)
，则
（ ）
A．π
4
B．3π
4
C．5π
4
D．7π
4
4.已知
3
cos
5
，
π
(
,π)
2
，
12
sin
13
，是第三象限角，求sin(
)
，cos(
)
，tan(
)
的值.
5.已知，都是锐角．
(1)
4
sin
5
，
5
cos
13
，求sin 的值；
(2)
1
tan
7
，
10
sin
10
，求
tan
的值．
题型十三：15°或75°的正切值应用
1. tan555的值为
．
2.
23π
tan
12
（ ）
A．2
3
B．3
2
C．3
1
D．2
3
题型十四：用和差角的正切公式化简、求值
1.已知
1
tan
3
，
1
tan
7
，且
,
0,π
，则2
．
2.已知
3π
π, 2
，
3
sin
5
，则
π
tan
4
（ ）
A．1
B．3
4
C．1
7
D．7
3.已知角，满足tan
2
=- ，
tan
1
，则tan （ ）
A．
1
3
B．1
C．－3
D．3
4.已知角的终边经过1
3
,
2
2
，tan2
；
π
tan
4
.
5.求下列各式的值.
(1)
11π
tan 12 ；
(2) tan 75
tan15
1
tan 75 tan15
.
题型十五：逆用和差角的正切公式化简、求值
1. 3 tan10
3 tan 20
tan10 tan 20
（ ）
A．1
B．
3
C．3
D．2 3
2. tan35
tan80
tan35 tan80
（ ）
3. tan40
tan80
3tan80 tan40
（ ）
A．3
B．
3
3
C．
3
3
D．
3
4.若
3π
4
，则(1
tan
)(1
tan
)
的值为（ ）
A．
1
2
B．1
C．3
2
D．2
5.
π
4
（
π
,
π
2
k
，k Z ），则1
tan
tan
tan
tan
（ ）
A．2
B．1
C．0
D．1
6.计算3tan80
3tan50
3tan80 tan50
的值为（ ）
A．
3
3
B．
3
C．
3
3
D．
3
模块三：综合巩固
1.已知
π
2 < 𝜃<
3π
2 ，且cos 𝜃+ 2π
3
=
1
3，则sin𝜃的值为（ ）
A．2 2−3
6
B．2 6 + 1
6
C．1−2 6
6
D．
3 + 2 2
6
2.已知cos 𝛼+ π
12 =
3
5,𝛼∈0, π
2 ，则cos 𝛼+ π
3 = （ ）
A．3−4 3
10
B．
4
5
C．−2
10
D．7 2
10
3.已知角𝜃的终边过点𝑃(−3,−1).则sin(
π
4−𝜃) = （ ）
A．−2 5
5
B．2 5
5
C．−5
5
D．
5
5
4.已知角𝛼,𝛽∈(0,π)，且sin(𝛼+ 𝛽) + cos(𝛼−𝛽) = 0,sin𝛼sin𝛽−3cos𝛼cos𝛽= 0，则tan(𝛼+ 𝛽) = （ ）
A．−2
B．−
1
2
C．
1
2
D．2
5.求
2cos10∘
cos20∘−tan20∘的值为（ ）
A．3
B．−3
C．
3
3
D．−3
3
6.已知tan𝛼+ tan𝛽= −6,tan(𝛼+ 𝛽) = −1，则
sin(𝛼+ 𝛽)
cos(𝛼−𝛽) = （ ）
A．
1
3
B．3
C．
2
3
D．
3
2
7..若tan(𝛼−𝛽) = 2,tan𝛽= 4，则
7sin𝛼−cos𝛼
7sin𝛼+ cos𝛼= （ ）
A．−
7
5
B．
7
5
C．−
5
7
D．
5
7
8.已知cos 𝜋
4 + 𝜃=
4
5，
17𝜋
12 < 𝜃<
7𝜋
4 ，则
1−tan𝜃
2sin2𝜃+ sin2𝜃的值为（ ）
A．
100
21
B．−
100
21
C．
75
28
D．−
75
28
9.cos10 cos70
sin 70 sin10
（
）
A．
1
2
B．
1
2
C．
3
2
D．
3
2
10.cos44 cos14
sin 44 sin14
的值为（ ）
A．
1
2
B．
1
2
C．
3
2
D．
3
2
11.
π
π
π
π
cos
sin
cos
sin
3
6
6
3
的值等于（ ）
A．
3
2
B．1
C．0
D．
1
2
12.已知
π
1
tan
tan 4
6
，则
π
tan
tan 4
（ ）
A．1
6
B．1
3
C．
1
2
D．5
6
13.已知
5
1
sin126
4
，则sin18（ ）
A．3
5
4
B．3
5
8
C．
5
1
8
D．
5
1
4
14.若
π
1
sin
3
3
，
π
0, 2
，则cos（ ）
A．
3
2 2
6
B．
3
2 2
6
C．2 2
3
6
D．
3
2 2
6
15.已知钝角a 满足
5
sin
5
，则
π
cos 4
（ ）
A．
10
4
B．
3 10
10
C．10
5
D．2 5
5
16.已知,
均是锐角，已知
4
sin
5
=
，
5
cos(
)
13
，则sin （
）
A．
56
65
B．56
65
C．
16
65
D．16
65
17.（多选）下列式子中值为
3 的为（ ）
A．
2023π
tan
3
B．sin15
cos15
C．1
tan15
1
tan15
D．tan103
tan43
3tan103 tan43
18.（多选）《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一
个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为、，其中小正方形的面积为4，大正方形面积为9，
则下列说法正确的是（ ）
A．每一个直角三角形的面积为5
4
B．3sin
3cos
2
C．3sin
3sin
2
D．
5
cos
18
19.sin21 cos9
sin69 sin9
．
20.计算
1
tan15
3
tan 60 tan15
.
21.求下列各式的值:
(1)sin 72 cos18
cos72 sin18
;
(2)sin 20 cos110
cos160 sin70
.
22.计算：
(1)1
tan 75
1
tan 75
；
(2)已知tan
2,tan
1
，求tan(
)
.
23.已知
3
sin
5
，
5
cos
13
，且，均为第四象限角，求下列各式的值：
(1)
cos
；
(2)
cos
．
